次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵

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矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD

矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD
充分性设矩阵a酉相似于对角阵则有audiagaaudiag必要性由schur定理uuau故r是正规矩阵由于r是上三角矩阵故r为对角阵结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值矩阵酉相似于对角阵对角线上元的特征值所有特征值均为实数结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值矩阵酉相似于对角阵对角线上元的特征值特征值或为0或为纯虚数结论4为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值为酉矩阵为特征值均落在单位圆周上的正规矩阵为酉矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值特征值的模均为1矩阵酉相似于对角阵对角线上元矩阵酉相似于对角阵对角线上元为酉矩阵为特征值均落在单位圆周上的正规矩阵酉矩阵hermite矩阵hermite矩阵正规矩阵的特征值位置决定矩阵的类型二谱分解为正规矩阵酉相似于对角阵且对角线上元素为的特征值audiag正规矩阵的谱分解ai为正交投影阵22单纯矩阵的谱分解apdiag单纯矩阵的谱分解ai投影阵singularvaluedecompositionsvd前面介绍的jordan分解schur分解谱分解只适用于方阵
A1 11
由于 1 1, 故1可扩展成C n空间的一组标准正交基,令
U1 1 , 2 ,
,n
则U1为酉矩阵,并且
AU1 A 1 , 2 , 11 , A 2 ,
, n A1 , A 2 , , A n
, A n
设A (aij ) C nn 为Hermite矩阵
a11 a12 Ak a1k a12 a22 a2 k a1k a2 k akk
k det Ak
(k 1,
, n)
(4)A是Hermite正定矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式,则 k det Ak 0 (k 1, , n)

次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵

次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵
维普资讯
第2 3卷第 2期
20 0 7年 4月
大 学 数 学
COLLEGE ATHEM ATI M CS
V0 . 3 № . 12 。 2
Ap . 00 r2 7

次 正规矩 阵 、 酉矩 阵 、 厄米特矩 阵 次 次 及反 次厄米特矩 阵
15 7
2 特征 值 与次 特 征值 、 特征 向量 次
定理 1 设 A 为 阶次酉矩 阵 , 则 ( j )若 为 A的特征值 , a是 A的属 于特征值 的特 征向量 , 则 的模为 1 或 _口:O , r J ; ( )若 是 A 的次 特征值 , i i a是 A 的属于 次特征值 的次特征 向量 , l l , r口:O 则 l l 一1 或 _ J .
引 理 1 ()( )t i s —A;
(i ( + B)r -T i ) A — s =AS + — ;
(i ( )t  ̄ '-r; i) s = r s i A
( )设 A为 阶方 阵, i v 则 丁 -t J=A 或 S
( )当 A可逆 时 , v 有 S一( ) 。 r _.

口一
口= J , 忘 _口, f  ̄a— r J
所 以( 一 ) _口一O 所 以 =1 1 r J , 或 l = O J =; 口=
定理 2 设 A为 阶次厄 米特矩阵 , 则
( i )若 a是 A的属 于特 征值 的特征 向量 , 为实 数或 a 则 Ua—O

些新结果.
用 At - 表示 A的共轭次转置矩 阵 , S I表示 单位 矩阵 , t表示 次对 角线 上元 素全 为 1 其余元 素全 为 0 用 , , 的 7阶方 阵 , 显然有 t 一t t 一It 1 ;s —t " 1 则 , ,, ; ; _ =j j r ,以及下 述引理成立 : ,

次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵

次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵

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关于矩阵的次合同

关于矩阵的次合同

关于矩阵的次合同
钟润华
【期刊名称】《渝州大学学报》
【年(卷),期】1997(014)002
【摘要】给出了矩阵的次合同概念及矩阵次合同的一些性质。

【总页数】3页(P36-37,75)
【作者】钟润华
【作者单位】渝州大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.矩阵的次O-合同 [J], 张艳;郭东溪
2.实次对称次正定矩阵的乔莱斯基分解及次厄米特矩阵与反次厄米特矩阵 [J], 曹莉莉;
3.矩阵的合同、相似与二次型 [J], 王芳珍
4.次正交矩阵与次合同矩阵 [J], 袁晖坪;张勇
5.次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵 [J], 郭华
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Hermite矩阵与反Hermite矩阵学习资料

Hermite矩阵与反Hermite矩阵学习资料

Hermite矩阵与反Hermite矩阵摘要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式,它在矩阵理论中处于重要的地位,尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用,它一方面是对实对称矩阵的推广,另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位,复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似,本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.关键词:Hermite矩阵;反Hermite矩阵;正定性;酉矩阵.AbstractThe Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words:Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目录一、引言 (01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 (01)三、Hermite矩阵的性质定理(一)Hermite矩阵的性质 (02)(二)Hermite矩阵的定理 (02)(三)Hermite矩阵的正定性 (05)四、反Hermite矩阵的性质定理(一)反Hermite矩阵的性质 (14)(二)反Hermite矩阵的定理 (15)五、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵一、引言众所周知,矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester 与Cayley ,特别是Cayley 1858年的工作.近代数学的一些学科,如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源,另一方面,随着计算机的广泛应用,矩阵理论在不断地发展,矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内容,在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用,如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵,近年来,在矩阵理论中,Hermite 矩阵的应用越来越广泛,对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中,Hermite 矩阵实际上是实对称矩阵的推广,它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位,本文主要从Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义、性质,基本定理以及Hermite 矩阵正定性几个方面讨论Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵并给出了相关的证明,来加深对矩阵理论的理解,从而能更好地使用这些工具.二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义定义 1 设A 是一个n 阶复矩阵,即n n A C ´Î,H A 为A 的共轭转置,H A =A , 则将称A 为Hermite 矩阵.若H A A =-,则称之为反Hermite 矩阵.定义 2 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵,若对于任一非零的n 维复向量X ,均有0H X AX >,则称A 为Hermite 正定矩阵.定义 3 设A 是一个n 阶复矩阵,H A 为A 的共轭转置,若H H AA A A =,则称A 为正规矩阵.定义 4 设A 是一个n 阶复矩阵,H A 为A 的共轭转置,H H A A AA E ==,则将称A 为酉矩阵,它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite 矩阵的性质定理(一)Hermite 矩阵的性质由Hermite 矩阵的定义可知,Hermite 矩阵具有如下简单的性质[][]12:(1)对所有n n A C ´Î,则H A A +,H AA 和H A A 都是Hermite 矩阵;(2)如果A 是Hermite 矩阵,则对正整数k ,k A 也是Hermite 矩阵;(3)如果A 是可逆Hermite 矩阵,则1A -也是Hermite 矩阵;(4)如果A ,B 是Hermite 矩阵,则对实数k ,p ,kA pB +也是Hermite 矩阵;(5)如果A ,B 是Hermite 矩阵,则AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是AB BA =;(6)A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S ,H S AS 是Hermite 矩阵.(二)Hermite 矩阵的定理定理3-1 若A 是n 阶复矩阵,则A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n X C Î,H X AX 是实数;证明 必要性 因为H X AX 是数,所以()H X AX =()H H X AX =H H X A X =H X AX因此H X AX 是实数.充分性 因为对于任意X ,Y n C Î,H X AX ,H Y AY ,()()H X Y A X Y ++都是实数,而()()()()H H H H H H H X Y A X Y X Y A X Y X AX X AY Y AX Y AY ++=++=+++ 于是对任意X ,Y n C Î,H H X AY Y AX +是实数,令(,,,,,,)T j X =00100L L 123,(,,,,,,)T kY =00100L L 123则H H X AY Y AX +=jk kj a a +是实数,这表明jk a 与kj a 的虚部值相等,但符号相反,即()()jk kj Im a Im a =-再令(,,,,,,)T j X i =0000L L 123,(,,,,,,)T kY =00100L L 123其中i =H H X AY Y AX +=jk kj ia ia -+是实数,则jk a 与kj a 的实部相等,即()()jk kj Re a Re a =因此kj jk a a =,,,,,,j k n =L 123即A 是Hermite 矩阵.定理3-2[]4(Hermite 矩阵的谱定理) 设n n A C ´Î是给定的,则A 是Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵n n U C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?,使得H U AU =L 12(,,,)n diag l l l =L ,其中12,,,n l l l L 均为实数,此外,A 是实Hermite 矩阵(即实对称的),当且仅当存在一个实正交矩阵n n P C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?,使得12(,,,)H n P AP diag l l l =L =L ,其中12,,,n l l l L 均为实数.虽然Hermite 矩阵的实线性组合总是Hermite 矩阵,但它们的复线性组合就不一定是Hermite 矩阵,例如,如果A 是Hermite 矩阵,那么,只有当0A =时iA 才是Hermite 矩阵.另外,如果A 和B 是Hermite 矩阵,那()H H H AB B A BA ==,因此,AB 是Hermite 矩阵,当且仅当A 与B 可交换.定理3-3 设A 为n 阶Hermite 矩阵,则(ⅰ)A 是正规矩阵且所有特征值全是实数;(ⅱ)A 的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 (ⅰ)A 为n 阶Hermite 矩阵,由定理3-2可知A 必酉相似于实对角矩阵L ,即存在n 阶酉矩阵U ,使得H U AU =L其中L =12(,,,)n diag l l l L ,(,,,)i i n l =L 12是A 的是特征值,且2H H A A A AA ==即A 是正规矩阵.设H A A =,l 为A 的特征值,非零向量a 为l 的特征向量,即A a l a =,H H A a a l a a =又()()H H H H A A A a a a a a a l a a ===所以H H l a a l a a =即 l l =所以l 为实数.(ⅱ)设l ,m 是A 的两个不同特征值,相应的特征向量分别为x ,y ,则Ax x l =,Ay y m =从而H H y Ax y x l =,H H x Ay x y m =因为A 是Hermite 矩阵,l ,m 均为实数,则H H y Ax y x m =于是()0H y x l m -=由于l m ¹,故x 与y 正交.定理3-4[]5(Hermite 矩阵的惯性定理) 设H 是n 阶Hermite 矩阵,则H (复)合同与0p q I A I 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫=-, 而且p ,q 由H 唯一确定.其中A 称为H 的规范型,n I 表示n 阶单位矩阵,p ,q ,p q -分别称为H 的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注:由惯性定理导出的Hermite 矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等,不仅是代数学中的重要内容,而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用,构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .下面讨论一下Hermite 矩阵的正定性.(三)Hermite 矩阵的正定性在讨论Hermite 矩阵的正定性之前,我们先来引入矩阵的UR 分解定理及其引理.矩阵UR 分解定理 设n n n A C ´Î,则A 可以唯一地分解为A UR =或11A RU =其中U ,1U n n U ´Î,R 是正线上三角阵,1R 是正线下三角阵。

