2018届人教版数学中考专项训练(七)相似(含答案)
2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)
课前导学:相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．九年级数学试题因动点产生的相似三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．满分解答:（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B (n ,2)，代入8y x=，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4,2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A (2,4)、B (4,2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝BC＝，∠ABC ＝90°．所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝12⨯＝8．（3）由A (2,4)、D (0,2)、C (0,－2)，得AD＝AC＝．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC=时，CE ＝AD＝此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD ==CE＝．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10,8)．图3图4图22.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．4.如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2,2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）将M (2,2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m=-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4,0)，E (0,2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF =，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2,0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以(m BF m +=．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m +-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BC BE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+．5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？7．如图，已知二次函数(其中0＜m＜1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=P C．(1)∠ABC的度数为°；(2)求P点坐标(用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接B C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．9.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．10.如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）B 的坐标为(b ,0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x,x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1,0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得843b =±Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
2018年全国各地中考数学真题汇编图形的相似(含答案)
中考数学真题汇编:图形的相似一、选择题1. 在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标别离为A（6，8），B（10，2），假设以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原先的后取得线段CD，那么点A的对应点C的坐标为（）A. （5，1）B. （4，3）C. （3，4）D. （1，5）【答案】C2. 已知，以下变形错误的选项是（）A. B. C. D.【答案】B3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长别离为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，那么它的最长边为（）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm 【答案】C4. 已知与相似，且相似比为，那么与的面积比（）A. B. C. D.【答案】D5.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的极点A在△ECD的斜边DE上，假设AE=，AD= ，那么两个三角形重叠部份的面积为（）A. B. C. D.【答案】D6.在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原先的两倍,那么点的对应点的坐标为( )A. B. 或 C. D. 或【答案】B7. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部份三角形的面积为4.若，那么等于（）A. 2B. 3C.D.【答案】A8. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、别离交于点、.关于以下结论：①；②；③.其中正确的选项是（）∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=AED=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC= AB∴2CB2=CP•CM因此③正确A. ①②③B. ①C. ①②D. ②③【答案】A9.学校门口的栏杆如下图，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足别离为，，，，，那么栏杆端应下降的垂直距离为( )A. B. C. D.【答案】C10.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积别离为S1，S2，（）A. 若，那么B. 若，那么C. 若，那么D. 若，那么【答案】D11. 如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，那么PA的长为（）A. 4B.C. 3D. 2.5【答案】A12. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，假设菱形ABCD的周长为16，∠BAD ＝60°,则△OCE的面积是（）。
2018年中考数学试卷(有答案)
2018年中考数学试卷(有答案)2018年中考数学试卷（有答案）全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8个小题，每题只有一个正确的选项，每小题3分，满分24分）1.一元二次方程 x^2-4=0 的解是（）A。
x=2B。
x=-2C。
x1=2，x2=-2D。
x1=-2，x2=22.二次三项式 x^2-4x+3 配方的结果是（）A。
(x-2)^2+7B。
(x-2)^2-1C。
(x+2)^2+7D。
(x+2)^2-13.XXX从上面观察下图所示的两个物体，看到的是（删除该段）4.人离窗子越远，向外眺望时此人的盲区是（）A。
变小B。
变大C。
不变D。
以上都有可能5.函数 y=kx 的图象经过 (1,-1)，则函数 y=kx-2 的图象是（删除该段）6.在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a=4，b=3，则 sinA 的值是（）A。
5/4B。
4/5C。
3/5D。
4/37.下列性质中正方形具有而矩形没有的是（）A。
对角线互相平分B。
对角线相等C。
对角线互相垂直D。
四个角都是直角8.一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（删除该段）二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分）9.计算tan60°=√3.10.已知函数 y=(m-1)x^(m-2) 是反比例函数，则 m 的值为3.11.若反比例函数 y=k/x^2 的图象经过点 (3,-4)，则此函数在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小。
12.命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果两条直角边的平方和不等于斜边的平方，则三角形不是直角三角形”。
13.有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为 2，3，4，随意从每组中牌中抽取一张，数字和是 6 的概率是 1/9.14.依次连接矩形各边中点所得到的四边形是长方形。
15.如图，在△ABC中，BC=8 cm，AB 的垂直平分线交AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则AC 的长等于 10 cm。
2018年中考数学挑战压轴题(含答案)
2017挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P( 0，2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点.(1)求直线AB的函数表达式；(2)如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；(3)如图②，若点Q在y轴左侧，且点T (0，t) (t V2)是射线PO上一点, 当以P、B、Q为顶点的三角形与△ PAT相似时，求所有满足条件的t的值.图①图②备用图2. 如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8过线段BO上一动点D,作AD丄BC 交半圆O于点A,联结AO,过点B作BH丄AO,垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F.(1)求证：AH=BD(2)设BD=x, BE?BF=y求y关于x的函数关系式；(3)如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当厶卩人丘与厶FBG相似时，求BD的长度.3•如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A (3, 0)、B (0, m) (m>0), tan / BAO=2(1)求直线AB的表达式；(2)反比例函数y= 的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BD v BC),x当AD=2DB时，求&的值；(3)设线段AB的中点为E,过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y的图象于点F，分别联结OE OF，当厶OE2A OBE时，请直接写出满足条x4. 如图，在Rt A ABC中，/ ACB=90, AC=1, BC=7,点D是边CA延长线的一点，AE丄BD,垂足为点E, AE的延长线交CA的平行线BF于点F,连结CE交AB于点G.(1)当点E是BD的中点时，求tan / AFB的值；(2)CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值; 如果变化，请说明理由；(3)当△BGE和△ BAF相似时，求线段AF的长.5. 如图，平面直角坐标系xOy中，已知B (- 1, 0), —次函数y=-x+5的图象与x 轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A、点B.(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P是该二次函数图象的顶点，求△ APC的面积；(3)如果点Q在线段AC上，且△ ABC与厶AOQ相似，求点Q的坐标.6 .已知：半圆O的直径AB=6,点C在半圆O上，且tan / ABC=2匚，点D为弧AC 上一点，联结DC (如图)(1)求BC的长；(2)若射线DC交射线AB于点M，且△ MBC与厶MOC相似，求CD的长；(3)联结OD,当OD// BC时，作/ DOB的平分线交线段DC于点N,求ON的长.7•如图，已知二次函数y=«+bx+c(b, c为常数)的图象经过点A (3,- 1), 点C (0,- 4),顶点为点M，过点A作AB// x轴，交y轴与点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移m (m > 0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ ABC的内部(不包含厶ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P时直线AC上的动点，若点P,点C,点M所构成的三角形与△ BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)•备用医I因动点产生的等腰三角形问题8 .如图1,在厶ABC中，/ ACB=90, / BAC=60,点E是/BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF.(1)如图1,若点H是AC的中点，AC=2「，求AB, BD的长；(2)如图1,求证:HF=EF(3)如图2,连接CF, CE猜想：△ CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由.9 •已知，一条抛物线的顶点为E (- 1,4),且过点A (-3, 0),与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且-3v m v- 1,过点D作DK 丄x轴，垂足为K, DK分别交线段AE、AC于点G、H.(1) 求这条抛物线的解析式;(2) 求证：GH=HK10.如图，已知在Rt A ABC中，/ ACB=90, AB=5, si nA丄，点P是边BC上的5一点，PEI AB,垂足为E,以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q, 线段CQ与边AB交于点D.(1) 求AD的长；(2) 设CP=x △ PCQ的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3) 过点C作CF丄AB,垂足为F,联结PF、QF,如果△ PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长.C C11 •如图(1),直线y=- x+n交x轴于点A,交y轴于点(0,4),抛物线y=「x2+bx+c3 3经过点A,交y轴于点B (0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD丄PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当厶BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长;(3)如图(2),将厶BDP绕点B逆时针旋转，得到△ BD P'当旋转角/ PBP = / OAC且点P的对应点P落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.12 •综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx - 8与x轴交于A，B两点,与y轴交于点C,直线I经过坐标原点0，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E,连接CE已知点A，D的坐标分别为(-2, 0)，(6，- 8).(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F,使厶FOE^A FCE若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0, m),直线PB与直线是等腰三角形.因动点产生的直角三角形问题13. 已知，如图1，在梯形ABCD中，AD// BC,/ BCD=90, BC=11, CD=6, tan / ABC=2点E在AD边上，且AE=3ED EF// AB交BC于点F,点M、N分别在射线FE和线段CD上.(1)求线段CF的长；(2)如图2,当点M在线段FE上，且AM丄MN，设FM?cos/ EFC=x CN=y求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)如果△ AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长.C C14. 如图，在矩形ABCD中，点0为坐标原点，点B的坐标为(4, 3)，点A、C 在坐标轴上，点P在BC边上，直线h：y=2x+3，直线12：y=2x-3.(1)分别求直线l1与x轴，直线12与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线12上的点，若△ APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线h和直线12上的点所组成的图形为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).因动点产生的平行四边形问题15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax - 2ax -3a (a v 0)与x 轴交 于A , B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线I : y=kx+b 与y 轴交于点C , 与抛物线的另一个交点为D ,且CD=4AC(1) 直接写出点A 的坐标，并求直线I 的函数表达式(其中k , b 用含a 的式子 表示);(2) 点E 是直线I 上方的抛物线上的一点，若△ ACE 的面积的最大值为「，求a4的值；(3) 设P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶OA=5, AB=4,点D 为边AB 上一点，将△ BCD 沿直 线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC, OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.(1) 求点E 坐标及经过O , D , C 三点的抛物线的解析式；(2) 一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长的速度向点B 运动，同时 动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点 B 时，两点同时停止运动.设运动时间为 t 秒，当t 为何值时，DP=DQ(3) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样 的点M 与点N ,使得以M , N , C, E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由.16.如图，在矩形OABC 中, 请说明理由.17•如图，抛物线y=-X123+2X+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E.1 求直线AD的解析式；2 如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG丄AD于点G,作FH平行于X轴交直线AD于点巴求厶FGH周长的最大值；3 点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A, M , P, Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形•若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T 的坐标.18•如图，点A和动点P在直线I上，点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt A ABQ，使/ BAQ=90 , AQ: AB=3: 4,作厶ABQ的外接圆0.点C在点P 右侧，PC=4过点C作直线m丄I,过点O作OD丄m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF冷CD,以DE, DF为邻边作矩形DEGF设AQ=3x.(1)用关于X的代数式表示BQ, DF.(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF勺面积等于90，求AP的长.(3)在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交。
