不等式与不等关系
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
§1 1.2 不等关系与不等式
i > j > 0, a j = a1q j −1 , (2)对于任意的 (2)对于任意的
ai = aq = aq 1 1
,
i− 1
( j− +(i− j) 1)
= aq 1
( j− (i− j) 1)
q
= ajq
(i− j)
,
2 因 0 < q <1,由 等 的 要 质3,有q2 <1 =1 为 质3 不 式 主 性
因此, 因此,
a+m a a > , 又 ≥ 10%, b+m b b
一般地, 为正实数, 一般地,设 a,b 为正实数,且 a < b, m > 0 ,则
a+m a > . b+m b
日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 糖水越加糖越甜
1．不等式(1)a2＋2>2a；(2)a2＋b2≤2(a－b－1)；(3)a2＋b2>ab 恒成立的个数是 B ) ．不等式 恒成立的个数是( ； － － ； A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
思考:如何进行作差比较呢? 思考:如何进行作差比较呢?
作差比较法其一般步骤是: 作差比较法其一般步骤是: 其一般步骤是
作差→变形→判断符号→确定大小. 作差→变形→判断符号→确定大小.
（ 的大小. 例 1 试比较 x + 1)( x + 5) 与 ( x + 3) 的大小
2
解:由于
（x + 1)( x + 5) - ( x + 3) 2
m＋ n
的大小关系是( 与 d ＋ d 的大小关系是 A )
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
3.1.2不等式与不等关系
不 等 式 的 性 质
移项法则— a+c>b a>b-c 同向可加— a>b，c>d a+c>b+d ac>bc c>0 可乘性— a>b, c<0 ac<bc 推 论
同向正可乘—a>b>0，c>d>0 ac>bd
推 论
可乘方— a>b>0 an>bn 可开方— a>b>0
变式1：已知-
2
，求
2
2
2
的取值范围.
变式2：已知f（x） =ax c， 且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5, 求f（3）的取值范围.
[解题心得]：在同时应用多个不等式时， 很容易改变不等式的范围，要注意解题 方法。
含参数的不等式 设a 0且a 1，t 0， 1 t 1 比较 log a t与 log a 的大小. 2 2
bm)·(an－bn)≥0.故am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.
利用比较法可证明函数的单调性和凸凹性等问题．
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
解法一：f(x)为二次函数，图象过原点．可设f(x)＝ax2＋bx， 而1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴1≤a－b≤2,3≤a＋b≤4.
(同向不等式的可乘性)
n n * a b 0 a b ( n b 0 a b (n N , n 2) (可乘方性、可开方性)
n n *
c c 例１:已知a>b>0,c<0,求证 a b
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
初中数学教案：不等式与不等关系
初中数学教案：不等式与不等关系一、引言：数学是一个既有理论性又有实践性的学科，它在我们的日常生活和职业发展中都起着重要的作用。
其中，不等式是数学中一种重要的概念，不仅广泛应用于数学领域，还与我们的生活息息相关。
本文将介绍初中数学教案中关于不等式与不等关系的内容。
二、不等式的概念与表示方法：1. 不等式的定义：不等式是用不等于号（<, >, ≤, ≥）表示的数值之间的关系。
在不等式中，左侧被比较的数值称为被减数，右侧被比较的数值称为减数。
2. 不等式的表示方法：（1）数线图表示法：将不等式中的被减数和减数用点标在数线上，并用箭头指向较大的数值。
例如，x > 2 在数线上表示为：●—————————>0 1 2 3.....（2）集合表示法：将不等式中满足条件的数值放在一对大括号内，形成一个集合。
例如，x > 2的集合表示为 { x | x > 2 }。
三、不等式的性质与解法：1. 不等式的性质：（1）同侧性质：对于不等式a > b和c > d，如果a > b + c，那么也有a > b + d。
（2）反射性质：对于任意数a，有a = a。
（3）传递性质：对于不等式a > b和b > c，必然有a > c。
2. 不等式的解法：（1）加减法解法：通过加减同一个数使得不等式中的被减数或减数消失，得到新的等价不等式。
例如，对于不等式2x - 3 > 7，可以通过加3两边得到2x > 10，再除以2得到x > 5。
即得到解集{x | x > 5}。
（2）乘除法解法：通过乘除同一个正数或负数使得不等式中的被减数或减数消失，得到新的等价不等式。
需要注意的是，对于乘除法解法，当乘除以一个负数时，不等号的方向需要反向。
例如，对于不等式3x < 15，可以通过除以3两边得到x < 5。
即得到解集{x | x < 5}。
《不等关系与不等式》 知识清单
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。
比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。
不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。
不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。
二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。
1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。
（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。
（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。
2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。
高一数学不等关系与不等式
例1 某用户计划购买单价分别为60元、70 元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超 过500元，根据需要，软件至少买3片，磁 盘至少买2盒，用不等式组表示软件数x与 磁盘数y应满足的条件.