什么条件下矩阵具有共轭对称的结构,厄米特矩阵

什么条件下矩阵具有共轭对称的结构,厄米特矩阵

什么条件下矩阵具有共轭对称的结构,厄米特矩阵什么条件下矩阵具有共轭对称的结构,厄米特矩阵在线性代数中,矩阵是一个非常重要的概念,而其中的共轭对称结构和厄米特矩阵更是一种特殊且重要的性质。

那么,什么条件下矩阵具有共轭对称的结构,以及厄米特矩阵具有怎样的特性呢?在本篇文章中,我将从简单到复杂,从表面到深层,逐步为您进行阐述和解读。

一、矩阵的共轭对称结构1.1 什么是共轭对称?在矩阵理论中,共轭对称是指一个矩阵 A 的共轭转置等于其本身,即A* = A,其中 * 代表共轭转置。

这种性质在数学和物理领域中都有广泛的应用。

1.2 共轭对称矩阵的特性共轭对称矩阵具有非常重要的特性,比如它具有实数特征值和实数特征向量,从而保证了矩阵的对角化过程是简化的。

这种特性在量子力学和波动方程等领域有着重要的物理意义。

1.3 条件:什么样的矩阵具有共轭对称的结构?一个矩阵具有共轭对称的结构,需要满足矩阵的共轭转置等于其本身,即 A* = A。

这个条件是具有严格的数学定义的,只有满足这个条件的矩阵才能被称为共轭对称矩阵。

二、厄米特矩阵的特性与条件2.1 什么是厄米特矩阵?厄米特矩阵是共轭对称矩阵的特例,它是指一个矩阵 A 的共轭转置等于其本身,即 A* = A,其中 * 代表共轭转置。

在量子力学中,厄米特矩阵具有着重要的物理意义。

2.2 厄米特矩阵的特性厄米特矩阵具有许多重要的特性,比如它的特征值都是实数,并且它的特征向量是正交的。

这些特性使得厄米特矩阵在量子力学和波动方程的研究中扮演着重要的角色。

2.3 条件:什么样的矩阵是厄米特矩阵?一个矩阵具有厄米特矩阵的特性,需要满足矩阵的共轭转置等于其本身,即 A* = A。

只有满足这个条件的矩阵才能被称为厄米特矩阵。

总结与回顾通过对共轭对称结构和厄米特矩阵的讨论,我们可以看到矩阵的这些特殊性质在数学和物理领域中具有重要的应用价值。

在物理学中,厄米特矩阵可以表示观测算符,而在量子力学中,它具有着更为深刻的物理意义。

厄米特(hermite)矩阵的半正定性和秩数的判别法

厄米特(hermite)矩阵的半正定性和秩数的判别法

厄米特(hermite)矩阵的半正定性和秩数的判别法什么是埃尔米特(Hermite)矩阵?埃尔米特(Hermite)矩阵是一种特殊的矩阵,它的特点是每一行的元素都是互不相同的,不同行的元素也都不同。

埃尔米特(Hermite)矩阵最常见的一种形式是维数为n的Hn矩阵,它的元素都是从0开始编号的正整数,且每一行的元素与其他行的元素都不同。

半正定性和秩数的判别法矩阵的半正定性指的是,所有非零列向量之间的内积非负,而矩阵的秩指的是矩阵的列向量的最大线性无关集合的维数。

一般来说,一个埃尔米特(Hermite)矩阵的半正定性和秩数之间存在一定的联系,可以用来判断一个埃尔米特(Hermite)矩阵是否为半正定矩阵,以及它的秩数。

秩数的判定求解秩数的方法有多种,但是最常用的方法是利用埃尔米特(Hermite)矩阵来判定秩数,这种方法可以用来判断一个矩阵的秩数是否大于等于它的行数,从而确定矩阵是否半正定。

利用埃尔米特(Hermite)矩阵判定秩数的方法是:首先,将原矩阵组成一个埃尔米特(Hermite)矩阵,其次,将这个埃尔米特(Hermite)矩阵的列向量求和,最后,将得到的和矩阵的行数进行比较,如果得到的和矩阵的行数一致,那么这个矩阵的秩数就是原矩阵的秩数,如果得到的和矩阵的行数小于原矩阵的秩数,那么这个矩阵的秩数就小于原矩阵的秩数。

半正定性的判断要判断一个埃尔米特(Hermite)矩阵是否为半正定矩阵,可以通过比较其列向量的内积是否非负来判断,如果列向量的内积都非负,则说明这个矩阵是半正定矩阵,如果列向量的内积有负值,则说明这个矩阵不是半正定矩阵。

综上所述,埃尔米特(Hermite)矩阵的半正定性和秩数的判别法主要是通过比较列向量的内积是否非负以及将埃尔米特(Hermite)矩阵的列向量求和计算秩数来判断矩阵是否半正定以及求出矩阵的秩数。

这种判别法可以有效地帮助我们了解和分析埃尔米特(Hermite)矩阵的特性以及它的结构。

第4讲-复内积空间-(酉空间)

第4讲-复内积空间-(酉空间)

第4讲复内积空间 (酉空间)内容:1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的,本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质,然后将实二次型推广为复二次型,介绍厄米(Hermite)二次型.§1 复内积空间(酉空间)1. 复内积空间(酉空间)定义1.1设V是复线性空间,若对于V中任意两个元素(向量)x和y,总能对应唯一的复数,记作),(y x,且满足以下的性质:(1)对称性;),(),(_____x yx=y(2)可加性);,(),(),=x++(z yz xz y(3)齐次性;ykkx∈),=x∀y),,(k(C(4)非负性,0x),(=xx),(≥x当且仅当0=x时,0则称该复数是V中元素(向量)x和y的内积.称定义了内积的复线性空间V为酉空间(或称U空间或复内积空间).例1.1 在n维向量空间n C中,任意两个向量T n x x x x ),,,(21Λ=,T n y y y y ),,,(21Λ=,若规定 ∑==+++=n k kk n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),(Λ,则容易验证,它是nC 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质:(1)V x x x ∈∀==,0)0,(),0( (2)C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__ (3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y x y x ≤),((3) 两个非零向量的夹角)2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时,称x 与y 正交,积作y x ⊥.与欧氏空间一样,在酉空间中也可类似定义正交基,标准正交基,而且V 中的任一组基均可通过Schmidt 方法化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换定义1.2 设σ是U 空间中的一个线性变换,若对U ∈∀βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,则称σ为U 空间上的酉变换,而满足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理1.1 设σ是酉空间V 上的一个线性变换,则下列命题是等价的:(1) σ是一个酉变换(2) 保持元素的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵,即E A A AA H H ==定义1.3 设σ是U 空间中的一个线性变换,若对U ∈∀βα,,均有))(,()),((βσαβασ=成立,则称σ为U 空间上的复对称变换,满足A A A A H H -==,的矩阵分别称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵定义2.1 设n n C A ⨯∈,若满足A A AA H H=,则称A 为正规矩阵.特别,当n n R A ⨯∈时,若满足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然,对角矩阵, Hermite 矩阵,反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵,而正交矩阵,实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.定义2.2 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈,如果存在n 阶正交(酉)矩阵U ,使得B AU U AU U T ==-1,(B AU U AU U H ==-1),则称A 正交(酉)相似于B .定理2.1 设A 为正规阵,则与A 酉相似的矩阵都是正规阵;A 必有n 个线性无关的特征向量;A 的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。