2018中考相似三角形经典练习试题和的答案解析
相似三角形分类练习题(1)一、填空题1、如图,DE 是9BC 的中位线,那么4ADE 面积与z\ABC 面积之比是AD 12、如图,4ABC 中,DE//BC, AS 2且£但「8加,那么凡的= _________________________ 邮.3、如图,z^ABC 中,ZACB = 90° CD±AB,D 为垂足,AD = 8cm ,DB = 2cm ,那么 CD =cm4、如图,4ABC 中,D 、E 分别在 AC 、AB 上,且 AD:AB = AE:AC = 1:2 , BC = 5cm , WJ DE =题一 1国 颗一 2国 褒一 M 图 埋一 4图 墨一 b 图 思一 6图 题一 10国5、如图,AD 、BC 相交于点 O, AB//CD, OB = 2cm , OC=4cm , ^AOB 面积为 4.5cm 2,那么4 DOC 面积为 cm 2.6、如图,4ABC 中,AB = 7, AD =4, /B=/ACD,那么 AC =7、如果两个相似三角形对应高之比为 4:5,那么它们的面积比为 o 8、如果两个相似三角形面积之比为 1:9,那么它们对应高之比为 o9、两个相似三角形周长之比为 2:3,面积之差为10cm 2,那么它们的面积之和为 cm?.口 -S10、如图,4ABC 中,DE//BC, AD:DB=2:3,那么 皿-橙荒此前= 二、选择题1、两个相似三角形对应边之比是 1:5,那么它们的周长比是(). (A) 1：君；(B) 1:25; (C) 1:5; (D) B1.2、如果两个相似三角形的相似比为 1:4,那么它们的面积比为().(A) 1:16; (B) 1:8; (C) 1:4; (D) 1:2.锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O,那么与ADOB 相似的三角形个数是().(B) 2; (C) 3; (D) 4.(A) 1:9; (B) 1:81 ; (C) 3:1 ; (D) l:3o三、如图,4ABC 中,DE//BC, BC = 6,梯形DBCE 面积是z\ADE 面积的2倍,求DE 长.3、如图,(A) 1;4、如图, 梯形 ABCD , AD //BC, AC 和BD 相交于O 点, 共同£皿“：品3 = 1:9,那么%8：为叼=甄二4四、如图,4ABE 中,AD:DB=5:2, AC:CE=4:3,求BF:FC的值.五、如图,直角梯形ABCD 中,ABXBC, BC //AD , BC<AD , BC = q , AB = 8 , AC LCD,求AD 〔用的式子表示〕六、如图,4ABC 中,点D 在BC 上,/DAC = /B, BD = 4, DC=5, DE//AC 交AB 于点E,求DE长.七、如图,ABCD是矩形,AH =2, HD =4, DE = 2, EC= 1 , F是BC上任一点〔F与点B、点C不重合〕,过F作EH的平行线交AB于G,设BF为# ,四边形HGFE面积为,写出?与彳的函数关系式,并指出自变量A的取值范围.相似三角形分类练习题〔2〕一、填空题ace._ = =__ =41、：b d丁,且那么&十八/=2、在一张比例尺为1:5000的地图上,某校到果园的图距为8cm ,那么学校到果园的实际距离为_______ m3、如图,4ABC 中,/ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AD=4cm, BD = 16cm,那么CD =_______ c mo4、如图,/ACD = /B, AC= 6, AD =4,那么AB5、如图ABCD是平行四边形,F是DA延长线上一点,连CF交BD于G,交AB于E,那么图中相似三角形〔包括全等三角形在内〕共有________ 对.6、如图,MBC中,BC=15cm ,DE、FG均平行于BC且将9BC面积分成三等分,那么FG =cm.7、如图,AF //BE//CD, AF=12, BE=19, CD =28,那么FE:ED 的值等于s • s8、如图,AABC, DE //GF//BC,且AD = DG = GB,那么 '樟度翎10、如图,4ABC 重心为G, 3BC 和为BC 在BC 边上高之比为 (A) /1 = /2; (B) /2 = /C; (C) /1 = /BAC; (D) /2 =/B3、如图,AB//A' B' , BC//B' C' , AC//A' C',那么图中相似三角形组数为( (A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8. BE 和CD 相交于点F, DF:FC=1:3,那么叫理：'©c = ( ) 0 三、?BC 中,AB = AC, AD 是底边BC 上高,BE 是AC 上中线,BE 和AD 相交于F, BC = 10 , AB= 13,求 BF 长.四、如图,ABFE 、EFCD 是全等的正方形,M 是CF 中点,DM 和AC 相交于N ,正方形边长为口, 求AN 的长.(用仪的式子表示)五、如图,AABC 中,AD ±BC, D 是垂足,E 是 BC 中点,FE± BC 交 AB 于 F, BD = 6, DC = 4, AB=8,求 BF 长.h p …A儿 _____ 口B zik — £ I P I Cc B t n .： n F 'MIEN*3晒 + S JI 兆V = ~~T六、如图,^ABC 中,〃 = 90° ,DEFG 是*BC 中内接矩形,AB = 3,AC = 4, 匕,求矩形DEFG 周长.AD = 3cm , BC = 6cm , CD = 4cm ,现要截出矩形 EFCG, ,设BE=x ,矩形EFCG 周长为y ,(1)写出?与工的(2)才取何值,矩形EFCG 面积等于直角梯形ABCD 的相似形〔3〕一、填空题1、如果两个相似三角形的周长比为 2:3,那么面积比为9、如图,ABCD 是正方形,E 是DC 上一点,DE:EC= 5:3, AELEF, WJ AE:EF=二、选择题1、两个相似三角形的相似比为 4:9, (A) 2:3; (B) 4:9; (C) 4:81 ;2、如图,D 是?BC 边BC 上一点, 那么这两个相似三角形的面积比为( (D) 16:81.△ABDsWAB,那么(). 4、如图,AABC 中,DE //BC, (A) 1:3; (B) 1:世 1:9; (D) 1:18.题六国七、如图,有一块直角梯形铁皮ABCD, (E 点在AB 上,与点A 、点B 不重合) 函数关系式,并指出自变量了取值范围; 5分O；(C) BE D C 0S-fE32、两个相似三角形相似比为2:3,且面积之和为13cm2,那么它们的面积分别为L3、三角形的三条边长分别为5cm , 9cm , 12cm ,那么连结各边中点所成三角形的周长为cm4、如图,PQ//BA, PQ = 6, BP=4, AB = 8,那么PC 等于AD _15、如图,4ABC 中,DE//BC, 万,、F=2cm2,贝〔J % 用地5=cm2.题T图题T图圈一6困6、如图,C为线段AB上一点,AACM > 3BN都是等边三角形,假设AC = 3, BC = 2,那么WCD与9ND面积比为7、AABC 中,〃ACB = 90° ,CD 是斜边AB 上的高,AB=4cm , AC = 2>^cm ,那么AD =cm.8、如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O, E是CD的中点,AE交BD于F,那么DF:FO=9、如图,AF //BE//CD, AB:BC=1:2, AF = 15, CD = 21,贝U BE=10、如图,DC //MN //PQ //AB, DC = 2, AB = 3.5 , DM =MP =PA,那么MN =; PQ =二、选择题1、如图,要使△ACD S/BCA,必须满足().AC _ AB CD _BC(A) CD AC; (B) AD AC; (C)AD2 = CDBD; (D)AC2=CDBC.2、如图,9BC中,CD LAB于D, DELAC于E, ZACB = 90°,那么与ABC相似的三角形个数为().(A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5.3、如图,4ABC中,D是AC中点,AF//DE,工^濡皿的小飞,那么5但；“皿=().(A) 1:2; (B) 2:3; (C) 3:4; (D) 1:1.4、如图,平行四边形ABCD中,O i、02、03为对角线BD上三点,且BO i = 01.2 = 02.3 =03D,连结AO i并延长交BC于点E,连结E03并延长交AD于F,那么AD:FD等于().(A) 19:2 ; (B) 9:1 ; (C) 8:1 ; (D) 7:1.三、如图,矩形ABCD中,AB = 10cm , BC = 12cm , E为DC中点,AFLBE于点F,求AF长.四、如图,D、E分别是9BC边AB和AC上的点,/1 = /2,求证：ADAB=AEAC.五、如图,ABCD是平行四边形,点E在边BA延长线上,连CE交AD于点F, /ECA=/D,求证：ACBE=CEAD.六、如图,4ABC 中,/ACB=90° ,BC=8, AC=12, /BCD = 30°,求线段CD 长.七、如图,等腰梯形ABCD 中,AD //BC, AB=DC = 5, AD=6, BC=12, E 在AD 上,AE = 2, F为AB上任一点(点F与点A、点B不重合),过F作EC平行线交BC于G,设BF=k,四边形EFGC面积为,,(1)写出,与二的函数关系式；(2) K取何值,EGXBCo相似三角形分类练习题(3)一、填空题1、假设纱一加二°,贝U▼=x-y _ y_ _ + ♦2、I3彳,那么丁=3、如图,/B=/ACD, u旧= 2:1,那么AC:AB =4、如图,DE//BC, AD=4cm , DE = 2cm , BC = 5cm ,贝U AB =cm5、如图,DE//BC, AD:DB=1:2,那么小DE与?BC面积之比为6、如图,梯形ABCD 中,DC //EF//AB, DE = 4, AE = 6, BC = 5,那么BF =7、如图,平行四边形 ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O, BC=18, E 为OD 中点,连结CE 并延长交AD 于F,那么DF =AD _BC _ AC _ 58、如图,AABC 和ABED 中,假设砧 1 BS DE 弓,且3BC 和z^BED 周长之差为10cm ,那么4 ABC 周长为 cm9、如图,△ACB S /ECD, AC:EC = 5:3, 1诚c = i8,那么 Me =510、如图,AABC 中,BE 平分/ABC, BD = DE, AD =万 cm , BD = 2cm,那么 BC =cm11、如图,ABCD 是平行四边形,BC = 2CE,那么用厘〜凡^^二12、如图,AABC 中,DE//BC, BE 、CD 相交于F,且用"^ =变心用,那么$山：氏皿=13、如图,4ABC 中,BC=15cm , DE 、FC 平行于BC,且将z\ABC 面积三等分,那么 DE+FC = _______ c m14、将长为^cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段与较短线段之差为 cm115、如图,平行四边形 ABCD 中,延长AB 至ij E,使BE= 2 AB,延长CD 至U F,使DF = DC, EF 交BC 于G ,交AD 于H ,那么又期:“斑抹= 二、选择题1、如图,4ABC 中,DE//BC,那么以下等式中不成立的是〔〕2、两个相似三角形周长分别为 8和6,那么它们的面积比为〔(A) 4:3;(B) 16:9; (C) 2:仃；(D) 仃：及.3、如图,DE//BC, AB = 15 , AC = 9, BD = 4,那么 AE 长是()(A)AD _ AE AD _ AE AB = AC. g DB = EC. AD = DE DB BC .AD(D) 1-1" DEBCA题一 5图 蛊- 6徙一 i"2 22- 6-(A) 5；⑻(A) 2:1 ; (B) 2:3; (C) 4:9; (D) 5:4.5、如图,在边长为"的正方形ABCD 的一边BC 上,任取一点E,彳EF±AE 交CD 于点F,如 果BE= x , CF= ,那么用x 的代数式表示产是().y = - 一 + z y = - - x y ~x 2 + -j = x 2 + -(A) g ; (B) 口 ； (C)鼻；(D)阴.1、：3 4 6 ,求+ £的值.2、如图,菱形ABCD 边长为3 ,延长AB 至ij E 使BE=2AB ,连结EC 并延长交AD 延长线于点F, 求AF 的长.3、如图,4ABC 中,DE//BC,心皈 ：端心用觉：时=1:2 , BC =2^ ,求DE 长.4、如图,直角梯形 ABCD 中,DALAB, AB //DC , ZABC = 60° , ABC 平分线 BE 交 AD 于 E, CEXBE, BE=2,求 CD 长.5、如图,ABCD 是边长为"的正方形,E 是CD 中点,AE 和BC 的延长线相交于F, AE 垂直平 分线交AE 、BC 于H 、G,求线段FG 长.6、如图,z\ABC 中,AB>AC,边AB 上取一点D,在边AC 上取一点E,使AD=AE,直线DE BP BD=_ 的延长线和BC 延长线交于点P,求证：°尹CE o 四、(此题8分)如图,AABC 中,AB = AC, AD ±BC, D 为垂足,E 为 AC 中点,BE 交 AD 于 G, AD = 18cm , BE=15cm ,求小BC 面积.17工4、如图,DE//BC,11-B DC B控五图五、如图,4ABC中,点M在BC边上移动〔不与点B、C重合〕,作ME//CA交AB于E,作BM = xMF //BA交AC于F, S©c = 10cm2,设BC ,四边形AEMF面积为y,写出尸与x的函数关系式,并指出工取值范围.。
2018年人教版中考复习数学《 结论判断题》专项检测(含答案)
专题二 结论判断题类型一 代数结论判断题1. 关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m-1）2+(n-1)2≥2;③-1≤2m -2n≤1.其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：①abc ＜0;②2b 4ac 4a ＞0;③ac-b+1=0;④OA·OB ＝-c a.其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 如图是抛物线y1=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx+n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点.下列结论：①2a+b=0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（-1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1.其中正确的是（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ②④⑤4.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c≥0的解集是x≥3.5；④若（-2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是( )A. ①②B. ①④C. ①③④D. ②③④第4题图第5题图的图象，判断5. 观察图中给出的直线y＝k1x+b和反比例函数y＝2kx下列结论错误的有( )①k2＞b＞k1＞0;②直线y=k1x+b与坐标轴围成的△ABO的面积是4;的解为x1=-6，y1=-1,x2=2，y2=3;③方程组y=k1x+b，y=2kx.④当-6＜x＜2时，有k1x+b＞2kxA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.对于二次函数y=kx2-（2k-1）x+k-1（k≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若k<0，函数在x>1时，y随x的增大而减小；③无论k取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论k取何值，函数图象都经过同一个点.其中所有正确的结论是______.(填写正确结论的序号)x2-2 7.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k为常数)与抛物线y=13交于A,B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，-4），连接PA , PB.有以下说法：①PO2=PA·PB;②当k>0时，（PA+AO）(PB-BO)的值随k的增大而增大;③当3,BP2=BO·BA;④△PAB面积的最小值为6.其中正确的是_____.（写出所有正确说法的序号）类型二几何结论判断题1.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM.下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC.其中结论正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第1题图第2题图2. 如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC 上一点，且∠D ＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC＝63 cm ；③sin ∠AOB 3④四边形ABOC 是菱形.其中正确结论的序号是（ ）A. ①③B. ①②③④C. ②③④D. ①③④3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB ＝BC.点D 是线段AB 上的一点，连接CD ，过点B 作BG ⊥CD,分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF.给出以下四个结论：①AF =B A A G FC;②若点D 是AB 的中点，则AF 2AB ；③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；④若DB 1=AD 2，则S △ABC =9S △BDF .其中正确的结论序号是（ ）A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④第3题图 第4题图4. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，垂足为点B ，连接CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连接AD 并延长交BC 于点F.则以下结论：①∠CBD ＝∠CEB;②CD =E B B D BC;③点F 是BC 的中点;④若BC3= AB2101.其中正确的是( )A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①②③5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB 上两动点，且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G.现有以下结论：①2; ②当点E与点B重合时，MH＝12；③AF+BE＝EF；④MG·MH=12，其中正确结论为( )A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④第5题图第6题图6. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC中，∠ABC＝60°，点E、F分别从点B、D同时出发，以同样的速度沿边BC、DC向点C运动（点E、F不与点B、D重合）.给出以下四个结论：①AE＝AF;②EF∥BD;③当点E、F分别为边BC、DC的中点时，EF3④当点E、F分别为边BC、DC的中点时，△AEF的面积最大.上述结论中正确的个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM,连接AM、AH,则以下四个结论：①△BDF≌△DCE; ②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABCD＝3AM2.