数学倍长中线法
倍长中线法经典例题较难
倍长中线法经典例题较难在说到倍长中线法,大家可能会觉得这是什么神秘的东西,其实并没有那么复杂。
想象一下,我们在课堂上,老师拿着一个三角形,指着那根中线,眼睛闪闪发光,像是在说:“看,这就是你们的未来!”这时的我们,或许有点懵,心里想着:“我能干嘛呢?”可这玩意儿就像一块儿美味的蛋糕,切开来让大家分享,越吃越觉得香。
倍长中线法的核心就像是我们生活中的很多道理,简单明了。
想象一个三角形,边边角角都各有千秋,老师告诉我们,长的那条中线就像是三角形的心脏,连接着两个顶点,恰到好处。
这时候,你可能会想:“这和我有什么关系?”可实际上,这就是几何的魅力所在!你看,学习数学就像是打怪升级,每个定理、每条公式都是你在游戏中的技能点,越多越好。
说到倍长中线,得先搞清楚中线是啥。
简单来说,三角形的中线是连接一个顶点和对边中点的线段。
它像个桥,把三角形的两边连成一体,真是个绝佳的搭档。
老师总爱用“中线”来解释一些深奥的道理,仿佛在说:“只要你找到这个点,生活就会变得简单。
”可这条中线可不止是个连接的角色,它还能让我们看见美丽的几何图形之舞,优雅而又有趣。
再说说倍长的意思。
倍长中线法的“倍长”其实就是中线的长度变成了原来的两倍。
这时候,想象一下我们平常买的衣服,如果腰围从30寸变成了60寸,那可就得赶紧去找裁缝了。
这种变化让我们不仅能观察到三角形的变化,更能思考背后隐藏的数学美感。
倍长中线法就像是一种魔法,把简单的三角形变成了充满可能的世界。
有人会问,倍长中线法到底有什么用呢?这就像问“为什么要吃水果”,答案是让我们更健康。
用倍长中线法,我们可以求得三角形的周长、面积,还能算出各种角度。
学会这招,就像拥有了打开数学大门的钥匙。
数学不仅仅是书本上的公式,更是我们生活中的每一个细节。
在解题时,倍长中线法也特别好用。
拿个简单的例子来说,给你个三角形,让你找出它的面积。
用倍长中线法,你只需简单几步,仿佛在解密一样,轻松搞定,心里那种成就感,简直就像是打通了一个难关,爽得不行。
中考数学几何辅助线:倍长中线法
中考数学几何添加辅助线:倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
此法常用于构造全等三角形,利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。
常规的倍长中线可以出全等,但需要证明“三点共线”,遇到“中点+平行”,我们“延长出全等”,而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题,是一种重要的技巧套路。
它可以有效地生发出全等、平行等基本条件,关联好多基本图形,帮助解题,大家务必好好掌握。
也给我们解题的启示:抓住核心,找到关键,才能快速解题。
逢中点,便倍长,全等观,平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,然后连接相应的顶点,构造“8字形”的全等三角形。
在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时,倍长中线应用较常见,常见添加如图(AD是底边中线)典例1.已知:AD是ΔABC的中线,AE=EF.求证:AC=BF.名师指点:延长AD到M,使AD=DM,连接BM,根据SAS证△ADC≌△MDB,推出BM=AC,∠CAD=∠M,根据AE=EF,推出∠CAD=∠AFE=∠BFD,求出∠BFD=∠M,再根据等腰三角形的性质证明即可.满分解答:证明:延长AD 到M ,使AD =DM ,连接BM ,∵AD 是△ABC 中线,∴CD =BD ,∵在△ADC 和△MDB 中,{CD =BD∠ADC =∠MDB AD =DM,∴△ADC ≌△MDB (SAS ),∴BM =AC ,∠CAD =∠M ,∵AE =EF ,∴∠CAD =∠AFE ,∵∠AFE =∠BFD ,∴∠BFD =∠CAD =∠M ,∴BF =BM =AC ,即AC =BF .名师点评:倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键. 1.如图,在平行四边形ABCD 中,28CD AD ==,E 为AD 上一点,F 为DC 的中点,则下列结论中正确的是( )A .4BF =B .2ABC ABF ∠>∠。
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念,和后面学习的中线,中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么,如果在题中遇到中点你会想到什么?等腰三角形三线合一;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;还是中位线定理?今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 :倍长中线法如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.当题中出现中线时,我们经常根据需要将AD延长,使延长部分和中线相等,这种方法叫做“倍长中线”.如下图:此时,易证△ACD≌EDB,进而得到AC=BE且AC//BE.模型2:平行线夹中点如图,AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3:中位线如图,在△ABC中,点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点,构造三角形中位线.如下图所示:由中位线的性质可得,DE//BC且DE=1/2BC.