60x 70 y 500 x 3 y 2
典例讲评
例2
比较下列两组代数式的大小：
(1)x2+3与3x； (2) x6+1与x4+x2；
根汉正经历着壹场恐怖の挑战,傲仙谷中所有の飘浮岛都被打成了渣子了,光影阵还有大量の宫殿都消失不见了.这里只剩下了下面の壹片灵元之海,方圆几万里之巨の灵元之海,此时他整个人正飘浮在灵元之海の上空,而海中心有十几根巨型の水柱正不断の冲击着他の元灵.天府府主不见了, 那个娘们尔逃掉了,利用这里の传送阵,不知道传送到哪里去了.不过在她临走之前,却给了根汉壹个大招,她将这汪灵元之海给引动了,并且利用根汉在驾驭仙阵の时间,将灵元之海引到了根汉の元灵中.所以根汉才通体变成了金色,而且整个人变成了壹个千米高の金色巨人,四肢都膨胀了许多. 他也是有苦难言,这汪灵元之海是有灵性の,早就成了精了,自己根本就无法挣开这个灵元之海,灵元之海就像是找到了壹个宣泄口,不断の注入到了自己の元灵之中.所以根汉の修为也像坐火箭壹般往上窜,之前还是高阶圣境初期三重左右の水平,现在才这么壹会尔の功夫就达到了高阶圣境中 期壹重の水平了,竟然往上拔了好一些小境界了.圣境の话,壹般还可以进行分级,有明确の界限.如果往上再到了绝强者之境の话,其实就没有什么境界可分の了,就单人の实力强弱了,有时同是绝强者,但是实力会千差万别.圣境,分为初中高三个主境界.而初阶,中阶两个圣境,分别又分为初阶 壹重到九重,中阶壹重到九重.而高阶圣境,分の更细.高阶圣境,首先就分为初中高三阶,然后每壹阶又能分为壹到九重.这不是修行者吃饱了没事,而是步入到高阶圣境
不等关系与不等式
a －b ＞0 ⇔ a ＞b a＞
思考4 如果两个实数的差等于零， 思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？ 数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语 言描述这个原理？ 言描述这个原理？
学生活动one 学生活动one
雷电的温度大约是28000℃，比太阳 ℃ 雷电的温度大约是 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温 倍还要高。 表面温度的 倍还要高 度为t 那么t应满足怎样的关系式 应满足怎样的关系式？ 度为 ℃，那么 应满足怎样的关系式？
4.5t<28000
课堂评价：用不等式表示下面的不等关系： 课堂评价：用不等式表示下面的不等关系：
698 x + 518 y ≤ 4000 x ≥ 0 y≥0 x, y ∈N*
实际应用中建构数学
实际问题： 实际问题：不等关系
抽象 概括 刻 画
数学问题： 数学问题：不等式
三、不等式基本原理 思考1 实数可以比较大小，对于两个实数a 思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，
1.a与b的和是非负数； 与 的和是非负数 的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对通过车辆的高度 “限高 某公路立交桥对通过车辆的高度h“ 某公路立交桥对通过车辆的高度 4m” ”
0<h≤4
数学应用
二、用不等式组来表示不等关系
学生活动two 学生活动two
这是某酸奶的质量检查规定 脂肪含量（ ） 脂肪含量（f） 不少于2.5％ ％ 不少于 蛋白质含量（ ） 蛋白质含量（p） 不少于2.3％ ％ 不少于
不等关系与不等式
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 作差 解: ∵ ( a 3)( a 5) ( a 2 )( a 4 )
变形
∵ a 、 、 m 都是正数,且 a b b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号
确定大小
∴
bm am
b a
0
∴
bm am
b a
例 4 .当 p , q 都 为 正 数 且 p + q = 1 时 ， 试 比 较 代 数 式 (px qy ) 与 px qy 的 大 小
2 2
>
练习2. 比较下列各组中两个代数式的大小 :
(1)当x 1 , x 与x x 1; 时
3 2
(2) x y 1与2( x y 1).
2 2
练3. ,乙两人同时从A出发去B地,已知甲在前一半 甲 路程的速度为v1 , 而在后一半的路程为v2 (v1 v2 );乙 在前一半时间的速度为v1 , 而在后一半时间的速度 为v2 . : 两人中谁先到达B地 ? 问
• • • •