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第7题图第8题图8. 如图，正方形ABCD内一点E，满足△CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GH⊥AF，交AB于点G，交CD 于点H.以下结论：①∠AFC=105°；②GH=2EF；③2CE=EF+EH；.其中正确结论的个数是（）④AE2=EH3A. 1B. 2C. 3D. 49.如图,在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC.关于下列结论：①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心，其中正确结论是______(只需填写序号）. 第9题图10. 点P是正方形ABCD的边CD上一点，EF垂直平分BP分别交BC，AD于点E，F，GP⊥EP交AD于G，连接BG交EF于H，有下列结论：①BP=EF;②以BA为半径的⊙B与GP相切;③∠FHG＝45°;④若G为AD的中点，则DP=2CP.其中正确的结论是______.（填所第10题图有正确结论的序号）11.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2.对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF;展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q;再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G.有如下结论：①∠ABN＝60°;②AM=1;③QN＝3;④△BMG是等边三角形;⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是3.其中正确结论的是序号是________. 第11题图【答案】专题二结论判断题类型一代数结论判断题1.D【解析】逐项分析：①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，∴由根与系数的关系可得x1x2=2n>0，∴x1,x2同号；同理y1y2=2m>0,y1,y2为同号，∵x1+x2=-2m<0,y1+y2=-2n<0，∴x1,x2,y1,y2均为负整数.故①正确.②∵一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根，∴Δ=4m2-4×2n=4m2-8n≥0，即m2-2n≥0，同理可得n2-2m≥0，∴m2+n2-2n-2m≥0，即(m-1)2+(n-1)2≥2.故②正确.③由①得x1,x2,y1,y2均为负整数，∵一元二次方程的根均为整数，∴x1,x2,y1,y2均小于等于-1，设X=x2+2mx+2n，Y=y2+2ny+2m，则X,Y分别为x,y的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于-1且为整数，因此，当x=-1时，X=1-2m+2n≥0,m-n≤12；当y=-1时，Y=1-2n+2m≥0,m-n≥-12，即-12≤m-n≤12，∴-1≤2m-2n≤1.故③正确.故选D.2. B【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确;∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2-4ac＞0，而a＜0，∴2b-4ac4a＜0，所以②错误;∵C （0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c 得ac2-bc+c＝0，∴ac-b+1=0，所以③正确;设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，∴x1·x2＝ca ，∴OA·OB＝-x1x2＝-ca，所以④正确.故选B.3. C【解析】逐项分析:①对称轴是x=1，即-b2a=1，则2a+b=0.所以①正确.②∵抛物线开口向下,∴a＜0;∵对称轴x=-b2a=1>0,∴ b＞0;∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＜0.所以②错误.③∵抛物线的顶点坐标是A（1,3），∴当函数值是3时，对应的x的值只有一个1，则方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根.所以③正确. ④B（4,0）关于对称轴x=1的对称点是（-2，0），则抛物线与x轴的另一个交点是（-2,0）.所以④错误.⑤当1＜x＜4时，抛物线在直线上方，∴y2<y1.所以⑤正确.故选C.4. B【解析】逐项分析：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴b2＞4ac.所以①正确.②当x＝-2时，y=4a-2b+c,∵抛物线的对称轴为x=1,∴(-2,4a-2b+c)关于x=1的对称点为（4，16a+4b+c）,即4a-2b+c=16a+4b+c,由题图可知（4，16a+4b+c）在第一象限，∴4a-2b+c=16a+4b+c＞0.所以②错误.③∵抛物线的对称轴为x=1,∴由题图可知抛物线两交点的横坐标分别为3.5和-1.5，∴不等式ax2+bx+c≥0的解集为x≤-1.5或x≥3.5.所以③错误.④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=-2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2.所以④正确.故选B.5. A【解析】①∵反比例函数y=2kx的图象经过点（2，3），∴k2=2×3＝6，∴y=6x.∵直线y=k1x+b经过点（2，3）和点（-6，-1），∴2k1+b=3,-6k1+b=-1,∴k1=12,b=2,∴y=12x+2.∴k2＞b＞k1＞0，正确;②∵y=12x+2,∴当y=0,x=-4，∴点A的坐标是（-4，0），当x＝0时，y＝2.∴点B的坐标是（0，2）.∴△ABO的面积是12×4×2＝4，正确;③观察图象，发现直线y=k1x+b和反比例函数y=k2x的图象交于点（-6，-1），（2，3），则方程组y＝k1x+b,y＝k2x的解为x1＝-6,y1＝-1，x2＝2y2＝3，正确;④观察图象，可知当-6＜x＜0或x＞2时，有k1x+b＞2kx，错误.6. ①③④【解析】令y=0,则kx2-(2k-1)x+k-1=0,解得x1=1,x2=k-1k ,∴函数图象与x轴的交点为(1,0),(k-1k,0)，故①④正确；当k<0时，k-1k>1,∴函数在x>1时，y随x的增大先增大然后再减小，故②错误；∵x=-b2a =--(2k-1)2k=1-12k,y=24ac-b4a=24k(k-1)-(2k-1)4k=-14k,∴y=12x-1 2,即无论k取何值，抛物线的顶点始终在直线y=12x-12上，故③正确；综上所述，正确的结论是①③④.7. ③④【解析】如解图：①当k＝0时，y＝0,即直线与x轴重合,则A、B两点为y=13x2-2与x轴的交点.令13x2-2=0得,则A点坐标为（，0），B，0），又∵P点坐标为（0，-4）.则PA=22-+-=＝PB，(6)(4)22∴PA·PB=22.又∵PO=4,∴PA·PB＝22≠PO2=16，故①错误; ②由①知：当k=0时，PA=PB=22,AO=BO=6,∴(PA+AO)·(PB-BO)=(22+6)( 22-6)=16.当k持续增大，即y=kx持续接近y轴，至与y 轴重合时，易知A点坐标为（0，-2），则PA=2,AO=2,PB-BO=PO=4,∴(PA+AO)(PB-BO)=16,则当k增大时，（PA+AO）·(PB-BO)不随k的增大而增大，故②错误;③当k=-3时，A（-23，2），B（3，-1），∴OB=2，BP=23，3x2－2，则可AB=6，∴BP2=BO·BA，故③正确；④令kx=13化简为x2－3kx－6=0，设该方程的两根分别为a,b，即A，B 的横坐标分别为a,b，则|a－b|=22≥，(a+b)-4ab=9k+2426∴当k=0,即直线AB与x轴重合时，S△PAB的最小值×4×26=46.故④正确.综上，正确答案为③④.=12类型二几何结论判断题1. D【解析】∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=BD, BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°,∠DBE=180°-∠ABD-∠DBE =180°-∠ABD-∠EBC=60°,∴∠ABE=∠DBC=120°.∴△ABE ≌△DBC（SAS）.故结论①正确；由△ABE≌△DBC可得，∠BAE=∠BDC,又∵∠DPM=∠BPA,∴∠DMP=∠PBA=60°.故结论②正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BEP=∠BCQ,∵∠PBE=∠QBC=60°,BE=BC,∴△BEP≌△BCQ（ASA）, ∴BP=BQ,∵∠PBQ=60°,∴△BPQ为等边三角形，故结论③正确；作BH⊥AE,BG⊥CD，如解图.∵△ABE≌△DBC, ∴S△ABE=S△DBC,即AE·BH=CD·BG.∵AE=CD,∴BH=BG.∴MB平分∠AMC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）.故结论④正确，故选D.2.B【解析】如解图，设AO与CB交于点E∵点A是劣弧BC的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确∵∠D＝30°，∴∠ABC=∠D＝30°，∴∠AOB＝60°，∵点A是劣弧BC的中点，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OA=OB＝AB＝6 cm，∵BE=AB·cos30°＝6×3＝33cm,∴BC=2BE＝63cm,故②正确.∵∠AOB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝3，故③正确；∵∠AOB＝60°，∴AB=OB，∵点A是劣弧BC的中点，∴AC=AB，∴AB=BO＝OC=CA,∴四边形ABOC 是菱形，故④正确.故选B.3.C【解析】逐项分析：①∵AG∥BC,∴△AFG∽△CFB ,∴AG AF= BC FC ,又∵BC=AB, ∴AG AF=AB FC,∴①正确；②∵∠DEF=∠GAB=90°,∠ABG=∠EBD,∴△ABG∽△EBD,同理可证，△EBD∽△BCD,∴△ABG∽△EBD∽△BCD,∴D 为AB 中点时，AG BD 1=AB BC 2=，∵AB=BC ，∴AGBC=12，∵AG ∥BC ，∴△AFG ∽△CFB,得AG AF 1=BC FC 2=，∴AF ＝12FC ＝13AC ，∵BC ＝AB ，AC ＝2AB ＝2BC ，∴AF ＝13AC ＝23AB ，∴②正确.③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，∵CD ⊥BF,则CD 平分BF 所对的弧，∴DF=DB.∴③正确.④如解图，过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设FH=h ，∵DB 1AD 2=, ∴DB 1AB 2=,可得DB 1BC 3=，∵△ABG ∽△BCD,∴AG BD 1=AB BC 3=, 又∵△AFG ∽△CFB,∴AF AG AG 1=FC BC AB 3==,AF 1AC 4=, 又△AHF ∽△ABC ，∴FH AF 1=BC AC 4=,即S △FDB ∶S △ABC =BD FH =AB BC ⋅⋅ 1113412=⋅=. ∴S △ABC=12S △FDB.④错误.故选C.4. C 【解析】∵BC ⊥AB 于点B ，∴∠CBD+∠ABD=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CBD=∠BAD,∵∠BAD=∠CEB, ∴∠CEB=∠CBD,故①正确.∵∠C=∠C,∠CEB=∠CBD, ∴△EBC ∽△BDC ，∴BD CD =BE BC，故②正确. ∵∠EBD=∠BDF ＝90°，∴DF ∥BE ，假设点F 是BC 的中点，则点D 是EC 的中点，∴ED=DC ，∵ED 是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，∴DC不一定等于ED，故③是错误的.∵BC3=AB2, 设BC=3x,AB=2x，∴OB=OD=x，∴在Rt△CBO 中, ∴在Rt△CBO中，OC＝10x，∴CD＝（10-1）x，∵由（2）知，BD CD=BE BC ，∴BD CD(101)=BE BC-=，∵tanE=BD BE ,∴tanE=(101)3-,故④正确.故选C.5.C【解析】逐项分析：①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，∴由勾股定理可知:AB=22AC+BC2=.所以①正确.②当点E与点B重合，如解图①所示，此时∠FCB=∠CBF=45°，则BF=CF，同理AF=CF，∴点F是AB的中点，∵FG⊥AC，∴FG∥BC，∴点G是AC的中点，∴CG=12AC=12.易得四边形CHMG是矩形，∴MH=CG=12.所以②正确；③如解图②，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作PK⊥BC，分别交BC、GM于点P，K，过点D作QS⊥AC分别交AC、MH于点Q、S.∴DP=SH，Rt△ACD≌Rt△BCD(HL)，∴AD=BD,∴CD=12AB=BD，∠DCB=∠ECF=45°，则∠ECH=∠FCD，又∵∠CDF=∠CHE=90°，∴△CDF ∽△CHE ，∴HE CH =FD CD ，∴当CH ＞CD 时，HE ＞FD ，在Rt △FDK 中，FD ＞DK ，则HE ＞DK ，即HE ＞MS ，HS ＞ME ，易得△MEF 是等腰直角三角形，∴FE=2ME,又∵CD=2DP=2HS,∴EF ＜CD.∵AB=2CD ，∴EF ＜12AB ，∵AF+BE+EF=AB ，∴AF+BE ＞EF.所以③错误.④如解图③，连接DG ，DH ，∵CD ⊥AB ，FG ⊥CG ，∴点G 、C 、D 、F 共圆，∴∠FGD=∠FCD ；同理∠HDE=∠HCE ，∵∠FCD=∠HCE ，∴∠FGD=∠HDE ，易得∠GFD=∠DEH=135°，∴△GFD ∽△DEH ，∴GF DF =DE HE.在△GCF 与△CDE 中，易得∠GCF=∠DCE ，又∵∠CGF=∠CDE=90°，∴△GCF ∽△DCE ，∴CG CF =CD CE ,∵△CDF ∽△CHE,∴CH HE =CD DF，∴CH CG HE CF =CD CD DF CE⋅⋅,∵CD=22,∴CH·CG=12.HE DF 1DF HE 2⋅=，∴MG·MH=12.所以④正确.故选C.6. C 【解析】∵点E 、F 分别从点B 、D 出发，以同样的速度沿边BC 、DC 向点C 运动，∴BE=DF ，在△ABE 和△ADF中，AB=AD ，∠B=∠D ，BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴AE=AF,故①正确;∵△ABE ≌△ADF ，∴BE=DF.又∵两点以相同速度运动，∴CE=CF.∴∠CEF ＝1802C ︒-∠，∵∠DBC＝1802C︒-∠，∠CEF=∠DBC，∴EF∥BD，故②正确;当E、F 分别为边BC、DC的中点时，EF=12BD=BO，连接AC，∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AC⊥BD，∠CBD＝30°，∴∠BCO＝60°，BO=32BC＝3·2BE＝3BE，∴EF＝3BE，故③正确;∵△AEF的面积＝菱形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△CEF的面积＝3 2AB2-12BE·AB×32×2-12×32×（AB-BE）2＝-34BE2+34AB2，∴△AEF的面积是BE的二次函数，∴当BE＝0时，△AEF 的面积最大，故④错误.故正确的结论有①②③.7.C【解析】在菱形ABCD中，∵AB=BD,∴AB=BD=AD, ∴△ABD是等边三角形，∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°,∵BE=CF,∴BC-BE=CD-CF,即CE=DF,在△BDF和△DCE中，CE=DF，∠BDF=∠C=60°，BD=CD,∴△BDF≌△DCE(SAS),故①正确;∵△BDF≌≌△DCF（已证），∴∠DBF=∠EDC,∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°,∴∠BMD=180°-∠DM F=180°-60°=120°,故②正确;∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+ 60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°,∴∠DEB=∠ABM,又∵AD∥BC,∴∠ADH=∠DEB,∴∠ADH=∠ABM,在△ABM和△ADH中，AB=AD，∠ADH=∠ABM，DH=BM，∴△ABM≌△ADH(SAS),∴AH=AM,∠BAM=∠DAH,∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠B AM=∠BAD=60°,∴△AMH是等边三角形，故③正确;∵△ABM≌△ADH,∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，又∵△AMH的面积＝12AM·32AM＝34AM2,∴S四边形ABMD＝34AM2,S四边形ABCD≠S四边形ABMD,故④错误，综上所述，正确的是①②③共3个.8.C【解析】∵△CDE为正三角形，∴∠CDE=60°，∴∠ADE=90°-60°=30°，∵AD=DE=CD，∴∠DAE=∠DEA=12（180°- 30°）=75°，∴∠BAF=90°-75°=15°，∴∠AFC=90°+15°=105°，故①正确；如解图，过点H作HK⊥AB于点K，则HK=AD，∵GH⊥AF，∴∠BAF+∠AGE=90°，又∵∠AGE+∠KHG=90°，∴∠BAF=∠KHG，在△ABF和△HKG中，∠BAF=∠KHGHK=AB∠B=∠HKG，∴△ABF≌△HKG（ASA），∴AF=GH，∵△CDE为正三角形，∴点E在CD的垂直平分线上，根据平行线分线段成比例定理，点E是AF的中点，∴AF=2EF，∴GH=2EF，故②正确；∵GH⊥AF，∠DEA=75°，∴∠DEH=90°-75°=15°，K∴∠CEH=60°-15°=45°，∴∠CEF=90°-45°=45°，过点F作FM⊥CE于M，过点H作HN⊥CE于N，则MF=EM，NH=EN，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°，∴∠ECF=90°-60°=30°，∴CM=3MF，NH=3CN，∴CE=3MF+MF=3CN+CN，∴MF=CN，∴CE=2EF+2EH，∴2CE=EF+EH，故③正确；AE EF2MF3==，故④错误.EH EH33CN?29. ②③【解析】逐项分析:①∵在⊙O中，AB是直径，点D 是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，∴AC=CD≠BD，∴∠BAD≠∠ABC,所以①错误；②如解图①，连接OD，∵DG是⊙O的切线，∴OD⊥GD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90°，第9题解图①∠EAP+∠EPA=∠EAP+∠GPD=90°，∴∠GPD=∠EPA=∠GDP,∴GP=GD，所以②正确；③如解图②，补全⊙O,延长CE交⊙O于点F，∵弦CE⊥AB于点E，∴A为CF的中点，即AF=AC，又∵C为AD的中点，∴AC=CD，∴AF=CD，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，所以③正确.综上可知，正确的结论是②③．10. ①②③④【解析】作NF⊥BC于N，如解图，∴∠FNE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AB=BC=CD=DA.∴NF=AB=CB.∵EF垂直平分BP，∴∠2＝∠3，∠2+∠NEF＝90°，∵∠1+∠NEF＝90°，∴∠1＝∠2，在△BCP和△FNE中，∠2＝∠1，BC=FN，∠C=∠FNE，∴△BCP≌△FNE（ASA），∴BP=EF，故①正确;作BM⊥PG于M，∵GP⊥EP，∴BM∥EP，∠BMP=∠BMG＝90°，∴∠3＝∠5，∠BMP＝∠C.∴∠2＝∠5，在△BPC和△BPM中，∠C=∠BMP，∠2=∠5，BP=BP，∴△BPC≌△BPM（AAS），∴BC=AB=BM,∴以BA为半径的⊙B与GP相切，故②正确;在Rt△BMG和Rt△BAG中，BG=BG，BM=AB，∴Rt△BMG≌Rt△BAG（HL），∴∠6＝∠7.∵∠2+∠5+∠6+∠7＝90°，∴2∠5+2∠6＝90°，∴∠5+∠6＝45°，即∠PBG＝45°.∴∠8＝45°.∴∠FHG＝45°，故③正确;当G为AD的中点时，设AG=GD=x，CP＝y，则GM＝x,PM=y，PD=2x-y，在Rt△PGD中，由勾股定理，得(x+y)2=x2+(2x-y)2,∴y=23x,即CP＝23x，∴PD＝2x-23x=43x,∴DP=2CP,故④正确.∴正确的结论有：①②③④.11. ①④⑤【解析】如解图，连接AN，∵EF垂直平分AB,∴AN=BN，根据折叠的性质，可得AB=BN，∴AN=AB=BN.∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN＝60°，∠PBN＝60°÷2＝30°，即结论①正确;∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM,∴∠ABM=∠NBM＝60°÷2＝30°，∴AM=AB·tan30°＝2×33＝233，即结论②不正确;∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，∴QN＝1 2BG;∵BG=BM=AB÷cos∠ABM＝2÷32＝433，∴QN＝1 2×433＝233，即结论③不正确;∵∠ABM=∠MBN＝30°，∠BNM=∠BAM＝90°，∴∠BMG=∠BNM-∠MBN=90°-30°＝60°，∴∠MBG=∠ABG-∠ABM＝90°-30°＝60°，∴∠BGM ＝180°-60°-60°＝60°，∴∠MBG=∠BMG=∠BGM＝60°，∴△BMG为等边三角形，即结论④正确;∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，∴BN⊥MG，∴BN=BG·sin60°＝43×23＝2，当P与Q重合时，PN+PH的值最小，∵P 是BM的中点，H是BN的中点，∴PH∥MG，∵MG⊥BN，∴PH ⊥BN ，又∵PE ⊥AB ，∴PH=PE ，∴PN+PH=PN+PE=EN ，∵EN ===PN+PHPN+PH的最小值是，即结论⑤正确.。
