周期性非正弦电路分析
非正弦周期性电流电路
增加能耗
非正弦周期性电流可能导致额外的 能耗，增加能源消耗和运营成本。
非正弦周期性电流的消除方法
电路中加入滤波器可以 滤除非正弦周期性电流成 分。
优化电源设计
优化电源设计，提高电源 的输出质量，减少非正弦 周期性电流的产生。
采用线性负载
采用线性负载可以减少谐 波干扰和非正弦周期性电 流的影响。
非正弦周期性电流电 路
目录
• 非正弦周期性电流电路概述 • 非正弦周期性电流的产生与影响 • 非正弦周期性电流电路的分析方法
目录
• 非正弦周期性电流电路的实验研究 • 非正弦周期性电流电路的工程应用 • 非正弦周期性电流电路的发展趋势与展望
01
非正弦周期性电流电路概 述
定义与特点
特点
定义：非正弦周期性电流电 路是指电路中的电流呈非正
在控制系统中的应用
执行器控制
非正弦周期性电流电路可以用于执行器的控制，以实现系统的稳 定性和动态性能。
传感器信号处理
非正弦周期性电流电路可以用于传感器信号的处理，以提取有用 的信息并进行反馈控制。
伺服系统
非正弦周期性电流电路可以用于伺服系统的设计，以实现精确的 位置和速度控制。
06
非正弦周期性电流电路的 发展趋势与展望
如雷电、电磁场等外部因素可能对电 路产生干扰，导致非正弦周期性电流 的产生。
电路中元件的非线性
电路中的元件，如电阻、电容、电感 等，可能具有非线性特性，导致非正 弦周期性电流的产生。
非正弦周期性电流对电路的影响
电压波动
非正弦周期性电流可能导致电压 波动，影响用电设备的正常运行。
谐波干扰
非正弦周期性电流可能产生谐波干 扰，影响通信和信号处理设备的性 能。
非正弦周期信号电路
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
电路基础-B第9章非正弦周期电路的稳态分析
9(19)
第9章
非正弦周期电路的稳态分析
9.3 非正弦周期信号激励下的稳态电路分析
1、分析思路 非正弦周期信号的谐波分析法
非正弦周期信号 傅里叶级数
直流信号和一系列 不同频率正弦信号
分别计算直流信号和 单个正弦信号的响应
→ 线性叠加求最后响应
2、分析步骤 （1）把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分
T 0
f (t)cos(k1t)dt
2 103
103 0
5103 t
cos(k1t )dt
0
2
bk T
T 0
f (t)sin(k1t)dt
2 103
103 0
5 103
t
sin(k1t )dt
5 kπ
故u(t)傅里叶级数展开式为：
u(t )
2.5
5 π
sin1t
1 2
sin21t
1 3
cos(k1t
k
2 ) dt
经分析有：电流i的有效值为: I
I02
I2 (1)
I2 (2)
非正弦周期电流的有效值等于直流分量的平方与各次谐波
有效值的平方之和的平方根。
同理：电压u的有效值为: U
U02
U2 （1）
U2 （2）
9(17)
第9章
非正弦周期电路的稳态分析
9.2.2 非正弦周期函数的平均功率
sin5a sin5t
Am
1 4a
3
a
Am (1 )
波
25
1 k2
sinka
s in kt
)
(k为奇数)
9(10)
名称
三 角 波
ch10讲稿-电路原理教程(第2版)-汪建-清华大学出版社
10-1 傅里叶级数提要
f (t)=A0+k=1Akmsin(kt+k)
A0 — 常数项 （直流分量）
— 基波角频率
=
2 T
k — 整数(k次谐波）
f (t)=A0+ Bkmsinkt + Ckmcoskt
k=1
k=1
Akm= B2km+C2km
A0=
1 T
0Tf(t)dt
k=tg
–1
Ckm Bkm
i1
+ LTI
+
-uS1
N0
i2
+ LTI
- +
uS2
N0
+•• •
2
直流稳态 电路
L 短路 C 开路
I•1
-+U• S1
i(t)=I0+ i1(t)+ i2(t)+
P=P0+P1+P2+
Z(j)
I•2
-+U• S2
Z(j2)
I= I20+I21+I22+ 谐波阻抗的概念
例1
R=6， L=2，1/C=18，u=[18sin(t30º)+ 18sin3t+9sin(5t+90º)]V ，求电压表和功率表的读数。
Re
输出 C3
(3) 电路中含有非线性元件
+
+
R
-
-
(3) 电路中含有非线性元件
+
+
R
-
-
• 本章的讨论对象及处理问题的思路
非正弦周期 变化的电源
线性时不变 电路
非正弦周期电流电路分析
