函数的单调性讲课

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y f(x2)
减函数
y=f(x)
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
· ·
x1 x2 x
几何 表示
·
x1
f(x1)
·
x2 x
0
0
图象特征 代数表示
从左至右， 从左至右，图象上升
y随x的增大而增大 随 的增大而增大
当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右， 从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 随 的增大而减小
f ( x1 ) − f ( x2 ) = 2( x1 − x2 ) < 0
f ( x1 ) < f ( x2 )
即
上为增函数． 所以 f ( x) = 2 x + 1 在 (0,+∞ )上为增函数．
判断函数单调性的方法步骤
1 取值： ∀x1、x2 ∈ D ，且 x1 < x2 ； 取值： 2 定号： 定号： 3 判断： 判断： 判断
x y=x2 … … -4 16 -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 … …
f(x2 )
在区间 (0, +∞) 上， 当 x1 < x2时，都有 f (x1) < f (x2) 随着x的增大而增大． 即y随着x的增大而增大． 在区间 (−∞, 0)上， 当 x1 < x2时，都有 f (x1) > f (x2) 随着x的增大而减小． 即y随着x的增大而减小．
f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小； 的大小；
根据定义判断函数的单调性． 根据定义判断函数的单调性．
练习题
判断函数
1 f ( x) = x
上的单调性． 在 (0,+∞ ) 上的单调性．
思考题： 解: 设任意的 x1, x2 ∈(0, +∞) ，且 x1 < x2 ，得 x2 −x1 >0 判断函数 f ( x) = 所以
f(x1 )
x1 x2
定义： 定义： 内某个区间D上的任意两个自变 定义域Ｉ内某个区间 上的任意两个自变 量 x1, x2，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 ) ，那么就 说函数在这个区间上是增函数 增函数． 说函数在这个区间上是增函数． 内某个区间D上的任意两个自变 定义域Ｉ内某个区间 上的任意两个自变 量 x1, x2，当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ，那么就 说在这个区间上是减函数 减函数． 说在这个区间上是减函数．
其中 y = f (x) 在区间 [−5, −2)、 3) 上是减函数， [1, 上是减函数， 上是增函数． 在区间 [−2,1)、 [3, 5] 上是增函数．
的单调性． 例2 判断 f ( x) = 2 x + 1 的单调性． 解: 设任意的 x1, x2 ∈R，且 x1 < x2 ，得 x1 − x2 < 0 ， 所以
例1 下图是定义在区间[−5,5] 上的函数 y = f (x) ，根据图像 说 出函数的单调区间以及每一单调区间上， 出函数的单调区间以及每一单调区间上，它是增函数还是 减函数？ 减函数？
[ 解：y = f ( x ) 的单调区间是 [−5, −2)、−2,1)、 3) 、 5]， [3, [1,
当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
注意 =f(x)在区间 在区间D （1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单 调减函数， =f(x)在区间 在区间I 调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上 具有单调性．区间D叫做y =f(x)的单调区间 的单调区间； 具有单调性．区间D叫做y =f(x)的单调区间； 取值的任意 任意性 不能以特殊数代替； （2）x1，x2 取值的任意性，不能以特殊数代替； （3）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个 函数单调性是针对某个区间而言的， 局部性质． 局部性质．
问题2：什么是函数的单调性？ 问题 ：什么是函数的单调性？ 怎么样用定义法证明（判断） 怎么样用定义法证明（判断）函数的单调性 ？
作业
1． 复习本节课的知识． ． 复习本节课的知识． 2． 习题 ．3 A组1，2，3题． ． 习题1． 组 ， ， 题 3． 思考题： ． 思考题：
1 在整个定义域上的单调性． 判断 f ( x) = 在整个定义域上的单调性． x
1 1 x2 − x1 >0 f ( x1 ) − f ( x2 ) = − = x1 x2 x1 x2
1 x
在整个定义域上的单调性．
即 所以
f ( x1 ) > f ( x2 )
1 f (x) = x
在(0,+∞) 上为减函数．
课堂总结
问题1： 问题 ：增（减）函数的图像有什么特点？ 函数的图像有什么特点？ 如何根据图像指出单调区间？ 如何根据图像指出单调区间？
4．预习下一节的最大、最小值． ．预习下一节的最大、最小值．
主讲人： 主讲人：彭杰 班 级：数学与信息科学学院 2008级3班 级 班 号：20080241141
学
在区间上 (−∞, 0)， 函数的图像下降； 函数的图像下降； 随着x的增大而减小． y随着x的增大而减小． 在区间上 (0, +∞) ， 函数的图像上升． 函数的图像上升． 随着x的增大而增大． y随着x的增大而增大．