2018年中考数学真题分类汇编(第一期)专题26图形的相似与位似试题(含解析)
图形的相似与位似一、选择题1．．（2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．2．（2018•山东滨州•3分）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（5，1）B．（4，3）C．（3，4）D．（1，5）【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A（6，8），∴端点C的坐标为（3，4）．故选：C．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．3 （2018•江苏扬州•3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt △ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．4 （2018·山东临沂·3分）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．5（2018·山东潍坊·3分）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（）A．（2m，2n）B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）C．（m，n）D．（m，n）或（﹣m，﹣n）【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6.（2018•湖南省永州市•4分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．7 （2018·四川宜宾·3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（）A．2 B．3 C．D．【考点】Q2：平移的性质．【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知（）2=，据此求解可得．【解答】解：如图，∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2或A′D=﹣（舍），故选：A．【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．8（2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．9（2018·台湾·分）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（）A．只使用苹果B．只使用芭乐C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多【分析】根据三种水果的颗数的关系，设出三种水果的颗数，再根据榨果汁后的颗数的关系，求出榨果汁后，苹果和芭乐的颗数，进而求出苹果，芭乐的用量，即可得出结论．【解答】解：∵苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，∴设苹果为9x颗，芭乐7x颗，铆钉6x颗（x是正整数），∵小柔榨果汁时没有使用柳丁，∴设小柔榨完果汁后，苹果a颗，芭乐b颗，∵小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，∴，，∴a=9x，b=x，∴苹果的用量为9x﹣a=9x﹣9x=0，芭乐的用量为7x﹣b=7x﹣x=x＞0，∴她榨果汁时，只用了芭乐，故选：B．【点评】此题是推理与论证题目，主要考查了根据比例的关系，比例的性质，求出榨汁后苹果和芭乐的数量是解本题的关键．10 （2018·台湾·分）如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE与△FGH 的面积比为何？（）A．2：1 B．3：2 C．5：2 D．9：4【分析】只要证明△ADE∽△FGH，可得=（）2，由此即可解决问题；【解答】解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设BG=4k，GH=6k，HC=5k，∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED，∴△ADE∽△FGH，∴=（）2=（）2=．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．11．（2018•湖北荆门•3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2018•湖北恩施•3分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．13. （2018·浙江临安·3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定，【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．14（2018·浙江临安·3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定和相似三角形的性质【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错．15（2018·重庆(A)·4分）要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm【考点】相似三角形的性质【解析】利用相似三角形三边对应成比例解出即可。
6.7相似形综合题(第3部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第六部分图形的变化6.7 相似形综合题【一】知识点清单相似形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年四川省南充市-第15题-3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=．【知识考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【思路分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答即可．【解答过程】解：∵DE∥BC，∴∠F=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：DE=，∵DF=DB=2，∴EF=DF﹣DE=2﹣，故答案为：【总结归纳】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．二、填空题1．（2018年湖北省襄阳市-第16题-3分）如图，将面积为ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若，则AP的长为．【知识考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【思路分析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b即可解决问题；【解答过程】解：设AB=a，AD=b，则ab=32，由△ABE∽△DAB可得：=，∴b=a2，∴a3=64，∴a=4，b=8，设PA交BD于O．在Rt△ABD中，BD==12，∴OP=OA==，∴AP=．故答案为．【总结归纳】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2018年辽宁省大连市-第16题-3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF 的长为．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】如图作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得=，延长构建方程即可解决问题；【解答过程】解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴=，∴=，∴DF=6﹣2，故答案为6﹣2．【总结归纳】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2018年辽宁省葫芦岛市-第17题-3分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若17 DGGA=，则ADAB=．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．【思路分析】由中点定义可得DE=CE，再由翻折的性质得出DE=EF，BF=BC，∠BFE=∠D=90°，从而得到DE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△EDG≌Rt△EFG，得出DG=FG，设DG=a，求出GA、AD，再由矩形的对边相等得出AD=BC，求出BF，再求出BG，由勾股定理得出AB，再求比值即可．【解答过程】解：连接GE，∵点E是CD的中点，∴EC=DE，∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，∴EF=DE，∠BFE=90°，在Rt△EDG和Rt△EFG中，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG=DG，∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．【总结归纳】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、以及翻折变换的性质；熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．三、解答题1．（2018年湖北省襄阳市-第24题-10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=BC=．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得=、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；（3）证△AHG∽△CHA得==，设BC=CD=AD=a，知AC=a，由=得AH= a、DH=a、CH=a，由=可得a的值．【解答过程】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴=，GE∥AB，∴==，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=cos45°=、=cos45°=，∴==，∴△ACG∽△BCE，∴==，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴==，设BC=CD=AD=a，则AC=a，则由=得=，∴AH=a，则DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴=得=，解得：a=3，即BC=3，故答案为：3．【总结归纳】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．2．（2018年湖北省咸宁市-第23题-10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为FH的长．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出EQ=FE，继而求出•FE=8，即可得出结论．【解答过程】解：（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴=或=2，∴CD=10或CD=2.5同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，（2）证明：∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=40°，∴∠A+∠ADB=140°∵∠ADC=140°，∴∠BDC+∠ADB=140°，∴∠A=∠BDC，∴△ABD∽△BDC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFG与△HFG相似，∵∠EFH=∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴，∴FH2=FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，∴EQ=FE•sin60°=FE，∵FG×EQ=2，∴FG×FE=2，∴FG•FE=8，∴FH2=FE•FG=8，∴FH=2．【总结归纳】此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．3．（2018年湖南邵阳市-第25题-8分）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OG=1，求ENGM的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）连接AC，由四个中点可知OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，据此得出OE=GF、OE=GF，即可得证；（2）①由旋转性质知OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN得==；②连接AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要GM=EN只需使△OGM≌△OEN，添加使AC=BD 的条件均可以满足此条件．【解答过程】解：（1）如图1，连接AC，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC，∴OE=GF，OE=GF，∴四边形OEFG是平行四边形；（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴=，∴△OGM∽△OEN，∴==．②添加AC=BD，如图2，连接AC、BD，∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴OG=EF=BD、OE=GF=BD，∵AC=BD，∴OG=OE，∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，∴OG=OE、OM=ON，在△OGM和△OEN中，∵，∴△OGM≌△OEN（SAS），∴GM=EN．【总结归纳】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．4．（2018年江苏省淮安市-第26题-12分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；【解答过程】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=60°，解得，∠B=15°，故答案为：15°；（2）如图①中，在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，∴∠B+2∠BAD=90°，∴△ABD是“准互余三角形”，∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠A+∠BAE=90°，∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°，∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，∴CE=，∴BE=5﹣=．（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，∴A、B、F共线，∴∠A+∠ACF=90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，∴x=9或﹣16（舍弃），∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC===20．【总结归纳】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．5．（2018年江苏省苏州市-第27题-10分）问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD=3时，SS'=；（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示SS'．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示SS'．【知识考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】问题1：（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则==，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：==，可得结论；（2）解法一：同理根据（1）可得结论；解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：=，分别表示和的值，代入可得结论；问题2：解法一：如图2，作辅助线，构建△OBC，证明△OAD∽△OBC，得OB=8，由问题1的解法可知：===，根据相似三角形的性质得：=，可得结论；解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD=BC，可得=，得：S△ADC=S，S△ABC=，由问题1的结论可知：=，证明△CFM∽△CDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论．【解答过程】解：问题1：（1）∵AB=4，AD=3，∴BD=4﹣3=1，∵DE∥BC，∴，∴==，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∴=，即，故答案为：；（2）解法一：∵AB=4，AD=m，∴BD=4﹣m，∵DE∥BC，∴==，∴==，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∴===，即=；解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴=，∴===，即=；问题2：如图②，解法一：如图2，分别延长BD、CE交于点O，∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴，∴OA=AB=4，∴OB=8，∵AE=n，∴OE=4+n，∵EF∥BC，由问题1的解法可知：===，∵==，∴=，∴===，即=；解法二：如图3，连接AC交EF于M，∵AD∥BC，且AD=BC，∴=，∴S△ADC=，∴S△ADC=S，S△ABC=，由问题1的结论可知：=，∵MF∥AD，∴△CFM∽△CDA，∴===，∴S△CFM=×S，∴S△EFC=S△EMC+S△CFM=+×S=，∴=．