非正弦周期电流电路分析简介非正弦周期电流电路是一种电路，其中电流的波形不是正弦曲线。
这种电路通常由非线性元件或者非理想元件构成，导致电流波形发生变化。
本文将对非正弦周期电流电路进行分析，探讨其中的特点和应用。
非正弦周期电流的产生非正弦周期电流可以由多种方式产生，包括以下几种常见情况：1.非线性元件的非线性特性导致电流波形变化。
例如，二极管在反向偏置时会产生非线性特性，导致电流波形不是正弦曲线。
2.非理想元件的特性导致电流波形变化。
例如，电感元件的饱和和饱和恢复会导致电流波形非正弦。
3.控制信号或输入信号的特性导致电流波形变化。
例如，方波、脉冲或其他非正弦的控制信号输入到电路中时，会引起电流波形的变化。
非正弦周期电流的特点非正弦周期电流具有以下几个特点：1.波形失真：由于非线性元件或非理想元件的特性，非正弦周期电流的波形会失真。
这种失真包括高次谐波的增加或者波形畸变。
2.频谱分布：非正弦周期电流的频谱分布比正弦电流更加复杂。
由于波形的非线性和不规则，频谱中会包含多个谐波成分。
3.能量损耗：非正弦周期电流的能量损耗比正弦电流更大。
由于电流波形的非正弦特性，导致电路中存在额外的损耗。
4.信号干扰：非正弦周期电流会产生更多的信号干扰。
由于频谱中存在多个谐波成分，这些谐波会干扰其他电路或设备的正常运行。
非正弦周期电流电路分析方法对于非正弦周期电流电路的分析，可以采用以下方法：1.线性电路分析：首先将非正弦周期电流分解为多个谐波成分，然后对每个谐波成分进行线性电路分析。
通过将各个谐波成分的响应叠加，可以得到整个非正弦周期电流电路的响应。
2.时域分析：使用时域分析方法，通过观察电流波形的变化来理解非正弦周期电流电路的工作情况。
这种方法适用于简单的电路，可以直接观察电流波形的特点。
3.频域分析：使用频域分析方法，对非正弦周期电流的频谱进行分析。
通过观察频谱中的谐波成分，可以了解电流波形的非正弦特性。
4.仿真分析：使用电路仿真软件，对非正弦周期电流电路进行仿真分析。
非正弦周期信号的电路
R=200
u1
u1
C
50f
u2
240V
t
解： （1）计算直流分量作用的结果（C开路）
U20=240V
（2）计算100HZ，100V交流分量作用的结果；
10
u11 100 2 sin2 100tV
XC
1
2fC
1
2 100 50106
32
Z1
R
1
jC
200
j32 202.5 9o
•
U 21
•
U11•
jXC
Z1
1000o ( j32) 202.5 9o
16 81o
11
u21 16 2 sin(2 100t 81o )
（3）将两结果叠加（瞬时值叠加）
u2 U20 u21
24016 2 sin(2 100t 81o )V
12
非正弦周期信号的电路
非正弦周期信号 不是正弦波 按周期规律变化
T
t
t
T
T
t
矩形波
全波整流波形
锯齿波
2
1.1 非正弦周期量的分解
设频率为 的非正弦周期电压u( t ) (满足狄里赫利
条件) ，可分解为傅立叶级数（可查手册）。
u(t ) U0 U1m sin(t 1 )
直流分量
U2m sin( 2t 2 )
基波（和原 函数同频）
二次谐波
U3m sin( 3t 3 ) （2倍频）
高次谐波
u(t ) U0 Ukm sin(kt k )
K 1
i(t ) I0 Ikm sin( kt k )
K 1
3
例12 周期性方波的分解
第七章非正弦周期性电路概要
f(t)
t
0
0
例题
已知周期函数f（t）如图所示，求其傅立叶级数的展开式。
Am
－T
f(t)
f（t）既是偶函数（ bK=0）
T 2
0
－Am
T
t
又是奇谐波函数（ aK=0，不含偶次谐波）
T T 4 T 4 A 1 m 4 2 a K 2 f ( t ) cos(kt )dt sin( k t ) sin( k t ) 0 T 0 T T k 4 T 4A 4A m T k 4 2 m cos( k t ) dt cos( k t ) dt sin T T 0 k 2 4
解
2 2 U U0 U1 U2 2
180 60 2 40 140V 2 2
2
2
非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率
二、平均值 非正弦周期量的平均值是它的直流分量
整流平均值 上下半周对称的电流
I rect
1 T i dt T 0 2 T I rect 2 i dt T 0
1 T U0 U km sin(kt ku ) I0 I km sin(kt ki )dt T 0 k 1 k 1
1 T 1 T P pdt uidt T 0 T 0