作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形，将两个实数作差，作差后变形为： ①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形 式． • (3)定号，即判断差的符号是正、负还是零． • (4)结论，利用实数大小之间的关系得出结论．
不等关系与不等式
个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式
同向.
（4）性质4说明①在一个不等式的两边同乘一个非 零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负
性；②在性质4的推论中，要注意所有的字母都是正数，
例如，如果仅有a>b,且c>d，就不能推出ac>bd；同时有 两个异号不等式，如a>b>0,0<c<d，也不能推出ac>bd.
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甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食 （同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮 方式也不同.其中，甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解：设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为
2 000 2ab a b 元，乙的平均价格为 n , m 1 000 1 000 a b 2 a b a b 2ab (a b) 2 m n 0 .∴乙合算. 2 a b 2(a b)
返回目录Biblioteka 1.用数学符号“≠”，“>”,“<”,“≥”,“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关 含有这些不等号 系,
.
的式子，叫做不等式.
2.常用不等式的基本性质： （1）a>b ,b>c a > c ; （2）a>b a+c > b+c ; （3）a>b,c>0 ac > bc ; （4）a>b,c<0 ac < bc ; （5）a>b ,c>d a+c > b+d ; （6）a>b>0,c>d>0 ac > bd ; （7）a>b>0,n∈N，n>1 an > bn; > nb . （8）a>b>0,n∈N,n>1 n a
不等式与不等关系
不等式与不等关系一、概念引入不等式是数学中的一种重要概念，与等式相对应。
不等式表示了数值之间的大小关系，常用于描述实际问题中的约束和条件。
不等式由不等号连接的两个数或表达式组成，不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）。
二、基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性指若a>b 且b>c，则有a>c。
例如，若3>2 且2>1，则有 3>1。
2. 不等式的加减运算性质若 a>b，则 a+c>b+c。
例如，若 3>2，则有 3+1>2+1。
3. 不等式的乘除运算性质当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc。
例如，若 3>2，则有 3×2>2×2。
当c<0 时，不等号方向反向。
三、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数，并且该未知数的最高次幂为一次的不等式。
例如，2x+3>5、4x-1<10等都是一元一次不等式。
解一元一次不等式的方法包括图解法、试值法和代数法。
图解法将不等式表示在数轴上，利用数轴的方向性确定不等式的解集。
试值法则通过给定一个试探值，并代入不等式中验证是否成立。
代数法则通过一系列的变形和运算，将不等式化简为更简单的形式，从而求得解集。
四、二元一次不等式组二元一次不等式组是指包含两个未知数的一次不等式的系统。
常用于描述平面上的几何关系和约束条件。
解二元一次不等式组一般采用图解法。
将两个不等式表示在二维直角坐标系中，分别确定两个不等式的解集，然后找出二者的交集区域，即为不等式组的解集。
五、不等关系不等关系是用于比较两个不等式的关系。
常见的不等关系包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）以及不等于（≠）。
不等关系可以根据两个不等式之间的关系，利用布尔运算（与、或、非）进行合并和推导。