【总结归纳】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．6．（2018年辽宁省大连市-第23题-10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【知识考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．【解答过程】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．【总结归纳】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．7．（2018年山东省济宁市-第20题-8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN 上一点，求△PDC周长的最小值．【知识考点】正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答过程】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．【总结归纳】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．8．（2018年浙江省嘉兴市舟山市-第24题-12分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求ACBC的值．（3）应用拓展：如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，依据∠ACB=30°，AC=6，可得AD=AC=3，进而得到AD=BC=3，即△ABC是“等高底”三角形；（2）依据△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，可得AD=BC，依据△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，点B是△AA′C的重心，即可得到BC=2BD，设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到==；（3）①当AB=BC时，画出图形分两种情况分别求得CD=x=或CD=AC=2；当AC=BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD=AB=BC=2．【解答过程】解：（1）△ABC是“等高底”三角形；理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3，即△ABC是“等高底”三角形；（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，∴∠ADC=90°，∵点B是△AA′C的重心，∴BC=2BD，设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，∴==；（3）①当AB=BC时，Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB=BC，∴BC=AE=2，AB=2，∴BE=2，即EC=4，∴AC=2，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，∴∠DCF=45°，设DF=CF=x，∵l1∥l2，∴∠ACE=∠DAF，∴==，即AF=2x，∴AC=3x=2，∴x=，CD=x=．Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD=AC=2．②当AC=BC时，Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，∴A'C⊥l1，∴CD=AB=BC=2；Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE=BC，∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，综上所述，CD的值为，2，2．【总结归纳】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．9．（2018年浙江省宁波市-第25题-12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC 是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求BDAC的值．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC= BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．【解答过程】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴=，即AB•BC=BH•DB，∴AB•BC=BD2，又∵AB•BC=AC2，∴BD2=AC2，∴=．【总结归纳】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．。
各地2018年中考数学试卷分类汇编图形的相似与位似(pdf,含解析)
A. 【答案】A
B. 2
C.
D. 4
【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，AC⊥BD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角 形得△ABD 是等边三角形；在 Rt△AOD 中，根据勾股定理得 AO=2 ，AC=2AO=4 ，根据三角形 面积公式得 S△ACD= OD·AC=4 ，根据中位线定理得 OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相 似比继而可求出△OCE 的面积. 【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4， ∵∠BAD＝60°，∴△ABD 是等边三角形， 又∵O 是菱形对角线 AC.BD 的交点，∴AC⊥BD， 在 Rt△AOD 中，∴AO= ×2×4 =4 ， ，∴AC=2AO=4 ，∴S△ACD= OD·AC=
，可得出
【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴（ ）=
2
．
∵S△ADE=S 四边形 BCED， ∴ ∴ = = ， = = ﹣1．
故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢 记相似三角形的面积比等于相似比的平方是 解题的关键． 2.（2018•江苏宿迁•3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点， 若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝60°,则△OCE 的面积是（ ）
∴DF=2BF，
=（ ） = ，
2
∴
= ，
∴S△BEF= S△DCF，S△DCB= S△DCF，
∴
∴
=
=（
） =（ ） = ，
2
2
∵
= ，
∴
= × = ，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、 等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 7. （2018•乌鲁木齐•4 分）如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则△BEF 与 △DCB 的面积比为（ ）
2018年全国各地中考数学试题《相似》解答题试题汇编
2018年全国各地中考数学试题《相似》解答题试题汇编1.（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A B（点A，B的对应点分别为A，B），画出线段A B；111111（2）将线段A B绕点B逆时针旋转90°得到线段A B，画出线段A B；1112121（3）以A，A，B，A为顶点的四边形AA B A的面积是个平方单位．1121122.（2018•巴中）如图，在△A BC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥A B，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD=AE；（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．3.（2018•巴中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（-3，-3），点B（-1，-3），点C（-1，-1）．（1）画出△A BC；（2）画出△A BC关于x轴对称的△A B C，并写出A点的坐标：；1111（3）以O为位似中心，在第一象限内把△A BC扩大到原来的两倍，得到△A B C，222并写出A点的坐标：．24.（2018•江西）如图，在△A BC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥A B，BD是∠A BC 的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．5.（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE-BE；AF（2）连接BF，如果=BF．求证：EF=EP．DFAD6.（2018•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．7.（2018•福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△A BC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．8.（2018•宁夏）已知：△A BC三个顶点的坐标分别为A（-2，-2），B（-5，-4），C（-1，-5）．（1）画出△A BC关于x轴对称的△A B C；111（2）以点O为位似中心，将△A BC放大为原来的2倍，得到△A B C，请在网222格中画出△A B C，并写出点B的坐标．22229.（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△D PA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）10.（2018•南通）如图，A B为⊙O的直径，C为⊙O上一点，A D和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．（1）求证：EF=BF；（2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长．11.（2018•宁夏）已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•D C=20，求⊙O 的面积．（π取3.14）12.（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B AD=90°，点E在BC的延长线上，且∠D EC=∠B AC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥D E，当AB=8，CE=2时，求AC的长．AB 13.（2018•张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△M AB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△P AN∽△PMB．15.（2018•东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠C AD=∠BDC；（2）若BD=2AD，AC=3，求CD的长．316.（2018•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（△1）求证：AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．17.（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC 平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．18.（2018•梧州）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC 上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（△1）求证：ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．19.（2018•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（△1）求证：BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．20.（2018•乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．R t ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线21.（2018•福建）如图，在△90°得到，EFG由△ABC沿CB方向平移得到，段AB绕点A按逆时针方向旋转△且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．22.（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．（1）求证：CO2=OF•OP；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=42，PB=4，求GH的长．23.（2018•遂宁）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．（1）求证：CM2=MN•M A；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．24.（2018•菏泽）如图，△A BC内接于⊙O，AB=AC，∠B AC=36°，过点A作AD ∥B C，与∠A BC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠D AF的度数；（2）求证：AE2=EF•E D；（3）求证：AD是⊙O的切线．25.（2018•东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥A C，交AO的延长线于点D，通过构造△A BD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠A DB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，∠A BC=∠A CB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．26.（2018•武汉）如图，P A是⊙O的切线，A是切点，A C是直径，A B是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠A PC=3∠B PC，求PE的值．CE27.（2018•呼和浩特）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD=APAMAO．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．BPMD28.（2018•遵义）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．29.（2018•葫芦岛）如图，AB是⊙O的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．30.（2018•苏州）问题1：如图①，在△A BC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥B C，交AC于点E，连接CD．设△A BC的面积为S，△D EC的面积为S′．（1）当AD=3时，S′S=；（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示S′S．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥B C，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥B C，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△E FC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示S′S．31.（2018•烟台）如图，已知D，E分别为△A BC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为BD上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠E BD为α，请将∠C AD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠C AD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=3，求MNMF的值．32.（2018•乐山）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 是切点，P O交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥P O；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求AEBE的值．33.（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，B C的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△P DC周长的最小值．34.（2018•衢州）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．（1）求证：△H BE∽△ABC；（2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长．34.（2018•下城区二模）如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=4，点E是边BC的中点，连结DE，AE．（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连结AF，交DE于点G，连结EF，若∠D AG=∠FEG．①求证：△A GE∽△DGF；②求DF的长．35.（2018•玄武区二模）在△ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD=x（0＜x＜6），CE=y（0＜y＜8）．（1）当x=2，y=5时，求证：△AED∽△ABC；（△2）若ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．。
2018人教版三年级数学上册全册测评试卷(含答案)
4 千米+600 米=( )米
3500 千克-500 千克=( )吨
六、动手操作。（12 分）
1. 量出下列图的每条边长。（7 分）
2. 画一条长 43 毫米的线段。（2 分）
3. 画一条比 67 毫米短 3 厘米的线段。（3 分）
七、解决问题。（20 分） 1. 公园的荷花池长 800 米，小强跑了 5 圈，一共跑了多少米？合多少千米？
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3. 飞机每小时能飞行 1200 米。
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4. 秒针走 60 小格，分针走 1 小格。
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5. 小雯星期天早上去图书馆看书，她 7：45 就到了，可图书馆 8：10 才开
门，她要等 25 分钟。
()
四、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（4 分）
1．小明 1 分钟可以写( )个字。
①2 ②20 ③200
5. 第四单元测评卷
16.分类测评卷（四）
6. 第五单元测评卷
17.分类测评卷（五）
7. 期中测评卷（一）
18.期末测评卷（一）
8. 期中测评卷（二）
19.期末测评卷（二）
9. 第六单元测评卷
20.期末测评卷（三）
10.第七单元测评卷
21.期末测评卷（四）
11.
