反比例函数与一次函数的交点及相关面积问题(课堂PPT)

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21.5.3反比例函数的几何意义课件

解析
本题考查了反比例函数的性质以及等比数列求和公式。首先根据 x^2n = 9 求出 x^n 的值，然后将原式变形为等比数列求和的形式进行计算即可。
解析
本题考查了反比例函数的性质以及不等式组的解法。首先根据题意列出不等式组求解即可得出 m 的取值范围。
06
总结回顾与课后作业布置
重点难点总结回顾
21.5.3反比例函数的几何意义课件
汇报人：XXX 2024-01-26
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数与直线交点问题 • 反比例函数与面积问题 • 反比例函数在几何图形中应用 • 拓展延伸：反比例函数综合题解析 • 总结回顾与课后作业布置
01
反比例函数基本概念
定义与性质
定义：形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
在三角形中应用
面积与底高的反比例关系
在三角形中，当底边长度固定时，面积与高成反比例关系；同样，当高固定时，面积与底边长度成反比例关系。
相似三角形的边长与面积关系
对于两个相似的三角形，其对应边长之比等于相似比的平方，而面积之比等于相似比的平方。利用反比例函数可以方便地求解相关问题。
在四边形中应用
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，通过已知条件列出方程组求解即可。
已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，且 x1 < x2，试比较 y1 和 y2 的大小。
本题考查了反比例函数的增减性，根据反比例函数的性质，当 k > 0 时，在每个象限内， y 随 x 的增大而减小。因此，由于 x1 < x2，可以得出 y1 > y2。

26.2.3 反比例函数与一次函数的图象交点问题

面积性质（三）
设P(m,n)关于原点的对称点是P‘(-m,-n)，过P作x轴的垂
线与过P‘ 作y轴的垂线交于A点，则：
SΔPAP 21|APAP| 21|2m||2n|2|k|
y
Oo
P’(-m,-n)
P(m,n)
x
A
8.如图，A、B是函数 y
ห้องสมุดไป่ตู้
1 x
的图象上关于原点O对称的任意两点
，AC平行于y轴，BC平行于x轴，∆ABC的面积为S，则 C。
★10.如图，在矩形 OABC 中，OA＝3，OC＝2，点 F 是 AB 上的一个动点(F 不与 A，B 重合)，过点 F 的反比例函数 y＝kx 的图象与 BC 边交于点 E. (1)当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解析式； (2)当 k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？
5.如图，一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝4x(x>0)的图象交于 A(m,4)，B(2，n)两点，与坐标轴分别交于 M，N 两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出 kx＋b－4x>0 中 x 的取值范围； (3)求△AOB 的面积．
6【. 例 4】如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边 AD 在 x 轴上，点 B 在第四象限，直线 BD 与反比例函数 y＝mx 的图象交于点 B，E. (1)求反比例函数的解析式及直线 BD 的解析式； (2)求点 E 的坐标．
(3)根据图象写出使一次函数的值大于反比
（2，M40）
-2-O2
x
B
例函数的值的x的取值范围。
x<-2或0<x<4
1.【例 1】如图，已知 A(－4,2)，B(n，－4)是一次函数 y＝kx ＋b 和反比例函数 y＝mx 图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积； (3)根据图象直接写出 kx＋b－mx >0 的解集．

