人教版九年级数学比例线段
新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例
一、相似三角形
相似三角形 相似三角形的判定
平行线分线段成比例
∽ △A′B′C′. 1.记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC 2.判定:在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A= ∠A′ ,∠B= ∠B′ ,∠C= ∠C′ ,且
AB AB
=
BC BC
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB BCຫໍສະໝຸດ .由△ADG∽△ABH 可得
AG
AH
.
解:因为 DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH, 所以 所以
AD DE AD AG = , = , AB BC AB AH DE AG = , BC AH
(A) (C)
AD 1 = AB 2 AD 1 = EC 2
)B
(B) (D)
AE 1 = EC 2 DE 1 = BC 2
2.(2017 临沂)已知 AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 O.若
BO 2 = ,AD=10,则 AO= OC 3
4
.
3.(2017长春)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.若 6. AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为
OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12
九级数学《比例线段》评课稿
九级数学《比率线段》评课稿书山有路勤为径；学海无涯苦作舟九级数学《比率线段（１）》评课稿九年级数学《比率线段（１）》评课稿从9 月1 日起听褚老师上课两天，我发现优秀的数学教师的课堂授课风格是特别显着的：使用课件、课堂节奏快，采用启示式的授课方法。
本来我总是坚持传统的黑板授课更吻合数学的学科特点，使用课件经常会以致学生思虑的时间不够，从而会影响授课的收效。
但是听了褚老师的课后，我即刻发现使用课件不但可以提高课堂的知识容量，同时也能节约很多的书写时间，可以充当电子黑板的功能。
只要在显现课件结果前，保证每位同学的思路整理达成后，放课件的结果是知识牢固复习的过程，褚老师没有剥夺和减少同学的思虑时间。
这节课第一复习相似形的看法，抽同学回答。
形状相同也就是？特别图形可否相似的复习？接着引入新课 1：经过思虑 a:b=k1,c:d=k2 ，问在何种情况下四个数成比率？ a:b 两数是比， a:b= c:d 四个数是成比率。
举例题：30ｃｍ：２ｍ引出线段长度比，重申单位一致。
为了重申看法，现场编题正方形的边长与对角线的边长比。
线段成比率由中位线定理，要修业生自己归纳比率线段的看法。
随后引入新课 2：我以为的内项积 =外项积、上下更换与对角交换的三大性质褚老师直接简洁的归纳成比率的基本性质，减少同学的记忆负担。
在等积式转变为 8 个比率式时充分表现分类谈论的思想，我感觉自己随意写是写不出 8 个的，充分表现褚老师知识的完满性。
接着讲了合比的性质，褚老师不是把结论给出要求证明，而是问结论成专注下一代成长，为了孩子1 / 1。
人教版九年级下册数学：第27章 总第2课时 27.1.2《成比例线段》
(4)若四条线段满足;,则有ad=bc。
典例精析
【例1】.一张桌面的长a=1.25 m，宽b=0.75 m，
那么长与宽的比是多少？
a:b=5：3 或 a 5
b3
a.如果a=125 cm，b=75 cm，那么长与宽的比
是多少？
a:b=5：3
或a 5 b3
b.如果a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的
★★★★课堂练习 1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
相似，由已知条件可知它们的角分别 相等，边成比例.
合作探究 知识点3 相似多边形性质的应用
由相似多边形的性质可知，相似多边 形的对应角相等，对应边成比例。
典例精析
【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，
β的大小和EH的长度x.
总第2课时
情景 引入
合作 探究
课堂 练习
归纳 小结
达标 测试
学习目标
1
理解比例线段的概念。
2
会根据相似多边形的特征识别两
个多边形是否相似，并会运用其性质
进行有关的计算。
复习回顾
1.形状相同的图形叫做相似图形。 注意:相似图形的大小不一定相同;
全等图形是相似图形的特殊情况。 2.图形的相似具有传递性。 3.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一 个图形放大或缩小得到。即:利用相似放大或缩小 图形。
DE= DF2 EF2 22 1.52 =2.5 ∵ AB BC AC
DE EF DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F=90° ∴△ABC与△DEF相似.
