一次函数与反比例函数的交点问题
反比例函数与一次函数交点问题
自学指导3:(3分钟)
例数:y如2=图x,+反2比得例图函象数交y于1 点mxM(m、≠N0,)M得(图1,象3)与,求一次函
△MON得面积、
y
H
∟ ∟
(0,2) A M (1,3)
3
∟ ∟
(-2,0)H B
1
oG
x
G
N (-3,-1)
变式:如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数 y=kx+b得图象与反比例函数y＝m/x得图象交 于A(2,3)、B(-3,n)两点、 (1)求一次函数与反比例函数得解析式; (2)直接写出一次函数值不小于反比例函数值得 自变量x得取值范围;
D (1 ,4)E
(4 ,1)
C
(3)求△OPQ得面积、 y
P(1,4)
Q (4 ,1) E
0C D
x
(1 ,4) (4 ,1)
E F(5,0)y=-x+5
变式:如图,一次函数y1=kx+b得图象与反比例函 数y2= m/x(x＞0)得图象交于A(1,6),B(a,2)两点、 (1)求一次函数与反比例函数得解析式;
x
自学指导2:(3分钟)
例y1、如k2图,得正图比象例相函交数于y=Ak、1xB与两反点比,其例中函点数 A得 x坐标为(2,4)
(1)分别写出这两个函数得表达式;
(2)您能求出点B得坐标吗？
您就是怎样求得？
y
oA
x
B
思考12:如正果比正例比 函例数函y=数k1与x反与比反例比函例数函图数象有 交y=点k2,则/x有交几点个,?则而k交1与点k坐2应标满有足什什么么特条点件? ?
x
直角坐标系中得图象可能就是D :
2022一次函数与反比例函数交点问题精选20题
2021-2022学年北师大九年级数学上册6.2.1—一次函数与反比例函数交点问题精选20题 1．如图，正比例函数y 1＝k 1x 的图象与反比例函数y 2＝2k x的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2或x ＞2B ．x ＜﹣2或0＜x ＜2C ．﹣2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜0或x ＞22．如图，直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点C ，若S △AOB ＝S △BOC ＝1，则k ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．一次函数y ＝﹣x +a ﹣3（a 为常数）与反比例函数y ＝﹣4x的图象交于A 、B 两点，当A 、B 两点关于原点对称时a 的值是（ ）A ．0B ．﹣3C ．3D ．44．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝4x（x ＞0）与y ＝x ﹣1的图象交于点P （a ，b ），则代数式11a b的值为（ ）A ．﹣12B ．12C ．﹣14D ．145．如图，正方形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx（k ≠0）在第一象限的图象经过顶点A （m ，2）和CD 边上的点E （n ，23），过点E 的直线l 交x 轴于点F ，交y 轴于点G （0，﹣2），则点F 的坐标是（ ）A ．（54，0） B ．（74，0） C ．（94，0） D ．（114，0） 6．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点A ，直线y ＝x ﹣1与函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点B ，与x 轴交于点C ．若点B 的横坐标是点A 的横坐标的2倍，则k 的值为（ ）A ．23B ．2C ．1D ．497．如图，直线y ＝k 1x +b 与双曲线y ＝2k x交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x+b 的解集是 ．8．如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝kx（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为．9．设函数y＝3x与y＝﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则12a b的值是．10．如图，直线y＝﹣x+b与双曲线y＝kx（k＜0），y＝mx（m＞0）分别相交于点A，B，C，D，已知点A的坐标为（﹣1，4），且AB：CD＝5：2，则m＝．11．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝kx的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为．12．如图，直线AB交双曲线y＝kx于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连接OA．若S△OAC＝72，则k的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为．14．如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝4x的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．15．如图，直线y＝mx﹣1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣2x（x＜0）上，D点在双曲线y＝kx（x＞0）上，则k的值为．16．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B，C两点，若函数(0)ky k x=>的图象与△ABC 的边有2个公共点，则k 的取值范围是 ．17．已知A （﹣4，2）、B （n ，﹣4）两点是一次函数y ＝kx +b 和反比例函数y ＝mx图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx +b ﹣mx＞0的解集．18．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n ）． （1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP ＝1：2，求点P 的坐标．19．如图，已知反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．20．如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝mx的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式．参考答案1．D 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．﹣5＜x ＜﹣1或x ＞0 8．4 9．﹣2 10．54 11．2 12．7313．0 14．8 15．6 16．5＜k ＜8或9＜k ＜2017．解：（1）把A （﹣4，2）代入y ＝mx，得m ＝2×（﹣4）＝﹣8， 所以反比例函数解析式为y ＝﹣8x， 把B （n ，﹣4）代入y ＝﹣8x，得﹣4n ＝﹣8， 解得n ＝2，把A （﹣4，2）和B （2，﹣4）代入y ＝kx +b ，解得，所以一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2； （2）y ＝﹣x ﹣2中，令y ＝0，则x ＝﹣2， 即直线y ＝﹣x ﹣2与x 轴交于点C （﹣2，0）， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝12×2×2+12×2×4＝6； （3）由图可得，不等式kx +b ﹣mx＞0的解集为：x ＜﹣4或0＜x ＜2．18．解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n ）． 由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x ＜﹣1或0＜x ＜4； （2）∵反比例函数y ＝2k x的图象过点A （﹣1，4），B （4，n ）， ∴k 2＝﹣1×4＝﹣4，k 2＝4n ， ∴n ＝﹣1，∴B（4，﹣1），∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，∴，解得：k1＝﹣1，b＝3，∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣4x；（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），∵S△AOC＝12×3×1＝32，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12×3×1+132×4＝152，∵S△AOP：S△BOP＝1：2，∴S△AOP＝152×13＝52，∴S△AOC＜S△AOP，S△COP＝52﹣32＝1，∴12×3•x P＝1，∴x P＝32，∵点P在线段AB上，∴y＝﹣23+3＝73，∴P（23，73）．