模型4:连接直角顶点,构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSS B.SAS C.AAS D.HL(2)求得AD的取值范围是.A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC =BF.【变式1-1】(1)在△ABC中,AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.(2)受到(1)启发,请你证明下面的问题:如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:BE+CF>EF.【变式1-2】如图,在△ABC中,已知:点D是BC中点,连接AD并延长到点E,连接BE.(1)请你添加一个条件使△ACD≌△EBD,并给出证明.(2)若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等,因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明.(1)延长DE到F,使得EF=DE;(2)作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F;(3)过点C作CF∥AB交DE的延长线于F.【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图,已知AB=12,AB⊥BC,垂足为点B,AB⊥AD,垂足为点A,AD=5,BC =10,点E是CD的中点,求AE的长.【变式2-1】如图,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=1,BC=4,CD=3,取AD的中点E,连结BE,则BE=.【变式2-2】如图,公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD,其中AB∥CD,在E、M、F 处各有一个小石凳,且BE=CF,M为BC的中点,连接EM、MF,请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等?说出你推断的理由.【变式2-3】如图:已知AB∥CD,BC⊥CD,且CD=2AB=12,BC=8,E是AD的中点,①请你用直尺(无刻度)作出一条线段与BE相等;并证明之;②求BE的长.【模型3 中位线】【典例3】如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC中点,AD⊥BD,AC=7,AB=4,则DE的值为()A.1B.2C.D.【变式3-1】如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为.【变式3-2】如图,等边△ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使,连接CD和EF.(1)求证:CD=EF;(2)四边形DEFC的面积为.【变式3-3】如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC的延长线上,CE=DE=2BC.CD 的中点为F,DE的中点为G,连接AF,FG.(1)求证:四边形AFGD为菱形;(2)连接AG,若BC=2,,求AG的长.【模型4 连接直角顶点,构造斜中定】【典例4】用三种方法证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知:如图,∠BCA =90°,AD=DB.求证:CD=AB.【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10,则该斜边长为()A.5B.10C.15D.20【变式4-2】如图,点E是△ABC内一点,∠AEB=90°,D是边AB的中点,延长线段DE 交边BC于点F,点F是边BC的中点.若AB=6,EF=1,则线段AC的长为()A.7B.C.8D.9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.已知:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD=AB.证法1:如图2,在∠ACB的内部作∠BCE=∠B,CE与AB相交于点E.∵∠BCE=∠B,∴.∵∠BCE+∠ACE=90°,∴∠B+∠ACE=90°.又∵,∴∠ACE=∠A.∴EA=EC.∴EA=EB=EC,即CE是斜边AB上的中线,且CE=AB.又∵CD是斜边AB上的中线,即CD与CE重合,∴CD=AB.请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.专题02 中点四大模型在三角形中应用(知识解读)【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念,和后面学习的中线,中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么,如果在题中遇到中点你会想到什么?等腰三角形三线合一;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;还是中位线定理?今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.(注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型:如图1,在三角形ABC 中,AD 为BC 边上的中线.证明思路:延长AD 至点E ,使得AD =DE . 若连结BE ,则BDE CDA ∆≅∆;若连结EC ,则ABD ECD ∆≅∆;2、中点型:如图2,C 为AB 的中点.