空间向量与平行、垂直关系
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
程，再令 x, y, z 中的一个为某一特殊的值 即得平面 的一个法向量
例如已知A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0)，
求平面 ABC 的一个法向量
略解：设平面ABC的法向量为 n ( x, y, z ) ，则由 n AB 0 AB (1, 1, 0) , AC (0, 1, 1)及 n AC 0 x y x y 0 令 y = 1 得平面ABC z y yz 0
空间向量与平行、垂直关系
一、平面α的法向量的定义
意一条方向向量 a 都叫做平面 的法向量. 平面 的法向量 a 由平面上任意两个不共线
向量 PA, PB 来确定，即由 PA a, PB a 也即 PA a 0 , PB a 0 求得.
x MN (1, 0,1) MN n 1 0 1 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面 A1FD1.
略解： 如图建立空间直角坐标系 设棱长为2 则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 ) DE (2, 2, 1), AE (0, 2, 1) 平面AED的法向量为 n1 (0, 1, 2) 平面A1FD1的法向量为 n2 (0, 2, 1)x z
的一个法向量为 n (1, 1, 1)
变式训练
已知ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥
1 平面ABCD, SA=AB=BC=1，AD= ，试建 2
立适当的坐标系. 求平面SCD的一个法向量.
z y
y
答案：(2, -1, 1)
x
x
二、利用向量判断直线、平面位置关系的方法
1.线线平行： 两直线的方向向量共线，且一条直线上存 在另一条直线之外的点 2.线线垂直： 两直线的方向向量垂直，即内积为零. 3.线面平行： 直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直 线上存在平面外的点.
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面A1BD.
z
解题思路：如图建立空间直 角坐标系，求出平面A1BD的 A 1 法向量 n (1,1,1) ，只需 证明 MN n ，即证 MN n 0
D1 B1
C1
y
M(0, 2, 1 ), N(1, 2, 2 )
wenku.baidu.com
设直线l为平面 的一条垂线，则直线 l 的任
平面法向量的具体求法：
首先设平面 的法向量为 n ( x, y, z ) ，在
平面内任取两个相交直线的方向向量
a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 )
由 n a 0 和 n b 0 得两个三元一次方
y
n1 n2 0 2 2 0 n1 n2 平面AED平面A1FD1
4.线面垂直 直线的方向向量与平面内的两条相交直线的 方向向量都垂直（即与平面内的两个不共线 向量都垂直） 5.面面平行：
两个平面的法向量共线，且其中一个平 面中存在另一个平面之外的点.
6.面面垂直: 两个平面的法向量垂直，即法向量的内积为0
应用举例： 例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是
例如已知A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0)，
求平面 ABC 的一个法向量
略解：设平面ABC的法向量为 n ( x, y, z ) ，则由 n AB 0 AB (1, 1, 0) , AC (0, 1, 1)及 n AC 0 x y x y 0 令 y = 1 得平面ABC z y yz 0
空间向量与平行、垂直关系
一、平面α的法向量的定义
意一条方向向量 a 都叫做平面 的法向量. 平面 的法向量 a 由平面上任意两个不共线
向量 PA, PB 来确定，即由 PA a, PB a 也即 PA a 0 , PB a 0 求得.
x MN (1, 0,1) MN n 1 0 1 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面 A1FD1.
略解： 如图建立空间直角坐标系 设棱长为2 则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 ) DE (2, 2, 1), AE (0, 2, 1) 平面AED的法向量为 n1 (0, 1, 2) 平面A1FD1的法向量为 n2 (0, 2, 1)x z
的一个法向量为 n (1, 1, 1)
变式训练
已知ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥
1 平面ABCD, SA=AB=BC=1，AD= ，试建 2
立适当的坐标系. 求平面SCD的一个法向量.
z y
y
答案：(2, -1, 1)
x
x
二、利用向量判断直线、平面位置关系的方法
1.线线平行： 两直线的方向向量共线，且一条直线上存 在另一条直线之外的点 2.线线垂直： 两直线的方向向量垂直，即内积为零. 3.线面平行： 直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直 线上存在平面外的点.
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面A1BD.
z
解题思路：如图建立空间直 角坐标系，求出平面A1BD的 A 1 法向量 n (1,1,1) ，只需 证明 MN n ，即证 MN n 0
D1 B1
C1
y
M(0, 2, 1 ), N(1, 2, 2 )
wenku.baidu.com
设直线l为平面 的一条垂线，则直线 l 的任
平面法向量的具体求法：
首先设平面 的法向量为 n ( x, y, z ) ，在
平面内任取两个相交直线的方向向量
a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 )
由 n a 0 和 n b 0 得两个三元一次方
y
n1 n2 0 2 2 0 n1 n2 平面AED平面A1FD1
4.线面垂直 直线的方向向量与平面内的两条相交直线的 方向向量都垂直（即与平面内的两个不共线 向量都垂直） 5.面面平行：
两个平面的法向量共线，且其中一个平 面中存在另一个平面之外的点.
6.面面垂直: 两个平面的法向量垂直，即法向量的内积为0
应用举例： 例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是