高等代数复习题精选
高等代数复习题参考答案
高等代数复习题参考答案一、选择题1. B 2．B 3. B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．C 9．D 10. B 11． A 12． D 13．A 14. C 15．B 16．D 17．B 18．C 19．D 20．A二、 填空题21．2 22．3 23．-2 24．1233,0λλλ===25. 1t =- 26．1152⎛⎫⎪⎝⎭ 27．()0,1,1- 28．n 29．3- 30．231. 0 32．2 33．4- 34． 1230a a a ++= 35． 相 36．137. 201010002-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭38．相 39．1 40．n 41．1 42. t <43. 1001102211022⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭44．()134E A - 45．1 46．4- 47．21t -<< 48．100020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、解答题49. 解：（1）246123123T A B C ⎛⎫ ⎪==--- ⎪ ⎪⎝⎭()45162324486()818116224381162243T T A CB B C A ⎛⎫⎪===--- ⎪ ⎪⎝⎭（2）1121012001A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1144439X BA ---⎛⎫== ⎪--⎝⎭50. 解：由已知等式得到()2X A E B E -=+，若A E -可逆，得1(2)()X B E A E -=+-110120110,2210001002A E B E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11102211()022001A E -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1302231022002X ⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭51. 解：E B A X B A E BXA AXB BXB AXA =--⇒++=+)()( 21])[(--=⇒B A X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-100110111B A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--100110211)(1B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210521100110211100110211X52. 解：2()A E B A E -=- 因10,A E A E -=-≠∴-Q 可逆， 于是有()A E B E +=，90,A E A E +=≠∴+Q 可逆，故()121033100312033B A E -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭53．解：12312030112(,,,)~00100002r a b αααβ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭（1）2b ≠时，β不能由321ααα,,线性表示（2）当1,2a b ≠=时，β可由321ααα,,唯一线性表示，表示式为122βαα=-+当1,2a b ==时，β可由321ααα,,多种线性表示，表示式为123(32)(2),k k k k R βααα=-++-∈54．解：（1）证明：设112321233123()()()0k k k ααααααααα+++-++-++= 则有123112321233()()()0k k k k k k k k k ααα+-+-++++=123,,αααQ 是线性空间V 的一组基，线性无关12312312300k k k k k k k k k +-=⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得1230,0,0k k k === 因此123123123,,ααααααααα++-+-++也是V 的一组基（2）所求过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（3）所求坐标为111112222323333111022111111111022211111022y a a a a y a a a a y a a a a -⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭55．解：因方线性方程组Ax β=有二个不同的解，故齐次线性方程组0Ax =有非零解，所以()()2110A a a =-+=，得11a a ==-或当1a =时增广矩阵()111211120001~000111110000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βM ，可见()()R A R A ≠βM ，方程组无解，不合题意，舍去。
高等代数期末考试复习题及参考答案
高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。
高等代数试题库
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B .充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B .代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数复习题
高等代数复习题高等代数重修复习一．填空题1.设V是数域P上的一维线性空间，则V上所有线性变换可表示为 .2.R x 3中的基1 x x2,3x 2x2,1 2x2到基1,x,x2的过度矩阵为3．实对称矩阵A满足A 0，则A的全部特征值为。