1 两个边数相同的多边形，如果它们的角对 应相等，边成比例，那么这两个多边形相似。
九年级数学上册《成比例线段》教案、教学设计
（5）课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调成比例线段的重要性。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、问题解决能力等方面，给予积极的评价和鼓励；
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等形式，了解学生对成比例线段知识的掌握情况，及时发现问题并进行针对性的辅导。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对成比例线段知识的掌握，我将设计以下课堂练习：
1.基础练习：给出一些成比例线段的判定题，让学生独立完成；
2.提高练习：设计一些实际问题，让学生运用成比例线段知识解决；
3.拓展练习：给出一些复杂几何问题，如相似三角形中的成比例线段问题，让学生尝试解决。
在练习过程中，我会及时给予学生反馈，指导他们纠正错误，提高解题能力。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，提供个性化的辅导，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（2）注重培养学生的几何直观能力，引导学生通过观察、分析、归纳等方法探索几何规律；
（3）鼓励学生提问和质疑，培养学生的批判性思维和创新意识；
（4）整合现代教育技术，如多媒体、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
5.通过实际操作，培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.创设情境，引导学生自主探究成比例线段的概念；
2.通过实际例子，让学生感受成比例线段在生活中的应用，培养学生学以致用的意识；
3.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动发现、提出和解决问题；
四、教学内容与过程
人教版九年级数学比例线段
1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交DF 于K ，求KFDK的值。
2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ，交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。
求证：PN PF PM PE ⋅=⋅。
答案：一、填空题：1、32，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题：1、31； 2、证明PMPNPF PE =即可；课后作业一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。
2． 已知x y 52=，则y x :=______________。
3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则=+-++zy x zy x 2 。
5． =++===++222,753,10z y x zy x z y x 则且若 。
6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。
7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则EC= 。
8． 若==+yxy y x 则,38 。
9、若()0753≠==a c b a ，则ac b a ++=_________二、选择题： 1．如果32=b a ，则b ba +等于（ ） （A ）l 31 （B ）21（C ）53 （D ）352．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ）(A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c3．已知32==d c b a ，且d b ≠，则db ca --=（ ） （A ）32 （B ）52（C ）53 （D ）514．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ）（A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）65．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=21 6．已知0754≠==zy x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ）43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）167=++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。
九年级数学下册《第二十七章 成比例线段与相似多边形》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 成比例线段与相似多边形》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如果:12:8a b =，且b 是a ，c 的比例中项，那么:b c 等于（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:3D ．3:42．4和9的比例中项是（ ）A ．6B ．6±C ．169D ．8143．下列各组图形中，一定是相似形的是（ ）A ．两个腰长相等的等腰梯形B ．两个半径不等的半圆C ．两个周长相等的三角形D ．两个面积相等的矩形4．用一个2倍放大镜照一个ABC ，下面说法中错误的是（ ）A ．ABC 放大后，A ∠是原来的2倍B ．ABC 放大后，各边长是原来的2倍C ．ABC 放大后，周长是原来的2倍D ．ABC 放大后，面积是原来的4倍5．下列结论中，错误的有：（ ）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°7．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（ ）A ．甲方案正确，周长和的最大值错误B ．乙方案错误，周长和的最大值正确C ．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确D ．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误8．如图，以点O 为位似中心，把ABC 的各边放大为原来的2倍得到A B C '''，下列说法错误的是（ ）A ．AB //A B ''B ．:1:2AO AA '=C ．ABC A B C '''∽△△D ．:1:4ABC A B C S S '''=9．已知四边形ABCD ∽四边形EFGH ，且AB ＝3，EF ＝4，FG ＝5．则四边形EFGH 与四边形ABCD 的相似比为（ ）A ．3：4B ．3：5C ．4：3D ．5：3二、解答题10．