19．解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝kx，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝4x的图象上，∴n＝4-4＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12×3×1+12×3×4＝7.5；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．20．解：（1）点B坐标为（﹣6，0），AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，∴点A（﹣6，8），E（﹣3，4），函数图象经过E点，∴m＝﹣3×4＝﹣12，设AE的解析式为y＝kx+b，，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣43 x；（2）AD＝3，DE＝4，∴AE＝＝5，∵AF﹣AE＝2，∴AF＝7，BF＝1，设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），∵E，F两点在函数y＝mx图象上，∴4a＝a﹣3，解得a＝﹣1，∴E（﹣1，4），∴m＝﹣1×4＝﹣4，∴y＝﹣4x．。
反比例函数与一次函数相交,求2线段相等
反比例函数与一次函数相交，求2线段相等。
1. 反比例函数与一次函数的定义反比例函数是指y=k/x形式的函数，其中k为比例常数。
一次函数是指y=kx+b形式的函数，其中k为斜率，b为截距。
2. 反比例函数与一次函数相交的条件当反比例函数y=k/x和一次函数y=kx+b相交时，它们在相交点(x,y)满足k/x=kx+b。
解方程k/x=kx+b可得到相交点的横坐标x，再代入y=k/x或y=kx+b中的一个函数即可得到相交点的纵坐标y。
3. 求两线段相等的条件若两线段的长度相等，则它们的端点的横坐标和纵坐标的差的平方和也相等。
即若两线段的端点分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则当且仅当(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(0)^2+(0)^2时，两线段的长度相等。
4. 求解反比例函数与一次函数相交的示例假设反比例函数为y=2/x，一次函数为y=3x+4，求它们相交点的坐标。
解方程2/x=3x+4得到x，再代入y=2/x或y=3x+4中即可得到相交点的坐标。
5. 求解两线段相等的示例假设有两线段，它们的端点分别为(1,2)和(3,4)，(5,6)和(7,8)，求它们的长度是否相等。
计算(3-1)^2+(4-2)^2和(7-5)^2+(8-6)^2，若结果相等，则两线段的长度相等。
6. 总结通过对反比例函数与一次函数相交和求两线段相等的示例分析，可以得出以上结论。
在实际问题中，若遇到相关问题，可根据这些条件进行求解。
经过以上对反比例函数与一次函数相交和求两线段相等的基本理论的讨论，我们可以进一步探讨具体的例子和应用。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解两线段相等或者分析反比例函数与一次函数的交点问题，这些问题在数学和实际生活中都具有重要意义。
首先我们来看一个具体的例子，假设有一块土地，被划分成两个不规则形状的区域A和B，现在我们想要确定在A和B的分界线上有多少个点满足反比例函数y=k/x和一次函数y=kx+b相交的情况。
2023年人教版数学中考复习重难点突破——反比例函数与一次函数的交点问题
2023年人教版数学中考复习重难点突破——反比例函数与一次函数的交点问题一、单选题1．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=k 1x （k 1≠0）与双曲线y=2k x（k 2≠0）相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标为（）A ．（﹣1，﹣2）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（﹣2，﹣2）2．若正比例函数y ＝－4x 与反比例函数y ＝kx的图像相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，则k 的值为（）A ．－16B ．－8C ．16D ．83．如图，反比例函数y ＝kx （x ＜0）与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A 、B 两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x 的不等式kx＜x ＋4（x ＜0）的解集为（）A ．x ＜－3B ．－3＜x ＜－1C ．－1＜x ＜0D ．x ＜－3或－1＜x ＜04．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b 和反比例函数cy x的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知点A在函数y1=﹣1x（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对6．如图，过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A，B两点，若反比例函数y=y x(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤87．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=kx（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣5D ．﹣68．如图，已知直线1y k x b =+与x 轴、y 轴相交于P 、Q 两点，与y=2k x的图象相交于A （－2，m ）、B （1，n ）两点，连接OA 、OB.给出下列结论：①k 1k 2＞0；②m ＋12n=0；③S △AOP=S △BOQ ；④不等式k 1x+b ＞2k x的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C （点C 在原点的右侧），并分别与直线y=x 和双曲线y=1x相交于点A 、B ，且AC+BC=4，则△OAB 的面积为（）A ．2+3或2﹣3B +1或﹣1C ．2﹣3D﹣110．如图所示，直线l 和反比例函数y=kx（k ＞0）的图象的一支交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A ，B 重合），过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 面积是S 1，△BOD 面积是S 2，△POE 面积是S 3，则（）A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1＞S 2＞S 3C ．S 1=S 2＞S 3D ．S 1=S 2＜S 3二、填空题11．已知点()P m n ，在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x=-上，则22m n +的值为.12．如图，一次函数y 1＝kx ＋b 图象与反比例函数y 2＝xπ的图象交于点A 、B ，请直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围．13．如图，已知直线l ：y=﹣x ，双曲线y=1x，在l 上取一点A （a ，﹣a ）（a ＞0），过A 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，过B 作y 轴的垂线交l 于点C ，过C 作x 轴的垂线交双曲线于点D ，过D 作y 轴的垂线交l 于点E ，此时E 与A 重合，并得到一个正方形ABCD ，若原点O 在正方形ABCD 的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a 的值为．14．已知：函数y 1＝|x|与函数y 2＝1x的部分图象如图所示，有以下结论：①当x ＜0时，y 1，y 2都随x 的增大而增大；②当x ＜﹣1时，y 1＞y 2；③y 1与y 2的图象的两个交点之间的距离是2；④函数y ＝y 1+y 2的最小值是2.则所有正确结论的序号是.15．如图，一次函数y=﹣x+b 与反比例函数y=4x（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．