第五节正规矩阵Schur引理

(3) A是酉矩阵的充要条件是A的特征值按模等于1。
证明 由定理3知，存在U U nn , 使得
U H AU diag( , , , )，
12
n
即
A Udiag( , , , )U H，
12
n
AH Udiag( , , , )U H，
12
n
(1) 若 AH A , (2) 若 AH A ，
U H AU B
由引理1知，B是正规矩阵，由引理2知，B是对角阵
因为对角阵diag( , , , )是正规矩阵，
12
n
由引理1知，A是正规阵.
15/18
推论1 正规矩阵有n个线性无关的特征向量。
由 U H AU diag( , , , )，
12
n
有 AU diag( , , , )U，
i
i
i
（3）用Schmidt方法求V 的标准正交基 , , , ;
1
i1 i2
ini
（4）令U ( , , , , , , , , , , )
11 12
1 n1
21
2 n2
s1
sns
则酉矩阵U满足
U H AU diag( , , , ).
12
n
17/18
定理4 设A是正规阵，则
(1) A是H阵的充要条件是A的特征值是实数。 (2) A是反H-阵的充要条件是A的特征值的实部为0。
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引理1 设A为正规矩阵,则与A酉相似的矩阵 都是正规矩阵. 证明 设B H U H AHU 即B U H AU， 有 BB H U H AAHU U H AH AU B H B 引理2 设A为正规矩阵,并且A是三角矩阵， 则A是对角矩阵.
证明 设
13/18
a11
a 12
a 1n
U
H 2
U
2
E
U
H 2
(1,
,n )
e1,
, en
U
H 2
AU
2
U
H 2
A(1
,
2
,
,n )
U
H 2
(11
,
A
2
,
,
An )
(1e1
,
U
H 2
A
2
,
,
U
H 2
A
n
)
1
0
bT A1
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由归纳法假设，存在n 1阶酉矩阵U1满足
U1H A1U1 R1
令
1 U3 0
0 U1
U
nn
U
H 3
U3
T
1
3 105
46 105
与 正交的单位向量 1
2
4 105
3
T
105
9/18
3
4
令
V 1
105 4
105 3
105 105
则
VH 1
AV 11
1
1225 35 6
0 1
1 0 0
令
U 2
0
0
V1
10/18
2
6
W
U U 12
1
6 1
6
4 2 105 5
1 3
1
1
T
3 3
7/18
2 0 1
6
3
令
U 1
1 6
1 2
1 3
1
1
1
6 2 3
0
UH 1
AU 1
0
0
50 12 5
32 6
9 18 3
6
3
0 0 0
50 12
A1
9 18
8/18
其中
5
A 1
32
6
3 6
3
当 1时，A 有单位特征向量 1
n
2
i,j
i , j1
i 1
i j
n
2
n
2
i
r i,j
iHale Waihona Puke 1i j故n
2
n
2
n
2
i
r i,j
a i,j
i 1
i , j1
i , j1
等号成立的条件是当 i j时，ri, j 0,即R是对角矩阵
5/18
例1 已知
0 3 3 A1 8 6
2 14 10
试求酉矩阵W ,使得
证明 数学归纳法 阶数为1的复矩阵A显然酉相似 于一个上(下)三角矩阵.
1/18
假设A的阶数为n 1时定理为真，U1 C (n1)(n1)
U1H
AU1
2
* R1(n1)(n1)
n
考虑A的阶数为n的情况.
取n阶矩阵A的一个特征值1，对应的特征向量为
1，构造以1为第一列的n阶U矩阵U2 (1,2 , ,n ),
a 11
设A
a 22
a 2n
,
A
H
a
21
a 22
a nn
an1
a n2
a
nn
由AAH AH A计算比较对角线元素：
a a a a a a a a
11 11
12 12
1n 1n
11 11
a a a a a a
22 22
2n 2n
22 22
a a a a
nn nn
nn nn
(3) 若 AAH E 1, 1
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第五节 正规矩阵、Schur引理 第三章
定义1 设A、B C nn (或Rnn )，若存在U U nn (或E nn )，使得 U H AU U 1 AU B (或 U T AU U 1 AU B) 则称A酉相似(或正交相似)于B.
定理1 任何一个n阶复矩阵A酉相似于一个上(下) 三角矩阵.
由 a a 0 得 a （0 i j),即A是对角阵.
ij ij
ij
14/18
定理3设A C nn ,则A是正规矩阵的充要条件是存在
U U nn , 使得
U H AU diag( , , , )。
12
n
其中 , , , 是A的特征值。
12
n
证明 由定理1知，存在U U nn , 使得
12
n
其中 , , , 是A的特征值。
12
n
推论2 正规矩阵属于不同的特征值的特征子空间
是相互正交的。
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当A是正规阵，求酉矩阵U使得
U H AU diag( , , , )的步骤：
12
n
（1）求 E a 0的根 , , , ；
12
n
（2）对每一个相异特征值 , 求 的特征子空间V
210 11
210
1
35
5
35 3
35
0 13 209
105 210
W
H AW
0
1
1225 35 6
0 0
1
11/18
定义2 设A C ， nn 若
AH A AAH 则称A为正规矩阵.
若A R ， nn 则AH AT ,于是 AT A AAT
则称A为实正规矩阵.
U H AHU RH 为下三角矩阵.
其中 R (r ) C nn , r 0(i j)
i,j
i,j
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故 U H AAHU RRH 于是 tr( AAH ) tr(RRH )
即
n
2
n
2
a r
i, j
i,j
i , j1
i , j1
而 r r r n
2
i, j
n
2
i ,i
En
则
1 a21
U
3HU
H 2
A U2U 3
0
R 1
ak1
1
*
0
0
n
3/18
定理2设A (a ) C nn , , , , 为A的特征值，
i,j
12
n
则
n
2
2
i
a i,j
i 1
i,j
其中，等号成立的充要条件是A酉相似于对角矩阵
证明 由引理知，存在U U ， nn 使得 U H AU R R为上三角矩阵.
W H AW R是对角矩阵
解 E A ( 1)2
当 0时，A有单位特征向量
1
2 6
1
1
T
6 6
由与其内积为零的方程 6/18
2x x x 0
1
2
3
可以取解(单位向量)
2
0
1
1
T
2
2
又由内积为零的方程组
2x x x 0
1
2
3
x x 0
2
3
可以取解(单位向量)
3