对数及其运算

4.1对数及其运算(教案)
江西省石城中学伊达东
一. 教学目标
1. 知识与技能
(1)理解对数的概念；
(2)能熟练的进行对数式与指数式的互化：
(3)能利用科学计算器进行数值分析，掌握对数的运算性质.
2. 过程与方法
经历由指数得到对数的过程，并引出对数运算性质的研究，在这个过程中进行猜想，得出规律，再进行证明.
3. 情感态度价值观
确立和增强成就意识且有正确的成就动机
二. 教学重点与难点
1. 重点：对数的概念，对数的运算性质及简单运用.
2. 难点: (1) 对数符号的理解；(2) 正确使用对数运算性质.
三. 学法与教法
1. 学法：探究交流、讲练结合.
2. 教法：讲授法、讨论法.
四. 教材分析
1. 教材以国民经济生产总值增长的实际问题引入，1.0822
x ,这是已知底数和幂的值，求指数的问题，因而要引入一种新的运算，即对数，从而引出本节的对数问题.
2. 对数的运算性质是本小节的重点之一，教材中“对数运算性质”的处理，是通过引导学生用科学计算器分析教材中给出的一系列数据中的等量关系，总结猜想出规律，再进行证明，并把在学习过程中，由于对公式辨认不清而常发生的错误，作为思考题让学生交流，这样处理，是为了让学生经历数学发现的过程.
五. 教学过程
(一) 创设情景
通过图片(从赣一中走出的快乐女生5强选手杨洋荣归母校，感恩母校)引出：
杨洋是一位非常受欢迎的歌手，她以柔美的声音和高贵的气质得到无数观众的肯定，在60强时的网上支持者就高达80000人，并以平均每日15%的速度递增. 问：
(1) 10天后支持者为多少？
(2) 多少天后杨洋的支持者将变为60强时的10倍？
得到：
x
1.15=10如何求X？
象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数的问题，现实生活中许多问题都需要求指数：如国民经济增长、放射性物质的衰变等等，因而要引入一种新的运算，这就是我们这节课要学习的内容：对数及其运算.
设计意图：(1) 引用学生身边的例子，使学生更有兴趣；
(2) 让学生体会对数形成的过程；
(3) 德育教育——励志感恩.
(二) 新课探析
1. 对数的概念
一般地，如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即b
a
=N
，那么数b 叫做以a 为底N 的
对数，记作 log a N b =,读作以a 为底N 的对数, 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 (1) 强调书写格式； （2） 解释符号“log ”，是英文单词“对数”的缩写，是一个符号，表示一种运算，已知底数、幂求指数的；
(3) 回到例题，解决问题.
2. 思考交流(对概念的进一步认识)
(1) log b
a a M
N b == (逆运算关系)
动画展示，看出指数式与对数式的实质一样，只是形式不同，它们之间是逆运算关系，可以相互转化.并且从指数的角度分析N ，a,b 的范围. 练习1 将下列指数式写成对数式:(学生口答)
(1) 4
5625=; (2) 3
13
27
-=
; (3) 43816=; (4) 515a
=.
练习2 将下列对数式写成指数式:(学生口答)
(1) 12
log 164=-; (2) 3log 2435=;
(3) 1
3
1
log 327
=; (4) lg 0.11=-. 设计意图：通过动画展示，表格对比，形象直观，便于学生理解. (2) 将()0
1
101a ,a a a ,a ==>≠写成对数式.
得出并强调 log 10a =，log 1a a =.
设计意图：从学生熟习的指数式与对数式的互化引入，显得更自然. (3) 计算并猜测：
2log 8
2
= 8 ; 6log 36
6
= 36 ;
猜测:
log a N
a = N .
证明：设log a N
a
u =，则化为对数式log log a a u N =，即u N =.
练习3:
2log 34=9 .
设计意图：(1) 从特殊到一般符合学生的认知规律； (2) 适度加深，兼顾优等生. (4) 两种在生活和科技中常见的对数.
常用对数：以10为底的对数，如10log N 记为lg N .
自然对数：以 e 为底的对数，如e log N 记为ln N
(e =2.71828……).
3. 例题
例1 求下列各式的值：(学生口答)
(1) 5log 25; (2) 3log 10
3
; (3) ln1; (4) 2.5log 2.5.
