高数同济五版 (31)

10-6

1. 利用高斯公式计算曲面积分:

(1)⎰⎰∑

++dxdy z dzdx y dydz x 222, 其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =a , y =a , z =a 所围成的立体的表面的外侧;

解 由高斯公式

原式dv z y x dv z R y Q x P )(2)(++=∂∂+∂∂+∂∂=Ω

Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===Ωa a a a dz dy xdx xdv 0400366

(这里用了对称性). (2)⎰⎰∑

++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧;

解 由高斯公式

原式dv z y x dv z R y Q x P )(3)(222++=∂∂+∂∂+∂∂=Ω

Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππ

ϕϕθ20004sin 3a

dr r d d 55

12a π=. (3)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322, 其中∑为上半球体 x 2+y 2≤a 2, 2220y x a z --≤≤的表面外侧;

解 由高斯公式

原式dv y x z d z R y Q x P )()(222++=∂∂+∂∂+∂∂=Ω

Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=ππ

ϕϕθ2020022sin a dr r r d d 552a π=. (4)⎰⎰∑

++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑界于z =0和z =3之间的圆柱体

x 2+y 2≤9的整个表面的外侧;

解 由高斯公式

原式π813)(==∂∂+∂∂+∂∂=

ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰dv dv z R y Q x P . (5)⎰⎰∑

+-yzdxdy dzdx y xzdydz 24,其中∑为平面x =0, y =0, z =0, x =1, y =1, z =1所围成的立体的全表面的外侧.

解 由高斯公式

原式dv y y z dv z R y Q x P )24()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=Ω

Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=-=1010102

3)4(dz y z dy dx . 2. 求下列向量A 穿过曲面∑流向指定侧的通量:

(1)A =yz i +xz j +xy k , ∑为圆柱x +y 2≤a 2(0≤z ≤h )的全表面, 流向外侧; 解 P =yz , Q =xz , R =xy ,

⎰⎰∑

++=Φxydxdy xzdzdx yzdydz

dv z xy y xz x yz ))()()((

∂∂+∂∂+∂∂=Ω⎰⎰⎰00==Ω

⎰⎰⎰dv . (2)A =(2x -z )i +x 2y j - xz 2k , ∑为立方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a , 0≤z ≤a ,

的全表面, 流向外侧;

解 P =2x -z , Q =x 2y , R =-xz 2,

⎰⎰∑

++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz

dv xz x dv z r y Q x P )22()(2-+=∂∂+∂∂+∂∂=ΩΩ

⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=-+=a a a a a dz xz x dy dx 023

200)62()22(. (3)A =(2x +3z )i -(xz +y )j +(y 2+2z )k , ∑是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧.

解 P =2x +3z , Q =-(xz +y ), R =y 2+2z ,

⎰⎰∑

++=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz

dv dv z R y Q x P )212()(+-=∂∂+∂∂+∂∂=Ω

Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰π1083==Ω⎰⎰⎰dv . 3. 求下列向量A 的散度:

(1)A =(x 2+yz )i +(y 2+xz )j +(z 2+xy )k ;

解 P =x 2+yz , Q =y 2+xz , R =-z 2+xy ,

)(2222div z y x z y x z

R y Q x P ++=++=∂∂+∂∂+∂∂=A . (2)A =e xy i +cos(xy )j +cos(xz 2)k ;

解 P =e xy , Q =cos(xy ), R =cos(xz 2),

)sin(2sin div 2xz xz xy x ye z

R y Q x P xy --=∂∂+∂∂+∂∂=A . (3)A =y 2z i +xy j +xz k ;

解 P =y 2, Q =xy , R =xz ,

x x x z

R y Q x P 20div =++=∂∂+∂∂+∂∂=A . 4. 设u (x , y , z )、v (x , y , z )是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续 偏导数的函数, n u ∂∂, n

v ∂∂依次表示u (x , y , z )、v (x , y , z )沿∑的外法线方向 的方向导数. 证明

dS n u v n v u dxdydz u v v u )()∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰∑

Ω, 其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知

dxdydz z v y v x v u )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω

⎰⎰⎰ dxdydz z v

z u y v y u x v x u dS n v u )(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω,

dxdydz z u y u x u v )(222222∂∂+∂∂+∂∂Ω

⎰⎰⎰