酉空间的正规变换、酉变换、厄米特变换及反厄米特变换

酉空间的正规变换、酉变换、厄米特变换及反厄米特变换

变换 、 米 特 变换及 反厄 米特 变换 的一 系列充 要 条件 , 厄 以及 它 们 之 间 相 互 关 系 的 一 些 性 质 。
关 键 词 : 酉 空 间 ; 正 规 变换 ; 酉 变换 ;厄 米 特 变 换 ; 反 厄 米 特 变 换 ; 共 轭 变 换
分类 号 :O173 7 .9
(a, ) ( 邛 ) T 卢 = d,
成 立 , 称 琨 的 厄 米 特 变 换 。 则
定义4 设 酉空 间 中的 线性变 换 , 是 若对 中任意 的向量 口, 贿
( a, = ,邛 ) T 卢) ( 一 成 立 , 称 琨 的 反 厄 米 特 变 换 。 则 定 理 1 设 琨 中 的 线 性 变 换 , 有 : 则
( ) 琨 正 规 变 换 g T "= ’7 J o / 7 ’ ;
( ) 琨 酉变换 gT =’; 2 o 7‘ () 3 是厄米特 变换g T T ; o =
( ) 7 反 厄 米 特 变换 g T - 。 是 o =T 证 明 ( ) ”对 中 任 意 的 向 量 , , ( o, ) ( 口, 卢) 于 是 ( I 卢 = 7 , 卢) , ) 口 T 邛 ) 即 ( J“ : 因 T t邛 = T T , 口,T ) (’ T =( 邛 =( , , 口, 刀’ ’ f)O, 的 任 意 性 得 玎 ’ T = 由口 1 ‘ 3 O 即玎 ’ = ’ T= l f T邛
文 献标识 码 : A
文章编 号 :0 8 - 3 0( 0 2 0 — 0 4 0 10 - 4 2 2 0 ) 3 0 2 — 3
本 文 用 表 示 酉 空 间 , r表 示 线 性 变 换 7 共 轭 变 换 , 表 示 7 逆 变 换 ,表 示 恒 等 变 换 , 表 示 单 位 矩 阵 。 ’ 的 ’ 的 , E

第4讲复内积空间(酉空间)

第4讲复内积空间(酉空间)

第4讲 复内积空间 (酉空间)内容:1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite 二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的,本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质,然后将实二次型推行为复二次型,介绍厄米(Hermite )二次型.§1 复内积空间 (酉空间)1. 复内积空间 (酉空间)概念 设V 是复线性空间,假设关于V 中任意两个元素(向量)x 和y ,总能对应唯一的复数,记作),(y x ,且知足以下的性质:(1)对称性 ;),(),(_____x y y x =(2)可加性 );,(),(),(z y z x z y x +=+(3)齐次性 ;),,(),(C k y x k y kx ∈∀=(4)非负性 ,0),(≥x x 当且仅当0=x 时,0),(=x x那么称该复数是V 中元素(向量)x 和y 的内积.称概念了内积的复线性空间V 为酉空间(或称U 空间或复内积空间).例1.1 在n 维向量空间n C 中,任意两个向量T n x x x x ),,,(21 =,T n y y y y ),,,(21 =,假设规定 ∑==+++=n k k k n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),( ,那么容易验证,它是n C 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质:(1) V x x x ∈∀==,0)0,(),0((2) C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__(3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y xy x ≤),((3) 两个非零向量的夹角 )2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时,称x 与y 正交,积作y x ⊥.与欧氏空间一样,在酉空间中也可类似概念正交基,标准正交基,而且V 中的任一组基都可通过Schmidt 方式化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换概念 设σ是U 空间中的一个线性变换,假设对U ∈∀βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,那么称σ为U 空间上的酉变换,而知足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理 设σ是酉空间V 上的一个线性变换,那么以下命题是等价的:(1) σ是一个酉变换(2) 维持元素的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵,即E A A AA H H ==概念 设σ是U 空间中的一个线性变换,假设对U ∈∀βα,,均有))(,()),((βσαβασ=成立,那么称σ为U 空间上的复对称变换,知足A A A A H H -==,的矩阵别离称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵概念 设n n C A ⨯∈,假设知足A A AA H H=,那么称A 为正规矩阵.专门,当n n R A ⨯∈时,假设知足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然,对角矩阵, Hermite 矩阵,反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵,而正交矩阵,实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.概念 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈,若是存在n 阶正交(酉)矩阵U ,使得B AU U AU U T ==-1,(B AU U AU U H ==-1),那么称A 正交(酉)相似于B .定理 设A 为正规阵,那么与A 酉相似的矩阵都是正规阵;A 必有n 个线性无关的特点向量;A 的属于不同特点值的特点子空间是相互正交的。

酉矩阵——精选推荐

酉矩阵——精选推荐

正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵在数学中,正规矩阵是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵,也就是说,满足其中是的共轭转置。

如果是实系数矩阵,那么条件简化为其中是的转置矩阵。

矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法:任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵,反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。

在复系数矩阵中,所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。

同理,在实系数矩阵中,所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵酉矩阵n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基,则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。

一个简单的充分必要判别准则是:方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵,则U是酉矩阵。

即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。

酉方阵在量子力学中有着重要的应用。

酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。

若一n 行n 列的复矩阵U满足其中为n阶单位矩阵,为U的共轭转置,为酉矩阵或译幺正矩阵。

即,矩阵U为酉矩阵,当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。

若酉矩阵的元素都是实数,其即为正交矩阵。

与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似,幺正矩阵U不改变两个复向量的内积:若为n阶方阵,则下列条件等价:1.是酉矩阵2.是酉矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的一组正交基4.的行向量构成内积空间C n上的一组正交基酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数,即分布在复平面的单位圆上,因此酉矩阵行列式的值也为1。

酉矩阵是正规矩阵,由谱定理知,幺正酉矩阵U可被分解为其中V是酉矩阵,Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

对任意n,所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。

性质∙U可逆∙U−1 = U*∙|det(U)| = 1∙U*是酉矩阵∙正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式:。

酉矩阵和厄米矩阵关系

酉矩阵和厄米矩阵关系

酉矩阵和厄米矩阵关系嘿,朋友!咱今天来聊聊酉矩阵和厄米矩阵这俩家伙的关系。

先来说说酉矩阵。

这酉矩阵啊,就像是一个公正无私的裁判员,始终保持着一种平衡和规范。

它的定义是,若一个复方阵乘以它的共轭转置等于单位阵,那它就是酉矩阵。

你想想,这是不是很神奇?就好像无论面对怎样复杂的情况,它都能坚守自己的原则,不偏不倚。

再看看厄米矩阵。

厄米矩阵就如同一个内心坦诚的挚友,它自己就等于自己的共轭转置。

这意味着啥?意味着它总是把最真实的一面展现出来,没有丝毫的隐藏和伪装。

那这俩到底有啥关系呢?你看啊,酉矩阵注重的是与自己的共轭转置相乘的结果,而厄米矩阵更关注自身的特性。

这就好比一个人在团队中的表现和他独处时的状态。

酉矩阵能保证在某种变换下,向量的长度和夹角都不变。

这不就像我们在动荡的世界中,总有那么一些坚定的力量,让一切保持稳定吗?而厄米矩阵呢,它的特征值都是实数。

这就好像是我们生活中的那些实实在在的收获,没有半点虚幻。

要是把酉矩阵和厄米矩阵放在一起比较,就像是比较两位个性迥异但又相互关联的朋友。

酉矩阵的那种规范性,让它在各种数学运算中都能发挥稳定的作用。

而厄米矩阵的真实特性,又为解决实际问题提供了可靠的依据。

比如说,在量子力学里,酉矩阵用来描述系统的演化,厄米矩阵则表示可观测的物理量。

这就好像酉矩阵是时间的列车,带着系统不断前进;厄米矩阵则是车上的仪表盘,告诉我们系统的状态和参数。

咱再打个比方,酉矩阵像是一座坚固的桥梁,连接着不同的数学领域;厄米矩阵就像桥上的路灯,照亮我们前行的路。

总之,酉矩阵和厄米矩阵虽然各有特点,但它们在数学的大舞台上都扮演着重要的角色,相互交织,共同推动着数学的发展。

它们的关系,既独特又紧密,就像生活中的许多看似不同却又相辅相成的事物一样,不是吗?。

准次正定矩阵

准次正定矩阵

准次正定矩阵
袁晖坪
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2001(017)001
【摘要】提出了准次正定矩阵的概念,研究了它及其Hadamard积与Kroneckr积的基本性质,将对称正定阵的Schur定理、华罗庚定理、Openheim不等式拓广到了准次正定阵上,并将各类实次正定阵统一了起来.
【总页数】5页(P14-17,22)
【作者】袁晖坪
【作者单位】渝州大学数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.次正定矩阵和次亚正定矩阵行列式的不等式 [J], 刘期怀;龙品红
2.实次对称次正定矩阵的乔莱斯基分解及次厄米特矩阵与反次厄米特矩阵 [J], 曹莉莉;
3.四元数体上的次自共轭矩阵与正定次自共轭矩阵 [J], 张树青;吕蕴霞
4.关于准次正定矩阵 [J], 李庆玉;代洪霞
5.矩阵的次转置及实次对矩阵的次正定性 [J], 秦兆华
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关于正规矩阵的判定_陈惠汝

