传热学第三章稳态导热

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3、通过圆筒壁的导热
稳态导热 t 0
柱坐标系：1 (r t ) 1 ( t ) ( t ) 0
r r
r r 2 z z
当圆筒的截面尺寸相对管长很小，且管子内外壁面保持 均匀温度时，热量只在管径方向传递，通过管壁的导热 即为柱坐标系的一维问题。
a.通过单层圆筒壁的导热
流相等，但内壁面积小于外壁
面积，所以内壁面热流密度总
是大于外壁面，由付立叶定律
r
可知，内壁面的温度曲线要比
外壁面陡。
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tw1 r1
tw2
r2
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热流量
Φ
A
dt dr
2rL
tw1 tw2 ln(r2 r1)
1 r
tw1 tw2 tw1 tw2
1 ln r2
R
2 L r1
稳态导热:t 0
直角坐标系:
( t ) ( t ) ( t ) 0
x x y y z z
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1、通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而当 平板两侧保持均匀边界条件时，热量只在厚度方向 传递，温度只在厚度方向变化，即一维稳态导热问 题。
a.通过单层平壁的稳态导热
t1 t2 t2 t3 t3 t4
1 n r2
1 n r3
1 n r4
21L r1 22L r2 23L r3
1
t1 t4 3 1 n ri1
2L i1 i ri
单位管长的热流量
ql
L
1
t1 t4 3 1 n ri1
2 i1 i
ri
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c.临界热绝缘直径
（无内热源，λ为常数）
导热微分方程:
d 2t 0
dx2
t tw1 t(x)
tw2
o x
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两个边界均为第一类边界条件
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
直接积分，得通解：
dt dx
c1
t c1x c2
代入边界条件得平壁内温度分布：
t
tw2 tw1
x tw1
（线性分布）
W
单位长度圆筒壁的热流量
ql
Φ L
tw1 tw2 1 ln r2
tw1 tw2 Rl
2 r1
W m
Rl
1 2
ln
r2 r1
m C W 单位长度圆筒壁 导热热阻
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b、通过多层圆筒壁的导热(运用串联热阻叠加原理)
带有保温层的热力管道、嵌套的金属 管道和结垢、积灰的输送管道等
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（λ随温度呈线性变化， （0 1 bt）, 0、b 为常数）
数学描述：
d dt 0
dx dx
x 0,
x
,
t t
tw1 tw2
d dx
0 (1 bt)
dt dx
0
0 (1
bt)
dt dx
c1
再积分得通解：
0
(t
b 2
t
2
)
c1x
c2
代入边界条件得其温度分布 ： （二次曲线方程）
第三章 稳态导热
1、通过平壁的导热 2、通过复合平壁的导热 3、通过圆筒壁的导热 4、通过肋片的导热分析 5、通过接触面的导热 6、导热问题分析的一些技巧
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典型稳态导热问题分析解
稳态导热问题的主要特征是物体中各点温度不随时 间变化，只是空间坐标的函数，热流也具有同样性质。
温度在空间坐标上的分布决定导热问题的维数，维 数越多问题越复杂，所以应对具体问题具体分析，从 主要因素着手，忽略次要因素，适当简化。
数学描述: d r dt 0
dr dr
r r
r1, t r2 , t
t1 t2
积分两次得通解 : t c1 ln r c2
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代入边界条件得圆筒壁的温度分布为:
r ln t t1 r1 t2 t1 ln r2
r1
圆筒壁内的温度分布 是一条对数曲线
稳态导热时圆筒壁内外壁面热
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热流量
Φ A dt A tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2
dx
A
R
W
式中： R (A) C W （整个平壁的导热热组）
热流密度
q tw1 tw2 tw1 tw2 tw1 tw2
A
r
W m2
式中： r
m2 C W （单位面积导热热组）
简化处理：当组成复合平壁各种材料的导热系数相差 不大时，可近似当作一维导热问题处理
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两侧表面 总温差
• 复合平壁的导热量：
Φ t
R
总导热热阻
B、C、D材料的导热系数相 差不大时，假设它们之间 的接触面是绝热的。
1
R
1
1
1
R A1 R B R E1 R A2 R C R E2 R A3 R D R E3
均值下的导热系数值。
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b.通过多层平壁的导热
例：房屋的墙壁由白灰内层 (1, 1) 、水泥沙浆层 (2, 2 ) 、 红砖主体层 (3, 3 ) 等组成，假设各层之间接触良好，近似地
认为接合面上温度相等。
q
t1 t2
1
t2
2
t3
t3 t4
3
1
2
3
t1
t2
t3
q
1
t1 t4
t
b t2 2
(tw1
b 2
t2 w1
)
tw1
tw2
1
b 2 (tw1
tw2 ) x
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其抛物线的凹向取决于系数 b 的正负。当
b 0 时 ， 随着 t 的增大而增大，
即高温区的导热系数大于低温区。
t1
由 Adt / dx ，平壁两侧 b<0
热流相等，面积相等，所以高温
区的温度变化率较低温区平缓，
1 ＋ 2 2 ＋ 3
3
q
t4
推广到n层壁的情况:
q
t1 tn1
n i
i1
i
t1
r1
t2 r2 t3 r3
t4
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2.通过复合平壁的导热
工程上会遇到这样一类平壁，无论沿宽度还是厚度 方向，都是由不同材料组合而成 ，称为复合平壁。
如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙。
由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的 温度场是二维或三维的。
0
形成上凸的温度分布。当 b 0 时
情况与之相反。
λ=λ0(1+bt)
b>0 t2
δ
x
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热流密度计算式为 :
q
0 1
b 2
tw2
tw1
tw1 tw2
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或
q
m
(tw1
tw2 )
式中 m 1 2 2 0 1 btw1 tw2 2 01 btm
从中不难看出，λm是平壁两表面温度对应的导热 系数的算术平均值，也是平壁两表面温度算术平
工程上，为减少管道的散热损
失，常在管道外侧覆盖热绝缘
层或称隔热保温层。