晶格振动部分习题参考解答

晶格振动部分习题参考解答
晶格振动部分习题参考解答
9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为
a/2，求在q=0,q=
a
π
处的(q).并定性画出色散曲线。

m m 10 m m ____________________________________________________
→←
→←
2
2
a
a 解：已知 21
)cos 2(12122212
12
qa m
m
A ββββββω++-
+=
(1) 21
)cos 2(12122212
12
0a m
m
ββββββω++-
+= (2) 由题意 2＝10
1＝10
代入（1）式
得
21
)cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21
)cos 20101(11qa m
m +-ββ
=
[]2
1)cos 20101(11qa m
+-β
当q=0时 0)1111(0
2=-==m
q A
β
ω 当q=a
π时 m
m
a
q A β
β
ωπ2)911(2
=
-=
= 把
2=10
1=10
代入（2）式
得 []2
1)cos 20101(1120qa m
++β
ω＝
当q=0时m q βω220
2
== 时a
q π±= m
a
q β
ωπ
202
0=
= 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=
0－Aq 2
（A
0），求证光学波
频率分布函数(格波密度函数)为：g()=
∑
-=)
1(31
s i 24πV
2
321
)(0A
i ωω- i ω≤0
g()=0 i ω>0
证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为
g (i ω)d i ω=
q d d V
i
τπωωω
+3
)2(
由题意可知在长波极限下等频率面为球面则g(i ω)d i ω=
dq q V
23
4)
2(ππ 当i ω0ω≤时因为 q 2＝
A
q i )
(0ωω－ A
q q i )
(0ωω-=
dq=－
[]
2
1
2
1)(2)(0q A q d i i ωωω-
所以g(i ω)=2
121)(21
4)2(003i i A A V ωωωωππ--?-??= －2321
204)(A
V i πωω- 由模式密度的物理意义，取其绝对值
而当i ω>0ω时因为i ω＝0ω－Aq 2 所以Aq 2=0ω－i ω 又因为 A >0 q 2>0 (因为q 本身为实数)
所以上式右边必满足0ω>i ω 即不存在i ω>0ω的格波则则 g(i ω)=0 又因为三维晶体中共要有3（S －1）支光学格波
所以光学波频率分布函数为： g 2
1
2
03
31
4)()(A
V i S i πωωω-=
∑
-= i ω≤0ω
g(ω)=0 ω> 0ω 11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。

解： (1)设一维单原子链长L ＝Na ，a 为原子间距，N 为原子数，在a
π
－
π
≤
区域内q 只
能取N 个值，dq 间距内的格波数为 f(q)dq=
dq L dq Na dq a
N π
ππ222==
色散关系为
2
sin
4qa
m βω=
(1) )cos 1(22
qa m
-=β
ω=22
m ω(1-cosqa) (2)
其中
m =
2
1)4(
m
β
由于对应于q, 取相同的值，（色散关系的对称性〕，则d 区间的格波数为
g()d
＝2dq
d Nad dq Na ωπω
π=
2 (3) 由色散关系（2）可得： 2
d
=2
2
a m ωsinqa dq
qa a qa a dq d m m 222cos 14sin 4-==ωωωωω=22
2
ωω-m a 代入(3)可得： g()=
2
2
2ω
ωπ-m
N
(4)
(2)在德拜模型下，色散关系为线性＝p q
p dq
d υω
=代入(3)式得； g()=
p
p
L
Na
πυπυ=
(5)
则零点能为： E 零＝ωωπυωωωωωd L d g p D D
22
1
)(0
η
η?
=
=
p
D
L πυω42
η (6)
又因为
N L d L
d g p
D
p
D
D
==
=
πυωωπυωωωω0
)(
得：π
ωυN L
D p = (7) 代入（6）式得：
E 零=a
N Q K N
N D B d 444ρυπωηη==
12试用平均声子数n ＝（1)1--KT
e
ωη证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为KT ；
当T <
3
)D
Q T 。