阶段测评卷（二）
22.期末测评卷（五） 附：参考答案
三、选择。(把正确答案的序号填在括号里)（5 分） 1．在加法中，和( )任何一个加数。 ①大于 ②等于 ③小于 ④大于或等于 2. 360 比 70 多( )。 ①390 ②430 ③290 3．比最小的四位数少 600 的数是( ①1600 ②400 ③600 4. 363+239 的和小于( )。 ①500 ②600 ③700 5．差和减数相加，结果等于( )。 ①加数 ②被减数 ③差
2018年中考数学专题训练反比例函数与一次函数的综合
2018级中考数学专题复习—反比例函数与一次函数的综合1．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．3．如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？5．如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．6．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．7．已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．8．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．9．如图，已知点A（﹣4，2）、B（ n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．10．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．11．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．12．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接BO，AO，求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式的解集．13．如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．（1）求一次函数的解析式；（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．14．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．（3）连接OA、OB，求S△ABO．15．如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，m）和点B（4，﹣2），与x轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；16．如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．17．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．已知：OA=，tanAOC=，点B的坐标为（，m）（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）点M在射线CA上，且MA=2AC，求△MOB的面积．18．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=：（1）求反比例函数和直线的函数表达式；（2）求△OPQ的面积．19．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D两点，点B的横坐标为1，OC=OD，点P在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等．（1）求一次函数的解析式；（2）求△APB的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，已知tan∠ABO=，OB=4，OD=2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=（k≠0）图象上一点，AB⊥x轴于B点，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交y轴于D（0，﹣2），交x轴于C点，并与反比例函数的图象交于A，E两点，连接OA，若△AOD的面积为4，且点C为OB中点．（1）分别求双曲线及直线AE的解析式；（2）若点Q在双曲线上，且S△QAB=4S△BAC，求点Q的坐标．22．如图，已知一次函数y=k1x+b的图象分别x轴，y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=交于C、E 两点，点C在第二象限，过点C作CD⊥x轴于点D，OD=1，OE=，cos∠AOE=（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△OCE的面积．23．如图，一次函数y=x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点为A（2，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，设点D在反比例函数图象上，且△DBC的面积等于6，请求出点D的坐标；（3）请直接写出不等式x+2＜成立的x取值范围．24．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=k2x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（﹣1，﹣4）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式y1＞y2的解集．25．如图，已知反比例函数y=（k＜0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴的交点为点C，试求出△ABC的面积．26．如图，已知一次函数y=k1x+b的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，且与反比例函数y=交于C、E两点，点C在第二象限，过点C作CD⊥x轴于点D，OA=OB=2，OD=1．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△OCE的面积．27．如图，已知直线y=mx+b（m≠0）与双曲线y=（k≠0）交于A（﹣3，﹣1）与B（n，6）两点，连接OA、OB．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）求△AOB的面积．28．如图，直线y=﹣2和双曲线y=相交于A（b，1），点P在直线y=x﹣2上，且P点的纵坐标为﹣1，过P作PQ∥y轴交双曲线于点Q．（1）求Q点的坐标；（2）求△APQ的面积．29．如图，在一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．30．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q （4，m）两点，且tan∠BOP=．（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；（2）求△OPQ的面积；（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．2018级中考数学专题复习-反比例函数与一次函数的交点参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•重庆）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式．【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键．2．（2016•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y=．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．设反比例函数解析式为y=．∵AE⊥x轴，∴∠AEO=90°．在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=，∠AEO=90°，∴AE=AO•sin∠AOC=3，OE==4，∴点A的坐标为（﹣4，3）．∵点A（﹣4，3）在反比例函数y=的图象上，∴3=，解得：k=﹣12．∴反比例函数解析式为y=﹣．（2）∵点B（m，﹣4）在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣4=﹣，解得：m=3，∴点B的坐标为（3，﹣4）．设直线AB的解析式为y=ax+b，将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1．令一次函数y=﹣x﹣1中y=0，则0=﹣x﹣1，解得：x=﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．S△AOB=OC•（y A﹣y B）=×1×[3﹣（﹣4）]=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．3．（2016•南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|•3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．【解答】解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．5．（2010•成都）如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【分析】（1）把A（1，﹣k+4）代入解析式y=，即可求出k的值；把求出的A点坐标代入一次函数y=x+b的解析式，即可求出b的值；从而求出这两个函数的表达式；（2）将两个函数的解析式组成方程组，其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围．【解答】解：（1）∵已知反比例函数经过点A（1，﹣k+4），∴，即﹣k+4=k，∴k=2，∴A（1，2），∵一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2），∴2=1+b，∴b=1，∴反比例函数的表达式为．一次函数的表达式为y=x+1．（2）由，消去y，得x2+x﹣2=0．即（x+2）（x﹣1）=0，∴x=﹣2或x=1．∴y=﹣1或y=2．∴或．∵点B在第三象限，∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．（2010•泸州）如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=﹣，再求出B的坐标是（1，﹣2），利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）在一次函数的解析式中，令x=0，得出对应的y2的值，即得出直线y2=﹣x﹣1与y轴交点C的坐标，从而求出△AOC的面积；（3）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．【解答】解：（1）∵函数y1=的图象过点A（﹣2，1），即1=；∴m=﹣2，即y1=﹣，又∵点B（a，﹣2）在y1=﹣上，∴a=1，∴B（1，﹣2）．又∵一次函数y2=kx+b过A、B两点，即．解之得．∴y2=﹣x﹣1．（2）∵x=0，∴y2=﹣x﹣1=﹣1，即y2=﹣x﹣1与y轴交点C（0，﹣1）．设点A的横坐标为x A，∴△AOC的面积S△OAC==×1×2=1．（3）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方．∴﹣2＜x＜0，或x＞1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．7．（2008•甘南州）已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【分析】（1）反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点，把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k，得到反比例函数的解析式．将B（n，﹣1）代入反比例函数的解析式求得B点坐标，然后再把A、B点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据图象，分别在第一、三象限求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．【解答】解：（1）∵A（1，3）在y=的图象上，∴k=3，∴y=．又∵B（n，﹣1）在y=的图象上，∴n=﹣3，即B（﹣3，﹣1）∴解得：m=1，b=2，∴反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+2．（2）从图象上可知，当x＜﹣3或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．【点评】本类题目的解决需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，另外要学会利用图象，确定x的取值范围．8．（2008•南充）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=，运用待定系数法分别求其解析式；（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解之得．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=﹣2．∴点C（﹣2，0）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6．【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．9．（2007•资阳）如图，已知点A（﹣4，2）、B（ n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．【分析】（1）由A和B都在反比例函数图象上，故把两点坐标代入到反比例解析式中，列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A的坐标及反比例函数解析式，把确定出的A坐标及B的坐标代入到一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；（2）令一次函数解析式中x为0，求出此时y的值，即可得到一次函数与y轴交点C的坐标，得到OC的长，三角形AOB的面积分为三角形AOC及三角形BOC面积之和，且这两三角形底都为OC，高分别为A和B的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（3）根据图象和交点坐标即可得出结果．【解答】解：（1）∵m=﹣8，∴n=2，则y=kx+b过A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点，∴解得k=﹣1，b=﹣2．故B（2，﹣4），一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）由（1）得一次函数y=﹣x﹣2，令x=0，解得y=﹣2，∴一次函数与y轴交点为C（0，﹣2），∴OC=2，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC•|y点A横坐标|+OC•|y点B横坐标|=×2×4+×2×2=6．S△AOB=6；（3）一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围：﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有利用待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标的意义，一次函数与坐标轴交点的求法，以及三角形的面积公式，利用了数形结合的思想．第一问利用的方法为待定系数法，即根据题意把两交点坐标分别代入两函数解析式中，得到方程组，求出方程组的解确定出函数解析式中的字母常数，从而确定出函数解析式，第二问要求学生借助图形，找出点坐标与三角形边长及边上高的关系，进而把所求三角形分为两三角形来求面积．10．（2005•四川）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）根据tan∠AOC=，且OA=，结合勾股定理可以求得点A的坐标，进一步代入y=中，得到反比例函数的解析式；然后根据反比例函数的解析式得到点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式；（2）三角形AOB的面积可利用，求和的方法即等于S△AOC+S△COB来求．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x于点H．在RT△AHO中，tan∠AOH==，所以OH=2AH．又AH2+HO2=OA2，且OA=，所以AH=1，OH=2，即点A（﹣2，1）．代入y=得k=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．又因为点B的坐标为（，m），代入解得m=﹣4．∴B（，﹣4）．把A（﹣2，1）B（，﹣4）代入y=ax+b，得，∴a=﹣2，b=﹣3．∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3．（2）在y=﹣2x﹣3中，当y=0时，x=﹣．即C（，0）．∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（1+4）×=．【点评】此题综合考查了解直角三角形、待定系数法、和函数的基本知识，难易程度适中．11．（2016•乐至县一模）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．【分析】（1）把点A（﹣2，4），B（4，﹣2）代入一次函数y=kx+b即可求出k及b的值；（2）先求出C点的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解；（3）由图象即可得出答案；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2），∵一次函数过A、B两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2），∵S△AOC=×OC×|A x|，S△BOC=×OC×|B x|∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=•OC•|A x|+•OC•|B x|==6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，关键是掌握用待定系数法求解函数解析式．12．（2016•重庆校级模拟）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接BO，AO，求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式的解集．【分析】（1）先根据解直角三角形求得点D和点B的坐标，再利用C、D两点的坐标求得一次函数解析式，利用点B的坐标求得反比例函数解析式；（2）先根据解方程组求得两个函数图象的交点A的坐标，再将x轴作为分割线，求得△AOB的面积；（3）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有点的横坐标的集合即可．【解答】解：（1）∵∴直角三角形OCD中，=，即CD=OD又∵OC=1∴12+OD2=（OD）2解得OD=，即D（0，﹣）将C（1，0）和D（0，﹣）代入一次函数y=ax+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y=x﹣过B作BE⊥x轴，垂足为E∵直角三角形BCE中，BC=5，∴BE=3，CE==4∴OE=4﹣1=3，即B（﹣3，﹣3）将B（﹣3，﹣3）代入反比例函数，可得k=9∴反比例函数的解析式为y=；（2）解方程组，可得，∴A（4，）∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×+×1×3=+=；（3）根据图象可得，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜4．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象上点的坐标满足函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．13．（2016•重庆校级一模）如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．【分析】（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（2）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．