关于正规矩阵的判定_陈惠汝

2009年 9 月 Journal of Science of Teachers′College and University Sep. 2009文章编号:1007-9831(2009)05-0087-03关于正规矩阵的判定陈惠汝,刘红超(黄冈师范学院 数学与信息科学学院,湖北 黄冈 438000)摘要:对角矩阵、Hermite 矩阵、反Hermite 矩阵、酉矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵都是正规矩阵,所以正规矩阵作为一个更为广泛的矩阵类,有必要对它的判定条件进一步研究.由正规矩阵的定义、矩阵对角化、特征值与特征向量、矩阵实部和虚部、矩阵分解、谱分解等方面给出了正规矩阵的一些判定条件.关键词:正规矩阵;Schur 定理;对角化;特征向量;谱分解中图分类号:O151.21 文献标识码:A定义1[1]71 设n n ij a ×=)(A 为一复矩阵,即n M ∈A ,若**AA A A =,则称A 为复正规矩阵,其中T A A *=.类似地,若n n ij a ×=)(A 为一实矩阵,即)(R n M ∈A ,若=A A T T AA ,则称A 为实正规矩阵.显然,对角矩阵,Hermite 矩阵(A A *=),反Hermite 矩阵(A A *−=),酉矩阵(1−=A A *)都是复正规矩阵;对称矩阵(A A =T ),反对称矩阵(A A −=T ),正交矩阵(1T −=A A )都是实正规矩阵,所以正规矩阵是比以上几类矩阵范围更为广泛的矩阵类.定义2[1]78 21)(y y *是n C ∈y 的Euclid 长度. 本文分别从正规矩阵的定义、矩阵对角化及特征值特征向量、矩阵实部和虚部、矩阵分解及谱分解几个部分分析给出正规矩阵的充分必要条件.引理1 (Schur 定理)[1]57已知n M ∈A 有特征值n λλλ , , ,21L ,它们按任意规定的次序排列,那么存在一个酉矩阵n M ∈U ,使得()ij t ==T AU U *是具有对角元n i t i ii , ,2 ,1 ,L ==λ的上三角矩阵,即每个方阵A 酉等价于其对角元依次是A 的特征值的三角矩阵.此外,如果)(R n M ∈A ,且A 的所有特征值都是实数,那么,可选择U 为实正交矩阵.根据正规矩阵的定义,可以得出几个充分必要条件: 命题1 矩阵n M ∈A 是正规矩阵,当且仅当I A α+是正规矩阵,其中C ∈α是给定的,I 是单位矩阵. 命题2 矩阵n M ∈A 是正规矩阵,当且仅当对所有n C ∈y ,Ay 与y A *的Euclid 长度相同.证明 必要性.由Ay A y Ay Ay Ay ∗∗==*2)(,y AA y y A y A y A **==∗***2)(,又因为A 是正规矩阵,则**AA A A =,从而22y A Ay ∗=,y A Ay ∗=,即Ay 与y A *的Euclid 长度相同.充分性.因为Ay 与y A *的Euclid 长度相同,所以[][]21*21*)()(y A y A Ay Ay **=,即y AA y Ay A y ∗∗∗∗=,从而0)(=−∗∗∗y AA A A y ,由y 的任意性知0**=−AA A A ,则A 是正规矩阵. 证毕.命题3 已知矩阵n M ∈A 是正规矩阵,当且仅当对所有n C ∈y x ,有)()()()(**y A x A Ay Ax **=.证明 必要性.假设矩阵n M ∈A 是正规矩阵,则**AA A A =,===∗∗∗∗Ay A x y AA x Ay Ax )()(*)()(*y A x A ∗∗.收稿日期:2009-01-14作者简介:陈惠汝(1978-),女,湖北英山人,讲师,硕士,从事基础数学教学与研究.E-mail:chenhuiru@充分性.y AA x Ay Ax ∗∗=)()(*,)()(*y A x A ∗∗y AA x ∗∗.由)()()()(**y A x A Ay Ax **=,则知Ay A x y AA x ∗∗∗∗=,0)(=−∗∗∗y AA A A x ,由y x ,的任意性知∗∗−AA A A ,则A 是正规矩阵. 证毕.命题4 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是0≥−∗∗A A AA .证明 必要性.若A 是正规矩阵,由定义知*AA A A *=,即0=−∗∗A A AA ,从而0≥−A A AA **. 充分性.若0≥−A A AA **,即A A AA ∗∗−半正定,由0)(tr =−∗∗A A AA ,从而0=−∗∗A A AA ,即A 是正规矩阵. 证毕.从正规矩阵的对角化,特征向量方面分析可给出如下充分必要条件:定理1[2]58 n 阶复方阵A 是正规矩阵的充分必要条件是A 与对角矩阵酉相似,即存在n 阶酉矩阵U ,使得=AU U *) , , ,(diag 21n λλλL ,其中n λλλ , , ,21L 是A 的n 个特征值.定理2[3]148设)(R n M ∈A ,A 为正规矩阵的充分必要条件是存在实正交矩阵n n ×∈R Q ,使得 AQ Q T ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k A A 0000001L O O M M O O L )(R n M ∈, 其中n k ≤,每个j A 是实11×矩阵或形如⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=j j j j j αββαA 22×∈R .推论1 设n λλλ , , ,21L 为n 阶复矩阵)(ij a =A 的特征值,则A 是复正规矩阵的充分必要条件是 2121,∑∑===n i i n j i ij a λ)(tr *AA =.推论2 n 阶复矩阵A 是正规矩阵的充分必要条件是*AA 的全部特征值为22221 , , ,n λλλL ,其中i λ为A 的特征值.推论1,2的证明必要性由定理2可得,充分性由引理1的Schur 定理可得.推论3 矩阵n M ∈A 是正规矩阵,当且仅当A 的每个特征向量也是*A 的一个特征向量.证明 必要性.由定理1,存在n 阶酉矩阵U ,使得=AU U *) , , ,(diag 21n λλλL ,其中n λλλ , , ,21L 是A 的n 个特征值.则) , , ,(diag 21n λλλL =∗U A U *.把U 按列分块) , , ,(21n U U U L =U ,从而有i i i U AU λ=,i i i U U A λ=∗(n i , ,2 ,1L =),即A 与*A 有相同的特征向量.充分性显然. 证毕. 推论4 矩阵n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是,A 有n 个相互正交的单位向量作为它的特征向量.证明 由定理1可知命题成立. 证毕. 推论5 矩阵n M ∈A 是给定的矩阵,则A 是正规矩阵,当且仅当存在次数至多为1−n 的多项式)(λf ,)(λg ,使得)(*ΑA f =,)(*A A g =.证明 必要性.因为A 是复正规矩阵,故由定理1知存在酉矩阵U ,使得*U U A ) , , ,(diag 21n λλλL =. 不妨设s λλλ , , ,21L 为所有彼此不同的根,当然s λλλ , , ,21L 也彼此不同,令)())(()()())(()()(1111111s i i i i i i s i i s i ig λλλλλλλλλλ−−−−−−−−=+−+−=∑L L L L ,易验证A U U A *==∗) , , ,(diag )(21n g λλλL .充分性显然成立. 证毕. 命题5[3]145 矩阵n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是,存在由A 的n 个特征向量组成的标准正交基. 命题6 矩阵n M ∈A 是正规矩阵,当且仅当它与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换.从正规矩阵的实部和虚部分析可得:命题7 定义)(5.0)(*A A A +=H 为n M ∈A 的Hermite 部分,而)(5.0)(*A A A −=S 为A 的斜Hermite 部分,那么A 是正规矩阵当且仅当)(A H 与)(A S 可交换.证明 必要性.由定义[]22**)(25.0)(5.0)(5.0)()(∗∗∗−+−=−+=A A A AA A A A A A A A S H ,第5期 陈惠汝,等:关于正规矩阵的判定 89 =)()(A A H S []22**)(25.0)(5.0)(5.0∗∗∗−−+=+−A A A AA A A A A A .若A 是正规矩阵,由定义知*AA A A *=,可知[])()()(25.0)()(22A A A A A A H S S H =−=∗. 充分性显然成立. 证毕. 命题8[4]148 矩阵)(C n M ∈A ,设21)(A A A *=,则A 是正规矩阵的充分必要条件是+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2*22A A A 2*i 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−A A 命题9[4]148 *2AA B =设,A A C *=2,则A 是正规矩阵的充分必要条件是C B ,与A 的实部2*A A +可交换.从正规矩阵的分解谱分解分析有:定理3[5]127 设n 阶复矩阵A 有r 个相异的特征值r λλλ , , ,21L ,则A 为正规矩阵的充分必要条件是存在r 个矩阵r E E E , , ,21L ,使得j r j j E A ∑==1λ,*2j j j E E E ==,0=k j E E (k j ≠),I E =∑=rj j 1;n j =)(rank E ,且满足上述性质的j E 是唯一的.命题10[4]148 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是对任意自然数k ,存在正规矩阵B ,使得k B A =. 命题11[4]148 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是,A 可分解为UH HU A ==,U 为酉矩阵,H 为半正定Hermite 矩阵. 命题12[4]148 矩阵n M ∈A 是正规矩阵,当且仅当酉等价于A 的每一个矩阵都是正规矩阵. 命题13[6]31 设n n ij a ×=)(A 是实正规矩阵的充分必要条件是∑∑===nk kj ki n k jk ik a a a a 11(n j i , ,2 ,1 ,L =).参考文献:[1] Horn R A .矩阵分析[M].杨奇,译.北京:机械工业出版社,2005.[2] 罗家洪.矩阵分析引论[M].广州:华南理工大学出版社,1993.[3] 陈景良,陈向晖.特殊矩阵[M].北京:清华大学出版社,2000.[4] 李润英,刘文浩.论正规矩阵的充分必要条件[J].烟台师范学院学报,2002,18(2):148.[5] 王朝瑞,史荣昌.矩阵分析[M].北京:北京理工大学出版社,1989.[6] 包霞.关于实正规矩阵[J].西北民族学院学报,1999,20(3):31.The determining conditions of normal matricesCHEN Hui-ru ,LIU Hong-chao(School of Mathematics and Information Science ,Huanggang Normal University ,Huanggang 438000,China )Abstract :Diagonal matrix ,hermite matrix ,skew-Hermitian matrix ,unitary matrix ,symmetric matrix ,skew-symmetric matrix ,orthogonal matrix are normal matrices .Normal matrices so formal as a wider range of matrices ,it is necessary to determine the conditions for its further study .The determining conditions of normal matrices was disussed in aspects of definition ,matrix diagonalization ,eigenvalue and eigenvector ,matrix realand and imaginary parts ,matrix decomposition and prover vector.Key words :normal matrices ;Schur theorem ;diagonalization ;eigenvector ;proper vector。