北师大版九年级(上)数学第19讲：反比例函数与一次函数的交点问题(教师版)——王琪

反比例函数与一次函数的交点问题一、正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y ＝k 1x(k 1≠0)，反比例函数)0(22=/=k x ky ，则当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．二、一次函数和反比例函数的交点问题1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 解：∵A 、B 是反比函数y=上的点，∴S △OBD =S △OAC =，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA=PB ，故②错误； ∵P 是y=的图象上一动点，∴S 矩形PDOC =4，∴S 四边形PAOB =S 矩形PDOC ﹣S △ODB ﹣﹣S △OAC =4﹣﹣=3，故③正确；连接OP ，===4，∴AC=PC ，PA=PC ，∴=3，∴AC=AP ；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C ．2．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A． B． C． D．12解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD=3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣k﹣•（b﹣）=9，∴k=，故选C．3．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则它还经过点（）A．（6，﹣1） B．（﹣1，﹣6）C．（3，2）D．（﹣2，3.1）解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，四个选项中只有A：6×（﹣1）=﹣6．故选A．4．若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1解：∵M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，∴M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都满足函数关系式（k＞0），∴y1=﹣2k，y2=﹣4k，y3=2k；∵k＞0，∴﹣4k＜﹣2k＜2k，即y3＞y1＞y2．故选C．5．已知点A（﹣1，5）在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（）A． B． C． D．y=5x解：将P（﹣1，5）代入解析式y=得，k=（﹣1）×5=﹣5，解析式为：y=﹣．故选C．6．已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（）A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣解：设反比例函数的解析式为（k≠0）．∵该函数的图象过点M（﹣1，2），∴2=，得k=﹣2．∴反比例函数解析式为y=﹣．故选B．7．已知一次函数y1=kx+b（k＜0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2，实数x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜3C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3解：依照题意画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y1＞y2，实数x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．故选A．8．已知点A（﹣2，1），B（1，4），若反比例函数y=与线段AB有公共点时，k的取值范围是（）A．﹣≤k＜0或0＜k≤4 B．k≤﹣2或k≥4C．﹣2≤k＜0或k≥4 D．﹣2≤k＜0或0＜k≤4解：①当k＞0时，如下图：将x=1代入反比例函数的解析式得y=k，∵y随x的增大而减小，∴当k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．∴当0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．②当k＜0时，如下图所示：设直线AB的解析式为y=kx+b．将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=1，b=3．所以直线AB所在直线为y=x+3．将y=x+3与y=联立，得：x+3=，整理得：x2+3x﹣k=0．∴32+4k≥0，解得：k≥﹣．综上所述，当﹣≤k＜0或0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．故选：A．9．在平面直角坐标系中直线y=x+2与反比例函数 y=﹣的图象有唯一公共点，若直线y=x+m与反比例函数y=﹣的图象有2个公共点，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．﹣2＜m＜2 C．m＜﹣2 D．m＞2或m＜﹣2解：根据反比例函数的对称性可知：直线y=x﹣2与反比例函数y=﹣的图象有唯一公共点，∴当直线y=x+m在直线y=x+2的上方或直线y=x+m在直线y=x﹣2的下方时，直线y=x+m与反比例函数y=﹣的图象有2个公共点，∴m＞2或m＜﹣2．故选D．10．如图，直线y=kx与双曲线y=﹣交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣8x2y1的值为（）A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12解：将y=kx代入到y=﹣中得：kx=﹣，即kx2=﹣2，解得：x1=﹣，x2=，∴y1=kx1=，y2=kx2=﹣，∴2x1y2﹣8x2y1=2×（﹣）×（﹣）﹣8××=﹣12．故选B．11．如图，双曲线y=﹣（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（）A． B． C．3 D．6解：∵点D为▱ABCD的对角线交点，双曲线y=﹣（x＜0）经过点D，AC⊥y轴，∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3．故选C．12．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD 的面积等于（）A．2 B．2 C．4 D．4解：设A（a，），可求出D（2a，），∵AB⊥CD，∴S四边形ACBD=AB•CD=×2a×=4，故选C．13．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，∴反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，∴图象在一、三象限，如图1，∴k＞0，∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴，∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，故选C．14．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0） B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y=，将B（3，1）代入y=，∴k=3，∴y=，∴把y=2代入y=，∴x=，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选（C）15．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k ≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（）A．y= B．y= C．y= D．y=解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4，∵AB=5，∴OB==3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，∴反比例函数的表达式为y=．故选A．16．如图，矩形OABC的两边OA、OC在坐标轴上，且OC=2OA，M、N分别为OA、OC的中点，BM与AN 交于点E，若四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为（）A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣解：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，设EF=h，OM=a，由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a△AON中，MG∥ON，AM=OM，∴MG=ON=a，∵MG∥AB，∴==，∴BE=4EM，∵EF⊥AB，∴EF∥AM，∴==．∴FE=AM，即h=a，∵S△ABM=4a×a÷2=2a2，S△AON=2a×2a÷2=2a2，∴S△ABM=S△AON，∴S△AEB=S四边形EMON=2，S△AEB=AB×EF÷2=4a×h÷2=2，ah=1，又有h=a，a=（长度为正数）∴OA=，OC=2，因此B的坐标为（﹣2，），经过B的双曲线的解析式就是y=﹣．17．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，令x=0代入y=x﹣6，∴y=﹣6，∴B（0，﹣6），∴OB=6，令y=0代入y=x﹣6，∴x=2，∴（2，0），∴OA=2，∴勾股定理可知：AB=4，∴sin∠OAB==，cos∠OAB==设M（x，y），∴CF=﹣y，ED=x，∴sin∠OAB=，∴AC=﹣y，∵cos∠OAB=cos∠EDB=，∴BD=2x，∵AC•BD=4，∴﹣y×2x=4，∴xy=﹣3，∵M在反比例函数的图象上，∴k=xy=﹣3，故选A。

反比例函数的应用ppt课件

如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间
清
单
解 t（h）与行驶速度 v（km/h）的图象为双曲线的一段，若这
读段公路行驶速度不得超过80 km/h，则该汽车通过这段公路
最少需要 _____ h.
6.2 反比例函数的图象与性质
［解题思路］
考
点