【解答】解：（1）设点A坐标为（﹣2，m），点B坐标为（n，﹣2）∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点∴将A（﹣2，m）B（n，﹣2）代入反比例函数y2=﹣可得，m=4，n=4∴将A（﹣2，4）、B（4，﹣2）代入一次函数y1=kx+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+2；（2）在一次函数y1=﹣x+2中，当x=0时，y=2，即N（0，2）；当y=0时，x=2，即M（2，0）∴S△AOB=S△AON+S△MON+S△MOB=×2×2+×2×2+×2×2=2+2+2=6；（3）根据图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜4【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握根据函数图象的交点坐标求一次函数解析式和有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．14．（2016•重庆校级模拟）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．（3）连接OA、OB，求S△ABO．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m和n，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据函数图象得到答案；（3）求出直线与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（2，3），∴m=2×3=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∵反比例函数的图象经过于B（﹣3，n），∴n==﹣2，∴点B的坐标（﹣3，﹣2），由题意得，，解得，，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知，不等式kx+b＞的解集为：﹣3＜x＜0或x＞2；（3）直线y=x+1与x轴的交点C的坐标为（﹣1，0），则OC=1，则S△ABO=S△OBC+S△ACO=×1×2+×1×3=．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键，注意数形结合思想的运用．15．（2016•成华区模拟）如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，m）和点B（4，﹣2），与x轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）由B点的坐标根据待定系数法即可求得在反比例函数的解析式，代入A（﹣2，m）即可求得m，再由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由直线解析式求得C点的坐标，从而求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵B（4，﹣2）在反比例函数y=的图象上，∴k=4×（﹣2）=﹣8，又∵A（﹣2，M）在反比例函数y=的图象上，∴﹣2m=﹣8，∴m=4，∴A（﹣2，4），又∵AB是一次函数y=ax+b的上的点，∴解得，a=﹣1，b=2，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2，反比例函数的解析式y=﹣；（2）由直线y=﹣x+2可知C（2，0），所以△AOB的面积=×2×4+×2×2=6．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．16．（2016•重庆校级一模）如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入可求得b，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；（2）可先求得D点坐标，再利用三角形的面积计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象过A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣，当x=2时，y=﹣1，即B点坐标为（2，﹣1），∵一次函数y=mx+n（m≠0）过A、B两点，∴把A、B两点坐标代入可得，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）在y=﹣x+1中，当x=0时，y=1，∴C点坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴D点坐标为（0，﹣1），∴CD=2，∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=×2×1+×2×2=3．【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键．。
2018年中考专题相似三角形
2018中考数学专题相似形（共40题）1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P 从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D为BC中点如图2，连接EF．①求证：ED平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．18．如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P 出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t ＞0）．（1）当t=1时，KE= ，EN= ；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．24．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．（1）求证：DE∥BC．（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．25．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．26．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求证：AD2=BG•DH；（2）求证：CE=DG；（3）求证：EF=HG．27．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC•DF=BF•BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．28．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．（1）求证：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为（用含n的代数式表示）．29．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．（1）求证：∠DAE=∠DCG．（2）求线段HE的长．30．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．31．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．32．如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．（1）求证：EF=CF；（2）当=时，求EF的长．33．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．（1）求证：AC•MN=BN•AP；（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．34．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．35．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P 从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP △PCD（填“≌”或“～”）；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．36．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是．37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．39．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．40．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．参考答案与试题解析（共40题）1．（2017•阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．②当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．综上所述，PB的长为或．2．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴==，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴=，∵AB=2AG，∴=，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．3．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG ⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AG C=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=4．（2017•眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．【解答】解：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE，（2）设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE==，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴=，∴BH=，GH=，∴=5．（2017•河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AE=BF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AE=BF．6．（2017•泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC 延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．7．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．8．（2017•绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F 为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；（2）如图，连接DF，∵DE=DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；（3）CE=4．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴=，即EF2=AF•GF，∵AF•GF=28，∴EF=2，∴CE=2EF=4．9．（2017•雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠E BD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD．10．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，∴AF=AR；（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，∴（秒）；②若PR=PB，过点P作PK⊥AB于K，设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），∵△EFA∽△EPK，∴，即：=，解得：x=±﹣3（舍去负值）；∴t=（秒）；若PB=RB，则△EFA∽△EPB，∴=，∴，∴BP=AB=×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=，∴（秒）．综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．11．（2017•江汉区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；（2）CN=2EM证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，AE=FE∴EO为△AFC的中位线∴EO∥BC∴∴在Rt△AEN中，OA=OC∴EO=OC=AC，∴CM=EM∵CE平分∠ACF，∴∠OCM=∠BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△CBN∽△COM，∴，∴CN=CM，即CN=2EM．证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°=∠DBC，由（1）知，在Rt△ACE中，EO=AC=CO，∴∠OEC=∠OCE，∵CE平分∠ACF，∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，∴EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∵∠OEM=∠OCE∴△EOM∽△CAN，∴，∴CN=2CM．12．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=AP1；又AP1=a，CQ=CP1，∴CQ=a；（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．这时==，∴P1P2=CP1．13．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E 重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC ﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．14．（2017•庐阳区一模）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？【解答】解：（1）∵DE将△ABC分成周长相等的两部分，∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；（2）设AD=x，AE=6﹣x，∵S△ADE=AD•AE•sinA=3，即：x（6﹣x）•=3，解得：x1=（舍去），x2=，∴AD=；（3）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∴AD=b，AE=c，∴b c=（a+b+c），∴=﹣1．15．（2017•嘉兴模拟）已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，∴△ABM∽△NDA；（2）解：当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形；理由如下：∵∠BAM=22.5°，∠EBM=45°，∴∠AMB=22.5°，∴∠BAM=∠AMB，∴AB=BM，同理AD=DN，∵AB=AD，∴BM=DN，∵四边形ABCD是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠BDN=∠DBM=90°∴∠BDN+∠DBM=180°，∴BM∥DN∴四边形BMND为平行四边形，∵∠BDN=90°，∴四边形BMND为矩形．16．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F 为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【解答】（1）证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG；（2）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴=，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．17．（2017•肥城市模拟）△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D为BC中点如图2，连接EF．①求证：ED平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，∴∠FDC=∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴，即DE•CD=DF•BE；（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，∴，∵D为BC中点，∴BD=CD，∴=，∵∠B=∠EDF，∴△BDE～△DFE，∴∠BED=∠DEF，∴ED平分∠BEF；②∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF=∠DEF，∵∠BED=∠DEF，∴∠AEF=60°，∵AE=AF，∴∠BAC=60°，∵∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BED是等边三角形，∴BE=DE，∵AE=DE，∴AE=AB，∴=．18．（2017•长宁区二模）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P 作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴=，，∴=，∵=，∴=，∴PC=PE；（2）∵PF∥DG，∴∠PFC=∠FCG，∵CF平分∠PCG，∴∠PCF=∠FCG，∴∠PFC=∠FCG，∴PF=PC，∴PF=PE，∵P是边AC的中点，∴AP=CP，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ∥CD，∴∠PEC=∠DCE，∴∠PCE=∠DCE，∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．19．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，即EG∥AB，∴∠FDG=∠A，∵点F为线段AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DGF中，∴△ABF≌△DGF（ASA）∴AB=GD（2）∵DE为△ABC的中位线，∴DE=AB，CE=BC=AC∵DG=AB，∴EG=DE+DG∴EG=AB∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG∴△GEC∽△CBA∴，即，∴20．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，∵∠A=2∠BCO，∴∠DOB=∠A，∵∠ABE=∠ABE，∴△BOD∽△BAE；（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，∴∠BDF=∠BFD，∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，由（1）得∠BOD=∠A，∴∠BDF=∠BEC，∴∠BFD=∠BEC，在△BFC与△CEB中，，∴△BFC≌△CEB，∴BD=BF，∴BD=CE；（3）解：AP=AQ，理由：取BC的中点G，连接GM，GN，∵M，N分别是BE，CD的中点，∴GM，GN是中位线，∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，∵BD=CE，∴GM=GN，∴∠3=∠4，∵GM∥CE，∴∠2=∠4，∵GN∥BD，∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴AP=AQ．21．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K 同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE= 1 ，EN= ；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴=，=，∴MP=，ME=，∴NE=；故答案为：1；；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，即，0＜t≤2；②当点k在EF上时，则KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．22．（2017•农安县模拟）如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB．∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，又∵BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形．（2）解：∵四边形ADCE是平行四边形，AC=6，∴AG=GC=3，又∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴==，∴AF=2，∴FG=AG﹣AF=1．23．（2017•杨浦区三模）已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．。