例2 求()
253log 93⨯的值.
解 设()
253log 93=u ⨯ ，则25
393u =⨯. ∴45
33
u
+=.
∴9u =即()
253log 939⨯=.
4. 对数的运算
如果转化为指数式去计算显得麻烦，有没有什么方法可以使之更简单呢？接下来，我们将通过这个表格来继续探讨对数的运算性质. 利用计算器填表并猜测有什么规律：
大胆猜测：
()lg lg lg MN M N =+ ()00M ,N >>
(1) ()log log log a a a MN M N =+ ()0100a ,a ,M ,N >≠>>
这只是我们猜测的结果，接下来给予证明.
证明：设log ,log a a M p N q ==，则由对数定义，得: p
q
a =M,a =N . 因为p
q
p+q
MN=a a =a
⋅，所以,
()log a p q MN +=,
即 ()a a a log MN =log M+log N .
那么()log a xyz = .
同学们能不能快速的计算出以下式子的结果？ (2) ()log =a MN ()n R ∈. 利用 (1)、(2) 写出 (3) 的结果.
(3)log =a
M
N
()00M ,N >>. (记忆方法) 对数运算要小心, 真数相乘对数加, 真数相除对数减,
真数乘方指数出. 设计意图：(1) 节省时间；
(2) 符合学生从特殊到一般，先猜测后证明的认知规律； (3) 由新知识得到新知识，培养学生探索知识的习惯； (4) 填空也是对公式的简单应用；
(5) 对数运算，学生经常出错，编写口决使学生加深印象. 练习4：判断对错.
(1) lg 2lg51+=; ( ) (2) ()()()()lg 35=lg 3+lg 5-⋅---⎡⎤⎣⎦; ( ) (3) ()lg =lg lg MN M N ⋅; ( ) (4) lg lg
=lg M M
N N
; ( ) (5) lg lg lg lg M
M N N
-=
; ( ) (6) ()lg lg lg M N M N +=⋅. ( )
回到例2 计算： (
)25
3log 93⨯ (利用对数运算性质答题). 练习5：15
lg100=______________.
利用运算性质，可以把高一级的运算转化成低一级的运算，这样加快了计算速度，简化
了计算过程，显示了对数计算的优越性，其实对数运算最早就出现在天文学中的距离计算中.
设计意图：(1) 通过对比，让学生感受对数运算的优越性; (2) 熟习运算性质; (3) 节省时间.
例3. 用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式：(学生板演)
（1）(
)
2
log a x yz ; （2）log a
. 设计意图：通过判断的形式让学生自己分析容易出错的式子，如00M ,N >>等，使
学生认识到这里容易出错，在使用时要想一想能不能用，通过几次练习后，自然就掌握了对数运算性质.
（三）小结
1. 体会对数的形成过程.
()log 0,1b a a N N b a a =⇔=>≠ 他们之间是逆运算关系，可以相互转化. 2. 对数的运算性质.
(1) ()log log log a a a MN M N =+ ()0100a ,a ,M ,N >≠>>;
(2) a log log n
a M n M
=()n R ∈;
(3) a
log =log log a a M
M N N
-()00M ,N >>. （四）作业
P87 T6 (1)(2)(5) （五）课后思考
1. 课本例6；
2. 如何用计算器计算引例中 1.15log 10的值？
设计意图：(1) 回到引例，前后照应;
(2) 为下一课作准备.
本节课紧紧围绕2个重点来展开，第一是对数的概念，第二是对数的运算性质.当然这节课内容较多，因此时间的分配也是这节课所要重点考虑的问题.
对于概念，向学生解释“log ”符号，并通过动画展示、表格对比，体现指数式与对数式是逆运算关系，可以相互转化.通过练习使学生达到熟练程度.
对于运算性质，是通过分析数值、猜测、推导得到的，同一个例题，一种转化为指数式，另一种运用对数运算性质进行对比，让学生体会对数运算性质的优越性. 还通过判断题加深学生对运算性质的认识,通过学生板演反馈信息.
对于时间的分配上，以学生懂的不讲，学生一听就懂的少讲，学生难理解，易错的多讲为原则，因此在指数式与对数式的互化就用的时间少一点，在对数的概念和运算性质上花的时间多一点.。