清
设双曲线的解析式为t= ，∴k=1×4=40，即 t=
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
［易错］ B
［错因］忽略了点（x1，y1），（x3，y3）与（x2，y2
成的一元二次方程
即 k1 和 k2 的符号
的根的判别式 Δ
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
k1k2＞0 ⟹ 两图象有两
交点个交点
情况
k1k2＜0 ⟹ 两图象没有
交点
启示
Δ＞0⟹ 两图象有两个交点
Δ=0⟹ 两图象有一个交点
Δ＜0⟹ 两图象没有交点
两图象有交点时，两将 =k2x+b 转化为一元二
6.2 反比例函数的图象与性质
重
解题通法
难
解决此类问题需要读懂题目，准确分析出各个量之间的
题
型
突关系，将需要求的量根据等量关系表示出来.

北师大版九年级数学上册反比例函数的图像和性质课件(共41张)

为反比例函数，则m的值是
(C)
1 2
(D) 1
返回
2．如图，A为反比例函数 y k 图象上一点，AB⊥x轴
x 于点B，若 SAOB 3 则k为（ A）
(A) 6 (B) 3 (C) 3 D 无法确定
2
返回
3．函数y
k x
的图象经过（1，-1），则函
数 y kx 2 的图象是（A ）
y
-2 O x
大，则m的取值范围是（ A）.
A、m<-1 B、m>-1 C、m>1
D、m<1
返回
性
y随x的增大而减小
例
函
位
置二四象限
二四象限
数的
K<0
增减
y随x的增大而减小在每个象限内，
区
性
y随x的增大而增大
分
对称性
轴对称中心对称
轴对称中心对称
专题一
反比例函数的图像和性质
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象散布在哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3，4)、C(
y＝
4 x
与y＝
2 x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平
行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，
连接OA、OB，则△AOB的面积为( A )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
拓展提高
双曲线: y＝ 4 与y＝ 2
x
x
在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的
直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则
2.反比例函数的图象关于原点成中心对称.

微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

+=+
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0

=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0

= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,

所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.

因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),

∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .

8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=

= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.

人教版数学九年级下册26.1.2第2课时+反比例函数的图象和性质的的综合运用课件

y k 1、若点P（2,3）在反比例函数
的图像上，则k= 6 _
x
2、若点P(m,n)在反比例函数 y 6 图像上，则mn= 6_
x
3、如图，S矩形ABCD= 6 S△ABD=__3_
A
D
S矩形ABCD与S△ABD有何关系？
2
S△ABD=
1 2
S矩形ABCD
B3
C
4、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当－3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
二反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数 y m 5 图象的一支. 根
据图象，回答下列问题：
x
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
y
解：因为这个反比例函数图象的一
函数的图象上？解：设这个反比例函数的解析式为 y k ，因为点
x A (2，6)在其图象上，所以有 6 k ，解得 k =12.
2 所以反比例函数的解析式为 y 12 .
x
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
y
设点 P 的坐标为 (a，b)
∵点
P
(a，b)
在函数
y
k x
的图
象上，∴ b k ，即 ab=k. a
PB
SA
AO
x
BP
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；

反比例函数与一次函数的交点问题

例：
中考中对于反比例函数与一次函数交点
问题经常涉及参数的值、给交点求解析式、
y的比较。除了这些问题以外，还要对数形
结合，分类讨论的思想进行考察。这类题目
本身并不会太难，一般都是作为一道中档次
题目。所以在中考中面对这类问题，一定要
做到避免失分.
式和一次函数关系式即可求得待定的系数；
（2）函数的图像没有交点，转化为代数问题，
用二次方程根的判别式可解．
解：（1）∵一次函数和反比例函数的图像交于点（2，m），
Байду номын сангаас
∴m=2﹣6，
解得m=﹣4， ∴ P (2 , -4)
则 k=2×（﹣4）=﹣8．
∴m=﹣4，k=﹣8；
∵要使两函数的图象没有交点，须使方程
x2﹣6x﹣k=0无解． ∴△=（﹣6）2﹣4×（﹣k）=36+4k＜0，解得k＜﹣9． ∴当k＜﹣9时，两函数的图象没有交点．
【方法归纳】 • 首先需要注意的是，本题中的两小问属于并列关系，切记不可把第(1)问的条件用在第(2)问中. • 考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意先代入已知的一个关系式中，再求解另一个表达式，必须明确的是：两个函数图像有无交点的问题，实质上就是所联立的方程组有无解的问题.
一次函数
函数
反比例函数
二次函数
反比例函数与一次函数交点问题
石家庄市第十九中学王克维
k 例：已知反比例函数 y= （k≠0）和一次函数 y=x-6 x
（1）若一次函数与反比例函数的图像交于点 P（2，m），求 m 和 k 的值．（2）当 k 满足什么条件时，两函数的图像没有交点？
【分析】（1）两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此将交点的坐标分别代入反比例函数关系