证明思路:若延长EC 至点F ,使得CF EC =,连结AF ,则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ,使得CG DC =,连结BG ,则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型:如图3, //AB CD ,点E 为线段AD 的中点.证明思路:延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F ),则EDC EAF ∆≅∆.1.(2022·山东烟台·一模)(1)方法呈现:如图①:在ABC 中,若6AB =,4AC =,点D 为BC 边的中点,求BC 边上的中线AD 的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD 到点E 使DE AD =,再连接BE ,可证ACD EBD △≌△,从而把AB 、AC ,2AD 集中在ABE △中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________,这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;(2)探究应用:如图②,在ABC 中,点D 是BC 的中点,DE DF ⊥于点D ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF ,判断BE CF +与EF 的大小关系并证明;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD 中,//AB CD ,AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点,若AE 是BAF ∠的角平分线.试探究线段AB ,AF ,CF 之间的数量关系,并加以证明.2.(2022·河南南阳·中考模拟)【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容:如图,在ABC 中,D 是边BC 的中点,过点C 画直线CE ,使//CE AB ,交AD 的延长线于点E ,求证:AD ED=证明∵//CE AB (已知)∴ABD ECD ∠=∠,BAD CED ∠=∠(两直线平行,内错角相等).在ABD △与ECD 中,∵ABD ECD ∠=∠,BAD CED ∠=∠(已证),BD CD =(已知),∴()A.A.S ABD ECD △△≌,∴AD ED =(全等三角形的对应边相等).(1)【方法应用】如图①,在ABC 中,6AB =,4AC =,则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______.(2)【猜想证明】如图②,在四边形ABCD 中,//AB CD ,点E 是BC 的中点,若AE 是BAD ∠的平分线,试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系,并证明你的猜想;(3)【拓展延伸】如图③,已知//AB CF ,点E 是BC 的中点,点D 在线段AE 上,EDF BAE ∠=∠,若5AB =,2CF =,求出线段DF 的长.3.(2022·河北·中考模拟)倍长中线的思想在丁倍长某条线段(被延长的线段a 要满足两个条件:①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点;②线段a 与这条线段b 不共线),然后进行连接,构造三角形全等,再进一步将某些线段进行等量代换,再证明全等或其他的结论,从而解决问题.【应用举例】如图(1),已知:AD 为ABC ∆的中线,求证:2AB AC AD +>.简证:如图(2),延长AD 到E ,使得DE AD =,连接CE ,易证ABD ECD ∆≅∆,得AB = ,在ACE ∆中,AC CE +> ,2AB AC AD +>.【问题解决】(1)如图(3),在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE AC =,延长BE 交AC 于F ,求证:AF EF =.(2)如图(4),在ABC ∆中,90,A D ∠=︒是BC 边的中点,E F 、分别在边AB AC 、上,DE DF ⊥,若3,4BE CF ==,求EF 的长.(3)如图(5),AD 是ABC ∆的中线,,AB AE AC AF ==,且90BAE FAC ∠=∠=︒,请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ .模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
专题05 倍长中线问题(解析版)
专题05 倍长中线问题【要点提炼】一、【倍长中线法】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角)+倍长中线最重要的一点,延长中线一倍,完成SAS全等三角形模型的构造。
二、【倍长中线法拓展;两次全等】通常,在倍长中线后的第一组全等只是一个基础,往往还需证明第二组全等,但是难点就在于如何去倍长中线,倍长中线后去连接什么线,这是问题的关键。
这时一般需要去试错,尤其是当有两个中点时,一般是倍长中线后大概率会有另一组的全等。