（1）b=（用含m 的代数式表示）；（2）若S △OAF +S 四边形EFBC =4，则m 的值是．三、解答题16．如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝mx的图象交于(2,4)A 、(4,)B n -两点.分别求出y 1和y 2的解析式.17．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点A ﹙−2，−5﹚、C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．（1）求反比例函数my x=和一次函数y kx b =+的表达式；（2）连接OA 、OC ．求△AOC 的面积．18．如图，已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3),(3,1)A B 两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点(,0)(0)P a a >，过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y x b =-+的图象于点M ，交反比例函数ky x=上的图象于点N .若PM PN >，结合函数图象直接写出a 的取值范围.19．如图，直线AB 与坐标轴分别交于A （﹣2，0），B （0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C （4，n ），求一次函数和反比例函数的解析式．20．已知反比例函数y=1k x-（k 为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P ，若点P 的纵坐标是2，求k 的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．21．如图，一次函数的图象与反比例函数y1=3x-(x<0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x<–1时，一次函数值大于反比例函数的值，当x>–1时，一次函数值小于反比例函数值.（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=ax(x>0)的图象与y1=3x-(x<0)的图象关于y轴对称.在y2=ax(x>0)的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标.答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】612．【答案】0＜x ＜1或x ＜－313．或2214．【答案】②③④15．【答案】（1）4m m+（216．【答案】解：把点(2,4)A 代入2m y x=8m ∴=28y x∴=当4x =-时，2y =-(4,2)B ∴--把(2,4)A ，(4,2)B --代入y 1＝kx ＋b2442k b k b +=⎧⎨-+=-⎩①②，①-②得，1k =把1k =代入①得，2b =即12k b =⎧⎨=⎩12y x ∴=+.17．【答案】（1）解：将A （-2，-5）代入my x=，得m=-2×（-5）=10.则反比例函数为y=10x .将C （5，n ）代入y=10x得n=2,则C （5,2）.将A （-2，-5），C （5,2）代入y=kx+b 中得2552k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得13k b =⎧⎨=-⎩即直线y=x-3.（2）解：直线y=x-3与x 轴，y D （3,0），B （0，-3），则OD=3，OB=3，又因为A （-2，-5），C （5,2）则S △AOC =S △AOB +S △BOD+S △DOC =12×2×3+12×3×3+12×3×2=10.5.18．【答案】（1）解：∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象与一次函数y x b =-+的图象在第一象限交于(1,3),(3,1)A B 两点，∴3,311kb ==-+，∴3,4k b ==，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为3,4y y x x==-+；（2）解：由图象可得：当13a <<时，PM PN >.19．【答案】解：设一次函数的解析式为y=kx+b ，把A（﹣2，0），B（0，1）代入得：201k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：121kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y=12x+1；设反比例函数的解析式为y=m x，把C（4，n）代入得：n=3，∴C（4，3），把C（4，3）代入y=mx得：m=3×4=12，∴反比例函数的解析式为y=12 x．20．【答案】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．∴点P的坐标为（2，2）．∵点P在反比例函数y=1kx-的图象上，∴2=12k-，解得k=5．（Ⅱ）∵在反比例函数y=1kx-图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得k＞1．（Ⅲ）∵反比例函数y=1kx-图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x221．【答案】（1）∵x＜-1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞-1时候，一次函数值小于反比例函数值．∴A点的横坐标是-1，∴A（-1，3），设一次函数的解析式为y=kx+b，因直线过A、C，11/12则320{k b k b -+=+=，解之得12{k b =-=，∴一次函数的解析式为y=-x+2；（2）∵y 2＝ax 的图象与y 1＝－3x (x<0)的图象关于y 轴对称，∴y 2=3x （x ＞0），∵B 点是直线y=-x+2与y 轴的交点，∴B （0，2），设p （n ，3n ）n ＞2，S 四边形BCQP =S 四边形OQPB -S △OBC =2，∴12（2+3n ）n-12×2×2=2，n=52，∴P 56,25⎛⎫⎪⎝⎭12/12。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题1．阅读材料：已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝4x（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.（1）方方给出了下列解答：﹣x+b＝4 xx2﹣bx+4＝0∵两个函数有交点∴△＝b2﹣16≥0但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；此时，圆圆提供了另一种解题思路；第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝▲ ；第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是▲ .应用：如图，Rt△ABC中，△C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12.（2）求y关于x的函数表达式；（3）设x+y＝m，求m的取值范围.2．若反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等.（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式.3．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD△x轴于D．（1）求这两个函数的解析式：（2）求△ADC的面积．4．如图，直线y=45x−45交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，EA的延长线交直线y=45x−45于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+5的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为52.（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB 向下平移了几个单位长度？6．如图，点A在反比例函数y=k x(x>0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B(3，0)，过C(5，0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=32x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB=3．