s第04章晶格振动2019

A、B有非零解的条件 是上面方程组的系数 行列式等于零：
M12 2 2 cosqa
2
2 cosqa
2 0
M22 2
2 M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 2 M 2 2 2 M 1 M 2 c q o a s
2、色散关系
max
2
光学波
min
2 M2
2 a a
max
u n 1 u n u n 1 x n u n 1 u n 1 2 u n
第n个原子的运动方程为 mdd2u2n t un1un12un
运动方程为二阶常微分方程
对于N个原子有N个完全类似的运动方程
3、运动方程的解
设方程的特解为：
un(t)u0(t)eiqn A a i e teiqna
u0 (t) : t时刻原点处原子相对于平衡点的偏移
特解具有波动形式（用波矢为q、频率为ω的简谐 波来描述原子离开平衡位置的振动）
q：波矢,大小等于 2 ，方向为波传播的方向
qna：第n个原子相对于参考点的位相差 qa：相邻原子的位相差
4、一维单原子链的色散关系
ω和q之间的关系称为色散关系 为了确定色散关系，把试探解带入运动方程得：
第四章 晶格振动和晶体热学性质
晶格振动：晶体中的原子在格点附近作热振动 如何处理晶体中原子的振动？
晶格动力学（经典理论）：原子的振动以 波的形式（称为格波）在晶体中传播 ➢ 有多少个基本的振动频率（模式数量）、 波动的频率和波数的关系（色散关系）
晶格振动的量子理论：原子振动的粒子形 式（声子）
应用：晶体的热容量
2un,1)
M2
d2un,2 dt2
(un1,1 un,1 2un,2)
共有2N个
设方程组有如下的格波解：
un,1Aiqe n ta
u Be n,2
i q(n1 2)a t
不同类原子的振幅不同，但以相同的频率振动
把试探解带入运动方程，有：
2M1co2sq22aAAM22c2 o2sq2aBB00
波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量：
un qAn q ei(q n aqt)
所有格波在第n个原子处产生的总位移量：
un
Aei(qnaqt) nq
q
4.2 一维双原子链的振动
晶格常数a ，共有N个原胞，每个原胞有两个原子， 质量分别为M1、M2，交替放置形成一维周期结构。 链上的原子由其所属的原胞数n及在基元中的序号 p＝1，2来标记。
8、格波的波速和群速
波速（相速度） q
群速 d dq
布里渊区的中心附近，
(q) a
q
m
波速
l a
m
为常数，此时格波为弹性波
根据弹性波的理论 l
E ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ea
在布里渊区的边界上，一维单原子链格波的群
速度为零：
g(qa)0
波是一个驻波。
一个格波表示整个晶体所有原子都参与的振动，体系 所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。
4.1 一维单原子链的振动
原子链共有N个原胞，每个原胞只有一个原子,每个
原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常
数a,原子沿链方向运动,第n个原子离开平衡位置的
位移用un表示,第n个原子和第n+1个原子间的相对位
移为 unun1
a
一维单原子链
原子振动时，相邻两个原子之间的间距 xa
1、基本假设
q 2 Na
一个布里渊区包含的波矢数目 2 q N
a
即对于一维单原子链，晶格振动波矢的数目等于 晶体的原胞数
7、一维单原子链色散关系的特点
4 sinq(a)
m2
max 2
m
q
2 a a
0
a
2 a
ω是q的周期函数：
(q2h)(q)
a
(q)(q)
q 0 时，0 （具有该特点的格波称为声学波）
称为原子间恢复力常数
在简谐近似下相邻两个原子间的作用力： fd d (un 1un) →弹性力
一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接 起来的一串质量为m的球
第n个原子受到的作用力为：
f p(unpun)
p
p1， 2， 3，
2、一维单原子链的运动方程
f p(xnpxn)
p
只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力：
xn
q 2a
q 5 2a
为了保证xn的单
值性，把q限制
在
q
a
a
4a 格波q的不唯一性的图示
6、周期性边界条件
波恩－卡门边界条件：将许多完全相同的原子链首 尾连接成无穷长链，从而第N+1个原子就是第1个原 子，第N＋2个原子就是第2个原子……
un uNn
A i(qe n t)a A i(q (N e n )a t)
2 M1
声学波
0
a
2 a
q
每个波矢对应两个不同的频率，当q变化时，给出两条色 散关系，称为两支，频率低的一支（取负号）称为称为声 学波，频率高的一支（取正号）称为光学波。
4 sinq(a) un(t)Aeiteiqna
m2
振动频率与n无关，色散关系对所有原子都相同
原子的振动以波的形式在晶体中传播，这种波称为 格波。一个格波表示晶体中所有原子一起参与的共 同振动。在简谐近似下，格波为平面波。
5、波矢q的取值范围
波矢q和
q'q 2
a
h
描述同样的振动状态：
u 'nAi[q (e 2 a h )n at]Ai(qe n ta ) u n
M1 M2 n1, 1 n1, 2 n ,1
a
a
2
n,2
n1, 1 n1, 2
一维双原子链的结构
如图所示，设A、B两种原子组成一无限的 一维周期晶体，画出其晶格的原胞。
cd
AB
acd
a
基元
1、运动方程和格波解
仍然采用简谐近似和最近邻近似，原子的运动方程
为：
M1
d2un,1 dt2
(un,2
un1,2
eiqNa 1
q 2 h
Na
式中h为整数，q取分立值
把波矢q表示为倒空间中的一个矢量：qh b
N
b
2
i
a
波矢的取值范围为 ( ~ )
aa
而 ( ~ ) 为一维晶格的第一布里渊区
aa
独立波矢的取值范围在第一布里渊区 相差一个或几个倒格矢的波矢描述同样的振动状态
在FBZ，q取分立值，相邻两个波矢的间隔
平衡时原子位于Bravais格点上
原子围绕平衡位置作微振动 un a
此时，两原子间的相互作用势能可表示为：
(x ) a a d d x a 1 2 d d 2 x 2 a2
简谐近似：原子间的相互 作用势能只考虑到平方项
(x)a12
2
d 2 ( dx2 )a