如图，所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.11．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？''''．12．如图，四边形ABCD∽四边形A B C D(1)α＝________，它们的相似比是________；(2)求边x的长度．13．一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式．14．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC；（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？三、填空题15．四边形ABCD和四边形A′B′C′D′，O为位似中心，若OA：OA′＝1：4，那么S四边形ABCD：S四边形A′B′C′D′＝______．16．相似图形：①定义：形状相同的图形叫做______．②性质：两个图形相似是指它们的形状相同，与他们的______无关．全等图形与相似图形的联系与区别：全等图形是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．17．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___．参考答案与解析1．B【分析】由b 是a 、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得=b a c b，又由a ：b =12：8，即可求得答案．【详解】解：∵b 是a 、c 的比例中项∴b 2=acb ac b∴= ∵a :b =12:8 ∴12382a b == :3:2b c ∴=故选：B ．【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．2．B【分析】根据比例中项的定义：如果存在a 、b 、c 三个数，满足::a b b c =，那么b 就交租ac 的比例中项，进行求解即可．【详解】解：设4和9的比例中项为x∴4::9x x =∴6x =±故选B ．【点睛】本题主要考查了求比例中项，熟知比例中项的定义是解题的关键．3．B【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．【详解】解：两个腰长相等的等腰梯形、两个周长相等的三角形、两个面积相等的矩形都属于形状不唯一确定的图形．故A 、C 、D 错误；而圆的形状唯一确定，两个半径不等的半圆相似，故B 正确．故选B ．【点睛】本题考查相似形的识别，解题关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．4．A【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．【详解】解：因为放大前后的三角形相似放大后三角形的内角度数不变面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍故选A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．5．B【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④. 【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.有2个错误，故选B.【点睛】本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.6．A【解析】略7．D【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．【详解】解：∵6：2=3：1∴三个矩形的长宽比为3：1甲方案：如图1所示3a+3b=6∴a+b=2周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；乙方案：如图2所示a+b=2周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；如图3所示矩形①的长为2，则宽为2÷3=23；则矩形②的长为6-23=163，宽为163÷3=169；∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+23)+2(163+169)=1769；∵176916∴周长和的最大值为1769；故选：D．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键．8．B【分析】根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．【详解】以点O 为位似中心，把ABC 的各边放大为原来的2倍得到A B C '''∴ABC ∆和A B C '''∆是位似图形∴ABC ∆~A B C '''∆，故C 正确；∴:1:2AO OA '=，:1:2OB OB =' 又AOB A OB ''∠=∠ABO ∆~ΔA B O ''∴ABO A B O ∠=∠''∴AB //A B ''故A 正确；∵把ABC 的各边放大为原来的2倍得到A B C '''∴:1:2AO OA '=∴:1:3AO AA '=，故B 选线说法错误； ∵2:()1:4ABC A B C OA S S OA ''''==，故D 正确； ∴说法错误的是：B 选项；故选：B ．【点睛】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键．9．C【解析】略10．相似，见解析【分析】要说明两个矩形是否相似，只要说明对应角是否相等，对应边的比是否相等．【详解】解：相似.理由：这两个的角是直角，因而对应角相等一定是正确的小矩形的长是20-5-5=10，宽是12-3-3=6 因为1062012=，即两个矩形的对应边的比相等 因而这两个矩形相似．【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．11．放缩比例是3：1，面积扩大为原来的9倍【分析】根据放缩比例等于对应边的比解答；根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm∴这次复印的放缩比例是6：2=3：1∴这个多边形的面积变为原来的9倍．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似比的求解以及相似多边形面积的比等于相似比的平方．12．(1)81︒ 3∶2；(2)332 x=【分析】（1）根据相似多边形的性质求出∠A′、∠B′，以及相似比，根据四边形的内角和定理求出∠C′；（2）根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A B C D''''∴∠A′＝∠A＝64°，∠B′＝∠B＝75°∴∠C′＝360°−64°−75°−140°＝81°它们的相似比为：93 62 =故答案为：81°3 2（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′∴9 116 x=解得x＝332．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．