从矩阵次对角线的角度考察矩阵的性质

从矩阵次对角线的角度考察矩阵的性质

从矩阵次对角线的角度考察矩阵的性质
陈洪楠
【期刊名称】《理论数学》
【年(卷),期】2024(14)1
【摘要】本论文不同于以往研究者大多数从矩阵主对角线方向去讨论矩阵的性质,而是从矩阵次对角线角度考察矩阵的性质,提出次转置、次对称、次单位、次正交、次可逆矩阵的概念,得到了大体有趣的新结果。

对于开阔读者的视野,以及进一步研
究矩阵性质有一定的启发作用,相信在一些领域会有一定的应用。

【总页数】22页(P131-152)
【作者】陈洪楠
【作者单位】上海理工大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.帽子矩阵对角线元素的性质
2.次对角矩阵及实反次对称矩阵的性质
3.三对角线矩阵的逆及其几个新性质
4.次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩
阵5.软集优势矩阵的高低对角线性质及其诱导的还原算法
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反厄米特矩阵行列式的值

反厄米特矩阵行列式的值

反厄米特矩阵行列式的值1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下所示:引言部分的目的是介绍反厄米特矩阵行列式的研究背景和意义。

在数学领域里,我们经常研究和应用矩阵的性质和特征,而反厄米特矩阵是矩阵理论中的一个重要概念。

反厄米特矩阵是指转置共轭矩阵等于其相反数的复数矩阵。

与厄米特矩阵相似,反厄米特矩阵的矩阵元素也具有特殊的对称性质。

正因为这种特殊性质,反厄米特矩阵在量子力学和信号处理等领域有着广泛的应用。

本文将主要讨论反厄米特矩阵行列式的值,即如何计算反厄米特矩阵的行列式。

行列式是一种与矩阵相关的重要概念,它可以用于衡量矩阵的性质,比如矩阵的可逆性、特征值等。

通过研究反厄米特矩阵行列式的性质,我们能够更深入地理解和应用反厄米特矩阵。

本文的结构如下:首先,我们将介绍反厄米特矩阵的定义和性质,包括其特殊的对称性和基本运算规则。

然后,我们将重点讨论反厄米特矩阵行列式的性质,探究计算反厄米特矩阵行列式的方法和技巧。

最后,我们将总结反厄米特矩阵行列式的值,并探讨其在实际应用中的意义和作用。

通过阅读本文,读者将对反厄米特矩阵行列式的计算方法有更清晰的认识,并了解到其在物理学和工程学等领域中的重要性。

同时,本文也将为读者提供一些关于反厄米特矩阵行列式应用的启示和思考。

1.2文章结构文章结构是指文章的组织方式和内容安排。

通过合理的结构,可以使文章逻辑清晰、条理分明,方便读者理解和阅读。

以下是文章结构的主要内容:1.2 文章结构文章的结构主要包括引言、正文和结论三个部分。

每个部分的内容安排如下:引言部分简要介绍了文章的主题和背景,并提出文章的目的和意义。

引言部分的内容主要包括以下几个方面:- 概述:对反厄米特矩阵行列式的基本概念进行简要说明,引出文章研究的问题。

- 文章结构:简述文章的结构和内容安排,为读者提供整体了解。

- 目的:明确本文的研究目的和意义,指出对反厄米特矩阵行列式值的探索对于哪些方面具有重要的应用和意义。

酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结

酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结

酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙 201131402摘要科学在发展,社会在进步,人们对于数学的理解越来越深刻,数学应用于日常生活生产越来越广泛。

