晶格振动部分习题参考解答

晶格振动部分习题参考解答

晶格振动部分习题参考解答

9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为

a/2，求在q=0,q=

a

π

处的(q).并定性画出色散曲线。m m 10 m m ____________________________________________________

→←

→←

2

2

a

a 解：已知 21

)cos 2(12122212

12

qa m

m

A ββββββω++-

+=

(1) 21

)cos 2(12122212

12

0a m

m

ββββββω++-

+= (2) 由题意 2＝10

1＝10

代入（1）式

得

21

)cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21

)cos 20101(11qa m

m +-ββ

=

[]2

1)cos 20101(11qa m

+-β

当q=0时 0)1111(0

2=-==m

q A

β

ω 当q=a

π时 m

m

a

q A β

β

ωπ2)911(2

=

-=

= 把

2=10

1=10

代入（2）式

得 []2

1)cos 20101(1120qa m

++β

ω＝

当q=0时m q βω220

2

== 时a

q π±= m

a

q β

ωπ

202

0=

= 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=

0－Aq 2

（A

0），求证光学波

频率分布函数(格波密度函数)为：g()=

∑

-=)

1(31

s i 24πV

2

321

)(0A

i ωω- i ω≤0

g()=0 i ω>0

证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为

g (i ω)d i ω=

q d d V

i

τπωωω

+3

)2(

由题意可知在长波极限下等频率面为球面则g(i ω)d i ω=

dq q V

23

4)

2(ππ 当i ω0ω≤时因为 q 2＝

A

q i )

(0ωω－ A

q q i )

(0ωω-=

dq=－

[]

2

1

2

1)(2)(0q A q d i i ωωω-

所以g(i ω)=2

121)(21

4)2(003i i A A V ωωωωππ--?-??= －2321

204)(A

V i πωω- 由模式密度的物理意义，取其绝对值

而当i ω>0ω时因为i ω＝0ω－Aq 2 所以Aq 2=0ω－i ω 又因为 A >0 q 2>0 (因为q 本身为实数)

所以上式右边必满足0ω>i ω 即不存在i ω>0ω的格波则则 g(i ω)=0 又因为三维晶体中共要有3（S －1）支光学格波

所以光学波频率分布函数为： g 2

1

2

03

31

4)()(A

V i S i πωωω-=

∑

-= i ω≤0ω

g(ω)=0 ω> 0ω 11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。解： (1)设一维单原子链长L ＝Na ，a 为原子间距，N 为原子数，在a

π

－

π

≤

区域内q 只

能取N 个值，dq 间距内的格波数为 f(q)dq=

dq L dq Na dq a

N π

ππ222==

色散关系为

2

sin

4qa

m βω=

(1) )cos 1(22

qa m

-=β

ω=22

m ω(1-cosqa) (2)

其中

m =

2

1)4(

m

β

由于对应于q, 取相同的值，（色散关系的对称性〕，则d 区间的格波数为

g()d

＝2dq

d Nad dq Na ωπω

π=

2 (3) 由色散关系（2）可得： 2

d

=2

2

a m ωsinqa dq

qa a qa a dq d m m 222cos 14sin 4-==ωωωωω=22

2

ωω-m a 代入(3)可得： g()=

2

2

2ω

ωπ-m

N

(4)

(2)在德拜模型下，色散关系为线性＝p q

p dq