2018届人教版数学中考专项训练(七)相似(含答案)
专项训练七相似一、选择题．两个相似三角形的面积比为∶，则它们的相似比为( )．∶．∶．∶．无法确定．如图，在△中，点在边上，＝，∥交于点，若线段＝，则线段的长为( )．．．．第题图第题图第题图．如图，下列条件不能判定△∽△的是( )．∠＝∠．∠＝∠．＝·＝．如图，为估算学校旗杆的高度，身高米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得＝，＝，则旗杆的高度是( )．．．．．如图，线段两个端点的坐标分别为(，)、(，)，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若点的坐标为(，)，则点的坐标为( )．(，) ．(，)．(，) ．(，)第题图第题图第题图第题图．(·舟山中考)如图，矩形中，＝，＝，过点，作相距为的平行线段，，分别交，于点，，则的长是( )．．(·丽水中考)如图，已知⊙是等腰△的外接圆，点是上一点，交于点，若＝，＝，则的长是( )．．．．．★若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形与扇形是相似扇形，且半径∶＝(为不等于的常数)．那么下面四个结论：①∠＝∠；②△∽△；③＝；④扇形与扇形的面积之比为.成立的个数为( )．个．个．个．个二、填空题．(·衡阳中考)若△与△相似且面积之比为∶，则△与△的周长之比为．．如图，直线、、…、是一组等距的平行线，过直线上的点作两条射线，分别与直线、相交于点、、、.若＝，则的长是．第题图第题图．如图，正方形中，为的中点，⊥于点，则等于．．(·龙东中考)平行四边形中，点在直线上，＝，连接交于点，则∶的值是．三、解答题．如图，在×的正方形网格中，△和△的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．()填空：＝，＝；()判断△和△是否相似，并说明理由．．如图，要在宽为米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂长米，且与灯柱成°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直，当灯罩的轴线通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱的高度．．如图，⊙的半径为，点在⊙外，交⊙于、两点，交⊙于、两点．()求证：·＝·；()若＝，＝，＝＋，求点到的距离．．★(·南充中考)已知正方形的边长为，点为正方形内一动点，若点在上，且满足△∽△，延长交于点，连接.()如图，若点在线段上，求证：⊥，＝；()①如图，在点运动过程中，满足△∽△的点在的延长线上时，⊥和＝是否成立？(不需说明理由)②是否存在满足条件的点，使得＝？请说明理由．参考答案与解析．．解析：过作⊥于.∵四边形是矩形，∴＝，∥.∵∥，∴四边形是平行四边形，∴＝，∴＝，∴＝－.∵∠＝∠＝∠＝°，∴∠＋∠＝∠＋∠＝°，∴∠＝∠，∴△∽△，∴＝，∴＝.∵＝，∴＝－，∴＝.．解析：∵等腰△中＝，为⊙的直径，∴＝，＝，∠＝°.在△中，∵＝，＝，∴＝.∵∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△.∵∶＝∶＝∶，∴△和△的相似比为∶.设＝，∴＝，∴＝－，∴＝－.∵＝，∴＋－＝，解得＝.．解析：由扇形相似的定义可得＝，所以＝，故①正确；因为∠＝∠，∶＝，所以△∽△，故②正确；因为△∽△，所以＝＝，故③正确；由扇形面积公式·π可得到④正确．．∶或解析：∵＝，∴分两种情况：①当点在线段上时，如图①所示．∵四边形是平行四边形，∴∥，＝，∴△∽△，∴∶＝∶.∵＝，∴＝＝，∴∶＝∶，∴∶＝∶；②当点在线段的延长线上时，如图②所示．同①得△∽△，∴∶＝∶.∵＝，∴＝＝，∴∶＝∶，∴∶＝∶.综上所述，∶的值是或.．解：()()相似．理由如下：△与△均为等腰直角三角形，故相似．．解：延长，交于点.由题意得＝米，＝米，∠＝∠＝∠＝°，∠＝°，∴∠＝°，∴在直角△中，＝·°＝米，＝÷°＝米．∵∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△，∴＝，∴＝＝＝(米)，∴＝－＝(－)米．答：路灯灯柱的高度为(－)米．．()证明：连接，.∵四边形内接于⊙，∴∠＝∠，∠＝∠，∴△∽△，∴＝，∴·＝·；()解：连接，作⊥，垂足为.∵＝，＝，＝＋，∴＝，＝＋.∵·＝·，∴×＝(＋)(＋)，解得＝或＝－(舍去)，∴＝.∵＝，∴＝，即点到的距离为.．()证明：∵△∽△，∴∠＝∠.∵四边形是正方形，∴∥，∴∠＝∠，∴∠＝∠.∵∠＋∠＝°，∴∠＋∠＝°，即⊥.∵∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△，∴＝，∴＝.又∵△∽△，∴＝，∴＝.又∵＝，∴＝；()解：①点在的延长线时，⊥和＝仍然成立．②选择图，以为直径，作半圆，连接，.∵＝，＝，∴＝.∵⊥，∴点一定在以点为圆心，半径为的半圆上(，两点除外)．如果存在点，那么＋≥，则≥.∵>，∴不存在满足条件的点，使得＝.。
通用版2018年中考数学总复习专题突破预测与详解第七单元图形的变换专题24相似变换试题新版新人教版
专题24相似变换2016~2018详解详析第31页A组基础巩固1.(2017甘肃兰州模拟,5,3)已知===,且a+c+e=6,且b+d+f=(B)A.12B.9C.6D.42.(2017河北石家庄模拟,3,3分)如图,已知AB∥CD∥EF,则下列结论正确的是(C)A.=B.=C.=D.=3.(2017甘肃张掖临泽期末,4,2分)若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1∶2,则它们的周长比为(B)A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.1∶4.(2017上海杨浦一模,13,4分)如果两个相似三角形的面积之比是9∶25,其中小三角形一边上的中线长是12 cm,那么大三角形对应边上的中线长是20 cm.5.(2017甘肃兰州二十七中模拟,20,4分)如图,已知两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1∶3把线段AB缩小,则点A的对应点坐标是(2,1)或(-2,-1).6.(2017江苏无锡新吴区一模,21,8分)如图所示,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=,BC=.(2)判断△ABC与△DEF是否相似?并证明你的结论.解(1)∠ABC=90°+45°=135°,BC===2.故答案为135°;2.(2)△ABC∽△DEF.证明:∵在4×4的正方形方格中,∠ABC=135°,∠DEF=90°+45°=135°,∴∠ABC=∠DEF.∵AB=2,BC=2,FE=2,DE=,∴==,==.∴△ABC∽△DEF.〚导学号92034105〛B组能力提升(2017江苏无锡一模,16,2分)如图,△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=2∶3∶4,若EG=4,则AC=12 .C组综合创新(2017江苏扬州高邮一模,26,10分)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,过点A作AG⊥BD分别交BD,BC于点G,E.(1)求证:BE2=EG·EA;(2)连接CG,若BE=CE,求证:∠ECG=∠EAC.证明(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AE⊥BD,∴∠ABC=∠BGE=90°,∵∠BEG=∠AEB,∴△ABE∽△BGE,∴=,∴BE2=EG·EA.(2)由(1)证得BE2=EG·EA,∵BE=CE,∴CE2=EG·EA,∴=.∵∠CEG=∠AEC,∴△CEG∽△AEC,∴∠ECG=∠EAC.〚导学号92034106〛。
七数上(RJ)-2018年四川省资阳市中考数学试卷含答案解析(word版)--2018年各地中考真题
2018年四川省资阳市中考数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。
1．（3.00分）﹣的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（）A．B．C．D．3．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2×a3=a6C．（a+b）2=a2+b2D．（a2）3=a64．（3.00分）下列图形具有两条对称轴的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形5．（3.00分）﹣0.00035用科学记数法表示为（）A．﹣3.5×10﹣4 B．﹣3.5×104C．3.5×10﹣4D．﹣3.5×10﹣36．（3.00分）某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为3：5：2．小王经过考核后所得的分数依次为90、88、83分，那么小王的最后得分是（）A．87 B．87.5 C．87.6 D．887．（3.00分）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是（）A．B．（）a2C．2D．（）a28．（3.00分）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米9．（3.00分）已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（）A．x B．C．x D．010．（3.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；②ac+b+1=0；③abc ＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)11．（3.00分）函数y=的自变量x的取值范围是．12．（3.00分）已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=．13．（3.00分）一口袋中装有若干红色和白色两种小球，这些小球除颜色外没有任何区别，袋中小球已搅匀，蒙上眼睛从中取出一个白球的概率为．若袋中白球有4个，则红球的个数是．14．（3.00分）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．15．（3.00分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=．16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x 轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是．三、解答题：（本大题共8个小题，共72分)解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
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A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·A C D.＝A.5B.C．1 D.交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是()面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B；②△1AOB∽△A1O1B1；③＝k；④扇形AOB与扇形专项训练七相似一、选择题1．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的相似比为()A．1∶4B．1∶2C．1∶16D．无法确定△2．如图，在ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE＝5，则线段BC的长为()A．7.5B．10C．15D．20第2题图第3题图第4题图△3．如图，下列条件不能判定ADB∽△ABC的是()AD ABAB BC 4．如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是()A．6.4m B．7m C．8m D．9m5．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐标为() A．(2，5)B．(2.5，5)C．(3，5)D．(3，6)第5题图第6题图第7题图第8题图6．(2016·舟山中考)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()13566︵7．(2016·丽水中考)如图，已知⊙O是等腰△Rt ABC的外接圆，点D是AC上一点，BD45A．3B．2C．1D．1.28．★若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA∶O1A1＝k(k为不等于0的常数)．那么下ABA1B1A1O1B1的面积之比为k2.成立的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于________．12．(2016·龙东中考)平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连接CE交9．(2016·衡阳中考△)若ABC与△DEF相似且面积之比为25∶△16，则ABC与△DEF 的周长之比为________．10．如图，直线l1、l2、…、l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F.若BC＝2，则EF的长是________．第10题图第11题图AODO13BD于点F，则EF∶FC的值是________．三、解答题13．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：AC＝________，AB＝________；(2)判断△CAB和△DEF是否相似，并说明理由．14．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂C D长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线D O通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC的高度．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、(2)若PA＝，AB＝，PD＝DC＋2，求点O到PC的距离．②是否存在满足条件的点P，使得PC＝？请说明理由．C两点．(1)求证：PA·P B＝PD·P C；45194416．★(2016·南充中考)已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M 在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM.(1)如图a，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN，AM＝AN；(2)①如图b，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM＝AN是否成立？(不需说明理由)12∠AFH ，∴△ADE ∽△FHA ，∴ ＝ ，∴AE ＝AF .∵AE ＝ 4＋DE 2，∴ 4＋DE 2＝3－DE ，∴DE ＝ .＝90°.在 △Rt ABD 中，∵AD ＝ ，AB ＝4 2，∴BD ＝ .∵∠D ＝∠C ，∠DAC ＝∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE .∵AD ∶BC ＝ ∶4＝1∶ ，∴△5 ADE 和△BCE 的相似比为 1∶5.设 AE ＝x ，∴BE ＝5x ，∴DE ＝ －5x ，∴CE ＝28－25x .∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4，解得 x ＝1.8．D 解析：由扇形相似的定义可得 πr ＝ ，所以 n ＝n 1，故①正确；因为∠AOB ＝ 以 AB A 1B 1O 1A 13609．5∶4 10.5 11.12. 或 解析：∵AE ＝ AD ，∴分两种情况：①当点 E 在线段 AD 上时，如图①所示．∵DE ∶BC .∵AE ＝ AD ，∴DE ＝ AD ＝ BC ，∴DE ∶BC ＝2∶3，∴EF ∶FC ＝2∶3；②当点 E＝ AD ，∴DE ＝ AD ＝ BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶FC ＝4∶3.综上所述，EF ∶FC 的值是 或 .参考答案与解析1．B 2.C 3.D 4.C 5.B6 ． D 解 析 ： 过 F 作 FH ⊥AE 于 H .∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， ∴AB ＝ CD ， AB ∥CD .∵AE ∥CF ，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AF ＝CE ，∴DE ＝BF ，∴AF ＝3－ DE .∵∠FHA ＝∠D ＝∠DAF ＝90°，∴∠AFH ＋∠HAF ＝∠DAE ＋∠F AH ＝90°，∴∠DAE ＝AE ADAF FH567．C 解析：∵等腰 △RtABC 中 BC ＝4，AB 为⊙O 的直径，∴AC ＝4，AB ＝4 2，∠D4 285 545 285n πr180 r n 11 r 1180 ∠A 1O 1B 1，OA ∶O 1A 1＝△k ，所以 AOB ∽ △A 1O 1B △1，故②正确；因为 AOB ∽ △A 1O 1B 1，所 OA n＝ ＝k ，故③正确；由扇形面积公式 ·πr 2 可得到④正确．122 4 13 3 3四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△ EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝1 2 23 3 3在线段 DA 的延长线上时，如图②所示．同①得△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝DE ∶BC .∵AE1 4 43 3 32 43 313．解：(1)2 5 2 10(2)相似．理由如下：△CAB 与△DEF 均为等腰直角三角形，故相似．14．解：延长 OD ，BC 交于点 P .由题意得 OB ＝11 米，CD ＝2 米，∠ODC ＝∠PDC ＝PB OB∴PB＝＝＝113(米)，∴BC＝PB－PC＝(113－4)米．∠PBC，∴△P AD∽△PCB，∴＝，∴PA·P B＝PC·P D；(2)解：连接OD，作OE⊥DC，垂足为E.∵P A＝，AB＝，PD＝DC＋2，∴PB＝16，PC＝2DC＋2.∵P A·P B＝PD·P C，∴×16＝(DC＋2)(2DC＋2)，解得DC＝8或DC＝－11(舍∠PAN＝90°，即AP⊥BN.∵∠ABP＝∠NBA，∠APB＝∠NAB＝90°，∴△ABP∽△NBA，∴＝P A PB AB PB BC，∴＝又∵△.PBC∽△PAM，∴＝，∴＝.又∵AB＝BC，∴AM＝AN；为直径，作半圆O，连接OC，OP.∵BC＝1，OB＝，∴OC＝.∵AP⊥BN，∴点P一定在以点O为圆心，半径为的半圆上(A，B两点除外)．如果存在点P，那么OP＋PC≥OC，则PC≥5－15－11.∵>，∴不存在满足条件的点P，使得PC＝.∠B＝90°，∠BCD＝120°，∴∠P＝30°，∴在直角△CPD中，PD＝CD·tan60°＝23米，PC ＝CD÷sin30°＝4米．∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，∴PD CD＝，PD·O B23×11CD2答：路灯灯柱BC的高度为(113－4)米．15．(1)证明：连接AD，BC.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝P A PDPC PB451944454去)，∴DE＝4.∵OD＝5，∴OE＝3，即点O到PC的距离为3.16．(1)证明：∵△PBC∽△PAM，∴∠P BC＝∠P AM.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠P BC＝∠A NP，∴∠PAM＝∠A NP.∵∠PAM＋∠P AN＝90°，∴∠A NP＋PBABAB BCAN P A AN P A AM AN AM(2)解：①点M在AB的延长线时，AP⊥BN和AM＝AN仍然成立．②选择图b，以AB15221212222。