周期性非正弦电路分析

A0 T
T
1
f (t )dt
0
T
T
2 T
f (t)dt
2
即f(t)在一周期内平均值
2
Bkm T
T f (t)cos kt dt 1
0
f (t)cos kt d(t)
2
Ckm T
T f (t )sin kt dt 1
0
f (t)sin kt d(t)
直流分量
基波（和原函数同频）
f (t) A0 A1m sin( t 1 ) A2m sin(2 t 2 ) Akm sin(k t k )
2 cos2ktd(t )
0
（3） 三角函数的正交性
2
0 cos kt sin ptd (t ) 0
2
0 cos kt cos ptd (t ) 0
2
sin kt sin ptd (t ) 0
0
9
第9页/共37页
k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t ) I0 Ik sin(kt k ) k 1
A0 [Bkm cos k t Ckm sin k t] k 1
3
第3页/共37页
f (t) A0 (B1 cos t C1 sin t) (B2 cos 2 t C2 sin 2 t)
将同频率余弦项与正弦项合并， f(t)还可表示成下式
f (t) A0 A1m sin( t 1 ) A2m sin(2 t 2 ) Akm sin(k t k )
t
ku
)
I
0
Imk
sin(kt
ki
)
dt
k 1
ui 相乘之积分也可分为四种类型：
（1） （2） （3）
1 T
T 0 U0 I0dt U0 I0 P0
直流分量乘积之积分
1
T
T
0 U0 Imk sin(kt ki )dt =0
k 1
直流分量与各次谐波
1
T
T
0 I0 Umk sin(kt ku )dt
k
)dt
Im2 k 2
I
2 k
各次谐波分量平方
（3） 2I0 Imk sin(kt k ) (k 1,2,3,)
1
T
T
0 2I0 Imk sin(k t k )dt 0
k 1
直流分量与各 次谐波乘积
（4） Imp sin( pt p )Imq sin(qt q )
(k 1,2,3,q 1,2,, k q)
5
第5页/共37页
二次谐波 （2倍频）
高次谐波
周期性方波波形分解 直流分量
t
三次谐波
t
五次谐波
6
第6页/共37页
基波
t
七次谐波
直流分量+ 基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
7
第7页/共37页
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i Is0
s1 is3 is5
iS
Im 2
2Im
(sint
其有效值
U
U
2 0
Uk2
k 1
12
第12页/共37页
U02
U12
U
2 2
注意：
（1）周期性非正弦电流（或电压）有效值与最大值 一 般无 2 倍关系。
（2） 有效值相同的周期性非正弦电压（或电流） 其波形不一定相同。
例 0
i1(t) i (t)
i3(t) t
0
i1(t)
i (t) i3(t) t
常见的周期非正弦激励信号
（1）当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。
二极管整流电路
u2uS
+
D
+
_uS
R _u2
0
t
非线性电感电路
i
+
us
uS i
0
1
第1页/共37页
t
（2） 大量脉冲信号均为周期性非正弦信号。
f(t)
…
f(t)
f(t)
0
t0
t0
t
尖脉冲
方波
锯齿波
（3）发电机(generator)发出的电压波形，不可能是完全 正弦的。
1 sin 3t
3
1 sin 5
5
t
)
IS0
is1
is3
is5
8
第8页/共37页
8.2 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
2
0 sin ktd(t) 0 0 cos ktd(t) 0
k整数
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin2 ktd(t ) 0
1
T
T
0 2Imk sin(kt k )Imq sin(qt q )dt 0
11
第11页/共37页
不同频率各 次谐波两两 相乘
由此可得： I
I
2 0
k 1
I
2 k
2
I
I02
I12
I
2 2
结论 周期函数的有效值为直流分量及各次 谐波分量有效值平方和的方根。
同理: 非正弦周期电压
u U0 Umk sin(k t k ) k 1
A0 Akm sin(k t k ) k 1
两种表示式中系数间的关系：
Akm Bk2m Ck2m
tan k
Bkm Ckm
或 Bkm Akm sink Ckm Akm cosk
4
第4页/共37页
Akm
Ckm
k
Bkm
求傅里叶系数(Fourier coefficient)的公式：
1
i'(t ) i1(t ) i3 (t ) = i"(t ) i1(t ) i3 (t )
= I
I12
I
2 3
I
I12
I
2 3
13
第13页/共37页
3. 周期性非正弦电流电路的平均功率
平均功率定义公式与正弦电流相同。
瞬时功率 p ui
平均功率
1T
1T
P pdt uidt
T0
T0
u(t)
t
2
第2页/共37页
周期函数分解为付里叶级数
任何满足狄里赫利条件的周期函数f(t)可展开成傅里叶级数。
f (t) f (t kT)
式中T为周期，k = 0, 1, 2, 3，…（k为正整数）
2π T
周期函数傅里叶级数展开式为
f (t) A0 (B1m cos t C1m sin t) (B2m cos 2 t C2m sin 2 t)
则有效值:
I
1 T
T
0
i2
t d(t)
1 T
T 0
I0
k 1
Ik
sin kt
k
2
d (t )
上式积分号中 i2项展开后有四种类型：
（1） I02
直流分量平方
10
第10页/共37页
1
T
T 0
I02.dt
I
2 0
（2）
I
2 mk
sin2 (kt
k
)
(k
1,2,3,)
1
T
T 0
I
2 mk
sin2 (kt
若 u U0 Umk sin(k t ku )
k 1
i I0 Imk sin(k t ki ) k 1
则
P 1 T
T 0
U0
Umk
sin(k
t
ku
)
I
0
k 1
I
mk
sin(kt
ki
)
dt
k 1
14
第14页/共37页
1
P T
wk.baidu.com
T 0
U0
Umk
k 1
s
in(k