在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。

本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵,为以后的深入学习奠定基础。

本文主要从Hermite矩阵的性质,判定定理,正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。

关键词: 酉矩阵;Hermite矩阵;正交矩阵;特征值。

The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 201131402AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix,determined theorem ,positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ;Hermite matrix ;Orthogonal matrix;Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:H U 表示矩阵U 的共轭转置,即H U =-U '.定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的. 从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成nC 的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4] 对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*.引理1.1.3[5]对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1A Tr PAP Tr =-引理1.1.4[6]对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6]n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是:'=A A I 或者'AA E =定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是.,,2,1,n j a AA A ij ='=这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:)()(B Tr A AB Tr ='第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1 设U 为酉矩阵,则-1U U U ',和都是酉矩阵.证明 因为HH U U =U U =U U =E =E '''()()()所以U 是酉矩阵.因为HH H U U =U U =UU =E =E '''''()()()()()所以U '是酉矩阵.因为-1H -1H HH H U U =U U =UU =E ()()()()所以-1U 是酉矩阵.定理1.2.2 设U 为酉矩阵, 则U 的伴随矩阵*U 也是酉矩阵. 证明 因为,*-1U =detUgU2*H *-1H -1H -1(U )U =detU U detUU =detU UU =E ()()(),所以*U 为酉矩阵.定理1.2.3 设1U 和2U 是酉矩阵,则12U U , 21U U 也是酉矩阵.证明 因为1212()()HU U U U1212H H U U U U = 22H U EU E =所以12U U 是酉矩阵, 同理可证,21U U 也是酉矩阵. 推论1.2.1 设U 是酉矩阵,则k U (k 为正整数)是酉矩阵.推论1.2.2 设1U ,2U 是酉矩阵,则12U U ,21U U ;21'U U ,12'U U ;112U U -,112U U -;1121U U U -,1212U U U -也是酉矩阵.推论1.2.3 设1U ,2U 是酉矩阵,则*12U U ,*21U U 也是酉矩阵.推论1.2.4 设1U ,2U 是酉矩阵,则k 12U U ,k 21U U ,k m12U U (k , m 为正整数)也是酉矩阵.定理1.2.4 设1U ,2U 是酉矩阵,若1212U U +E 是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵, 因此1111212---U +U =U +U ()证明 因为12121221HH H U +U U +U =E +U U +U U +E ()()()12211122H H =E +U U +E +U U +E ()()E =因此,当1212U U +E 是是反Hermite 矩阵时,1212HU +U U +U =E ()(),记12U +U 也是酉矩阵,从而-112U +U ()1212H H H =U +U =U +U ()-1-112=U +U注: 定理2.4表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式定理1.2.5 设U 是酉矩阵,则其行列式的模等于1,即det 1U =,其中det U 表示U 的行列式.证明 由E H U U =得)(1U U det detE H==detU detU H = gdetU U det = gdetU detU =2detU =从而1detU =.定理1.2.6 设1U , 2U 是酉矩阵,则12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111U U -U U ⎤⎥⎦也是酉矩阵.证明 因为HH 11H 22U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-1-111-122U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是酉矩阵. 因为H11111111U U U U -U U -U U ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎦12HH H 1111HH H1111U -U 2U U 0U U 02U U ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎦⎣⎦ H 11H11E0U U 0==0E 0U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎥⎦是酉矩阵. 定理1.2.7 设U 是酉矩阵, 则对U 的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设,1i j n U u u u u =(,,,,,)其中,1i j nu u u u ,,,,,是U 的两两正交单位向量. 显然,1i j n u u u u λ,,,,, (1λ=)以及,1i j nu u u u ,,,,,也都是U 的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8 设U 是酉矩阵, 则U 的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设Ux =x,x 0λ≠, 则由,H H H H U U E x U x λ==可得H x H H H x x x U U x xλλ==于是0H x x λλ=(1-)而0H x x ≠, 故1λλ=即1λ=定理1.2.9 设U 为酉矩阵, λ是U 的特征值, 则1λ是H U 的特征值, 而1λ是U 的特征值.证明 设λ是U 的特征值, 则由定理1.2.1知0λ≠于是-1H U =U 的特征值, 而又可知λ是U 的特征值, 但U 与H U =U '的特征值全部相同,因此λ是H U 的特征值, 所以1λ是H -1U =U ()的特征值.定理1.2.10 设U 是酉矩阵, 则属于U 的不同特征值的特征向量正交.证明 设ξ是U 的属于特征值λ的特征向量, η是U 的属于特征值μ的特征向量, 由,,H U U U U =E ξλξημη==可得=()()=()()=H H H H H H U U U U ξηξηξηλξμηλμξη=所以(1)0H λμξη-=而λη≠从而21λλλλμ==≠故0Hξη=, 即ξ与η正交.定理1.2.11 设U 是酉矩阵, 且为Hermite 矩阵, 则U 必为对合矩阵()2U =E , 从而U 的特征值等于1或-1. 证明 由E UUU U HH==),(得2U =E又因Hermite 矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,U 的特征值等于-1或1.引理2.1设是n A M (R)∈, 则A 为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U , 使=(,,)H U AU diag λλ, 其中()i i =1,n λ,的模为1.引理1.2.2 [9]设n A M (R)∈,则A 为正交矩阵的充要条件是A 有n 个两两正交的单位特征向量n A C ∈, 且特征值的模为1.定理1.2.12 任一个n 阶酉矩阵U 一定正交相似于分块对角矩阵1111cos sin cos sin ,,,1,1,,1,1sin cos sin cos kk k k D diag θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,,其中0K ≥,cos sin j j j i λθθ=+,cos -sin j j j i λθθ=,cos -sin ;1,.j j j i j k λθθ==,是U 的所有不同的复特征值.证明 U 的所有特征值全为1±, 由引理1.2.1和引理1.2.2知U 一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1),若U 有复特征值111cos +isin λθθ=则111cos -isin λθθ=也是U 的特征值. 因此可设有k 2复特征值.j j j cos +isin λθθ=, j j j cos -isin λθθ=,1,.j j j cos -isin j =,k λθθ=设j a 是属于j λ的单位特征向量, 则j a 属于λ的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是12k 12k ,,,,,,λλλλλλ互不相同, ,12k 12k a ,a ,a ,a ,a ,,a 两两正交, 令1),),12.j j j j j a +a r a -a j =,k β==易知j β与j r 为相互正交的实向量. 设2k+12k 2n a ,a ,,a +为U 的属于特征值1±的相互正交的单位实特征向量, 则1122k k 2k+12k 2n =(,r ,,r ,,,r ,a ,a ,,a )U βββ+为一个酉矩阵. 因为1(+)j j U a a β+)j j j j j j cos isin a cos isin )a θθθθ+-jjj j j a +a a a cos sin cos r sin θθβθθ-==-j ()a )rj j j j j j j j j j j j U a -a cos +isin cos -isin a sin +r cos θθθθβθθ= 所以AU =UA , 即A 正交相似于D .定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化.1.2.4. 酉矩阵的其它性质定理1.2.13设U 为上(下) 三角的酉矩阵, 则U 必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设U 为上三角的酉矩阵, 则其逆-1U (上三角)等于其共轭转置H U (下三角),所以U 只能是对角矩阵, 又HU U =E , 故可得U 的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14设U =P+iQ 是酉矩阵, 其中P ,Q 为实矩阵, 则P Q '为实对称矩阵,且P P+Q Q =E ''.证明 由H H U U =(P+iQ)(P+iQ)=E可得P P+Q Q+i(P Q -Q P)=E ''''从而P P+Q Q =E ''及P Q =Q P ''即P Q '为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位.最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当A ,B 是奇数阶正交矩阵时, A+B 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同. 下面我们将证明, 对给定的n 阶酉阵A , 一定存在n 阶酉阵B , 使A+B 是酉阵, 并给出酉阵B 的表达式. 用n U 表示全体n 阶酉阵; nn C⨯表示全体n 阶复矩阵.引理1.2.1复方阵A 酉相似于对角阵的充要条件是A 为复正规阵.证明 必要性显然. 充分性由schur 分解定理知, 任意复方阵A 必可酉相似于上三角阵, 即存在n 阶酉阵U , 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n C C C C C AU U λλλ 2232112121* (1-2-1)由条件**=AA A A 得AU U U A U U UA AU U *****⋅=⋅ (1-2-2) 把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得C 01<ij i j n=≤≤,从而A 酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知n A M ∈有特征值12n ,,,λλλ那么存在一个酉矩阵U , 使得()H ij U AU =T =t其中,0ij j ij t t i >j λ==,,T 是上三角矩阵. 如果()n A M R ∈且A 的所有特征值都是实数, 那么, 可选择U 为实正交矩阵. 证明 用归纳法证明.设1()(1)(1)()n=A=a ,A =a ,定理成立. 假设n =k 定理也成立, 当n=k +1时. (+1)(+1)()ij k k A a ⨯=成立. 设1λ为A 的特征值, 1q 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在1321,,,,+k q q q q 使132,,,+k q q q 两两正交且构成k+1C 的标准正交基. 令112k 1=(,,,)U q q q +这是一个U 阵使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++11211112221211211111k H k H k Hk k HHHk H H H H Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q AU U由于1111,1H H 1j j Aq q ,q q q q j λθ===≠所以11*=0H 1U AU A λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由于1A 为k 阶矩阵, 由归纳假设, 存在k 阶U 矩阵2U , 使H 212U AU =T , 为上三角矩阵,令12100U =U U ⎛⎫⎪⎝⎭显然, U 为由阵且11210*10001H H 2U AU U A U λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11*1001H22U A U λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 12*0H212U U AU λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 121*0U T λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明均可用数学归纳法证明.第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造由定理1.1.2可知二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且, k 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵.1.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1) 若U 为酉矩阵, 则1,,,T U U U U λ-(其中λ的为单位根)都是酉矩阵. (2) 酉矩阵, 则12,U U 11212,U U U U -等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且1212U U E +是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵.通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法,任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵,反过来,所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.在高等代数中,我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵,并且讨论过,对已知实对称矩阵A , 求正交矩阵T 使得AT T1-为对角矩阵的一般歩骤,类似的我们可以讨论,当A 是正规矩阵时,求酉矩阵U ,使得AU U H 为对角矩阵,具体步骤如下:(1) 根n λλλ,, (21)(2) 求每一个相异特征值i λ的特征向量ii V λ;(3) chur 正交单位化的方法,求ii V λ的标准正交基in i i εεε,,,21 ; (4) 命),,(22111211sn n n U εεεεεε =则酉矩阵U 满足12H n U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若A 是正规矩阵,则A 能酉相似于对角矩阵,即存在酉矩阵U 使得Bdiag AU U n H ==)(21λλλ则H A UBU =于是()n H n H H H n H A UBU UBU UBU UBU UB U ===而对角矩阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成,所以通过A 的相似对角矩阵求n A .第二章 Hermite 矩阵为了论述方便,我们给出以下几个定义: 1.定义 矩阵A=[ija ]∈Mn(C)称为Hermite 矩阵,是指A=A*,其中A*=TA =[jia ]。