非正弦周期电流电路的有效值和有功功率
4. 周期函数为奇谐波函数 满足f（t）=－f（t + 对称于横轴。 表示为
a0 f ( t ) a K cos(kt ) 2 k 1
T 2
），波形移动半个周期后与原函数波形 k为奇数
非正弦周期电路电路的谐波分析法
非正弦周期电路电路的谐波分析法非正弦周期电路通常包含了多个频率的谐波分量。
为了了解电路中每个频率的谐波分量对系统的影响，可以使用谐波分析法进行分析。
谐波分析法的基本思想是将非正弦波形分解为一系列谐波分量，然后分别分析每个谐波分量对电路性能的影响。
谐波分析法中常用的工具是傅里叶级数展开。
任何一个周期函数都可以表示为一系列谐波分量的叠加。
假设输入信号为周期为T的非正弦波形x(t)，则可以用傅里叶级数展开表示为：x(t) = A0 + Σ(Ak*cos(kω0t) + Bk*sin(kω0t))其中，A0为直流分量，Ak和Bk分别为余弦和正弦波的幅值，k为谐波序号，ω0为基频角频率。
谐波分析法的具体步骤如下：1.确定输入或输出信号的周期和基频频率。
2.根据傅里叶级数展开的公式，确定展开式中的直流分量和谐波分量的幅值。
3.通过测量或计算，得到各个傅里叶系数Ak和Bk的值。
4.计算各个谐波分量的幅值和相位，从而得到每个频率的谐波成分的信号波形。
5.根据谐波分量的幅值和相位，分析每个频率的谐波对电路性能的影响。
在实际应用中，谐波分析法可以用于分析非线性电路的谐波失真、功率因数、电压畸变等问题。
例如，对于电力系统中的非线性负载，可以采用谐波分析法来分析电压和电流的谐波含量，从而评估其对电力系统的影响。
此外，谐波分析法也可以应用于音频和音乐信号的处理。
对于复杂的乐器信号，可以通过谐波分析法来分析其频谱成分，以及对音乐声音和声音合成的影响。
在音频合成和虚拟乐器设计中，谐波分析法是一个重要的工具。
总之，非正弦周期电路的谐波分析法是一种用于分析非正弦波形电路的方法，通过将非正弦波形分解为一系列谐波分量来分析电路性能，它在电力系统和音频处理等领域都有广泛的应用。
通过谐波分析法，可以更好地理解非正弦周期电路的特性，从而为电路的设计和优化提供指导。
大学电路第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱
平均功率等于有效值与角频率的乘积， 即P=UIe^(-jωt)。
非正弦周期电流电路的无功功率与视在功率
无功功率
无功功率是指在电路中只进行能量交换而不消耗能量的功率 ，单位为乏。
视在功率
视在功率是指电路中电压与电流有效值的乘积，表示电源所 能提供的最大功率。
非正弦周期电流电路
04
的滤波器
大学电路第13章非正弦 周期电流电路和信号的 频谱
目录
• 非正弦周期电流电路概述 • 非正弦周期信号的频谱 • 非正弦周期电流电路的功率 • 非正弦周期电流电路的滤波器 • 非正弦周期电流电路的实例分析
非正弦周期电流电路
01
概述
非正弦周期电流的定义与特点
定义
非正弦周期电流是指其波形不呈 正弦形状的周期性变化的电流。
01
02
03
傅里叶级数分析法
将非正弦周期电流分解为 正弦波的叠加，通过计算 各次谐波的幅值和相位来 分析电路。
平均值法
对非正弦周期信号取平均 值，忽略高次谐波的影响， 简化分析过程。
有效值法
将非正弦周期信号转换为 等效直流信号，便于计算 功率和能量。
非正弦周期信号的频
02
谱
频谱的概念与分类
频谱的概念
应用广泛
频谱分析在通信、雷达、音频处理、 生物医学工程等领域都有广泛的应用。
非正弦周期电流电路
03
的功率
功率的定义与计算
功率定义
功率是单位时间内完成的功，表示做功快慢的物理量，单位为瓦特。
功率计算
功率等于电压与电流的乘积，即P=UI。
非正弦周期电流电路的平均功率
平均功率定义
非正弦周期电流电路的平均功率是指 在一段时间内完成的平均功，表示平 均做功的快慢。
非正弦周期电路电路的谐波分析法
1. 前3次谐波分量的叠加波形
2.前5次谐波分量的叠加波形
3. 前11次谐波分量的叠加波形
原理演示
谐波合成方波的演示
1次谐波 3次谐波 5次谐波 7次谐波 1+3次谐波 1+3+5+7次谐波 1+……+49次谐波 原方波信号
T/2
T
1次谐波
返回
T/2
T
3次谐波
返回
T/2
T
5次谐波
返回
K
非正弦周期交流信号的特点 不是正弦波
按周期规律变化
非正弦周期交流信号的分解
f ( t ) A 0
直流分量 二次谐波 （2倍频）
A sin( t f ) 1m 1
基波（和原 函数同频）
A sin( 2 t f ) 2m 2 …..