4．已知矩阵A n 1a 为正交矩阵，则a . 015.已知A是m n的矩阵且秩(A) s，则方程组Ax 0的解空间的维数为 .6．已知3阶矩阵A的特征值为1,1,2，则2A 2A的特征值为2 17.在线性空间P[x]n {f(x) a0 a1x a2x2 an 1xn 1|a0,a1,a2, ,an 1 P}中,线性变换D(f(x)) f'(x)在基1,x,x2, ,xn 1下的矩阵为 . D的值域为，D的核为8.设1, 2, , n是线性空间V的基，线性变换A满足A( i) i,i 1,2, ,m, 0i m 1,2, ,n则A在基1, 2, , n下的矩阵为，A的值域为，A的核为9.设V是n维欧几里得空间，A为正交线性变换，则, ，(A ,A )= .10.设V L(e1,e2) R3,其中e1 100 ,e2 101 ，则V的正交补为11. 在欧几里得空间R中，1 (__)，2 (5031)，则1, 2的夹角1, 2 为。
12.设线性变换A:V V在基1, 2, , n下的矩阵为A且秩(A) r，则线性变换A的秩为。
二．单选题1．若A,B是正交矩阵，k是非零实数，P是可逆矩阵，则（）(A)A B也是正交矩阵(B) kA也是正交矩阵(C)AB也是正交矩阵(D) PAP也是正交矩阵2. 设是三维向量空间R上的变换，下列不是线性变换的是（）2(A) ( 1, 2, 3) ( 1 3, 2, 3 5) (B) ( 1, 2, 3) ( 1,3 2,3 3) 3 1(C) ( 1, 2, 3) (0, 1,0) (D) ( 1, 2, 3) (2 1 2 3, 2 5 3, 1 3)3．设A是n阶实对称矩阵，则（）(A) 存在正交矩阵P使得PAP为对角矩阵(B)A的特征值的绝对值等于1(C)A的任意n个线性无关的特征向量两两正交也是正交矩阵(D)A有n个不同的特征值4．和矩阵M ' 10 正交相似的矩阵是（）0 1(A) 01 1 1 11 01 (B) (C) (D) 10 1 1 00 105．两个n阶实对称矩阵相似的充要条件是（）(A)它们合同(B)它们的特征值都是实数1, 2, , n(C)它们都是正交矩阵(D)它们的特征值都是实数1, 2, , n，且两两不相等1 12 ，16．设P上的三维列向量空间V上的线性变换在基{e1,e2,e3}下的矩阵是20 12 1则在基{e3,e1,e2}下的矩阵是（）112 1 12 121 2 11 (B) 12 1 (C) 102 (D) 102 1(A)20 210 12 1 21 1 1217. A是n阶矩阵，则为正交矩阵A的充要条件是（）(A)A的特征值全为1或-1 (B)A的列向量组两两正交(C)A正交相似于单位矩阵(D)A的列向量组为标准正交向量组。
高等代数第六章单元复习题
高等代数第六章单元复习题一、 选择题1. 下列集合中，是3R 的子空间的为（ ）A .{}1233(,,)0x x x x α=≥B .{}123123(,,)230x x x x x x α=++=C ．{}1233(,,)1x x x x α==D .{}123123(,,)231x x x x x x α=++=2. 设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且11212,,a ββαα==+3123βααα=++，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001011P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵。
A .312,,βββB .3,21,βββC ．132,,βββD .123,,βββ4. 设,,Q R C 分别为有理数域、实数域和复数域，按照通常数的加法和乘法，则下列结论正确的是（ ）A . Q 构成R 上的线性空间B . Q 构成C 上的线性空间C ．R 构成C 上的线性空间D . C 构成Q 上的线性空间5. 数域P 上n 维线性空间的基的个数有 ( )。
A .1；B .n ；C .!n ；D ．无穷多组6. 设12,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）。
A .11212()W W W W W +=B .1121()W W W W +=C ．11212()W W W W W +=+D .1122()W W W W +=7. 已知321,,ααα是AX = 0 的基础解系，则（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．133221,,αααααα+++线性相关．D ．133221,,αααααα+++不构成基础解系．二、填空题1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则=C dim _____，它的一个基为____。
2. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ____，它的一个基为_____。
3. 设12{,,}n ααα是向量空间V 的一个基，由该基到21{}n ααα，，， 的过渡矩阵为___________________。
高等代数复习题
高等代数复习题一、选择题1. 设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC= 。
(A) ACB ； (B) BCA ； (C) CBA ； （D ）CAB2．设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则必有（ ）A ． A +B 可逆 B ．AB 可逆C ．A-B 可逆D ．AB+ BA 可逆 3. 设A , B 为n 阶可逆阵，则必有(A) A+B 可逆； (B) A 经初等变换可变为B ； (C) A |=|B |； (D) 存在可逆阵P ，使得B AP P =-1 4．设,,A B C 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ）若20A =，则A =0； （B ）若,0AB AC A =≠，则B=C ； （C ）()kk k AB A B =； （D ）若20A A E --=，则A 可逆。
5．设A,B,C,D 都是n 阶矩阵，如果A 与B 相似，C 与D 相似，则 (A) AC 与BD 相似； (B) AC 与DB 相似 ； (C) A m 与B m 相似 ； (D) A +C 与B+D 相似6．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值s 21λλλ,,,Λ，而秩s ,,,i ,r n )A E (i i Λ21=-=-λ,如果A 与对角阵相似，则（A ） n r si i =∑=1；（B ）n r si i ≠∑=1；（C ）n r si i ≤∑=1；（D ）n r si i ≥∑=1；7．设A 是m n ⨯矩阵，C 与n 阶单位阵等价，B=AC ，1,rankA r rankB r ==，则 (A) 1r r =； (B) 1r r <； (C) 1r r >； (D) 1r r 与的关系不能确定8．已知3阶矩阵A 的特征值为0，±1，则下列命题不正确的是（ ） （A ）A 不可逆 ； (B) A 的主对角元素之和为0 ； (C) 1和-1所对应的特征向量正交 ；(D) 0=Ax 的基础解系仅有一个解向量。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
