四年级奥数有余数的除法汇编
小学奥数带余除法
2.6带余除法2.6.1相关概念在整数范围内，整数a除以整数b（b≠0），若有a÷b＝q……r，（即a=bq+r），0≤r＜b。
当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。
2.6.2余数的性质⑴被除数=除数×商＋余数，除数=（被除数－余数）÷商，商=（被除数－余数）÷除数。
⑵余数小于除数。
2.6.3同余定理（1）如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b 的差能被c整除。
（a、b、c均为正整数）例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（2）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（3）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。
2.6.4典型例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
四年级奥数之余数的妙用
余数的妙用知识要点1、在进行除法运算时，往往会产生余数，对于有余数的除法，许多同学有时很头疼。
但是有余数的除法也不是一无是处，它还有许多妙用，用好它对于我们解决具体问题时有好处的。
2、除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数经典范例例1 被除数是41，余数是,6，除数和商各是多少？思路解析：被除数-余数=除数×商=41-6=35=1×35或5×7解：41-6=3535=1×35或35=5×7当除数=35时商=1 当除数=7时商是5答：当除数=35时商=1 当除数=7时商是5例2 假如今天是星期二，从今天算起，第29天是星期几？思路解析：因为时间是从今天算起，假如今天是1号，到第29号就是29天，这样就算出总天数。
一周是7天，看看这29天中有几个7天，然后再数数余数的天数就可以了。
因为今天是星期二，是前面几个整周的开头第一天，所以余数的第一天也是星期二。
解：29÷7=4 ---- 1答：第29天是星期二。
例3 幼儿园阿姨给小朋友们准备了又红又大的苹果。
7个7个数，也余1个。
你能算出至少有多少个苹果吗？思路解析：5个5个数，余1个，就是苹果数倍5除余1,有5、10、15、20、25、30、35、40---；7个7个数，也余1个，是苹果数7除余1,有7、14、21、28、35、42---；所以苹果数既要能被5除余1，也要能被7除余1.从上面的列出数看，它们共同的最小数是35.解：能被5整除5、10、15、20、25、30、35、40---；能被7整除7、14、21、28、35、42---；35+1=36（个）答：共有苹果36个。
例4 豆豆和丁丁玩报数游戏，每次每人报1 - 4个数，即不能超过4个数。
谁报到88个数谁胜。
丁丁先报，豆豆后报。
可不管怎么报，都是丁丁胜。
豆豆很奇怪。
丁丁说：“那是因为我知道余数的妙用。
四年级奥数 除法与余数
要指 的是余数 问题 中涉 及 到 的 些 周 期 问题 & 期 问题 余数原理 等等
余数 原理
自若 B 个 数 的 和 ( 差 或 积 ) 除 以 个数所得 的余数等于这 若干 个 数分 别 除 以这 个 数所 得 余数 的和 ( 差或 积 ) 所得 的数 除 以这 个数所得 的余数
(2 ) ? 1从î 个数 同 时 除 以 同 个数 若得到 的余数相 同 则这 两 个 数 的 差 定 能被这 个数整除
- 自 2 0 l 伙 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i ' 荧J山 四 年 级 第 五 讲
第五 讲 除法 与余数
知识要点
木 讲 1 的 除法 主要指 的是 带余除法 即带余数的除法 两个整 数相 除时 (除
教不 为0 ) 它 们 的 商不 是整数 可 以表示 为 被除数 + 除数= 商
余数
山日 为 j IJ 论 占便 和统 也将两个整数整 除时称 为余数是 0 而 余 数 我们 主
í到7 今 人 I 川j 六 那 么 从 明天 起 第 36 5 天 是星 期几 ? 解析 题 中所 说 的 第36 5 天 不 包括 今 天 在 内 是说 从 今 天 之 后 的 第 36 5 天
所 以 周期排 到应 该 是 星期天 星期 星期二 星期三 星期 四 星期五
星期六
365 Ï 7 - 52 ( 星期 )
歹lj ó 彼:s 教 除 数 1 1 余数 的总和 是 100 已知 商是 12 余数 是 5 求 被除数与 除数 !
