图论及其应用1-3章习题答案(电子科大)(1)

学号：0808 姓名：马涛

习题1

4．证明图1-28中的两图是同构的

证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图

作映射f : f(v i )u i (1 i 10)

容易证明，对v i v j E((a)),有f(v i v j )u i u j E((b)) (1 i 10, 1j 10 )

由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明：m =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。

证明 必要性 若G 为非完全图，则 vV(G),有d(v) n-1 d(v) n(n-1) 2mn(n-1)

m n(n-1)/2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2n , 与已知矛盾！ 充分性 若G 为完全图，则 2m= d(v) =n(n-1) m= ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2n 。

9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。

(a)

v 2 v 3

u 4

u (b)

证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k V 1 =m = k V 2 V 1= V 2 。

12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。

证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路，由于 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik v in v ik 构成一个圈 。

17.证明：若G 不连通，则G 连通。

证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_

G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。 习题2

证明：每棵恰有两个1度顶点的树均是路。

证明：设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树，则T 是连通的，且无圈，令V 1

、V 2 为度为1的顶点，由于其他的顶点度数均为0或者2，且T 中无圈，则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以，每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。

证明：正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当)1(21-=∑=n d n

i i 。

证明：设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列，则满足E d

n i i 21=∑=，E 为T 的边数，又有边数和顶点的关系1+=E n ，所以

)1(21-=⇒∑=n d n

i i

证明：若e 是n K 的边，则3)2()(--=-n n n n e K τ。

若e 为Kn 的一条边，由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1，Kn 的所有生成树的总边数为：2)1(--n n n ，所以，每条边所对应的生成树的棵数为：32

2)1(2

1)1(--=--n n n n n n n ，所以，K n - e 对应的生成树的棵数为：

332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ

Kruskal 算法能否用来求：

赋权连通图中的最大权值的树

赋权图中的最小权的最大森林如果可以，怎样实现

解：（1）不能，Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。

（2）可以，步骤如下：

步骤一：选择边e1，是的)(1e ω尽可能小；

步骤二：若已选定边i e e e ,...,,21，则从},...,{\21i e e e E 选取1+i e ，使

}],...,[{121+i e e e G 为无圈图

)(1+i e ω是满足a 的尽可能小的权；

步骤三：当步骤二不能继续执行时停止；

习题3

3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：

（1）G 是块

（2）G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；

（3）G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。

证明：（1）→（2）：

G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到新图1G ，显然1G 的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是1G 中u 与边e 都位于同一个圈上。

→(3):

无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u ，边e ，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v ，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。

(3)→(1):

连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块,,,

无环，12,x v y v ∈∈，点在每一条的路上，则与已知矛盾，是块。

设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G). 解：通常

. 整个图为，割点左边的图为的的子图，

，则. 设T 是简单连通图G 的生成树，)(T E G T -=称为G 的余树，图G 的极小边割是指其任何真子集均不是边割的边割。证明：

T 不含G 的极小边割。

e T +包含G 的唯一的极小边割，其中e 为G 的不在T 中的边。

证明：（1）设T 含有G 的极小边割S ，则T 中不含极小边割S ，由于T 是简单连通图G 的生成树，则T 中必然含有一组极小割边，这与T 中不含极小割边相矛盾，则T 中不含G 的极小边割。

（2）假设e 为T 中的一条边，根据（1）得T +e 中仍不含G 的极小割边，这与 e T +包含G 的唯一的极小边割相矛盾，则e 为G 的不在T 中的边，得证。

e

H