反厄米特矩阵的一些特征

反厄米特矩阵的一些特征

反厄米特矩阵的一些特征曹元元;张骞;毛亮【摘要】研究了反厄米特矩阵(A倡=-A )的相关性质,并给出了反厄米特矩阵的一些充要条件。

%We study several characteristics of the skew-Hermitian matrix ( A* =-A) in this paper, and gives some sufficient and necessary conditions for the skew-Hermitian matrix.【期刊名称】《湖北师范学院学报(自然科学版)》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】6页(P88-93)【关键词】厄米特矩阵;反厄米特矩阵;广义逆【作者】曹元元;张骞;毛亮【作者单位】湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石 435002;湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石 435002;湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石435002【正文语种】中文【中图分类】O153厄米特矩阵和反厄米特矩阵是两类特殊形式的矩阵,在矩阵理论及其应用中有着非常重要的地位[1~2]. 近几年,随着应用的需要和研究的深入,酉矩阵、厄米特矩阵、Hamilton矩阵和广义逆矩阵之间的关系及其在解矩阵方程中的应用已经取得了丰富的成果[3~4],推广了酉矩阵、厄米特矩阵及广义次对称矩阵的相应结果.特别地,将正交阵的广义Cayley分解推广到了k-广义酉矩阵和k-广义厄米特矩阵上,从而统一了各类厄米特矩阵及广义逆矩阵. 本文将进一步研究广义厄米特矩阵中的一种特殊矩阵——反厄米特矩阵的相关性质和一些充要条件,从而对特殊矩阵的深入研究及其应用提供有益的帮助.下面先给出一些必要的记号,再给出本文所需要的一些引理.本文用A∈m×n表示复数域上的所有m× n阶矩阵组成的集合,用A*,AT,r(A),(A),In分别表示矩阵A 的共轭转置,转置,秩,值域和n 阶单位矩阵.σ(A)表示矩阵A 的谱,即矩阵A 的所有特征值组成的集合. i={bi|b∈}表示纯虚数和0组成的集合(其中表示实数域),用 +表示所有正实数组成的集合.本文中将会涉及矩阵A∈m×n的Mooer-Penrose逆[5],用A+∈n×m表示; 矩阵A+∈n×n的群逆[5],用A#∈n×n表示.设A∈m×n ,则A+∈n×m是唯一存在的,且满足以下四个矩阵等式:1)AA+A=A,2)A+AA+=A+ ,3)AA+=(AA+)*, 4)A+A=(A+A)* .设A∈n×n,则A#∈n×n满足以下三个矩阵等式:1)AA#A=A,2)A#AA#=A#,3)AA#=A#A指数为1的矩阵称为group matrices[5]或者Core matrices[7], 用表示所有n 阶指数为1的矩阵组成的集合,即n×n,r(A)=r(A 2)}.矩阵A 的群逆存在的充要条件是 .文中还将涉及到几种特殊的矩阵,分别用表示所有n阶酉矩阵,正规矩阵,EP-阵组成的集合,即:近些年来,国内外许多学者如:Baksalary,Trenkkler,Liu等人运用[8] 中推论6提出的∑-K-L分解解决了许多特殊矩阵的问题,该分解如下:引理1[8]( ∑-K-L分解) 设A∈n×n ,且r(A)=r,则存在酉矩阵U∈n×n使得其中∑=diag(σ1Ιr1……,σ1Ir1),σ1>σ2>…>σt>0,r1+r2+…+rt=r,K∈r×r,L∈r×(n-r)且KK*+LL*=Ir.用∑-K-L分解,我们容易得出:由∑-K-L分解易知, A#存在 K 为可逆矩阵,且运用∑-K-L分解,我们可以给出前面介绍的几种特殊矩阵的刻画.引理2 [9]设A∈n×n,且r(A)=r, A有(1)式的分解形式,则:1985年Roger A. Horn 和 Charles R. Johnson 在[1]中给出了厄米特矩阵和反厄米特矩阵的定义,并研究了厄米特矩阵的性质及特征.类似的我们先给出反厄米特矩阵的一些性质,再给出反厄米特矩阵的有关特征.设矩阵A∈n×n ,a)当 A*=A时, 称矩阵A为n阶厄米特矩阵; b)当A*=-A 时, 称矩阵 A为n阶反厄米特矩阵.分别用和表示所有阶n厄米特矩阵和所有n 阶反厄米特矩阵组成的集合,即定理1 设矩阵A∈n×n若那么a)对∀α∈n×1,有αΑα∈i,b) σ(A)⊆i,c)对∀S∈n×n,有证明a)因为即A*=-A,所以对∀α∈n×1 ,有(α*Aα)*=α*A*α=-α*Aα,从而αΑα∈i .b)设α为矩阵Α的属于特征值λ的特征向量,即有Αα=λα(α≠0),所以αΑα=αλα=λαα ,又由a)有αΑα∈i ,且αα∈+ ,所以λ∈i,从而σ(A)⊆i .c)由得 A*=-A,所以对∀S∈n×n有(S*AS)*=S*A*S=-S*AS ,即 .在定理1的基础上我们可以得到A∈SH n的一些充要条件,即下面的定理2,定理3. 定理2 设矩阵A∈n×n ,则以下各命题彼此等价:b)对∀α∈n×1 ,有αΑα∈i;d)对∀S∈n×n ,有 .证明a)⟹ b)定理1 a)已给出证明.下面只需证明b) ⟹c),c)⟹ d),d)⟹ a)即可. b) ⟹c)若对∀α∈n×1 , 有αΑα∈i.则对∀α,β∈n×1 , A=(aij)n×n,(aij∈,i=1,2,…,n,j=1,2,…n)有(α+β)*A(α+β)=α*Aα+α*Aβ+β*Aα+β*Aβ∈i,α*Aα∈i,β*Aβ∈i所以αΑβ+β*Aα∈i.令(即第k行为1,其余元素为0的n 行1列矩阵), β=el(k=1,2,…,n,l=1,2,…n ). 计算可得再令α=ek,β=iel则β*=(0…0,-i,0…0) (第 l列为 -i,其余元素全为0的1行n 列矩阵),计算可得组合(5)(6)计算得出(∀ k,l),所以 A*=-A,从而AA*=-A2=AA* ,即,且由定理1 b)可得σ(A)⊆i.(c)⟹ (d) 若,则∃,使得A=U*ΛU其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn) ,则A*=U* Λ*U,其中,又σ(A)⊆i, 所以,所以 A*=-A,即A∈SH n 再由定理1 c)可得对∀S∈n×n ,有S*AS∈SH n.d)⟹ a)若∀S∈n×n有S*,则取 S=In,就有 .定理3 设矩阵A∈n×n ,则A∈SH n当且仅当AT,A* ∈SH n.证明下面只给出A∈SH n⟹AT∈SH n. 的证明,对于A∈SH n⟹A*∈S H n可用类似的方法得出结论."⟹ " 设A∈SH n ,即A*=-A 则(AT)*=(A*)T=(-A)T=-AT ,即AT∈SH n ."⟹ " 设AT∈SH n ,即(AT)*=(A*)T=-AT=(-A)T ,所以A*=-A 即A∈SH n .下面我们给出反厄米特矩阵的一个性质.定理4 设A∈n×n ,若A∈SH n 则矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定正交.证明设x,y 分别为属于A 的特征值λ1,λ2(λ1≠λ2)的特征向量,若A∈SH n,则由定理1 b)知λ1,λ2∈i,所以x*(Ay)=x*λ2y=λ2x*y,(Ax)*y=(λ1x)*y=-λ1x*y,且由A*=-A 可得x*(Ay)=x*(-A*)y=-(x*A*)y=-(Ax)*y ,所以λ2x*y=-(-λ1x*y)=λ1x*y,即λ2x*y-λ1x*y=(λ2-λ1)x*y=0(λ1≠λ2)所以 x*y=0,即x,y 彼此正交.下面运用矩阵的∑-K-L分解给出反厄米特矩阵的一些刻画.定理5 设A∈n×n ,且r(A)=r ,A 有(1)式的分解形式,则:A∈SH n ⟹A∈N n ,K2=-Ir证明“⟹”A∈SH n ,显然A∈Nn ,所以由引理2有L=0, ∑K=K∑由(1)(2)有从而这样,由(7)(8)式可得K2=-Ir .“⟹”设A∈N n ,K2=-Ir ,则计算可得 K-1∑=K*∑=-∑K,所以注:若A∈SH n ,则K为可逆矩阵,从而A# 存在.在定理5的基础上我们可以得到了一些新的A∈SH n 的充要条件,即定理6,定理7和定理8.定理6 设A∈n×n ,且r(A)=r ,则以下各命题彼此等价:a)A∈SH n,b)AA*=A*A=-A2c) A2A+=-A* .证明a) ⟹b) 由定义直接得出.b)⟹a) 设A 有分解式(1)式,若AA*=A*A=-A2 ,由引理2 b)知⟹L=0, ∑K=K∑,由 AA*=-A2结合(1)(2)计算可得K*∑=-∑K ,从而A*=-A ,即A∈SH n.a)⟹ c) 设A 有分解式(1)式,若A∈SH n,即A=-A* ,则由定理3知A∈SH n⟹A∈K n,K2=-Ir由引理2 b)知A∈N n ⟹L=0,∑K=K∑,故结合(1)(2)(3)计算可得(c) ⟹a) 设A 有分解式(1)式,若 A2A+=-A*,则 R(A*)⊆R(A),而r(A*)=r(A) ,所以R(A*)=R(A) ,即矩阵,由引理2 a)可得L=0,结合(1)(2)(3)由 A2A+=-A*可得K*∑=-∑K,从而A*=-A ,即A∈SH n.定理7 设矩阵A∈n×n,且r(A)=r,则以下各命题彼此等价:证明下面只给出a) ⟹b), a) ⟹d), a) ⟹h)的证明过程,对于a) ⟹c)可用类似于a) ⟹b)的方法证明, a) ⟹e), a)⟹ f), a) ⟹g), a) ⟹i)可用类似于a) ⟹d)的方法证明. a) ⟹b) 设 A有分解式(1)式,若A∈SH n ,由定理5知A∈SH n⟹A∈N n,K2=-Ir,由引理2 b)知A∈N n⟹L=0,∑K=K∑,结合(1)(2)(3)计算可得b) ⟹a)设 A有分解式(1)式,若A*A+A=-A ,则(A) ⊆(A*),而 r(A*)=r(A)所以(A)=(A*), 即矩阵A∈EP n,由引理2 a)知L=0,所以由A*A+A=-A 结合 (1)(2)(3)计算可得K*∑=-∑K,从而 A*=-A,即A∈SH n.a) ⟹d)类似于a) ⟹b)直接计算可得,下证d) ⟹a):设A 有分解式(1)式,若AA+A*=-A ,则结合(1)(2)(3)计算有L=0且K*∑=-∑K ,从而A*=-A ,即A∈SH n .a) ⟹h) 类似于a) ⟹b)直接计算可得,下证h)⟹ a):设 A有分解式(1)式,若A*A+=-AA+ ,则结合(1)(2)(3)计算有故K*∑K*∑-1=-Ir且L*∑K*∑-1=0,所以r(K*∑K*∑-1)=r ,得r(∑K*∑-1)≥ r从而r(∑K*∑-1)=r,所以L=0 且K*∑=- ∑K,所以A*=-A ,即A∈SH n .定理8 设矩阵A∈n×n ,且 r(A)=r,则以下各命题彼此等价:a)A∈SH n,b)A*A#A=-A ,c)A*AA#=-A ,d)AA#A*=-A ,e)A#AA*=-A ,f)A*A#=-AA# ,g)A*A#=-A#A .证明下面只给出a)⟹b),a) ⟹d),a)⟹ f)的证明,而对于a) ⟹c)可类似于a) ⟹b)得到证明, a) ⟹e) a)⟹ g)可类似于a)⟹ d)得到证明.a)⟹ d), a) ⟹e), a)⟹ g)可用类似于a)⟹ f)的方法得到证明.a) ⟹b)设 A有分解式(1)式,若A∈SH n ,由定理5知,A∈SH n ⟹A∈N n,K2=-Ir. 由引理2 b)知A∈N n⟹L=0,∑K=K∑结合(1)(2)(4)计算可得b) ⟹a)设A 有分解式(1)式,若A*A#A=-A,则R(A)⊆ R(A*)而”(A*)=”(A)所以 R(A*)=R(A),即矩阵A∈EP n,由引理2(a)可知 L=0,若A*A#A=-A ,则结合(1)(2)(4)计算可得所以L=0 且K*∑=-∑K ,从而A*=-A ,即A∈EP n .a)⟹ d)类似于a)⟹ b)直接计算可得,下证d)⟹ a):设A 有分解式(1)式,若AA#A*=-A ,则结合(1)(2)(4)有计算可得L=0 且K*∑=-∑K,从而A*=-A ,即A∈EP n .a) ⟹f)类似于a) ⟹b)直接计算可得,下证f) ⟹a):设 A有分解式(1)式,若 A*A#=-AA#,则结合(1)(2)(4)有计算可得K*∑K-1∑-1=-Ir,且L*∑K-1∑-1=0,所以r(K* ∑K-1∑-1)=r,得r(∑K-1∑-1)≥ r,从而r(∑K-1∑-1)=r,所以L=0 且K* ∑=-∑K,从而A*=-A ,即A∈SH n .【相关文献】[1]Horn R A,Johnson C R.Matrix Analysis[M].London:cambridge University Press,1985.[2]Jain s K,Gunawardena A D.Linear Algebra[M].Beijing:china Machine Press,2003.[3]袁晖坪.广义酉矩阵与广义Hermite矩阵[J].数学杂志,2003,23(3):3375~380.[4]袁晖坪,王行荣.k-广义Hermite矩阵及其在矩阵方程中的应用[J].吉林大学学报(理学版),2012,50(1): 59~62.[5]Wang G, Wei Y, Qiao S. Generalized Inverses:Theory and Computation[M].Beijing:Science Press,2004.[6]Drazin M P. Natural structures on semigroups with involution[J]. Bull Amer Math Soc, 1 978,84:139~141.[7]Mitra S K. Noncore square matrices miscellany[J].Linear Algebra Appl,1996,249:249~26 0.[8]Hartwig R E,Spindelböck K. Matrices for which A* and A+ commute[J].Linear Multilinear Algebra,1984,14:241~256.[9]Baksalary O M, Styan G P H, Trenkler G. On a matrix decomposition of Hartwing and Sp indelböck[J]. Linear Algebra Appl, 2009,430(10):2798~2812.。