（1）求反比例函数y=k x(x>0)和一次函数y=32x+b的表达式：（2）求DE的长．7．在平面直角坐标系中，反比例函数y= k x（k>0，x>0）图象上的两点（n，3n）、(n+1，2n).（1）求n的值；（2）如图，直线l为正比例函数y=x的图象，点A在反比例函数y= kx（k>0,x>0）图象上，过点A作AB△l于点B，过点B作BC△x轴于点C，过点A作AD△BC于点D，记△△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1-S2的值.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+1(m≠0)与反比例函数y=nx(x<0)的图象交于点A(−1,2)，与x轴交于点B.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C是反比例函数图象上一点，过点C作x轴的平行线CD交直线AB于点D，作直线AC交x轴于点E，若S△ACD:S△AEB=1:4，求点E的坐标.9．如图，反比例函数y= k x的图象与一次函数y= 14x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较△PAQ与△PBQ的大小，并说明理由．10．如图，一次函数y=−12x+52的图像与反比例函数y=k x(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.11．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y= k x（k≠0，且k为常数）的图象过点E，且S△AOE=3S△OBE．（1）求k的值；（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y= 12x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y= kx（x＜0）的图象于点N，求N点坐标．12．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=k x(x>0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(−2,0) .（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标.13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b(k＜0)，经过点(6，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y＝mx(x＞0)的图象G交于A，B两点．（1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W．①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．14．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y=4x；由周长为m，得2(x+y)=m，即y=−x+m2.满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.（2）画出函数图象函数y=4x(x>0)的图象如图所示，而函数y=−x+m2的图象可由直线y=−x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=−x.（3）平移直线y=−x，观察函数图象①当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为▲ ；②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.15．如图，直线y=−x+3与反比例函数y=2x(x>0)的图象交于A，B两点.（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE=45°，求AEEC的值；（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y=2x(x>0)的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值.16．如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=−8x的图象交于A(−2，b)，B两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.答案解析部分1．【答案】（1）解：4；函数图象如图1所示：；b≥4（2）解：∵Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC 的长为x ，AC 的长为y ，且 S △ABC =12 ， ∴12⋅x ⋅y =12 ， ∴y =24x(x >0) （3）解：∵x+y=m ， ∴m =x +24x， ∴x 2-mx+24=0 ∴m 2-96≥0 ∵m ＞0 ∴m ≥4√62．【答案】（1）解：∵反比例函数y= m x 的图象经过点（-2，-1）， ∴-1= m−2 ，解得：m=2，∴反比例函数的解析式：y= 2x ；（2）解：当x=1时，y= 21=2，∴一次函数y=kx+b 的图象经过点（1，2）（-2，-1）， ∴{−2k +b =−1k +b =2 ，解得 {k =1b =1 ，∴一次函数的解析式：y=x+1.3．【答案】（1）解：∵反比例函数y= k x的图象过B （4，﹣2）点，∴k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=﹣ 8x；∵反比例函数y= k x 的图象过点A （﹣2，m ），∴m=﹣ 8−2=4，即A （﹣2，4）．∵一次函数y=ax+b 的图象过A （﹣2，4），B （4，﹣2）两点， ∴{−2a +b =44a +b =−2 ， 解得 {a =−1b =2∴一次函数的解析式为y=﹣x+2； （2）解：∵直线AB ：y=﹣x+2交x 轴于点C ， ∴C （2，0）．∵AD△x 轴于D ，A （﹣2，4）， ∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4， ∴S △ADC = 12 •CD•AD= 12×4×4=8．4．【答案】（1）解：求得直线 y =45x −45与 x 轴交点坐标为M （1，0），则OM ＝1， 而S 矩形OMAE ＝4，即OM·AM ＝4， ∴AM ＝4， ∴A （1，4）；∵反比例函数的图象过点A （1，4）， ∴k =4 ，∴所求函数为 y =4x(x >0) ；（2）解：∵点D在EA延长线上，∴直线AD：y=4，求得直线y=45x−45与直线y=4的交点坐标为D（6，4），∴AD＝5；设B（x，0），则BM＝|x−1|，Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4，∴BM＝3，即|x−1|＝3，则x1=−2，x2=4，∴所求点B为B1（－2，0），B2（4，0）．5．【答案】（1）解：作BF⊥OC令y=0，−x+5=0，x=5∴C(5，0)，即OC=5∵S△OBC=52∴12BF⋅OC=52∴BF=1∴B点的纵坐标为1令y=1，−x+5=1，x=4∴B(4，1)将B点坐标代入y=kx(k>0)中，得k=4×1=1∴反比例函数表达式：y=4 x（2）解：设平移a个单位长度则平移后直线解析式为y =−x +5−a ∵两个图象只有1个交点 ∴{y =−x +5−a y =4x， 整理，得−x 2+(5−a)x −4=0，此方程有两个相等的实数根 ∴Δ=0∴(5−a)2−4×(−1)×(−4)=025−10a +a 2−16=0a 2−10a +9=0 (a −1)(a −9)=0∴a −1=0，a −9=0 a =1或a =96．【答案】（1）解：∵点A 在反比例函数y ＝ k x（x ＞0）的图象上，AB△x 轴，∴S △AOB ＝ 12 |k|＝3，∴k ＝6，∴反比例函数为y ＝ 6x，∵一次函数y ＝ 32x+b 的图象过点B （3，0），∴32 ×3+b ＝0，解得b ＝ −92 ， ∴一次函数为 y =32x −92；（2）解：∵过C （5，0）作CD△x 轴，交过B 点的一次函数y ＝ 32x+b 的图象于D 点，∴当x ＝5时y ＝ 6x ＝ 65 ； y =32x −92=3 ，∴E （5， 65），D （5，3），∴DE ＝3﹣65=95． 7．【答案】（1）解：将（n ，3n)和（n+1,2n)代入y= k x 得：3n= k n，2n= k n+1∴3n 2=2n(n +1)解得n=2或n=0（舍去）， ∴n=2（2）解：由（1）得：点（2，6）在反比例函数y= kx（k>0，x>0)的图象上，将点（2，6）代入y= kx，得k=12.反比例函数为y= 12 x设OC=a，又点B在直线y=x，.点B(a，a).又BC△x轴，∴△BOC为等腰直角三角形。