(完整word版)高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
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第一章多项式自测题一、填空题1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为 ．2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++++∈,若|()x f x ,则0a = ;若1()x f x =是的根,则012n a a a a ++++= .3.若((),())1f x f x x '=+,则 是()f x 的 重根.4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式)1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ϕϕϕ≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ).A.()|(()()()())x u x f x v x g x ϕ+B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ϕ≤（deg 意思为次数）C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ϕ+=则((),())()f x g x x ϕ=D.若|(),x a x ϕ-则()()0f a g a ==2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ).A.23((),())1f x g x =B.1))()(),((=+x g x f x fC.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h xD. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ).A.在有理数域上存在任意次不可约多项式B.在实数域上3次多项式一定可约C.在复数域上次数大于0的多项式都可约D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ).A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根C.()f x 有重根(),()f x f x ''⇔有一次因式D.若()f x 有重根,则()f x 有重因式,反之亦然 三、判断题1.设(),(),()[]f x g x h x P x ∈,若()g x 不能整除()h x ,则()g x 不整除(()()).f x h x + ( )2.零多项式能被任意多项式所整除,也能整除任意多项式. ( )3. 若()()()(),f x g x q x r x =+则((),())((),()).f x g x g x r x = ( )4.如果()p x 是数域P 上的不可约多项式,那么对于任意的,c P ∈且0,()c cp x ≠也是P 上的不可约多项式. ( )5.若一个整系数多项式在有理数域上可约, 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积.第二章行列式 自测题一、填空题1.六级行列式6ij a 中的项1332465125a a a a a 的符号为 .2.设ij na d =,则ij nka = .3.已知行列式200200021003a xy b中元素a b 与的代数余子式分别为-6和8则x y += .4.如果方程组12312321231x x ax x ax x a ax x x a⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一的解,那么a 满足的条件是 .5.设111213213111212223223212313233233313,a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ==则 . 二、选择题1.设12311111232122123333323,22a a a a a b c b b b a a b c c c c a a b c -=-=-则( ). A.3 B.-3 C.6 D.-6 2.行列式ab cde f ghk中,元素f 的代数余子式为( ).A.d eg hB.d eg hC. -a b g hD.a b g h3.11111122222233333336322,3a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==则( ). A.2 B.23 C.13 D.124.下列等式成立的是( ). A.1122121211221212a c a c a a c cb d b d b b d d ++=+++ B.ij ijn nn na a ⨯⨯-=-C.ij ijijijn nn nn na b a b ⨯⨯⨯+=+D. 111213212223212223311132123313313233111213222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =--- 5.下列命题为真的是( ).A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不变B.若ijn na ⨯中ija 的代数余子式为(,1,2,3,,)ij A i j n =则1122(1)iji k i k in kn n na a A a A a A k n ⨯=+++≤≤C.行列式为0的充分必要条件是其两列对应成比例D.系数行列式不为0的线性方程组的有且仅有一解 三、判断题1、奇数次对换改变排列的奇偶性。
（ ） ２、33⨯∈P A ，则A A 82-=-。