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! ! 简 !! 介
矩阵理论作为一种基本的数学工具 $ 在数学学科与其他科学技术领域 ! 如数值分析 # 优化理论 # 微分方 程# 概率统计 # 系统工程 $ 现代经济数学等 " 都有广泛的应用 !在矩阵理论的研究中 $ 人们一般都是从主对角 随着数学本身以及应用矩阵的其他学科的发展 $ 二 方向 ! 如对称性 # 对角化 # 正定性等" 去进行思考和研究 ! 十世纪八十年代我国的一些学者开始从矩阵的次对角线方向研究问题 $ 提出了矩阵的次转置 # 次对称 # 次 正交 # 次正定等概念 $ 并研究其性质 ! 但目前的研究多局限在实矩阵的次对称 $ 次正交 # 次正定以及复矩阵 本文在这方面作了一些研究 $ 得到了 的次正定上 $ 而关于次正规矩阵 # 次酉矩阵 # 次厄米特矩阵较少涉及 ! 一些新结果 !
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收稿日期 "! " " # $ " % $ " # !! 收稿日期 " 重庆市自然科学基金项目 ! " * : 8 : ! " " # ’ ’ " ! 2 + / !!
第 ! 期 !!!!!!! 郭华 ! 次正规矩阵 " 次酉矩阵 " 次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵
& 1 #
次特征向量 " ! 特征值与次特征值 !
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次酉矩阵 ! 次厄米特矩阵之间的关联 # ! 次正规矩阵 !
显然次厄米特矩阵 % 反次厄米特矩阵 % 次酉矩阵都是次正规矩阵 ! 性质 ! #) 为1 阶次厄米特矩阵 @ L E ) 为1 阶厄米特矩阵 $ !" " #) 为 1 阶 反 次 厄 米 特 矩 阵 @E 当) L L ) 为 1 阶 反 厄 米 特 矩 阵$ EZE ) 时! ) 为反次厄米特矩阵 E ) 为反次厄米特矩阵 % @ " #当) L L L EZ E ) 时! ) 为次酉矩阵 @ E ) 为酉矩阵 % " #当) L V EZ E ) 时! ) 为次正规矩阵 @ E ) 为正规矩阵 % > : : : 2 Z)@ 2 证 !" # 因 ) 为1 阶次厄米特矩阵 @ L ) E ) EZ)@ E ) Z E )@ E ) 为1 阶厄米特矩阵 !
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