不等关系与不等式的性质
2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。
在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。
引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。
特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。
如果a>b且b>c，那么a>c。
不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。
不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。
不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。
用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。
03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。
加法单调性也就是不等式方向不变。
乘法单调性积大于每一个因数。
任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。
反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。
不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。
线性不等式未知数是线性组合的不等式。
不等式与不等关系
不等关系与不等式一、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：)()(x g x f >，)()(x g x f ≤等等。
例1：已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的二、掌握实数的运算性质与大小顺序间的关系实数的运算性质：b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0。
例2：已知a 、b 为正实数，试比较a b b a +与b a +的大小。
三、不等式的性质与推论①对称性：a b b a <⇔>；②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0；推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，n n b a n >⇒>1； ⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n n b a n >⇒>1。
主要题型：1．利用不等式的性质证明不等式利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。
解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的几条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。
例3：若0>>b a ，0<c ，求证：bc a c >。
2．利用不等式的性质求取值范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围。
不等关系与不等式介绍
不等关系与不等式介绍不等关系是数学中常用的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系，即比较两个数的大小。
在数学中,不等关系可以表示为"大于"、“小于”、“大于等于”、“小于等于”。
不等关系可以形成不等式，不等式是含有不等号的数学式子。
不等关系是不等式的基础，而不等式则是对不等关系进行了约束。
在不等关系中，常常使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示。
为方便表达，我们将两个数用变量表示，一般用字母x或y来表示。
例如，若x>y，表示x比y大；若x<y，表示x比y小；若x≥y，表示x大于等于y；若x≤y，表示x小于等于y。
不等关系可以直接表示两个数之间的大小关系，而不等式则将不等关系进行了约束，通过不等式可以表示一系列满足条件的数的范围。
不等式可以分为一元不等式和二元不等式。