解 析 由 题 意 可 知 被 除 数 + 除 数 = 100 12 5 - 83 而 被 除 数 又 是 除 数 的 12 倍 还 要 多5 朴 居和 倍 问题 可 得
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
小学奥数之带余除法解题(完整版)
小学奥数之带余除法解题1. 能够根据除法性质调整余数进行解题2. 能够利用余数性质进行相应估算3. 学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑴ 余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于 。
【考点】除法公式的应用 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分 【解析】 125 【答案】125【例 2】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
5-5-1.带余除法（一）教学目标知识点拨例题精讲【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为999，999362727÷=，所以满足题意的三位数最大为：36278980⨯+=【答案】980【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
小学奥数教程：带余除法(一)全国通用(含答案)
【巩固】写出全部除109后余数为4的两位数．
【考点】除法公式的应用【难度】2星【题型】解答
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届
2【解析】 ．因此，这样的两位数是：15；35；21．
【答案】两位数是：15；35；21
【例 9】甲、乙两数的和是 ，甲数除以乙数商 余 ，求甲、乙两数．
【考点】除法公式的应用【难度】2星【题型】解答
【答案】
【例 20】用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
【考点】除法公式的应用【难度】5星【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第14题
【解析】用1、9、8、8可排成12个四位数，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891
除法公式的应用
【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第2题，5分
【解析】125
【答案】
【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【考点】除法公式的应用【难度】1星【题型】填空
(2)当 时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
【答案】
【例 6】一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
小学奥数题库《数论》余数问题带余除法1星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-带余除法-1星题课程目标知识提要带余除法•定义一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q⋯⋯r，也就是说a=b×q+r，0≦r<b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
（1）当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
精选例题带余除法1. 有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是．【答案】17【分析】（1）被除数÷除数=7，因此我们能得到被除数是除数得7倍．（2）如果设除数是1份，那么被除数就是7份，它们的和是136．所以每份量为：136÷8=17．即除数是17．2. 在一个除法算式中，被除数是12，除数小于12，则可能出现的不同的余数之和是．【答案】15【分析】除数小于12且有不同余数，除数可能是11、10、9、8、7．余数分别是1、2、3、4、5．余数之和是1＋2＋3＋4＋5=15.3. 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．那么这些自然数共有个．【答案】11个【分析】2008−10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因数有16−5=11个．即这些自然数共有11个．4. 买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔支．【答案】8【分析】1元7角相当17角，15元相当于150角．可列出如下算式：150÷17=8⋯14.故最多可以买这样的水彩笔8支．5. 两数相除，商4余8，被除数、除数两数之和等于73，则被除数是．【答案】60【分析】被除数=4×除数+8，被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(73−8)÷(4+1)=13，所以，被除数为13×4+8=60．6. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是．【答案】1968【分析】设除数为a，被除数为17a+13，即可得到(17a+13)+a+17+13=2113,那么除数=115，被除数=115×17+13=1968．7. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数最小是．【答案】152【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为9，那么被除数的最小值为16×9+8=152．8. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数的和最小是．【答案】161【分析】由上题152+9=161．9. （1）34÷4=8⋯⋯2，则[34÷4]=，{34÷4}=；（2）已知a÷125=b⋯⋯10，[a÷125]=6，求{a÷125} = ；（3）已知a÷20=3⋯⋯b，{a÷20}=0.45，求[a÷20] = ，a = ．