高次谐波
A0 Akm sin(kt fk )
图3.1
图3.2
表3.1
谐波频率 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 幅度 0.4643 1.9955 0.1395 0.5668 0.0957 0.2949 0.0732 0.1795 0.0570 0.1162 0.0440 0.0772 0.0331 初相位 0.00 -90.00 0.00 -90.02 0.00 -90.04 0.01 -90.06 0.02 -90.08 0.02 -90.110
k 1
周期性方波的分解
直流分量
t
t
三次谐波 五次谐波
基波
t
t
七次谐波
三、实验原理图与仿真结果
周期性非正弦电流、函数的谐波分析和傅里叶级数、电流的有效值、电路的平均功率相关知识讲解
例 已知：u 2 10sint 5sin2t 2sin3t i 1 2sin(t 30 ) sin(2t 60 )
+
i
u
求：电路吸收的平均功率和电压、电流的有效值。-
P P0 P1 P2 P3
21 10 2 cos 30 1 5 cos60 0
a0 [ak cos k t bk sink t] k 1
将同频率 cos与 sin 合并， f (t) 还可表示成下式
f (t) c0 c1 sin( t 1 ) c2 sin(2 t 2 ) ck sin(k t k )
c0 ck sin(k t k ) k 1
设 i I0 Imk sin(k t k ) k 1
根据周期函数有效值定义
I
1 T i 2dt
T0
将 i 代入，得
I
1 T
T 0
I0
k 1
Imk
sin(k
t
k
2 ) dt
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
E
)
cos
kt
d(t
)
1
E k
s in kt
0
E k
s in kt
2
E
sink sin0 (sin2k sink )
k
0
bk
1
2
0
f (t ) sinkt d(t )
1
E sinkt d( t)
周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正 弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率； 电路的平均功率不 变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根 值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流 为i(t) 例，其有效值 为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例 试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
周期性非正弦电路分析
雷达信号处理
用于雷达信号的接收、处理和目标识 别。
07
结论与展望
研究成果总结
1 2
周期性非正弦电路分析方法
提出了一种基于傅里叶级数展开的周期性非正弦 电路分析方法，能够准确计算电路的稳态响应和 暂态响应。
电路参数优化
通过优化电路参数，如电阻、电容、电感等，实 现了对周期性非正弦电路性能的优化。
3
非正弦波形生成电路
非正弦波形生成电路是一种能够产生非正弦周期信号的电 路。这种电路通常由振荡器、滤波器和调制器等组成，通 过调整电路参数，可以生成各种非正弦周期信号。
非正弦波形生成电路的优点在于其结构简单、易于实现， 且能够产生多种非正弦周期信号。然而，该方法的缺点在 于其产生的信号精度和稳定性可能较差。
此外，非正弦周期电路的分析方法对于其他复杂电路的分析也具有一定的借鉴意义， 有助于推动电路理论的发展。
02
非正弦周期信号的产生
波形合成法
波形合成法是一种通过组合不同频率的正弦波来生成非正弦 周期信号的方法。通过调整各正弦波的幅度、相位和频率， 可以合成出具有所需特性的非正弦周期信号。
波形合成法的优点在于可以精确控制信号的参数，如频率、 幅度和相位等。此外，该方法还可以生成复杂的非正弦周期 信号，如方波、三角波等。
功率因子校正
为了提高电路的效率，需要对非正弦周期电路进行功率因子校正，以减小无功功率和提高功率因数。
06
非正弦周期电路的应用实例
非正弦电源设计
01
02
03
逆变电源
将直流电转换为交流电， 用于驱动电机、照明等设 备。
脉冲电源
产生高电压、大电流的脉 冲信号，用于焊接、打标 等领域。
开关电源
03-非正弦量及其分析知识点
非正弦周期电路分析
1、基本概念
（1）非正弦周期信号可以用傅里叶级数分解为直流分量和各次谐波分量之和。
其分解式为
）
（）（k 1km 0sin ψωω++=∑∞
=t k A A t f k （2）平均值。
）（t f 的恒定分量A 0就是其平均值
⎰=T
t
t f T A 00d 1）（（3）有效值。
任何非正弦周期交流电流、电压有效值分别为
⋅
⋅⋅+++=222120I I I I ⋅
⋅⋅+++=222120U U U U （4）平均功率。
非正弦交流电路的平均功率等于各次谐波平均功率之和。
⋅
⋅⋅++++=33322211100cos cos cos ϕϕϕI U I U I U I U P 2、分析步骤
非正弦周期信号作用于线性电路时，其分析步骤为：
（1）把给定的非正弦周期电压（或电流）按照傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，由计算精度要求决定。
（2）利用叠加原理计算电源的恒定分量和各次谐波分量单独作用时所产生的电流分量。
（3）将所得电流分量叠加起来。
注意：
（1）直流分量（恒定分量）作用于电路时，电容可视为开路，电感可视为短路；
（2）各次谐波作用于电路时，可按照不同频率的正弦交流电路计算。
（3）对于不同频率的正弦量，其感抗和容抗则为