三、【倍长中线的常见类型】1.基本型如图1,在中,为边上的中线.延长至点E,使得.若连结,则;若连结,则;若连结则四边形是平行四边形.2.中点型如图2, C为AB的中点.若延长EC 至点F ,使得CF EC =,连结AF ,则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ,使得CG DC =,连结BG ,则ACD BCG ∆≅∆.总结:在线段AB 外,与中点C 连结的点有E 和D .事实上,EC 和DC 分别是ABE ∆和ABD ∆的中线,只不过是三角形不完整罢了,本质就是隐蔽的“基本型”3.中点+平行线型如图3, //AB CD ,点E 为线段AD 的中点.延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F ),则EDC EAF ∆≅∆.小结 若按“中点型”来倍长,则需证明点F 在AB 上,为了避免证明三点共线,点F 就直接通过延长相交得到.因为有平行线,内错角相等,故根据“AAS ”或“ASA ”证明全等.这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版.【专题训练】一、解答题(共14小题)1.小明遇到这样一个问题,如图1,△ABC 中,AB =7,AC =5,点D 为BC 的中点,求AD 的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:(1)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是:(用字母表示)(2)AD的取值范围是小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=2,BF=4,∠GEF=90°,求GF的长.【答案】【第1空】SAS【第2空】1<AD<6【解答】解:(1)如图2中,延长AD到E,使DE=AD,连接BE.在△BED和△CAD中,,∴△BED≌△CAD(SAS).(2)∵△BED≌△CAD,∴BE=AC=5,∵AB=7,∴2<AE<12,∴2<2AD<12,∴1<AD<6.故答案分别为SAS,1<AD<6.解决问题:如图3中,解:延长GE交CB的延长线于M.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥CM,∴∠AGE=∠M,在△AEG和△BEM中,,∴△AEG≌△BEM,∴GE=EM,AG=BM=2,∵EF⊥MG,∴FG=FM,∵BF=4,∴MF=BF+BM=2+4=6,∴GF=FM=6.【知识点】四边形综合题2.自主学习,学以致用先阅读,再回答问题:如图1,已知△ABC中,AD为中线.延长AD至E,使DE=AD.在△ABD 和△ECD中,AD=DE,∠ADB=∠EDC,BD=CD,所以,△ABD≌△ECD(SAS),进一步可得到AB=CE,AB∥CE等结论.在已知三角形的中线时,我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算或证明题.解决问题:如图2,在△ABC中,AD是三角形的中线,F为AD上一点,且BF=AC,连结并延长BF交AC于点E,求证:AE=EF.【解答】证明:延长AD到G,使DF=DG,连接CG,∵AD是中线,∴BD=DC,在△BDF和△CDG中∴△BDF≌△CDG,∴BF=CG,∠BFD=∠G,∵∠AFE=∠BFD,∴∠AFE=∠G,∵BF=CG,BF=AC,∴CG=AC,∴∠G=∠CAF,∴∠AFE=∠CAF,∴AE=EF.【知识点】全等三角形的判定与性质3.阅读并解答问题.如图,已知:AD为△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD.证明:延长AD至E使得DE=AD,连接EC,则AE=2AD ∵AD为△ABC的中线∴BD=CD在△ABD和△CED中,∴△ABD≌△CED∴AB=EC在△ACE中,根据三角形的三边关系有AC+EC AE而AB=EC,AE=2AD∴AB+AC>2AD这种辅助线方法,我们称为“倍长中线法”,请利用这种方法解决以下问题:(1)如图,已知:CD为Rt△ABC的中线,∠ACB=90°,求证:CD=;(2)把(1)中的结论用简洁的语言描述出来.【答案】>【解答】解:(1)证明:延长CD至E使DE=CD,连接EB,AE.∵CD为Rt△ABC的中线,∴AD=CD,∵CD=DE,∠ADC=∠EDB,∴△ADC≌△EDB,∴∠ACD=∠DEB,AC=BE,∴AC∥BE,∴四边形ACBE是平行四边形,又∵∠ACB=90°,∴平行四边形ACBE是矩形,∴AB=CE,CD=DE=AD=BD,∴CD=AB;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【知识点】直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质4.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知:(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.猜想论证:(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.拓展应用(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2,AB=2.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△P AB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△P AB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)①如图2中,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=AB′=AC′,∵DB′=DC′,∴AD⊥B′C′,∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=120°,∴∠B′=∠C′=30°,∴AD=AB′=BC,故答案为.