【答案】（1）8,0.5；（2）0.08；（3）3,69【分析】（1）34÷4的整数部分就是商，因此为8，{34÷4}相当于余数除以4，因此为0.5．（2）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q,{a÷b}=r÷b方法1：b=6，a=6×125+10=760，{760÷125}=0.08；方法2：b=6，{a÷125}=10÷125=0.08．（3）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷20]=3，b=0.45×20=9，a=3×20+9=69．10. 用一个自然数去除另一个自然数，商为5．被除数、除数的和是36，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为30，除数为6．【分析】被除数÷除数=5，所以根据和倍问题可知，除数为36÷(5+1)=6，所以被除数为5×6=30．11. 若a÷b=7⋯⋯9，则a的最小值是多少？【答案】79【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为10，那么a的最小值为7×10+9=79．12. （1）25÷6=4⋯⋯1；34÷6=5⋯⋯4，那么(25+34)÷6=( )⋯⋯( )．（2）45÷7=6⋯⋯3；26÷7=3⋯⋯5，那么(45+26)÷7=( )⋯⋯( )．（3）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（4）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6；c÷8⋯⋯7，那么(a+b+c)÷8⋯⋯( )．【答案】（1）(25+34)÷6=(9)⋯⋯(5)；（2）(45+26)÷7=(10)⋯⋯(1)．（3）(a+b)÷8⋯⋯(3)．（4）(a+b+c)÷8⋯⋯(2)．【分析】（1）(25+34)÷6=9⋯⋯5；（2）(45+26)÷7=10⋯⋯1．（3）所以余数的和为5+6=11，11÷8=1⋯⋯3，余数为3．（4）余数的和为5+6+7=18，18÷8=2⋯⋯2，余数为2．13. 请在下列括号中填上适当的数．（1）a÷8⋯⋯6；b÷8⋯⋯7，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（2）a÷10⋯⋯5；b÷10⋯⋯6；c÷10⋯⋯7，那么(2a+b+c)÷10⋯⋯( )．【答案】（1）5；（2）3【分析】（1）余数的和为6+7=13，13÷8=1⋯⋯5，余数为5．（2）2a+b+c=a+a+b+c，所以余数的和为5+5+6+7=23，23÷10=2⋯⋯3，余数为3．14. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．15. 1013除以一个两位数，余数是12．求出所有符合条件的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．16. 甲、乙两数的和是16，甲数除以乙数商是2余1，求甲数和乙数各是多少？【答案】乙=5，甲=11【分析】设乙数为a，即甲为2a+1，可得到(2a+1)+a=16，那么乙=5，甲=11．17. 2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？【答案】78【分析】这个两位数是2025−75=1950的约数，其中比75大的只有78．18. 一个数除以另一个数，商是3，余数是3．如果除数和被除数都扩大10倍，那么被除数、除数、商、余数的和是263，求这2个自然数各是多少？【答案】5、18【分析】设除数为a，被除数为3a+3，即可得到10(3a+3)+10a+3+30=263,那么除数=5，被除数=5×3+3=18．19. 甲、乙两数的差是113，甲数除以乙数商7余5，则甲数和乙数各是多少？【答案】乙=18，甲=131【分析】设乙数为a，即甲为7a+5，可得到(7a+5)−a=113，那么乙=18，甲= 131．20. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【答案】324【分析】设被除数和除数分别为x，y，可以得到\[ \begin{cases} x = 4y + 8\hfill \\ x + y + 4 + 8= 415 \hfill \\ \end{cases} \]解方程组得\[ \left\{ \begin{gathered} x = 324 \hfill\\ y = 79 \hfill\\ \end{gathered} \right. \]即被除数为324．21. 78除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是3，求除数和余数．【答案】除数为9，余数为6．【分析】78÷除数=8⋯⋯(余数−3)，81÷除数=9⋯⋯0被除数加上除数与余数的差3的和刚好是除数的9倍，则除数为(78+3)÷9=9，余数为6．22. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【答案】a=43，r=14【分析】由1992是a的46倍还多r，得到1992÷46=43......14，得1992=46×43+ 14，所以a=43，r=14．23. 甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．【答案】乙=24，甲=65【分析】设乙数为a，即甲为2a+17，可得到10a÷(2a+17)=3⋯⋯45，整理为10a= 3(2a+17)+45，那么乙=24，甲=65．24. 一个三位数除以43，商是a余数是b，求a+b的最大值．【答案】64【分析】试除法：999÷43=23⋯⋯10；999−10−1=988；988÷43=22⋯⋯42．余数最大为42，所以a+b的最大值为42+22=64．25. （1）82÷6=13⋯⋯4；50÷6=8⋯⋯2，那么(82−50)÷6=( )⋯⋯( )．（2）74÷6=12⋯⋯2；22÷6=3⋯⋯4，那么(74−22)÷6=( )⋯⋯( )．（3）a÷6余5；b÷6余1，那么(a−b)÷6余几呢？（4）a÷6余3；b÷6余5，那么(a−b)÷6余几呢？【答案】（1）(82−50)÷6=(5)⋯⋯(2)．（2）(74−22)÷6=(8)⋯⋯(4)．（3）余4．（4）余4．【分析】（1）(82−50)÷6=5⋯⋯2．（2）(74−22)÷6=8⋯⋯4．（3）余数的差是4，所以余数是4．（4）余数不够减时借1当6用来减，3+6=9，9−5=4，所以余数是4．