反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变．反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

反比例函数与一次函数的综合-完整版课件

为学生后续学习更复杂的数学知识和解决实际问题打下基础。
培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
课件内容概述
01
02
03
04
反比例函数的基本概念、图像和性质。
一次函数的基本概念、图像和性质。
反比例函数与一次函数的综
通过实例和练习题，加深学生对反比例函数和一次函数的理
下节课预习提示和作业布置
预习提示
下节课将学习反比例函数与二次函数的综合应用，请学生提前预习相关内容，了解基本概念和性质
作业布置
布置与反比例函数与一次函数综合应用相关的练习题和思考题，要求学生认真完成并提交作业
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反比例函数的图像关于原点对称，即满足奇函数的性质 $f(-x) = -f(x)$。
反比例函数在其定义域内具有单调性：在第一、三象限内单调递减，在第二、四象限内单调递增。
反比例函数在其定义域内没有极值点，也没有拐点。
CHAPTER 03
一次函数基本概念与性质
一次函数定义及表达式
一次函数定义
可导性
一次函数的导数为常数 $k$，即其斜率。
对称性
一次函数图像关于点 $(h, k)$ 中心对称，其中 $h = b/2a$，$k = f(h)$。
线性变换性质
一次函数具有线性变换性质，即 $f(ax+b) = k(ax+b) + b
= akx + (ab+b)$。
CHAPTER 04
反比例函数与一次函数综合应用
一次函数是形如 $y = kx + b$（其中 $k neq 0$）的函数，它描述了两个变量之间的线性关系。

反比例函数几何意义课件

当矩形的长和宽成反比例关系时，其面积保持恒定。
三角形面积
在某些特定条件下，如等底三角形，高与底边长度成反比例关系时，面积保持恒定。
平行四边形面积
当平行四边形的相邻两边长度成反比例关系时，其面积保持恒定。
长度问题
线段长度
在几何图形中，若两条线段长度成反比例关系，则一条线段长度增加时，另一条线段长度减少。
06
伸
重点知识点总结
01
反比例函数的定义
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$) 的函数称为反比
例函数。
02
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三
象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
03
解析
由于切线 m 与 x 轴平行，所以切线的斜率为 0。对反比例函数求导，并令导数为 0，解出 x4。再代入原方程求出 y4。
求法线方程类问题
题目一
解析
题目二
解析
已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 在点 R(x5, y5) 处的法线方程为 n，求 n 的方程。
对反比例函数求导，得到在点 R 处的导数值即为切线的斜率。法线的斜率是切线斜率的负倒数。利用点斜式方程，求出法线 n 的方程。
反比例函数与其他知识点的联系
反比例函数与一次函数、二次函数等知识点有密切联系。例如，反比例函数的图像可以与一次函数的图像相交或相切，形成特定的几何图形。通过拓展延伸，可以让学生更好地掌握相关知识点之间的联系和区别。
THANKS.
关系
曲线与反比例函数图像交点

一次函数与反比例函数的交点问题

一次函数之间的交点；如函数y=kx+b ，y=ax+c 图像有一个交点说明这两个函数存在相同的x ，y 的值，则这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标。

因为这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标所以可通过解方程来解决即：kx+b=ax+c解得x 的值，再代入可求得y 的值即为交点坐标。

当然也可以通过在直角坐标系中画出一次函数的图像直接从图像上看到，不过这种方法要求作图精确。

一般情况下，作图法只用作帮我们寻找解题的思路。

真正要接出精确的答案还是要通过代数运算。

一次函数与反比例函数的交点；函数y=ax+b,y=xk 图像有一个交点说明这两个函数存在相同的x,y 的值，则这个相同的x,y 的值即为函数y=ax+b, y=x k 的图像的交点坐标。

即ax+b=xk ,此式可化解为ax 2+bx-k=0 如果次一元二次方程的△＞0则表示一次函数和反比例函数有两个交点；△ ＜0则表示一次函数和反比例函数没有交点；△ =0则表示一次函数和反比例函数有一个交点。

具体情况可有下图表示：例1：已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数y=x2的图象在第一象限交于B （4，n ），求n ，k 的值。

变式练习1；若反比例函数的图象经过点（1，3）（1）求该反比例函数的解析式；（2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标。

例2已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数x k ，当k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点？变式练习：一次函数y=-x+3与反比例函数y=x1 有两个公共交点A 和B 。

求：（1）点A 和点B 的坐标（2） △ABO 的面积例题3一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A （2，3）。

求这两个函数的表达式。

变式练习：一次函数y=-2x+3与反比例函数y=xm 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A 。