②如图3中,∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=∠BAC=90°,∵AB=AB′,AC=AC′,∴△BAC≌△B′AC′,∴BC=B′C′,∵B′D=DC′,∴AD=B′C′=BC=4,故答案为4.(2)结论:AD=BC.理由:如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接B′M,C′M∵B′D=DC′,AD=DM,∴四边形AC′MB′是平行四边形,∴AC′=B′M=AC,∵∠BAC+∠B′AC′=180°,∠B′AC′+∠AB′M=180°,∴∠BAC=∠MB′A,∵AB=AB′,∴△BAC≌△AB′M,∴BC=AM,∴AD=BC.(3)存在.理由:如图4中,延长AD交BC的延长线于M,作BE⊥AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接P A、PD、PC,作△PCD的中线PN.连接DF交PC于O.∵∠ADC=150°,∴∠MDC=30°,在Rt△DCM中,∵CD=2,∠DCM=90°,∠MDC=30°,∴CM=2,DM=4,∠M=60°,在Rt△BEM中,∵∠BEM=90°,BM=14,∠MBE=30°,∴EM=BM=7,∴DE=EM﹣DM=3,∵AD=6,∴AE=DE,∵BE⊥AD,∴P A=PD,PB=PC,在Rt△CDF中,∵CD=2,CF=6,∴tan∠CDF=,∴∠CDF=60°∴∠ADF=90°=∠AEB,∴∠CBE=∠CFD,∵∠CBE=∠PCF,∴∠CFD=∠PCF,∵∠CFD+∠CDF=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∴∠CPF=∠CDF=60°=∠CDF易证△FCP≌△CFD,∴CD=PF,∵CD∥PF,∴四边形CDPF是矩形,∴∠CDP=90°,∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°,∴△ADP是等边三角形,∴∠ADP=60°,∵∠BPF=∠CPF=60°,∴∠BPC=120°,∴∠APD+∠BPC=180°,∴△PDC是△P AB的“旋补三角形”,∵AB=2.∴△P AB的“旋补中线”长=AB=.【知识点】四边形综合题5.我们定义:如果两个三角形的两组对应边相等,且它们的夹角互补,我们就把其中一个三角形叫做另一个三角形的“夹补三角形”,同时把第三边的中线叫做“夹补中线.例如:图1中,△ABC 与△ADE的对应边AB=AD,AC=AE,∠BAC+∠DAE=180°,AF是DE边的中线,则△ADE 就是△ABC的“夹补三角形”,AF叫做△ABC的“夹补中线”.特例感知:(1)如图2、图3中,△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”,AF是△ABC的“夹补中线”;①当△ABC是一个等边三角形时,AF与BC的数量关系是:;②如图3当△ABC是直角三角形时,∠BAC=90°,BC=a时,则AF的长是;猜想论证:(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AF与BC的关系,并给予证明.拓展应用:(3)如图4,在四边形ABCD中,∠DCB=90°,∠ADC=150°,BC=2AD=6,CD=,若△P AD是等边三角形,求证:△PCD是△PBA的“夹补三角形”,并求出它们的“夹补中线”的长.【解答】解:(1)∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”,∴AB=AD,AC=AE,∠BAC+∠DAE=180°,①∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°∴AD=AE=AB=AC,∠DAE=120°,∴∠ADE=30°,∵AF是“夹补中线”,∴DF=EF,∴AF⊥DE,在Rt△ADF中,AF=AD=AB=BC,故答案为:AF=BC;②当△ABC是直角三角形时,∠BAC=90°,∵∠DAE=90°=∠BAC,易证,△ABC≌△ADE,∴DE=BC,∵AF是“夹补中线”,∴DF=EF,∴AF=DE=BC=a,故答案为a;(2)解:猜想:AF=BC,理由:如图1,延长DA到G,使AG=AD,连EG∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”,∴AB=AD,AC=AE,∠BAC+∠DAE=180°,∴AG=AB,∠EAG=∠BAC,AE=AC,∴△AEG≌△ACB,∴EG=BC,∵AF是“夹补中线”,∴DF=EF,∴AF=EG,∴AF=BC;(3)证明:如图4,∵△P AD是等边三角形,∴DP=AD=3,∠ADP=∠APD=60°,∵∠ADC=150°,∴∠PDC=90°,作PH⊥BC于H,∵∠BCD=90°∴四边形PHCD是矩形,∴CH=PD=3,∴BH=6﹣3=3=CH,∴PC=PB,在Rt△PCD中,tan∠DPC==,∴∠DPC=30°∴∠CPH=∠BPH=60°,∠APB=360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC=150°,∴∠APB+∠CPD=180°,∵DP=AP,PC=PB,∴△PCD是△PBA的“夹补三角形”,由(2)知,CD=,∴△P AB的“夹补中线”==.【知识点】四边形综合题6.