L1Lk kX L k X ==ωC1Ck 11X k
C k X ==ω（4）不同频率谐波分量的代数和不能用相量图或者复数式运算，只能用瞬时值合成。
电工基础第八章 非正弦周期电流电路
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节 非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。 其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect
1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率） 根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)
a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节 非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节 非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的
电路分析 第九章 非正弦周期电流电路
第九章 非正弦周期电流电路9.1 非正弦周期信号非正弦周期激励−−−−→傅里叶级数一系列不同频率的正弦量及恒定分量之和−−−−−−→线性电路叠加定理各个正弦量及恒定分量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量−−−−→时域叠加电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。
谐波分析法的实质：把非正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算和直流电流电路的计算。
9.1.1 周期函数分解为傅里叶级数任一周期性函数()()f t f t kT =+，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为一个收敛的傅里叶级数。
0111011()[cos()sin()]cos()k k k km k k f t a a k t b k t A A k t ωωωϕ∞=∞==++=++∑∑其中：00,cos ,sin ,arctan kkm k km k k km k k k b A a A a A b A a ϕϕϕ⎛⎫-====-= ⎪⎝⎭. 上式中的每一项，称为正弦谐波分量，简称谐波。
常数0A 称为零次谐波（直流分量），111cos()m A t ωϕ+称为一次谐波，或基波。
上式中的系数，可按下列公式计算：20211()d ()d TT T o a f t t f t t T T -==⎰⎰π1110π21()cos()d ()cos()d()πT k a f t k t t f t k t t T ωωω-==⎰⎰ π1110π21()sin()d ()sin()d()πT k b f t k t t f t k t t T ωωω-==⎰⎰9.1.2 非正弦周期量的频谱傅里叶级数中各次谐波的振幅与初相可以用图形直观地显示，称为频谱图。
幅值频谱：表示振幅的图形。
横轴表示角频率，纵轴表示谐波振幅。
初相频谱：表示初相的图形。
用直线段分别表示各次谐波的初相。
周期性非正弦量的频谱是离散的。
9.2 波形对称性与傅里叶级数的关系根据波形对称性可知傅里叶级数的某些分量为0，可简化计算。
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其有效值
U
U
2 0
Uk2
k 1
12
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U02
U12
U
2 2
注意：
（1）周期性非正弦电流（或电压）有效值与最大值 一 般无 2 倍关系。
（2） 有效值相同的周期性非正弦电压（或电流） 其波形不一定相同。
例 0
i1(t) i (t)
i3(t) t
0
i1(t)
i (t) i3(t) t
A0 [Bkm cos k t Ckm sin k t] k 1
3
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f (t) A0 (B1 cos t C1 sin t) (B2 cos 2 t C2 sin 2 t)
将同频率余弦项与正弦项合并， f(t)还可表示成下式
f (t) A0 A1m sin( t 1 ) A2m sin(2 t 2 ) Akm sin(k t k )
若 u U0 Umk sin(k t ku )
k 1
i I0 Imk sin(k t ki ) k 1
则
P 1 T
T 0
U0
Umk
sin(k
t
ku
)
I
0
k 1
I
mk
sin(kt
ki
)
dt
k 1
14
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1
P T
T 0
U0
Umk
k 1
s
in(k
1 sin 3t
3
1 sin 5
5
t
)
IS0
is1
is3
is5
8
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8.2 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
2
0 sin ktd(t) 0 0 cos ktd(t) 0
k整数
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin2 ktd(t ) 0
5
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二次谐波 （2倍频）