（ ）第三章线性方程组自测题一、填空题1. 矩阵的行向量组的秩与 的秩相等，对矩阵施行 不改变矩阵的秩，对矩阵施行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵中的 即为矩阵的秩.2.设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, （1） 的系数矩阵与增广矩阵分别为A 和A ，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .3. n s ij a A ⨯=)(，A 的行向量组线性相关的充要条件是秩)(A ，秩n A =)(时，齐次线性方程组0=AX 的解为 .4. 设),,2,1)(,,,(21n i in i i i ==αααα，则n ααα,,,21 线性无关的充要条件是行列式ij a ，对于任意的n 维向量β都是n ααα,,,21 的线性组合的充要条件是向量组n ααα,,,21 .5.设数域P 上的线性方程组所对应的齐次线性方程组（①的导出组）②的一个基础解系为r n -ηηη,21 ，，，①有一个特解为T 0，则①的两个解之 是②的解，②的与这个基础解系等价的 向量组仍为②的基础解系，①的任意一个解r 都可以表为 .二、选择题1.设nn i P s i P ∈=∈βα),,,2,1( ，若存在s s i k k k s i P k αααβ+++==∈ 2211),,2,1(,使，则下列结论错误的是（ ）. A.β是向量组s ααα,,,21 的线性组合 B. β可以由s ααα,,,21 线性表示 C. 向量组β，s ααα,,,21 线性相关 D. 向量组s ααα,,,21 的秩小于s 2.设),1,,,2,1(>=∈s s i P n i α则下列命题为真的是（ ）.A.如果有一个)1(s i j ≤≤α是整个向量s i i i αααααα,,,,,,,1121 +-的线性组合，则该向量组线性相关B. 如果有一个向量)1(s i j ≤≤α是不是其余向量的线性组合，哪么该向量组线性无关C. 如果向量组s ααα,,,21 线性相关，那么其中有零向量D. 如果21,αα成比例，则n ααα,,,21 线性相关3.设),1,,,2,1(>=∈s s i P n i α下列命题为真的是（ ）.A. 如果存在),2,1(,s i P x i =∈使得02211=+++s s x x x ααα ，那么向量组线性相关B. 如果存在全为0的数s k k k ,,,21 使得02211=+++s s k k k ααα ，那么向量组s ααα,,,21 线性无关C. 如果02211=+++s s x x x ααα 只有零解，那么向量组s ααα,,,21 线性无关D. 如果线性无关，那它可能有一个部份组it i i ααα,,,21 线性相关 4.设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则下列命题为假的是（ ）. A.如果r ααα,,,21 线性无关，则它与s ααα,,,21 等价B.如果每个向量)1(s i i ≤≤α都可以由向量组s ααα,,,21 的一个部份组it i i ααα,,,21 线性表出，则r t =C.如果向量组t βββ,,,21 的秩为r ，则t βββ,,,21 与s ααα,,,21 等价D. 如果向量组t βββ,,,21 与s ααα,,,21 等价，则t βββ,,,21 的任何r 个线性无关的向量都是它的极大线性无关组 三、判断题１、若矩阵A 的秩为r ，则矩阵A 中所有r 阶子式全部为零。
（ ） ２、含有零向量的向量组一定线性相关。
（ ）３、向量组中若存在某一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组一定线性相关 （ ）４、若两个向量组具有相同的秩，则这两个向量组一定等价。
（ ）第四章矩阵自测题一、填空题1.若矩阵A 的秩为2,则(2,3)(3,2(3))P AP -的秩为 .2.设55()ij A a ⨯=,则|-2A|= .3.若2(),20,ij n n A a A A E ⨯=--=可逆且则1A -= .4.设(),()(,,ij s n kj n m A a B b s n m ⨯⨯==互不相同)则,,,A B A B AB BA +-中有意义的是 .5.设A 、B 、C 都是n 阶可逆矩阵,且2,AC B CB =则1C -= . 二、选择题1.A 、B 为n 阶方阵，下列结论正确的是（ ） A.AB BA = B.,AB AC B C ==若则 C.()AB B A '''= D. 0,00AB A B ===若则或2.若A 是3阶方阵,则12A A -'-=( ).A.3B.13 C.1 D.-83. ()ij n n A a ⨯=,*A A 是的伴随矩阵,则下列命题为假的是( )A.若*(),()A n A n ==秩则秩B.若*()1,()1A n A =-=秩则秩C.若*()1,()1A n A <-=秩则秩D. 若*()2,()0A n A =-=秩则秩 4.设,A B n 为阶方阵,且0AB =,则下列结论错误的是( )A.()()A B n +≤秩秩B.()()()A B A B +≤+秩秩秩C.()()()A B A B -≤-秩秩秩D.()0()0A B ==秩或秩第五章二次型 自测题一、填空题1.二次型4232434143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的矩阵为 .2.两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵 .3.两个n 元复二次型等价的充要条件是 .4.两个n 元实二次型等价的充要条件是 .5.n 元正定二次型的正惯性指数为 . 二、选择题1.下列说法错误的是（ ）. A.若两个矩阵合同，则它们必等价B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同变换化为对角形D.n 元正定二次型的矩阵与n 阶单位矩阵合同 2.下列说法正确的是（ ）.A.可用非退化线性替换将任意n 元二次型化为标准型，且标准型是唯一的B.合同变换可能改变矩阵的秩或对称性C.任意n 阶方阵都正交相似于一个对角形矩阵D.二次型的规范形是唯一的，实二次型的规范形由其秩与正惯性指数唯一确定3.实二次型22212122212121),(22),(x x x x g x x x x x x f +=++=与的矩阵关系为（ ）.A.等价但不合同B.合同C.互逆D.相等4.设A 、B 为n 阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（ ）. A.若A 正定，则A -1也正定B.若A 、B 正定，则A +B 也正定C.若0>A ，则A 正定D.若A 的主子式都大于0，则A 正定。