一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用
一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用当一次函数与反比例函数的图象相交时(如图1)，学生通过各种方法的探究与演练，可熟练地计算AOB S ∆.接下来，我们继续观察图象，不难发现，只要一次函数与反比例函数的图象有交点，无论这条直线怎么变化，AOC ∆和BOD ∆的面积大小看似相当，分不出大小.那么，AOC S ∆和BOD S ∆是否相等呢?一、探求结论我们要证明AOC BOD S S ∆∆=，只需证明AC BD =即可.如图2，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，AH x ⊥轴于点H .过点B 作BG y ⊥轴于点G ，交AH 于点I ，BF x ⊥轴于点F ，连结,,AG BH GH .由反比例系数的几何意义，可知AHOEBGOF S S =矩形矩形， ∴AIGE BIHF S S =矩形矩形，∴AIG BIH S S ∆∆=，∴AHG BGH S S ∆∆=.又AHG ∆和BGH ∆同底GH ，∴//GH AB .∵//,//BH DH AH CG∴四边形ACGH 和四边形BGHD 均为平行四边形，∴AC GH BD ==.通过以上探究，我们得到以下结论:设直线l 与抛物线c 相交于,A B 两点，与x 轴和y 轴分别交于点D 和C (如图2)，则AC BD =.二、应用举例例1 (2019年长沙中考题)如图3，函数k y x=( k 为常数，0k >)的图象与过原点O 的直线相交于,A B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，连结BM 分别交x 轴，y 轴于点,E F .现有以下四个结论:①ODM ∆与OCA ∆的面积相等;②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒;③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+④若25MF MB =，则2MD MA =. 其中正确的结论的序号是 .(只填序号)本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及平行线分线段成比例定理等知识.其中，序号①在本题中相对较难判断，但利用本文所得结论，问题就迎刃而解了.例 2 如图4，反比例函数k y x=( 0k >)与矩形OABC 相交于D ,D G 两点，则AD CG BD BG=. 证明 连结DG 交x 轴，y 轴于,E F 两点.∵//,//AB OE OA BC ，∴FADGBD GCE ∆∆∆， ∴AD FD BD GD =，CG GE BG GD=，又∵FD GE=，∴AD CG BD BG=.可见，利用本文得到的结论，我们可有效地解决反比例函数与一元函数或矩形相交的有关问题.。
一次函数与反比例函数交点取值范围
一、题目一次函数与反比例函数交点取值范围二、概述在数学中，一次函数和反比例函数是两种常见的函数类型。
它们在图像上有着不同的特点，而当这两种函数相交时，交点的取值范围则是一个有意义的数学问题。
本文将通过分析一次函数与反比例函数的交点，探讨其取值范围。
三、一次函数与反比例函数简介1. 一次函数一次函数是指具有形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数且a 不等于0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
2. 反比例函数反比例函数是指具有形如f(x) = k/x的函数，其中k是常数且k不等于0。
反比例函数的图像是一条开口向下的抛物线。
四、一次函数与反比例函数的交点一次函数和反比例函数的交点是指它们在坐标平面上的图像相交的点。
具体来说就是通过求解方程f(x) = g(x)，其中f(x)是一次函数，g(x)是反比例函数。
五、求解交点的一般步骤1. 设定f(x) = ax + b和g(x) = k/x。
2. 通过解方程f(x) = g(x)，得到交点的x坐标。
3. 将得到的x坐标带入f(x)或g(x)中，求得交点的y坐标。
六、交点的取值范围一次函数和反比例函数的交点的取值范围可以通过以下步骤来确定：1. 确定一次函数和反比例函数的交点的x坐标的取值范围(1) 一次函数的定义域是全部实数，即一次函数的x可以取任意实数。
(2) 反比例函数的定义域是x不等于0的实数，即反比例函数的x不能为0。
2. 求解交点的x坐标(1) 通过解方程f(x) = g(x)，得到交点的x坐标。
(2) 讨论方程f(x) = g(x)的解的情况，即交点的x坐标。
3. 确定交点的y坐标的取值范围(1) 将得到的x坐标带入f(x)或g(x)中，求得交点的y坐标。
(2) 结合一次函数和反比例函数在x坐标取值范围的情况，确定交点的y坐标的取值范围。
七、总结一次函数与反比例函数的交点取值范围是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
通过本文的分析，我们对这一问题有了一定的了解。
反比例函数与一次函数交点问题-习题及详解
反比例函数与一次函数交点问题1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；S△PAC=S△AOB？（3）在y轴上是否存在一点P，使若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．2018年05月16日157****9624的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）的图象1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；K3：三角形的面积．【解答】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m=6，3n=6，解得m=1，n=2，所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），分别把A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；（2）当0＜x＜1或x＞3时，；（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD所以S△AOB=×4×8﹣×8×1﹣×4×2=8．2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点∴，∴∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D∵S△OBM=2，∴，∴∴n=4（5分）∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，∴m=3∵M（3，4）在双曲线上，∴，∴k2=12∴反比例函数的表达式为（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，∵MD⊥BP，∴∠PMD=∠MBD=∠ABO∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）∴在Rt△PDM中，，∴PD=2MD=8，∴OP=OD+PD=11∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=；如图，作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，，解得k1=﹣，b=﹣，∴；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×2×+×2×3=；（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x＜﹣4或0＜x＜2．（4）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，令x=0，则y=﹣，∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，∴y=2x，又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），∴B（1，2），（2）∵k=2，∴≥kx为≥2x，根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y=的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方，即≥2x．（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA=OC，设C（t，）（t＜0），∵A（﹣1，﹣2）∴OA=∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，t2=4，t=﹣2，∴C（﹣2，﹣1），而此时AC=，AC≠AO，∴不存在符合条件的点C．5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t，t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC=S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【解答】解：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，（3）过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：由，解得：x=4，或x=1，∴B（4，1），∴，∵，∴，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P（0，3）或P（0，﹣3）．。