26. 用一个自然数去除另一个自然数，商为8，余数是3．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为43，除数为5．【分析】因为被除数减去3后使除数的8倍，所以根据和倍问题可知，除数为(48−3)÷(8+1)=5，所以被除数为5×8+3=43．27. 50除以一个一位数，余数是2．求出符合条件的一位数．【答案】3，4，6，8【分析】50÷除数=商⋯⋯2，50−2=48，48=除数×商，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因为“余数小于除数且除数是一位数“那么符合条件的所有的数有3，4，6，8．28. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数．【答案】39；91【分析】本题为余数问题基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题．方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数．本题中310−37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的两位数有39，91．29. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【答案】83【分析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于78，并且小于13×(6+1)=91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78+5=83．30. 43除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为5，余数为3．【分析】43=8×除数+余数，被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的9倍，则除数为(43+2)÷(8+1)=5，余数为3．31. 用一个自然数去除另一个自然数，商为7．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】除数为6，被除数为42．【分析】被除数÷除数=7，所以根据和倍问题可知，除数为48÷(7+1)=6，所以被除数为6×7=42．32. 计算：（1）已知a÷25=b⋯⋯5，[a÷20]=4，求a=；（2）已知a÷10=7⋯⋯b，{a÷10}=0.5，求[a÷10]=，a=．【答案】（1）105；（2）7,75【分析】（1）b =4，a=4×25+5=105（2）a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷10]=7，b=0.5×10=5，a=7×10+5=75．33. 46除以一个一位数，余数是1．求出符合条件的一位数．【答案】3，5，9【分析】46÷除数=商⋯⋯1，46−1=45，45÷除数=商⋯⋯0，45=除数×商，45=3×15=5×9，因为“余数小于除数且除数是一位数”那么符合条件的所有的一位数有3，5，9．34. 博士要给小朋友们分糖，一共128块，如果每人分5块，最多可以分给几个小朋友？【答案】25【分析】128÷5=25⋯⋯3，最多分给25个小朋友，还剩3块．35. 128除以一个数得到的商是9，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为13，余数为11．【分析】128÷除数=9⋯⋯(余数−2)，130÷除数=10⋯⋯0被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的10倍，则除数为(128+2)÷10=13，余数为11．36. 有一个整数，39，51，147被它除所得的余数都是3，求这个数．【答案】4；6；12【分析】方法一：39−3=36，147−3=144，(36,144)=12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4，6，12．方法二：由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51−39=12，147−39=108，(12,108)=12，所以这个数是4，6，12．37. 一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等．若被除数是47，则除数是多少？【答案】46【分析】设除数为b，商和余数都是c，这个算式就可以表示为：47÷b=c⋯⋯c，即b×c+c=47；c×(b+1)=47，所以c一定是47的因数，47的因数只有1和47；c为47肯定不符合条件，所以c=1，即除数是46，余数是1．38. 已知2012被一些正整数去除，得到的余数为10，则这样的正整数共有多少个？【答案】13个【分析】2012−10=2002一定能被这些数整除，2002=2×7×11×13．因为2002中一共有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，排除小于10的因数1、2、7，满足条件的正整数共有16−3=13个．39. 188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【答案】8；11．【分析】根据等差数列求和列式：188＋288＋388＋…＋2088=22760，所以22760÷9⋯⋯8；22760÷11⋯1．40. 著名的斐波那契数列是这样的：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【答案】0【分析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将斐波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，⋯，第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以斐波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数为0．。
小学奥数快乐思维余数知识点
