互斥及对立事件概率问题求解五例

互斥及对立事件概率问题求解五例

焦景会 055350 河北隆尧一中

在求解稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成彼此互斥的事件的概率

之和；二是先求此事件的对立事件的概率。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法，采用这种方法有时可使问题的解答变得简便。下面就互斥及对立事件的概率问题举例分析如下。

例1、 假设某城有10000辆家庭汽车，其牌照编号为E00001到E10000，问：偶然遇到牌照号码中有数字6

的汽车的概率为多大？ 解：用A 表示“牌照号码中有6的事件”，用A 表示“牌照号码中不含6的事件”，则A 与 A 是对立事件，

则 44

9

()10

P A =

，所求概率为4

9()1()1(

)0.3410

P A P A =-=-≈。

点评：此题利用对立事件求概率。

例2、 将一个骰子先后抛掷三次，求向上的点数和为6的倍数的概率。

解：点数和为6的倍数的情况有三种：即和为6、12、18。设和为6的事件为 1A ，和为12的事件为2A ，和为18的事件为3A ，彼此互斥。

（1）和为6的点数组有（1、1、4），（1、2、3），（2、2、2），共10个，则13

10()6

P A =

（2）和为12的点数组有（1、5、6），（2、4、6），（2、5、5），（3、3、6），（3、4、5）（4、4、4），共有 33323125

A +⨯+=个，则23

25()6

P A =

（3）和为18的点数组有（6、6、6），共一个，则33

1

()6

P A =。

故所求概率为123123()()()()P A A A P A P A P A ++=++=

3

106

3

256

+3

16

+

361216

6

=

=

。

点评：把所求事件概率化成一些彼此互斥事件的概率和。

例3、 口袋里放有12个大小完全相同的球，其中3个红色的，4个白色的，5个蓝色的，从袋中取出4个球

时，求 （1）取出的球的颜色至少是两种的概率。（2）取出的球的颜色是三种的概率。 解：（1）设“从12个球中取出4个球至少是两种颜色”的事件为A ，A 的对立事件为A ，且全为白色有1种，全为蓝色有5种，则4412

12

1

5

2()165

P A C

C

=

+

=

，2163()1()1165

165

P A P A ∴=-=-

=

。

（2）设取出4球中，“1红、1白、2蓝的事件”为1A ；“1红、2白、1蓝的事件”为2A ；“2红、1白、1蓝的事件”为

3

A ，且事件

12,,A A A

彼此互斥。故所求概率为

1

2

312(

)()()()P A A A P A

P A P A ++=

++=

12090606

.49549549511

++= 点评：问题（1）的解法是先求事件的对立事件的概率，问题（2）解法是将所求事件的概率化成一些彼此互

斥事件的概率的和。 例4、

某人把大小相同的3个黄色，3个白色的乒乓球放到一个盒子里，让人摸球。规定：若摸得同色3

个球，则送给摸球者5元钱；若摸得非同色的3个球，摸球者付给自己1元钱。假定一天内有100人次摸球，试从概率角度估算一下这个人一年（按360天计算）能赚多少钱？ 解：设“摸球一次，摸得同色3球”为事件A ，“摸球一次，摸得非同色3球”为事件B ，则A 是B 的对立事件，则36

21()10

P A C

=

=，9()1()10

P B P A =-=

。

假定一有100人次摸球，360天可赚钱 91(15)1003601440010

10

⨯-⨯⨯⨯=元。

点评：这是一道现实生活问题，是排列、组合、概率的综合应用。

例5、 某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。 解：8个学生每人下车情况作为一基本事件有836561= 个。

（1）“停车次数不少于2”的对立事件是“停车次数恰为1”，即8个人在同一点下车，包含3个基本事件，故P （停车次数不少于2）=1-P （停车1次）=36558218616561

6561

2187

-

==。

（2）“恰好停2次”，即8个人在在其中两个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，基本事件为

2127

38

88()C

C C C ++ 8

3(22)3254=-=⨯，故P （停车2次）3254254.6561

2187

⨯==

点评：此题易误认为在3个停车点停车事件是3次独立重复试验。