一次函数与反比例函数交点与k关系
一次函数与反比例函数交点与k关系一次函数与反比例函数是数学中较为常见的函数类型，它们在解决实际问题时起着重要的作用。
本文将探讨一次函数与反比例函数之间的交点与k关系，以及它们分别在历史上的应用。
一、一次函数与反比例函数一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b都是常数，而x和y 则是变量。
一次函数是一条直线，其特点是斜率k表示直线的倾斜程度，截距b则表示直线与y轴的交点位置。
一次函数在数学和实际生活中都有广泛的应用，例如量化市场趋势、预测销售额等。
反比例函数的一般形式为y=k/x，其中k是常数，x和y同样是变量。
反比例函数的特点是，随着x的增加，y会减小，反之亦然。
在实际生活中，反比例函数也有很多应用，例如计算人员密度、电池运行时间等。
二、一次函数与反比例函数的交点当一次函数y=kx+b与反比例函数y=k/x相交时，它们的交点坐标为（x,y）。
为了求出它们相交的点，我们可以将两个函数相等y=kx+b=k/x解析式的x和y代入，如下所示：kx+b=k/xkx²+bx-k=0使用二次方程的求根公式，我们可以求出x的值：x=（-b±√(b²+4k²))/2k求出x的值后，我们可将它代入原来的反比例函数y=k/x中，求出对应的y值：y=k/x=k/（(-b±√(b²+4k²))/2k）y=2k²/(√(b²+4k²)±b)因此，一次函数和反比例函数的交点坐标为（x，y）＝（（-b±√(b²+4k²))/2k，2k²/(√(b²+4k²)±b)）。
三、一次函数与反比例函数的应用一次函数和反比例函数分别在历史上有着广泛的应用。
一、一次函数在金融领域中的应用一次函数的斜率可以帮助分析市场趋势，预测股价或商品价格的变化趋势。
利用一次函数y=kx+b，我们可以将股价或商品价格建模为一个直线。
中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习题及答案
中考数学《反比例函数与一次函数的交点问题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y＝k x（k≠0）的图象交于A，B两点．若点B的坐标是（3，5），则点A的坐标是（）A．（﹣3，﹣5）B．（﹣5，﹣3）C．（3．﹣5）D．（5，﹣3）2．如图，反比例函数y1= k1x和一次函数y2=k2x+b的图象交于A，B N点．A，B两点的横坐标分别为2，-3．通过观察图象，若y1>y2，则x的取值范围是()A．0<x<2B．-3<x<0或x>2C．0<x<2或x<-3D．-3<x<03．某数学小组在研究了函数y1=x与y2＝4x性质的基础上，进一步探究函数y=y1＋y2的性质，经过讨论得到以下几个结论：①函数y=y1＋y2的图象与直线y=3没有交点；②函数y=y1＋y2的图象与直线y=a只有一个交点，则a=±4；③点（a，b）在函数y=y1＋y2的图象上，则点（－a，－b）也在函数y=y1＋y2的图象上．以上结论正确的是（）A．①②B．①②③C．②③D．①③4．已知两个函数y1=k1x+b与y2= k2x的图象如图所示，其中A（-1，2），B（2，-1），则不等式k1x+b＞k2x的解集为（）A．x<−1或x>2B．x<−1或0<x<2C．−1<x<2D．−1<x<0或0<x<25．如图，正比例函数y=x与反比例函数y= 2x的图象相交于A，B两点，分别过A，B两点作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接AD，BC，则四边形ACBD的面积为（）A．2B．4C．6D．86．我们知道，方程x2+2x﹣1＝0的解可看作函数y＝x+2的图象与函数y＝1x的图象交点的横坐标，那么方程kx2+x﹣4＝0（k≠0）的两个解其实就是直线y＝kx+1与双曲线y＝4x的图象交点的横坐标，若这两个交点所对应的坐标为（x1，4x1）、（x2，4x2），且均在直线y＝x的同侧，则实数k的取值范围是（）A．12＜k＜32B．﹣12＜k＜32C．﹣116＜k＜0或0＜k＜32D．12＜k＜32或﹣116＜k＜07．如图，直线y=x+a−2与双曲线y=4x交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为A．0B．1C．2D．58．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x＞29．如图，函数y=−x与函数y=−4x的图象相交于A,B两点，过A,B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D，则四边形ADBC的面积为（）A．2B．4C．6D．810．正比例函数y1=k1x（k1＞0）与反比例函数y2= k2x（k2＞0）部分图象如图所示，则不等式k1x＞k2x的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中△OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝32，则k的值为（）A．3B．52C．2D．112．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2二、填空题13．如图，过原点且平行于y=3x−1直线与反比例函数y=k x（k≠0，x>0）的图像相交x于点C，过直线OC上的点A(1，3)，作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD=2BD，那么点C的坐标为.14．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1，3)，则另一个交点坐标是15．若反比例函数 y =b−3x和一次函数 y =3x +b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ 。
一次函数与反比例函数交点问题
一次函数与反比例函数交点问题
“一次函数与反比例函数交点问题”是微积分中常见的问题，也是解决各种应用问题的基础。
因此，对它的理解和掌握具有重要的意义。
一次函数通常表示为 y=ax+b，其中a为斜率，b为截距，x,y为变量；而反比例函数一般表示为 y=k/x，其中k 为一个常数，x和y为变量。
当一次函数与反比例函数在同一坐标系上同时存在时，它们之间必定存在一个交点。
这个交点可以通过对比两个函数的图像来求解，也可以通过利用微积分理论技巧来解决。
首先，设一次函数与反比例函数的方程分别为：
一次函数：y=ax+b
反比例函数：y=k/x
将两式相减，得：
ax+b-k/x=0
可以看出，由此得到的是一个二次方程式，其解的形式为：
x=(2bk±√D)/2a
其中D=4abk-b^2
若D<0，则没有实数根，即表明该一次函数与反比例函数没有交点；若D=0，则有一个实数根，即表明该一次函数与反比例函数只有一个交点；若D>0，则有两个实数根，即表明该一次函数与反比例函数有两个交点。
以上就是“一次函数与反比例函数交点问题”的详细说明。
如果要解决实际问题，应该先确定一次函数与反比例函数的方程，然后利用上述方法求解。
中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数交点问题
2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数交点问题1．如图，反比例函数y=k x(k≠0)与直线l：y=23x−1相交于A，B两点，过点A作AC⊥x 轴，垂足为点C，且AC=1 .（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，求出不等式23x−kx>1的解集.2．在平面直角坐标系xOy中，函数y=k x（x>0）的图象G经过点A（4，1），直线l∶y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．3．如图，反比例函数y= k x（x＞0）的图象与一次函数y=3x的图象相交于点A，其横坐标为2．（1）求k的值；（2）点B为此反比例函数图象上一点，其纵坐标为3．过点B作CB∥OA，交x轴于点C，直接写出线段OC的长．4．如图，已知反比例函数y=k x与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，3），点B（－3，3），过点A的直线y=12x+m（m为常数）与直线x＝1交于点P，与x轴交于点C，直线BP与x轴交于点D。