高次谐波
周期性方波波形分解 直流分量
t
三次谐波
t
五次谐波
6
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基波
t
七次谐波
直流分量+ 基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
7
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iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i Is0
s1 is3 is5
iS
Im 2
2Im
(sint
则有效值:
I
1 T
T
0
i2
t d(t)
1 T
T 0
I0
k 1
Ik
sin kt
k
2
d (t )
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
10
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1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
sin2 (kt
k
)
(k
1,2,3,)
1
T
T 0
I
2 mk
sin2 (kt
k
)dt
Im2 k 2
I
2 k
各次谐波分量平方
（3） 2I0 Imk sin(kt k ) (k 1,2,3,)
1
T
T
0 2I0 Imk sin(k t k )dt 0
k 1
直流分量与各 次谐波乘积
（4） Imp sin( pt p )Imq sin(qt q )
(k 1,2,3,q 1,2,, k q)
1
T
T
0 2Imk sin(kt k )Imq sin(qt q )dt 0
11
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不同频率各 次谐波两两 相乘
由此可得： I
I
2 0
k 1
I
2 k
2
I
I02
I12
I
2 2
结论 周期函数的有效值为直流分量及各次 谐波分量有效值平方和的方根。
同理: 非正弦周期电压
u U0 Umk sin(k t k ) k 1
t
ku
)
I
0
Imk
sin(kt
ki
)
dt
k 1
ui 相乘之积分也可分为四种类型：
（1） （2） （3）
1 T
T 0 U0 I0dt U0 I0 P0
直流分量乘积之积分
1
T
T
0 U0 Imk sin(kt ki )dt =0
k 1
直流分量与各次谐波
1
T
T
0 I0 Umk sin(kt ku )dt
u(t)
t
2
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周期函数分解为付里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期函数f(t)可展开成傅里叶级数。
f (t) f (t kT)
式中T为周期，k = 0, 1, 2, 3，…（k为正整数）
2π T
周期函数傅里叶级数展开式为
f (t) A0 (B1m cos t C1m sin t) (B2m cos 2 t C2m sin 2 t)
常见的周期非正弦激励信号
（1）当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。
二极管整流电路
u2uS
+
D
+
_uS
R _u2
0
t
非线性电感电路
i
+
us
uS i
0
1
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t
（2） 大量脉冲信号均为周期性非正弦信号。
f(t)
…
f(t)
f(t)
0
t0
t0
t
尖脉冲
方波
锯齿波
（3）发电机(generator)发出的电压波形，不可能是完全 正弦的。
2 cos2ktd(t )
0
（3） 三角函数的正交性
2
0 cos kt sin ptd (t ) 0
2
0 cos kt cos ptd (t ) 0
2
sin kt sLeabharlann n ptd (t ) 00
9
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k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t ) I0 Ik sin(kt k ) k 1
A0 T
T
1
f (t )dt
0
T
T
2 T
f (t)dt
2
即f(t)在一周期内平均值
2
Bkm T
T f (t)cos kt dt 1
0
f (t)cos kt d(t)
2
Ckm T
T f (t )sin kt dt 1
0
f (t)sin kt d(t)
直流分量
基波（和原函数同频）
f (t) A0 A1m sin( t 1 ) A2m sin(2 t 2 ) Akm sin(k t k )
i'(t ) i1(t ) i3 (t ) = i"(t ) i1(t ) i3 (t )
= I
I12
I
2 3
I
I12
I
2 3
13
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3. 周期性非正弦电流电路的平均功率
平均功率定义公式与正弦电流相同。
瞬时功率 p ui
平均功率
1T
1T
P pdt uidt
T0
T0
A0 Akm sin(k t k ) k 1
两种表示式中系数间的关系：
Akm Bk2m Ck2m
tan k
Bkm Ckm
或 Bkm Akm sink Ckm Akm cosk
4
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Akm
Ckm
k
Bkm
求傅里叶系数(Fourier coefficient)的公式：
1