13．S＝2x 2【分析】用x表示矩形的宽，则矩形的长为2x，然后利用矩形的面积公式即可得到解析式．【详解】解：∵矩形的长是宽的2倍，宽为x∴矩形的长是2x∵矩形的面积＝长×宽∴S＝x•2x＝2x2故答案为：S＝2x2．【点睛】此题考查了列函数关系式，解题关键是：熟记矩形的面积公式．14．（1）见解析；（2）图②中，DE﹣DF＝AC；图③中，DF﹣DE＝AC；（3）17或3【分析】（1）证明四边形AEDF是平行四边形，且△BED和△DFC是等腰三角形即可证得；（2）与（1）的证明方法相同；（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．【详解】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴DE＝AF，∠FDC＝∠B又∵AB＝AC∴∠B＝∠C∴∠FDC＝∠C∴DF＝FC∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC；（2）如图②，当点D在边BC的延长线上时∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴DE＝AF，∠FDC＝∠B又∵ＺAB＝AC∴∠B＝∠ACB=∠DCF∴∠FDC＝∠DCF∴DF＝FC∴DE=AF=AC+CF＝AC＋DF；即DE﹣DF＝AC；当点D在边BC的反向延长线上时，在图③∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴DE＝AF，∠FDC＝∠ABC又∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C∴∠FDC＝∠C∴DF＝FC∴DF=FC=FA+AC=DE+AC；∴DF﹣DE＝AC．（3）当点D在边BC上时如图①所示DE＋DF＝AC∴DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③所示，DF﹣DE＝AC．∴DF＝AC＋DE＝10＋7＝17.∴DF的长为17或3【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题，解决本题的关键是进行分类讨论．15．1:16【解析】略16．相似图形位置【解析】略17．60000000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．【详解】解：1200千米＝120000000厘米2：120000000＝1：60000000．故答案为：60000000．【点睛】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题．第11 页共11 页。
人教版九年级数学课件《平行线分线段成比例》
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，
l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得
AB
DE
的两条线段DE，EF的长度，BC 与 EF 相等吗？
AB
任意平移l5(3或4)，BC
DE
与 EF
还相等吗？
人教版数学九年级下册
知识精讲
可以发现，当l3∥l4∥l5时，有 AB DE
长线)，所得的对应线段成比例.
人教版数学九年级下册
针对练习
1.如图，DE∥BC， AE 2 ，则
则
AF
AB =____.
AC
5
AD
AB
AG
=____；FG∥BC，
2 ，
CG
2.如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= 7.5 ；
FG∥BC，AF=4.5，则AG= 6 .
关证明. (重点、难点)
3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并
进行证明和计算. (重点、难中的四条线段成比例的是( A )
A.1cm，3cm，20cm，60cm
B.2cm，4cm，3cm，9cm
C.5cm，10cm，6cm，15cm
知识精讲
人教版数学九年级下册
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，
AB
BC
CA
k
A B
BC
C A
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说
平行线分线段成比例-九年级数学下册(人教版)
27.2.1.1 平行线分线段成比例
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多
少？
解：∵EF∥BC ，∴ AE AF ,
AB AC
A
∴ 6 5， 10 AC
E
F
解得 AC = 25 .
3
B
C
∴ FC = AC－AF =
25 5 10
3
3
.
27.2.1.1 平行线分线段成比例
平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似
AB 与 DE BC EF
的值，它们相等吗？
l1
l2
A
D
l3
B
E
l4
C
F
l5
27.2.1.1 平行线分线段成比例
(2) 任意平移 l5，根据上述操作，度量AB，BC， DE，EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？
l1
l2
A
D
l3
B
E
l4
C
F
l5
27.2.1.1 平行线分线段成比例
归纳： 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
B
C
27.2.1.1 平行线分线段成比例
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关 系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现
27.2.1.1 平行线分线段成比例
A1 B1
a
A1 B1
人教版九年级数学下册《比例线段》PPT
请观察下面几组图片
• 大小不同的两个足球
• 汽车和它的但是形 状相同。
1、相似图形的概念：
形状相同的图形叫做相似图形。
注意：相似图形的大小不一定相同。 全等图形是相似图形的特殊情况。
观察下列图形，哪些是相似形？
？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸⑹
（7）
（8）
？ （9）
（10） （11）
（12）
（13）
（14）
观察下面的图形(a)~(g),其中哪些 是与图形(1)、(2)或（3）相似的？
下图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同 镜像，它们相似吗？
放大镜下的图形和 原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原图 形中角是什么关系?
思考
符号语言（以四边形为例）：
∵四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′
AB BC CD DA AB BC CD DA
A A,B B,C C,D D （相似多边形的对应边长度之比相等，对应角相等）
2、两个相似多边形对应边的长度比也叫 做这两个多边形的相似比.