（1）求点P的坐标；（2）求直线BP的解析式，并直接写出△PCD与△PAB的面积比；（3）若反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象与线段BD有公共点时，请直接写出k的最大值或最小值。
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x−1与双曲线y=k x相交于点A(2，m) .（1）求点A坐标及反比例函数的表达式；（2）若直线l与x轴交于点B，点P在反比例函数的图象上，当△OPB的面积为1时，求点P的坐标.7．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= k x（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH= 43，点B的坐标为（m，﹣2）．求：（1）反比例函数和一次函数的解析式；（2）写出当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2＝mx（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1），B（1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．9．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= mx图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣ mx ＞0的解集．10．如图，已知一次函数y ＝ax + b （a ，b 为常数，a≠0）的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且与反比例函数 y =kx（k 为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C ，作CD ⊥x 轴于点D ，若OA＝OD ＝ 34OB ＝3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0＜ax + b≤ k x的解集．11．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数y 1=x+m 与反比例函数y 2= k x的图象相交于A（2，1），B （n ，﹣2）两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数解析式和点B 坐标；（2）当x 的取值范围是 时，有y 1＞y 2．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： y =x +b 与x 轴交于点A （-2，0），与y 轴交于点B ．双曲线 y =kx与直线l 交于P ，Q 两点，其中点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 的横坐标为2时，求k 的值；（3）连接PO ，记△POB 的面积为S ，若 13≤S ≤1 ，直接写出k 的取值范围．13．已知一次函数y=k 1x+b 与反比例函数y= k2x的图象交于第一象限内的P （ 12 ，8），Q （4，m ）两点，与x 轴交于A 点.（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）直接写出不等式k 1x+b≥ k2x的解集；（3）M 为线段PQ 上一点，且MN ⊥x 轴于N ，求△MON 的面积最大值及对应的M 点坐标.14．如图，反比例函数 y =4x(x >0) 的图像与一次函数 y =kx −3 的图像在第一象限内相交于点 A(4，n) ．（1）求 n 的值及一次函数的解析式；（2）直线 x =2 与反比例函数和一次函数的图象分别交于点 B ， C ，求 △ABC 的面积．15．已知，如图，反比例函数y= k x的图象与一次函数y=x+b 的图象交于点A （1，4），点B （m ，-1），（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出不等式x+b＞kx的解．16．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k x(x>0)的图象与直线y=x−1交于点A(3,m)（1）求k的值；（2）已知点P(n,0)(n>0)，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y=x−1于点B，交函数y=k x(x>0)于点C．①当n=4时，判断线段PC与BC的数量关系，并说明理由；②若PC⩽BC，结合图象，直接写出n的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵ AC=1 ，∴点A的纵坐标为1，则23x−1=1，解得x=3，故点 A（3，1） .将点A的坐标代入y=k x得，1=k3，解得 k=3，故反比例函数的表达式为y=3 x .联立{y=3xy=23x−1，解得： x1=3 ， y1=1；x2=−32，y2=-2，∴点B的坐标为（−32，-2）.（2）解：观察函数图象知，不等式23x−kx>1的解集为−32<x<0或x>3【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】对于（1），首先根据AC的值得到点A的纵坐标，然后代入直线解析式中求出x 的值，进而可得点A的坐标，接下来将点A坐标代入反比例函数解析式中可得其解析式，最后联立直线与反比例函数解析式即可求出点B的坐标；对于（2），找出直线在反比例函数图象上方部分对应的x的范围即可.2．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在y=k x（x>0）的图象上．∴k4=1，∴k=4．（2）解：① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②a．当直线过（4，0）时：14×4+b=0，解得b=−1b．当直线过（5，0）时：14×5+b=0，解得b=−54c ．当直线过（1，2）时： 14×1+b =2 ，解得 b =74d ．当直线过（1，3）时： 14×1+b =3 ，解得 b =114∴综上所述： −54≤b <−1 或 74<b ≤114【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入y =kx即可求出k 的值，（2）①当 b = − 1 时直线的解析式为y =14x −1，根据直线与坐标轴交点的坐标特点得出其与坐标轴轴交点的坐标为（4.0）（0，-1），与双曲线的交点为（2+2√5，√52-1），从而得出区域 W 内的整点为（1，0），（2，0），（3，0）；② a .当直线过（4，0）时： 14× 4 + b = 0 ，解得 b = − 1 b.当直线过（5，0）时： 14×5+b =0 ，解得 b =−54；c .当直线过（1，2）时：14 × 1 + b = 2 ，解得 b = 74；d .当直线过（1，3）时：14 ×1 + b = 3 ，解得 b = 114；又双曲线不会与坐标轴相交综上所述即可得出b 的取值范围为： − 54≤ b < − 1 或 74 < b ≤114。
探究一次函数与反比例函数图像交点的一个规律
探究一次函数与反比例函数图像交点的一
个规律
一次函数和反比例函数的图形的交点是一个很重要的主题，学习
它可以更好地理解和应用图形和函数之间的关系。
一次函数是一种线
性函数，它定义为y=ax+b，其中a是斜率，b是一次函数的截距。
反
比例函数定义为y=a/x，其中a为系数。
在反比例函数的图形中，有两个反对称的对称轴，在这两个轴的两侧，其曲线的斜率是相反的。
当一次函数和反比例函数的图像相交时，有一个明显的特征和规律：两个函数的斜率是相等的。
可以将一次函数的斜率表示为a，反比例函数的斜率表示为b，则a=b。
交点处，也就是x=a/b，因此，整个
过程就结束了。
这里有一个简单的例子来解释这个规律：一次函数定义为y=2x+1，反比例函数定义为y=3/x，由此可以得知两个函数的斜率相同，即
a=2=b。
据此，可以得出它们的交点x=2/3。
函数的交点可以用以上的
规律来求出，这里的规律是：的两个函数的斜率是相等的，则它们的交点为x=a/b。
以上，就是一次函数和反比例函数图像交点的规律。
学会这一规律后可以帮助我们更好地应用函数图形，也可以更方便地求解交点的位置。
了解规律有助于更好地快速求解。
一次函数和反比例交点规律
一次函数和反比例交点规律
一次函数与反比例函数交点规律?
