【精品】优化设计的数学基础(一)课件

式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条 件所规定的可行域。
通过最优化方法求得的一组最优设计变量：
X*[x1*,x2*, ,xn*]
表示了一个最优化的设计方案，称为最优设计点。 对应于该设计方案的目标函数为：
F * F ( X * ) F ( x 1 * ,x 2 * , ,x n * )
称为最优化值。
满足上述要求的计算过程或计算方法就是所谓的 数值迭代过程 或 数值迭代方法。
数值迭代的基本思想是：从某一个选定的初始点 X ( 0出) 发，按照某种最优化方法所规定的原则，确定适
当的方向和步长，获得第一个新的修改设计点 X (1 )，
计算此点的目标函数值 F ( X (1)使) 满足：
F(X(1))F(X(0))
X(m) X(p)
满足上述条件的点列称为基本序列，这个条件叫做点列收敛的柯西 准则。收敛条件式也可写作：
n
2
X(m) i
Xi(p)
i1
2、优化计算的终止准则
通常采用的计算终止准则有以下几种形式：
（1）当两相邻的迭代点 之间的距离足够小时用矢量的长 度来表示，即为：
X(m) X(p)
n
2
§3-4 优化设计的数学模型
综上所述，最优化问题数学模型一般表示如下： 对于无约束最优化问题：
m in F ( X )
X Rn
式中，R n 表示n维实欧氏空间。
对于约束最优化问题：
minF(X)
XDRn
D: gu(X) 0 ,
u
1,2,...,
p
hv(X) 0 ,
v=1,2....,q
或
X (k1) i
X (k) i
i1
也可以用矢量长度在各坐标轴上的分量来表示，即：
化方向和优化步长。
由于大多数工程设计问题的设计变量比较多， 函数形式也比较复杂，不易求得一阶和二阶偏导数， 因此在实际应用中，直接搜索法更受工程界的欢迎。
但不论何种具体的优化算法，它们在确定方向和 步长时都应具有以下共同之点：
（1）所选择的优化方向S是比较容易计算的；
（2）所选择的优化方向应尽可能指向目标函数F（X）的极小点， 至少在每一个迭代点 附近是指向F（X）的极小点；
最优点和最优值两者构成了一个优化问题的最优解。
在数学模型中，若目标函数F（X）和约束函数 g u ( X )
和 h v ( X )都是设计变量 x1*,x2*, ,x的n*线性函数，
这样的优化问题常称为线性规划问题，否则称为非线 性规划问题。
§3-5数学模型的几何描述
为了进一步说明最优化问题的一些基本概念，下面
在机械设计中，可作为参考目标函数的有：
体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力 最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成 本最低、耗能最小、动负荷最小等等。
在最优化设计问题中，可以只有一个目标 函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提 出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数 的最优化问题。在一般的机械最优化设计中， 多目标函数的情况较多。
X (k 1 )X (k) a (k)S (k)
a ( k ) ——第n步迭代计算的步长。
二、优化方法的分类
目前已有的最优化方法很多，各种方法的区别 就在于确定方向S和步长a的方法不同。这些方法 可大致归纳为两大类：
1．直接搜索法 这种方法只需要进行函数的计算与比较来确定优化的方向和
步长。
2．间接法 这种方法需要利用函数的一阶或二阶偏导数矩阵来确定优
X (1)
X (2)
。。。
最终达到与理论最优点X*非常逼近的近似最优点X**
X (k 1 ) X (k) X (k)
x (k 1) 1
x (k 1) 2
x (k) 1
x (k) 2
xx12((kk))
x3(k
1)
x3(k
)
x3(k
)
式中的 X (就k) 是以 X为(k ) 新起始点，沿着一定的方向 S (k ) 以一定的步长 确定下一个设计点 X (k+的1) 改进迭代矢 量。由此可知，每一步迭代格式可写作：
优化设计的数学基础(一)
优化设计的数学模型是描述实际优
化问题的设计内容、变量关系、有关设 计条件和意图的数学表达式，它反映了 物理现象各主要因素的内在联系，是进 行优化设计的基础。
二、可行域和非可行域
可行域： 在可行域内任意一点称为可行设计点（内点），
代表一个可行方案, 可行设计点的集合D称为可行设计 区域。
X (k)
（3）所选的步长a应在已定方向上使目标函数达到极小，或者至 少使目标函数值有所下降。
三、迭代点列的收敛条件和终止准则
1．点列收敛的柯西准则
若某种迭代过程所选择的设计点序列为： X(k), k0,1,2...
若点列是收敛的，即存在极限： limX(k) X* k
点列 收敛的必要与充分条件是，对于任意指定的足够小的正数ε， 存在着自然数N，使得当两个自然数m和p大于N时满足：
再对它作必要的几何描述，以便比较直观地、形象化地 理解它。先以一个二维优化问题为例。
设有一个约束最优化问题，数学模型如下：
m in ( x12 x22 4 x1 4 ) X D R2
D：
Hale Waihona Puke g1( X ) x1 g 2 ( X ) x12
x2 x2
2 0
1 0
g 3 ( X ) x1 0
g4(X ) x2 0
对于这样一个优化问题，可用下图的几何图形来说明 几个基本概念。
§3-6 优化设计的迭代过程 及终止准则
一 、迭代过程与迭代格式
为了适应电子计算机的工作特点，要求最优 化方法具有下列性质：
1. 数值计算，而不是解析方法； 2. 具有简单的逻辑结构，并能进行反复的运算过程： 3. 不要求获得精确解，而只要求有足够精度的近似解。
非可行域： 在可行域外的点称为非可行设计点（外点），代
表不可采用的设计方案，这种设计点的集合为非可行 域。
§3-3 目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设 计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标 函数，以F(X)表示。
F (x)F (x 1 ， x2 ， ， xn)
在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方 向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。在构造 目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所 有的设计变量必须包含在约束函数中。