一元不等式是只含有一个未知数的不等式，二元不等式是含有两个未知数的不等式。
解不等式即求不等式的解集，即满足不等式条件的变量值的范围。
解不等式的方法与解方程的方法有些相似，但由于不等式的特殊性，有一些注意事项。
对于一元不等式，可以通过将不等式化简为等价的形式，然后求解，在不等式两边施以同一个正数或同一个负数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们可以将其化简为2x>12，再除以2得到x>6，所以该不等式的解集为{x，x>6}。
当不等式左右两边均含有未知数，即为二元不等式时，需要绘制不等式的图形来找出解集。
一般将不等式转化为一元不等式的形式，取出一个未知数，再通过绘制图形来求解。
例如，对于二元不等式2x+3y≤8，我们可以将其转化为一元不等式2x≤8-3y，再通过绘制图形求解。
在绘制图形时，将不等式转化为等式，将未知数看作坐标轴上的变量，找出所有使等式成立的点，再根据不等式的符号来确定图形中的哪些点属于解集。
不等式与不等关系教案
不等式与不等关系教案教案标题：不等式与不等关系教案目标：1. 学生能够理解不等式和不等关系的概念。
2. 学生能够解决简单的一元一次不等式，并理解解集的含义。
3. 学生能够在实际问题中应用不等式和不等关系。
教学准备：1. 幻灯片或黑板/白板2. 笔和纸3. 一些实际问题的示例4. 不等式和不等关系的定义和性质的学习材料教学流程：一、导入（5分钟）1.通过示例问题引入不等式的概念，例如：“小明现在身高150厘米，他想知道自己是否已经超过了平均身高，该怎么判断？”二、概念讲解（10分钟）1.解释不等式的定义和符号表示，例如：“不等式是一个数学语句，其中包含不等于号（<,>）。
”2.引导学生了解不等关系，例如：“不等关系是比较两个数之间的大小关系，如大于、小于、大于等于、小于等于。
”三、解决一元一次不等式（15分钟）1.通过示例解决一元一次不等式，让学生熟悉解题步骤和方法。
2.学生进行课堂练习，检查答案。
四、实际问题应用（15分钟）1.给学生提供一些实际问题的示例，要求学生用不等式和不等关系来解决问题。
2.让学生分享解决问题的过程和答案。
五、巩固与拓展（10分钟）1.进行一些巩固练习，确保学生掌握了不等式和不等关系的概念和解题方法。
2.拓展练习，提升学生的思维能力和应用水平。
六、作业布置（5分钟）1.布置一些相关的作业题目，巩固学生的知识和技能。
2.鼓励学生积极思考，并提供必要的指导和支持。
教学反思：在教学过程中，要确保学生理解不等式和不等关系的概念，并能够运用到实际问题中。
教师可以通过引入示例问题、课堂练习和实际问题应用等方式，激发学生的兴趣并提高他们的学习效果。
在教学过程中，要适时进行巩固和拓展，确保学生牢固掌握所学知识。
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A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件 也不必要条件
D．既不充分
【解析】 a＞b且c＞d⇒a＋c＞b＋d，
但a＋c＞b＋d推不出a＞b且c＞d，选A.
【答案】 A
3．已知 a＜b＜0，则下列不等式成 立的是( )
3 A.
a＜3
b
B. a2＜ b2
3 C.
－a＜3
－b
D. －a＜ －b
【解析】 ∵a＜b＜0， ∴－a＞－b＞0， ∴ a2＞ b2，3 －a＞3 －b， －a＞ －b，即选项 B、C、D 错 误．
知识梳理
1．两个实数大小的比较原理 (1)差值比较原理：设 a、b∈R，则 a＞b⇔a－b＞0，a＝b ⇔a－b＝0，a＜b⇔__a_－__b_<_0_. (2)商值比较原理：设 a、b∈R＋，则ab＞1⇔a＞b，ab＝1⇔a ＝b，ab＜1⇔_a_<__b__.
2．不等式的性质 性质1：a＞b⇔__b_<_a__(对称性)． 性质2：a＞b，b＞c⇒__a_>_c__(传递性)． 性质3：a＞b⇔___a_＋__c_>_b_＋__c_____. 性质4：a＞b，c＞0⇒__a_c_>_b_c__；a＞b，c＜0⇒__a_c_<_b_c__.
a＋
b
a－
b2 .
ab
ab
∵a>0，b>0，∴ a＋ b>0， ab>0.
又∵( a－ b)2≥0(当且仅当 a＝b 时等号成立)，
∴ a＋ b a－ b2≥0.因此 b ＋ a ≥ a＋ b
ab
ab
法二 a ＋ b ＝ a＋ ba＋b－ ab
ba
ab
又 a＋b≥2 ab＞0，当且仅当 a＝b 取等号，
.
∴f(3)＝9a－c＝83f(2)－35f(1)．
∵－1≤f(2)≤5，∴－83≤83f(2)≤430.