余数一、余数的性质与计算1.余数：40÷16=2……8（余数）[余数小于除数]A÷B=Q……R A=B×Q＋R（方法1）2.余数的性质：①和的余数等于余数的和[给例子让小孩算，让小孩总结]②差的余数等于余数的差③积的余数等于余数的积[理论上除法也是可以的，但是小孩算容易算错，直接告诉他们不可以]替换求余法（针对算式）（方法2）[算完之后还要根据余数小于除数，多次使用替换求余，验证结果]3.余数的计算：①直接计算②替换求余法③特性求余法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的各位数字除以2或5的余数；（方法3）一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数字除以4或25的余数；一个数处于8或125的余数，等于这个数的末三位除以8或125的余数；（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余数（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和的差除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则加上若干个11再减即可。
（4）一个数除以7、11、13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11或13再减即可。
④周期求余法：（针对a b）（方法4）[例：2100÷3余几，找出2122232425……的规律][例：100100÷7余几，则先把底数100替换成2，指数不变，找规律]⑤分解求余法：A÷B余C，A÷D余E，求A÷（B×D）余几（1）C=D，则A÷（B×D）余C/D（2）C D，用物不知数来做。
先反求出最小的被除数，再用被除数÷（B×D）二、物不知数（知除数和余数，求被除数）1.有规律的①余数相同：A÷B余K，A÷D余K被除数最小为K（当K不等于0时），第二小是K＋[B,C]，每次加[B,C]A—K=[B,C]×n②缺数相同（除数和余数的差相同）：A÷B余M，A÷C余N，B—M=C—N被除数最小为[B,C]—差，每次加[B,C]A=[B,C]×n—（B—M）③和数相同（除数和余数的和相同）：A÷B余M，A÷C余N，B＋M=C＋N被除数最小为[B,C]＋差，每次加[B,C]A=[B,C]×n＋（B＋M）2.无规律（逐步满足）一般先从除数大的开始找，找到第一个满足条件的被除数之后，以后每个加除数的最小公倍数。
四年级__有余数的除法,带答案
有余数的除法典题探究一个数除以60,商是15,余数是17,这个数是（ ）o被除数是54,商和余数都是6,除数是（一个数除以73商是6,且有余数，余数最大是（）•3974-23 = 17 .. 6,下面验算方法正确的是（A 、23X17B 、23X17 + 6C 、397-M7 + 6 演练方阵A 档（巩固专练）1. 口+75=75……(),当余数最大时，被除数是( )o2. 判断。
(1) 14500 ・1200= 145 + 12 = 12……1 ()（2）被除数和除数同时增加或减少相同的数（0除外），它们的商不变。
3. 填上合适的数。
（1）、04-28=14 .... □ 当□最大是（ ），。
是（（2）、0 : 39=25……□ 当口最大是（ ），。
是（（3）、0 + 39=26……□ 当口最大是（ ），。
是（ 4. （1）、0^0=14……29 □最小是（ ）o 这时。
是（ （2）、。
: 口=15……16 口最小是（ ）0这时。
是（ （3）、。
: 口=24……5 口最小是（ ）0这时。
是（ 5. 一个数除以16,商是20,余数是10,这个数是（6. 一个数除以5,商是12,有余数，当余数最大时，被除数是（ ）o7. （ ） 4-40=14 .. 39 483+ （ ） =96 8.判断题。
(1) 200^30=6 .... 2o（2） 6X4-?6X4 = lo （ ）（3）因为☆……O,所以（） （4）在计算有余数的除法时，每次除后余下的数都要比除数小，（ ） （5）有余数除法的验算方法是“除数X 商+余数”的和是否与被除数相等.（ ） 9.甲数+乙数=12……19,乙数最小是（ ）A 、12B 、19C 、2010.甲数+乙数=3….2。
如果把甲、乙两数都扩大10倍，那么甲数子乙数等于（ ） （ ）A 、3 2 3 20 C 、30 20B 档（提升精练）1.根据470+20=23……10,直接写出下面算式的商和余数。
奥数余数问题带余除法之欧阳数创编
带余除法被除数=除数×商+余数被除数—余数=除数×商余数=被除数—除数×商商=（被除数—余数）÷除数要注意以下几点：1.余数总是小于除数的整数。
2.只要除数不为0，带余除法总能进行，且商和余数是唯一存在的。
3.整除是带余除法的特殊情况。
例1、用一个两位数除766，余数为66，求这个两位数。
例2、甲数除以7，商3余5；乙数除以7，商5余3，甲乙两数之和除以7，商是多少，余数是多少？1、被除数是96，除以一个两位数，商是7，余数是5，求这个两位数。
2、一个整数除以127的商是78，余数是9，这个数是多少？3、两个整数a、b，a除以b的商是14，余数是5，如果b=9，那么a是多少？4、1705除以一个两位数得到的余数是40，求这个两位数。
5、如果一个数除439，2188，3142都余15，那么这个数是多少？例3、573除以一个数得的商是11，并且除数与余数的差是3，求除数和余数。
1、被除数与除数的和是136，商是7，余数是8，求被除数与除数。
2、被除数、除数、商与余数的和是903，已知商是35，余数是2，求被除数和除数。
3、两个整数相除的商是27。
余数是19，已知被除数比除数多565，求被除数。
4、一个数除以25的商是余数的3倍，这个数是余数的多少倍？5、1492除以一个数，商是46，且除数比余数大12，则除数是多少？余数是多少？6、从574中减去一个数，再除以这个数，商7余6，这个数是多少？7、两个数相除，商是7，余数是5，除数比被除数小131，被除数是多少？例4、某数除以5余2，除以3余1，求满足着个条件的最小两位数是多少？1、一个数除以3余1，除以8余3，除以11余2，那么满足这个条件的最小的自然数是几？2、一个数被8除余5，被5除余2，这个数最小是多少？3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。
小学奥数：带余除法(一).专项练习
1.能够根据除法性质调整余数进行解题2.能够利用余数性质进行相应估算3.学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q ＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用例题精讲知识点拨教学目标5-5-1.带余除法（一）【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。