解：单式格子仅有声学格波，而对声学波波长入足够长，则很低对满足
T
k B ω
η<<1的格波把T
B K w
e
η泰勒展开，只取到一次项T
B K w
e
η－1≈（1＋
T k w B η）－1＝T
k w
B η，
平均声子数n ＝（1)1--KT
e
ω
η，＝所以而属于该格波的声子能量为
T
k n B ≈
当T <<θD 时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（3－72）g(w)=
23
2
23ωυπρ
V
只有≤
η
T
k B 的格波才能激发，已激发的格波数可表示为：ωωd g A T
B K )(0
η
＝
＝
3
3
2)(
2η
T k V
B ρ
υπ 由上已知，此时格波平均能量为K B T 则晶格热容可表示为
T k T
k V T
C B B V )(232ηρυπ＝
＝3
3324
2T vk B η
ρυπ
把（3－75）式
ρυπω3
1)6(2
V
N D ＝及 D B D Q K ＝ωη代入整理为： C v ＝12NK B 3
)(
D
Q T 所以晶格比热正比于（
3
)D
Q T 得证 13.对于金刚石、Zns 、单晶硅、金属Cu 、一维三原子晶格，分别写出
(1) 初基元胞内原子数；(2). 初基元胞内自由度数(3).格波支数;
(4). 声学波支数 (5).光学波支数
金刚石
Zns Si Cu 一维三原子晶格
初基元胞内原子数
2 2 2 1
3 初基元胞内自由度数
6 6 6 3 3 格波支数
6 6 6 3 3 声学波支数
3 3 3 3 1 光学波支数
3 3 3 0 2
14.证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T . ω
η
证：在极低温度下，可用德拜模型，q 点密度为π
2L
g ρυω＝ d
区间格波数为 g()d
＝2ωπυωππρ
d L d dq L wq dw ＝12=?
所以格波密度函数g()＝
ρ
πυL
只有η
T
k B ≤
的格波才能被激发，已激发的格波数为； A ＝
η
η
T k L
d g B T K B ?
ρ
πυωω＝
)(/0
由第12题已证，在极低温度下，一维单
式格子主要是长声波激发对满足
kT
ω
η<<1的格波能量为K B T 。

则晶格热容为
T LK T K T LK T
C B
B B V ρρυππυηη22＝＝
即热容正比于T 。

15.NaCl 和KCl 具有相同的晶体结构。

其德拜温度分别为320K 和230K 。

KCl 在5K 时的
定容热容量为3.8×10-2J .mol -1.K -1，试计算NaCl 在5K 和KCl 在2K 时的定容热容量。

解：设NaCl 和KCl 晶体所包含的初基元胞数相等，均为N ，T <<="" ，kcl="" ＝230k="" ＝320k="">
C V =qNk(2
40
3
)
1()-?
x x D
e dx
e x Q T T
D
Q
T
Q D
>>1. 积分上限近似可取为∞、则有
154)1(2
2
40
π=-?
∞
x x e dx e x 34)(512D
B v Q T
NK C π＝
对KCl ： T ＝5K 时 C v ＝3.8X10-2 当T ＝2K 时 2
33
1
1024.012588.325
-＝＝＝
v v C C (J.mol -1.K -1) 对NaCl ：T=5K 时 3
3103113
11
)
320()230(8.3)()(2
=?=-X D D v v Q Q C C ＝1.41X10-2(J.mol -1.K -1)
16. 在一维无限长的简单晶格中，设原子的质量均为M ，若在简谐近似下考虑原
子间的长程作用力，第n 个原子与第n+m 和第n －m 个原子间的恢复力系数为m , 试求格波的色散关系。

解：设第n 个原子对平衡位置的位移为u n , 第n+m 和第n －m 个原子对平衡位置的位移为u n ＋m 和u n －m (m=1,2,3……), 则第n+m 和第n －m 个原子对第n 个原子的作用力为 f n,m = m （u n ＋m －u n ）＋m （u n －m －u n ）＝m （u n ＋m ＋u n －m －2u n ）第n 个原子受的总力为 F n =
∑∞
=1
,m m
n f
=
∑
∞
=1
m m （u n ＋m ＋u n －m －2u n ）
因此，第n 个原子的运动方程为
M 2
2dt u d n =
∑
∞
=1
m m （u n ＋m ＋u n －m －2u n ）将格波的试解 u n ＝ A )
(t qna i e ω-
代入运动方程，得－M
2 ＝
∑∞
=-+1
)2(m iqma iqma m
e e β
=
∑∞
=-1
]1)[cos(2m m
qma β
= －4
)2/(sin 1
2qma m m
∑∞
=β
所以 2
= M
4
)2/(sin 1
2qma m m
∑∞
=β
17. 求半无限单原子链晶格振动的色散曲线。

提示：仍作近邻近似和简谐近似。

设原子编号为：0，1，2，3，4,······(表面原子为n=0) 原子间的力常数均为β，原子的振幅均为A 。

解：设原子编号为：0，1，2，3，4,······(表面原子为n=0)
第0个原子的运动方程：2
2dt U d m ＝－β（U 0－U 1）（1）
第1个原子的运动方程：2
1
2dt U d m ＝－β（U 1－U 2）－β（U 1－U 0）（2）第n 个原子的运动方程：2
2dt U d m n
＝β（U n+1+U n-1－2U n ）（3）
设试探解 U 0＝A 0t i e ω n=0 （4）
U n ＝A 0
t i qna e ω+- n >1 q=q s +iq ’ （5）
把试探解(5)代入（3）得色散关系：
m ω2
=2β[1－ch(qa)] （6）
(chx=2
x e x e -+ e i π=e -i π
=1)
另外，q=q s +iq ’’ 当q ’’＝
a
π
时，代入上色散关系，得m ωs 2
=2β[1+ch(q s a)] （7）
出现ω≥ωm(体内截止频率)――――相当于在禁带中出现表面能级。