高考物理万有引力定律的应用解题技巧讲解及练习题(含答案)

高考物理万有引力定律的应用解题技巧讲解及练习题(含答案)

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ．

（1）求静止轨道卫星的角速度ω；

（2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1；

（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由．

【答案】（1）2π=T ω；（2）23124GMT h R π

（3）h 1= h 2 【解析】

【分析】

（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；

（2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度；

（3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度；

【详解】

（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=

T ω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：21212π=()()()Mm G

m R h R h T

++ 解得：2312=4πGMT h R

（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，22222=()()()Mm G

m R h R h T

π++ 解得：23224GMT h R π 因此h 1= h 2．

故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π

（3）h 1= h 2 【点睛】

对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．

2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求：

(1)月球表面的重力加速度大小g 月；

(2)月球的质量M ；

(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T .

【答案】(1)02v t ；(2)202R v Gt

；(3)022Rt v 【解析】

【详解】

(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有02v t g =

月 月球表面的重力加速度大小02v g t

=月 (2)假设月球表面一物体质量为m ，有

2

=Mm G mg R 月 月球的质量202R v M Gt

=

(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有

222Mm G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭

飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期 0

22Rt T v π

= 3．如图所示,P 、Q 为某地区水平地面上的两点,在P 点正下方一球形区域内储藏有石油.假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即PO 方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.

(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),,PQ x =求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常;

(2)若在水平地面上半径为L 的范围内发现:重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.

【答案】(1)223/2()G Vd d x ρ+(2)22/3.(1)

L k V G k δρ=- 【解析】

【详解】

(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,

2Mm G r

=mΔg① 式中m 是Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量.M=ρV②

而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离22d x +

Δg 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小｡Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向,重力加速度反常Δg′是这一改变在竖直方向上的投影

Δg′=d r Δg④ 联立①②③④式得Δg′=223/2

()G Vd d x ρ+⑤ (2)由⑤式得,重力加速度反常Δg′的最大值和最小值分别为

(Δg′)max =

2G V d

ρ⑥ (Δg′)min =223/2()G Vd d L ρ+⑦ 由题设有(Δg′)max =kδ,(Δg′)min =δ⑧

联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

22/32/3d .(1)1L k V G k k δρ==--

4．地球的质量M=5.98×1024kg ，地球半径R=6370km ，引力常量G=6.67×10－11N·m 2/kg 2，一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s ，求：

（1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h 的表达式

（2）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字）

【答案】（1）2GM h R v

=

-（2）h=8.41×107m 【解析】

试题分析：（1）万有引力提供向心力，则

解得：2

GM h R v =- （2）将（1）中结果代入数据有h=8.41×107m

考点：考查了万有引力定律的应用

5．对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T ，已知万有引力常量为G ．求：

（1）该行星的质量．

（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？

【答案】（1）2324r M GT π=（2）22

400r g T π= 【解析】

（1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．则