如图1,在△ABC中,点D是BC的中点,延长AD到点G,使DG=AD,连接CG,可以得到△ABD≌△GCD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.如图2,在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AB上一点,连接ED,小明由图1中作辅助线的方法想到:延长ED到点G,使DG=ED,连接CG.(1)请直接写出线段BE和CG的关系:;(2)如图3,若∠A=90°,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF,已知BE=3,CF=2,其它条件不变,求EF的长.【答案】BE=CG【解答】解:(1)∵点D是BC的中点,∴BD=CD,在△EBD和△GCD中,∵,∴△EBD≌△GCD(SAS),∴BE=CG,故答案为:BE=CG;(2)如图,连接GF,由(1)知△EBD≌△GCD,∴∠B=∠GCD,BE=CG=3,又∵∠A=90°,∴∠B+∠BCA=90°,∴∠GCD+∠BCA=90°,即∠GCF=90°,∵CG=3,CF=2,∴FG==,∵DF⊥DE,且DE=DG,∴EF=FG=.【知识点】全等三角形的判定与性质7.[方法呈现](1)如图①,△ABC中,AD为中线,已知AB=3,AC=5,求中线AD长的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD至点E,使DE=AD,连结CE,则易证△DEC≌△DAB,得到EC=AB=3,则可得AC﹣CE<AE<AC+CE,从而可得中线AD长的取值范围是.[探究应用](2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系,并写出完整的证明过程.(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.【答案】2<AD<8【解答】解:(1)由题意知AC﹣CE<AE<AC+CE,即5﹣4<AD<5+3,∴2<AD<8,故答案为:2<AD<8;(2)如图②,延长AE,DC交于点F,∵AB∥CD,∴∠BAF=∠F,在△ABE和△FCE中CE=BE,∠BAF=∠F,∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△FEC(AAS),∴CF=AB,∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠F AD,∴∠F AD=∠F,∴AD=DF,∵DC+CF=DF,∴DC+AB=AD.(3)如图③,延长AE,DF交于点G,同(2)可得:AF=FG,△ABE≌△GEC,∴AB=CG,∴AF+CF=AB.【知识点】四边形综合题8.数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=8,AC=6,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程.(1)求证:△ADC≌△EDB证明:∵延长AD到点E,使DE=AD在△ADC和△EDB中AD=ED(已作)∠ADC=∠EDB()CD=BD(中点定义)∴△ADC≌△EDB()(2)探究得出AD的取值范围是;【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,△ABC中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中线,CE⊥BC,CE=4,且∠ADE =90°,求AE的长.【答案】【第1空】对顶角相等【第2空】SAS【第3空】1<AD<7【解答】解:(1)证明:延长AD到点E,使DE=AD,在△ADC和△EDB中,AD=ED(已作),∠ADC=∠EDB(对顶角相等),CD=BD(中点定义),∴△ADC≌△EDB(SAS),故答案为:对顶角相等,SAS;(2)∵△ADC≌△EDB,∴BE=AC=6,8﹣6<AE<8+6,∴1<AD<7,故答案为:1<AD<7;(3)延长AD交EC的延长线于F,∵AB⊥BC,EF⊥BC,∴∠ABD=∠FCD,在△ABD和△FCD中,,∴△ABD≌△FCD,∴CF=AB=2,AD=DF,∵∠ADE=90°,∴AE=EF,∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,∴AE=6.【知识点】三角形综合题9.我们定义:在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'叫△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”.下面各图中,△AB'C'均是△ABC的“旋补三角形”,AD均是△ABC的“旋补中线”.(1)如图1,若△ABC为等边三角形,BC=8,则AD的长等于;(2)如图2,若∠BAC=90°,求证:AD=BC;(3)如图3,若△ABC为任意三角形,(2)中结论还成立吗?如果成立,给予证明;如果不成立,说明理由.【解答】解:(1)如图1中,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=AB′=AC′,∵DB′=DC′,∴AD⊥B′C′,∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=120°,∴∠B′=∠C′=30°,∴AD=AB′=BC=4,(2)证明:如图2中,∵AB绕点A旋转得到AB',AC绕点A旋转得到AC',∴AB′=AB,AC'=AC,∵∠BAC=90°,α+β=180°,∠B′AC′=360°﹣(α+β)﹣∠BAC,∴∠B′AC′=360°﹣180°﹣90°=90°,∴∠BAC=∠B′AC′,∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′,∵AD是△AB'C'边B'C'上的中线,∠B′AC′=90°.