【例 3】除法算式 L L□□=208中，被除数最小等于。
【例 4】71427和19的积被7除，余数是几?【例 5】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
小学奥数：带余除法(一).专项练习
1.能够根据除法性质调整余数进行解题2.能够利用余数性质进行相应估算3.学会多位数的除法计算4.根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q ＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用例题精讲知识点拨教学目标5-5-1.带余除法（一）【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。
【例 2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。
如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。
【例 3】除法算式 L L□□=208中，被除数最小等于。
【例 4】71427和19的积被7除，余数是几?【例 5】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
四年级奥数详解答案 第20讲 余数问题
四年级奥数详解答案第20讲第二十讲余数问题一、知识概要余数是个有趣的问题，在平时解数学题时，常常碰到有关余数的问题。
在解答这类问题时，关键是找出律，把要求的问题余数的变化相对应，以求得问题的解决。
有关余数的关系式、性质有：1、被除数=除数×商＋余数2、被除数－余数=除数×商3、余数一定小于除数二、典型题目精讲1、2000年的“元旦”是星期六，这年的6月1日是星期_______。
解：①以“元旦”（1月1日）到“六一”，共有31＋29＋31＋30＋31＋1=153（天）；②∵“星期”是以7天为一个周期，依次循环的，∴153÷7=21（周）……6（天）。
③∵（如表所示）余数为6的是星期四，∴这年的6月1日星期四。
时期1，8…2，9…3，10…4，11…5，12，…6，13…7，14…余数 1 2 3 4 5 6 0星期六日一二三四五2、把16把椅子放在圆桌的周围，依次编上1，2，3，……15，16的号码，（如图），小明以1号椅子开始出发，顺时针方向前进328个，再逆时针方向前进485个，又顺时针方向前进328个，再逆时针方向前进485个，又顺时针方向前进136.这时小明应该坐在______号椅子上。
解：∵顺时针方向共前进了328×2＋136=792（个）；逆时针方向共前进了485×2=970（个）；“顺”、“逆”相抵（970－792）实际上是逆时针方向前进了178个(970－792=178个)，而“个数”又是以16个为周期（一圈）循环的，∴178÷16=11（圈）……2（个），逆时针胶时2个是15号，故这时小时应该坐在15 号椅子上。
3、把连续奇数1、3、5、7、……，按下图所示的方法排列。
问数1995在______射线上，是这条射线的第_______个数。
解：①由下表可知，连续奇数以“a、b、c、d、d、c、b、a”八个数为一组，成周期循环，即多“17、19、……31”开始重复出现“a、b、……a”；而“17、19、…31”是奇数列的第9项、第10项…第16项，这个项数刚好是本项的（奇数＋1）÷2所得,所以（1995＋1）÷2=998（项），998÷8=124（周期）……6（个），余数为6的是第14项奇数27，在射线C上，故1995也在射线C上。
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补充：有余数的除法讲义
知识点拨：
一、定义回顾：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有
a÷b=q……r，
也就是：
a＝b×q＋r,（ 0≤r＜b）
我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
二、定理：
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4
除以5的余数，即2.
例题精讲：
【模块一：带余除法的定义和性质】
【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．
【变式】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
【变式】两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,除数是多少？
【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【变式】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是
_________．
【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?
【变式】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．
【模块二：定理的应用】
【例 5】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
【变式1】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab abba
【变式2】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【变式3】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．
【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．
【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．
【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为
25，那么n=________
【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．。