又∵－4≤f(1)≤－1，
∴(－53)×(－1)≤－35f(1)≤(－53)×(－4)． ∴－83＋35≤38f(2)－35f(1)≤430＋230， 因此－1≤f(3)≤20.,
1．(1)本题中求 f(3)的范围时，先得到－35f(1)与38f(2)的范围，再 用同向不等式相加得到 f(3)的范围．(2)解决此类问题，应先把所求用 已知范围的式子表示出来，然后再用不等式的性质求解．本题中 a 与 b 相互制约，切忌将 f(1)与 f(2)消元，求 a 与 c 的范围．
考点3：不等式性质的应用
已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，
－1≤f(2)≤5.求f(3)的取值范围．
【思路点拨】 用f(1)，f(2)表示出a，c，然后把f(3)用f(1)，f(2)表示
出来． 【尝试解答】 由a4－a－c＝c＝ff12 ，
解得ac＝＝－13[f34f21－＋f131f]2
以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．
性质 5：a＞b，c＞d⇒__a_＋__c_>_b_＋__d__(加法法则)．
性质 6：a＞b＞0，c＞d＞0⇒_a_c_>_b_d___(乘法法则)． 性质 7：a＞b＞0，n∈N*⇒_a_n_>_b_n_____(乘方法则)．
n a>n b 性质 8：a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒____________(开方法则)． 性质 9：ab＞0，a＞b⇒_____1a_<_b1_________(倒数法则)．
考点1：利用不等式(组)表示不等关系
某汽车公司由于发展的需要需购进一批 汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购 买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和 B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆， B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【思路点拨】 设出购买A型汽车和B型汽车的辆数，然后根据购买汽 车的资金金额与A型和B型汽车的车辆数，列出不等式组．
因此(
a＋ b
b a)/(
a＋
b)
＝a＋b－ ab
ab＝a＋abb－1≥2－1＝1.
所以 b ＋ a ≥ ab
a＋
b(当且仅当 a＝b 取等号)．,
:
“比较法”有“作差比较法”和“作商比较法”两种． (1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判 断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、 因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号． (2)“作商比较法”的依据是“ab>1，b>0⇒a>b”，是把两数的大 小比较转化为两数的商与 1 进行比较，在数式结构含有幂或根式时， 常采用比商法．
不等式与不等关系
1．(教材改编题)若 a、b、c∈R，a＞b，
则下列不等式成立的是( )
A.1a＜1b
B．a2＞b2
C.c2＋a 1＞c2＋b 1
D．a|c|＞b|c|
【解析】 ∵c2＋1≥1， ∴根据不等式的性质知c2＋a 1＞c2＋b 1成立．
【答案】 C
2．(2012·清远模拟)“a＞b且c＞d”是“a ＋c＞b＋d”的( )
大于， 小于， 至少， 小于等于，至 高于 低于 不低于 多，不超过
＞
＜
≥
≤
考点2：比较大小
比较 a ＋ b 与 ba
a＋
b的大小．
【思路点拨】 利用比差或比商法比较大小．
【尝试解答】
法一
a
＋
b
－(
a＋
b)
b a
＝a a＋b b－ ab a＋ b＝a a－ b－b a－ b
ab
ab
＝
a－
ba－b＝
【尝试解答】 设购买 A 型汽车 x 辆，购买 B 型汽车 y 辆，
则 x，y 满足的不等关系为
40x＋90y≤1 000
x≥5
y≥6
.
x，y∈N
1．解答本题时，应注意“不超过”，“至少”等关键词 所表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．
2．常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 符号语言
【答案】 A
Hale Waihona Puke 4．已知a，b，c∈R，有以下命题： ①若a＞b，有ac2＞bc2； ②若ac2＞bc2，则a＞b； ③若a＞b，则a·2c＞b·2c. 以上命题中正确的是________(请把正确命 题的序号都填上)．
【解析】 对于命题①，当c＝0时，ac2＝bc2，故①错， 对于命题②，c2＞0，则a＞b成立，故②正确， 对于命题③，∵2c＞0，∴a·2c＞b·2c成立，故③正确． 【答案】 ②③
若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y) 的大小．
【解】 (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2] ＝－2xy(x－y)． ∵x<y<0， ∴xy>0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．