一次函数y=kx+b（b，k为常数，且k≠0）与反比例函数y=k1x （k1是常数，且k1不等于0）。
图像交点分类：
当k与k1同号时，两图像有交点。
k和k1都大于零，图像都位于一三象限。
k与k1都小于零时图像位于二四象限。
将两个函数解析式联立为方程组即可求得交点坐标。
特别地，此时若一次函数的截距b=0，两个函数图像的交点坐标互为相反数。
当k与k1异号时。
两个函数图像一个经过一三象限，一个位于二四象限，此时两个函数图像没有交点。
一次函数与反比例函数的交点问题
一次函数之间的交点；如函数y=kx+b ，y=ax+c 图像有一个交点说明这两个函数存在相同的x ，y 的值，则这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标。
因为这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标所以可通过解方程来解决即：kx+b=ax+c解得x 的值，再代入可求得y 的值即为交点坐标。
当然也可以通过在直角坐标系中画出一次函数的图像直接从图像上看到，不过这种方法要求作图精确。
一般情况下，作图法只用作帮我们寻找解题的思路。
真正要接出精确的答案还是要通过代数运算。
一次函数与反比例函数的交点；函数y=ax+b,y=xk 图像有一个交点 说明这两个函数存在相同的x,y 的值，则这个相同的x,y 的值即为函数y=ax+b, y=x k 的图像的交点坐标。
即ax+b=xk ,此式可化解为ax 2+bx-k=0 如果次一元二次方程的△＞0则表示一次函数和反比例函数有两个交点；△ ＜0则表示一次函数和反比例函数没有交点；△ =0则表示一次函数和反比例函数有一个交点。
具体情况可有下图表示：例1：已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数y=x2的图象在第一象限交于B （4，n ） ，求n ，k 的值。
变式练习1；若反比例函数的图象经过点（1，3）（1） 求该反比例函数的解析式； （2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标。
例2已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数x k ，当k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点？变式练习：一次函数y=-x+3与反比例函数y=x1 有两个公共交点A 和B 。
求： （1） 点A 和点B 的坐标 （2） △ABO 的面积例题3一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A （2，3）。
求这两个函数的表达式。
变式练习：一次函数y=-2x+3与反比例函数y=xm 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A 。
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一次函数之间的交点；
如函数y=kx+b ，y=ax+c 图像有一个交点
说明这两个函数存在相同的x ，y 的值，则这个相同的x,y 的值即为函数y=kx+b,y=ax+c 图像的交点坐标。
因为这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标
所以可通过解方程来解决
即:kx+b=ax+c
解得x 的值，再代入可求得y 的值
即为交点坐标。
当然也可以通过在直角坐标系中画出一次函数的图像直接从图像上看到，不过这种方法要求作图精确。
一般情况下,作图法只用作帮我们寻找解题的思路。
真正要接出精确的答案还是要通过代数运算。
一次函数与反比例函数的交点；
函数y=ax+b ，y=x k 图像有一个交点 说明这两个函数存在相同的x ，y 的值,则这个相同的x ，y 的值即为函数y=ax+b ， y=
x k 的图像的交点坐标。
即ax+b=x
k ，此式可化解为ax 2+bx-k=0 如果次一元二次方程的△＞0则表示一次函数和反比例函数有两个交点；
△ ＜0则表示一次函数和反比例函数没有交点；
△ =0则表示一次函数和反比例函数有一个交点。
具体情况可有下图表示：
例1：已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数y=
x
2的图象在第一象限交于B （4，n ） ,求n ，k 的值。
变式练习1；若反比例函数的图象经过点（1，3）
（1） 求该反比例函数的解析式； （2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标.
例2已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数x k ,当k 满足什么条件时,这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点？
变式练习:一次函数y=-x+3与反比例函数y=
x
1 有两个公共交点A 和B.求： （1） 点A 和点B 的坐标 （2） △ABO 的面积
例题3一次函数y=kx+b 与反比例函数y=
x m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A(2，3）。
求这两个函数的表达式。
变式练习：一次函数y=—2x+3与反比例函数y=x
m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A 。
（1)求反比例函数的表达式及A 点坐标。
（2）如果他们没有交点,求m 的取值范围。
练习题
1某一次函数的图象与直线y=6—x 交于点A （5,k ）,且与直线y=2x-3无交点，•求此函数的关系式。
2已知直线m与直线y=2x+1的交点的横坐标为2,与直线y=-x+2•的交点的纵坐标为1，求直线m的函数关系式
3一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式.
4已知函数y y1y2且y1为x的反比例函数y2为x的正比例函数且23x和x1时y的值都是1求y关于x的函数关系式
5反比例函数xky的图象与直线y x2交于点A且A点纵坐标为1求该反比例函数的解析式
6如图，直线1l的解析表达式为33yx，且1l与x轴交于点D，直线2l经过点AB，，直线1l、2l 交于点C．（1)求点D的坐标；（2）求直线2l的解析表达式; （3）求ADC△的面积；（4）在直线2l上存在异于点C的另一点P，使得ADP△与ADC△的面积相等，请直接．．写出点P的坐标．。