∴AD=B′C′.∴AD=BC.(3)结论AD=BC成立.理由:如图3中,延长AD到A′,使得AD=DA′,连接B′A′,C′A′.∴AD=AA′,∵B′D=DC′,AD=DA′,∴四边形AB′A′C′是平行四边形,∴AC′=B′A′=AC,∵∠BAC+∠B′AC′=360°﹣180°=180°,∠B′AC′+∠AB′M=180°,∴∠BAC=∠AB′A′,∵AB=AB′,∴△BAC≌△AB′A′(SAS)∴BC=AA′,∴AD=BC.【知识点】几何变换综合题10.阅读理解:小明热爱数学,在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”:三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1,在△ABC中,点D为BC的中点,根据“中线长定理”,可得:AB2+AC2=2AD2+2BD2.小明尝试对它进行证明,部分过程如下:解:过点A作AE⊥BC于点E,如图2,在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2,同理可得:AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,为证明的方便,不妨设BD=CD=x,DE=y,∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…(1)请你完成小明剩余的证明过程;理解运用:(2)①在△ABC中,点D为BC的中点,AB=6,AC=4,BC=8,则AD=;②如图3,⊙O的半径为6,点A在圆内,且OA=2,点B和点C在⊙O上,且∠BAC=90°,点E、F分别为AO、BC的中点,则EF的长为;拓展延伸:(3)小明解决上述问题后,联想到《能力训练》上的题目:如图4,已知⊙O的半径为5,以A (﹣3,4)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B,C都在⊙O上,D为BC的中点,求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论,求出AD长的最大值.【解答】解:(1)过点A作AE⊥BC于点E,如图2,在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2,同理可得:AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,为证明的方便,不妨设BD=CD=x,DE=y,∴AB2+AC2=2AE2+(x+y)2+(x﹣y)=2AE2+2x2+2y2、=2AE2+2BD2+2DE2=2AD2+2BD2.(2)①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2,∴62+42=2AD2+2×42,∴AD=②如图3中,∵AF是△ABC的中线,EF是△AEO的中线,OF是△BOC的中线,∵2EF2+2AE2=AF2+OF2,2AF2+2BF2=AB2+AC2,OF2=OB2﹣BF2,∴4EF2=2OB2﹣4AE2=2OB2﹣OA2,∴EF2=OB2﹣OA2=16,∴EF=4(负根以及舍弃),故答案为.4.(3)如图4中,连接OA,取OA的中点E,连接DE.由(2)的②可知:DE═OB2﹣OA2=,在△ADE中,AE=,DE=,∵AD≤AE+DE,∴AD长的最大值为+=10.【知识点】圆的综合题11.[问题提出]如图①,在△ABC中,若AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.[问题解决]解决此问题可以用如下方法,延长AD到点E使DE=AD,再连结BE(或将△ACD绕着点D逆时针装转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断,由此得出中线AD的取值范围是[应用]如图②,如图,在△ABC中,D为边BC的中点,已知AB=5,AC=3,AD=2.求BC的长[拓展]如图③,在△ABC中,∠A=90°,点D是边BC的中点,点E在边AB上,过点D作DF⊥DE交边AC于点F,连结EF,已知BE=4,CF=5,则EF的长为【解答】解:(1)在△DAC和△DEB中,,∴△DAC≌△DEB(SAS),∴AC=EB=4,∵AB﹣BE<AE<AB+BE,AB=6,∴2<AE<10,∴1<AD<5,故答案为:1<AD<5;(2)延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如图②,在△DAC和△DEB中,,∴△DAC≌△DEB(SAS),∴AC=EB=3,∵AE=2AD=4,AB=5,∴BE2+AE2=AB2,∴∠AEB=90°,∴BD=,∴BC=2BD=2;(3)延长FD到G,使得DG=FD,连接BG,EG,如图③,在△BDG和△CDF中,,∴△BDG≌△CDF(SAS),∴BG=CF=5,DG=DF,∠DBG=∠DCF,∵DE⊥DF,∴EG=EF,∵∠A=90°,∴∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ABC+∠DBG=90°,∴EG=,∴EF=,故答案为:.【知识点】全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、垂线段最短、三角形三边关系、解直角三角形12.