3、如果两个边数相同的多边形对应边的 长度比相等，对应角相等，那么这两 个多边形相似.
下列两个相似图形，它们的对应角、对 应边有怎样的关系？
（1）等边三角形ABC相似于等边三角形DEF；
D
A
B
C
E
F
（1）
思考
（2）矩形ABCD相似于矩形EFGH.
E
H
A
D
B
C
F
G
（2）
探索
看看图中两个相似的五边形，是否 与你观察所得到的结果一样？
归纳总结：
1.相似多边形的特征：
比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）【学习目标】1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.会运用比例线段解决简单的实际问题.【要点梳理】线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a mb n=． 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD .成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．比例的基本性质：;a cad bc b d=⇔=（1）2;a bb ac b c=⇔=（2）几个重要的比例定理：a c a bb dc d=⇔=更比定理：a cb db d a c=⇔=反比定理：a c abc db d b d++=⇔=合比定理：--a c a b c db d b d=⇔=分比定理：...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c eb d f b d f +++=++≠++等比定理：=a c a mcb d b md ±=±等比定理：【典型例题】 类型一、线段的比1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．(1)求A B AB ''和B C BC''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？【答案】(1)12，12(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入A B AB ''和B C BC''，即可求得结果； （2）根据A B AB ''和B C BC''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．∵A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12；∵A B AB ''＝B C BC''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若x y =115，求代数式2x yy -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b ca b c -+-+的值．【答案】（1） 15 （2） 14【分析】（1）先把原式化为115x y =，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解． 解：（1）∵x y =115， ∵115x y =， ∵1122155y yx y y y --==；（2）设2a =3b =5c=k ，则2,3,5a k b k c k ===，∵23a b ca b c -+-+=2354122335164k k k k k k k k -+==⨯-+⨯． 【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ． 【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．【答案】56AB EF =，52AC DF ， 【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．解：如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，AC 22AB BC =+=2cm ， 则105126AB EF ==， 10252ACDF ==【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．类型二、比例的性质2．已知a b c +＝b c a +＝c ab+＝x ，求x 的值．【答案】1-或2【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可． 解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，此时，x ＝-1， 若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c axc a b a b c，综上所述，x 的值为-1或2．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值． 【答案】24【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．解：∵a ：b ：c =2：3：4，∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15， 解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5c a +，求a b cc a b ---+的值．【答案】－1 【分析】设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k代入a b cc a b---+中进行分式的化简求值即可．解：设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ， 则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ， 三式相加得a +b +c =6k ∵用∵式分别减去上述三个式子，可得出 解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ， 所以a b c c a b ---+＝2332k k kk k k---+＝－1．【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．类型三、比例中项3．已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28 （1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值． 【答案】（1）a ＝12，b ＝8；（2）x ＝6． 【分析】（1）利用:3:2a b =，可设3a k =，2b k =，则3428k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即296x =，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）:3:2a b =∴设3a k =，2b k =，228a b +=，3428k k ∴+=，4k ∴=，12a ∴=，8b =；（2）x 是:a b 的比例中项，296x ab ∴==， x 是线段，0x >，46x ∴=【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．【变式1】已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足438324a b c +++==，且12a b c ++=． （1）求a ，b ，c 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ． 【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）15x =【分析】 （1）根据438324a b c +++==，且12a b c ++=，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值； （2）根据比例中项的性质求解即可． 解：（1）∵438324a b c +++==，且12a b c ++=， ∵438438151215332432499a b c ab c a b c ，∵433a +=，332b ，834c ，∵5a =，3b =，4c =，（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∵25315x ab，∵15x =【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，求线段c 的长.【答案】线段c 的长为7cm ．【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∵ab =c 2，∵a =4cm ，b =7cm ，c ＞0， ∵24728c =⨯=， ∵c 7cm ．故线段c 的长为7cm ．【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．类型四、成比例线段4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．2cm 2cm 、2 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论． 解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，122时，212x =2x =； ∵若四条线段的长度大小为： 1，x 22212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12x ，2212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12，2 ，x 时，122x ⨯=22x = 2cm 2或2． 【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．【变式1】如图，在ABC 中，12cm,6cm,5cm AB AE EC ===，且AD AEDB EC=，求AD 的长．【答案】72cm 11AD =． 【分析】利用比例线段得到6125AD AD =-，然后根据比例性质求AD ．解：AD AE BD EC=，即AD AEAB AD EC =-，∴6125AD AD =-，7211AD ∴=cm ． 【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【变式2】若P 在线段AB 上，点Q 在AB 的延长线上，10AB =，且32AP AQ PB BQ ==，求PQ 的长．【答案】24 【分析】根据AP AQ BP BQ =＝32，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长. 解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，∵AB ＝10，∵AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10， ∵x ＝1，∵AP ＝6，BP ＝4. ∵AQ BQ ＝32，∵可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ， ∵1032y y +=， 解得y ＝20，∵PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．。
数学人教版九年级下册线段的比,比例线段
＝、＝、＝、＝、＝。
（3）如果式子 ＝ 中，有 ＝ ，则式子变形为 ＝，两边同时乘以，则得到，则 叫做比例中项。
例3判断下列线段是否成比例：
（1） ＝2、 ＝3、 ＝4、 ＝1；
（2） ＝20 、 ＝10 、 ＝20 、 ＝40 ；
（3） ＝ 、 ＝3、 ＝2、 ＝ ；
例6（1）已知 ＝ ，求 ；
（2）已知 ，且 ，求 、 、 的值。
例7已知： ＝ ，求证： ＝ 。
【做一做】（1）已知： ，求证： . A
B C
D E
〖变式〗已知： ，求证：AB·CE＝BD·AC.
C B
A
（2）已知：AB·CE＝AC·BD，求证： .
D E
二次备课
例4填空：
（1）已知 、 、 、 是成比列线段，其中 ＝12 、 ＝9 、 ＝6 ，
则 ＝。
（2）已知数3、6，请再写出一个数，使这个数是另外两个数的比例中项，这个数是。
（3）已知三个数1、2、 ，请你添加一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是
。
例5如图，已知AB＝1，AC＝ ，求证： .
C
A B
二、探索新知
1、线段的比：
在长度单位下，两条线段叫作这两条线段的比。
（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段 、 的长度分别
是 、 ，那么两条线段的比
∶ ＝或 ＝ ；
（2）其中 、 分别叫做这个线段比的和；
（3）如果把 表示成比值 ，那么 ＝ ，则 ＝， ＝。
（4）两条线段的比有顺序，除 ＝ 外， ∶ ≠ ∶ ，但 ∶ 与 ∶ 互为。
（2）小刚身高1.7米，测得他站立在阳光下的影子长为0.85米，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1米，求小刚举起的手臂超过头顶多少米？
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解答第2题图
P N M
F
E
D
C
B
A
三、解答题：
1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交
DF 于K ，求KF
DK
的值。
2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ，
交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。
求证：PN PF PM PE ⋅=⋅。
答案：
一、填空题：
1、
3
2
，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题：
1、
3
1； 2、证明PM
PN
PF PE =即可；
课后作业
一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。
2． 已知x y 52=，则y x :=______________。
3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则
=+-++z
y x z
y x 2 。
5． =++===++222,7
53,10z y x z
y x z y x 则且
若 。
6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680
，AM ：MB ＝1：
2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。
7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则
EC= 。
8． 若
==+y
x
y y x 则,38 。
9、若
()0753≠==a c b a ，则
a
c
b a ++=_________ 二、选择题： 1．如果
32=b a ，则
b b
a +等于（ ） （A ）l 31 （B ）2
1
（C ）53 （D ）35
2．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ）
(A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c
3．已知
32==d c b a ，且d b ≠，则
d
b c
a --=（ ） （A ）32 （B ）5
2
（C ）53 （D ）51
4．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果2
3
=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ）
（A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）6
5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=2
1 6．已知
07
54≠==z
y x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ）
43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）16
7
=++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。
(A)1∶3∶5 (B)1∶2∶2 (C)1∶2∶3 (D)1∶3∶2
8．若3
2
=y x ，则
()=+--+y x y x y x y x :
（A ） 25∶1 (B) 1∶25 (C)27:8 (D)3:2 三、解答题：
1． 已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12。
求DE 和
B
H
G
E D
C
A
F。