我们定义:如图1,在△ABC看,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知:(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.猜想论证:(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.【解答】解:(1)①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;理由:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=AB′=AC′,∵DB′=DC′,∴AD⊥B′C′,∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=120°,∴∠B′=∠C′=30°,∴AD=AB′=BC,故答案为.②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4.理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=∠BAC=90°,∵AB=AB′,AC=AC′,∴△BAC≌△B′AC′,∴BC=B′C′,∵B′D=DC′,∴AD=B′C′=BC=4,故答案为4.(2)猜想.证明:如图,延长AD至点Q,则△DQB'≌△DAC',∴QB'=AC',QB'∥AC',∴∠QB'A+∠B'AC'=180°,∵∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠QB'A=∠BAC,又由题意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,∴△AQB'≌△BCA,∴AQ=BC=2AD,即.【知识点】几何变换综合题13.如图1,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线,动点D在直线AM(点D与点A重合除外)上时,以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE,连接BE.(1)判断AD与BE是否相等,请说明理由;(2)如图2,若AB=8,点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5,试求PQ的长;(3)在第(2)小题的条件下,当点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时.判断PQ的长是否为定值,若是请直接写出PQ的长;若不是请简单说明理由.【解答】解:(1)AD=BE.理由如下:∵△ABC,△CDE都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°,∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,∵,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE;(2)如图,过点C作CN⊥BQ于点N,∵CP=CQ,∴PQ=2PN,∵△ABC是等边三角形,AM是中线,∴CM⊥AD,CM=BC=×8=4,∴CN=CM=4(全等三角形对应边上的高相等),∵CP=CQ=5,∴PN===3,∴PQ=2PN=2×3=6;(3)PQ的长为定值6.∵点D在线段AM的延长线(或反向延长线)上时,△ACD和△BCE全等,∴对应边AD、BE上的高线对应相等,∴CN=CM=4是定值,∴PQ的长是定值.【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质14.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)并缩短一半得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β并缩短一半得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋半中线”,点A 叫做“旋半中心”.特例感知:(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”,AD是△ABC的“旋半中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;②如图3,当∠BAC=90°,BC=4时,则AD长为.猜想论证:(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.拓展应用:(3)如图4,在平面直角坐标系中,△ABC的坐标分别是A(4,3),B(1,0),C(5,0),△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”,AD是△ABC的“旋半中线”,连结OD,求OD的最大值是多少?并请直接写出当OD最大时点D的坐标.【解答】解:(1)①如图2中,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=2AB′=2AC′,∵DB′=DC′,∴AD⊥B′C′,∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=120°,∴∠B′=∠C′=30°,∴AD=AB′=BC,故答案为:.②如图3中,∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,∴∠B′AC′=∠BAC=90°,∵AB=AB′,AC=AC′,∴△BAC∽△B′AC′,∴BC=2B′C′,∵B′D=DC′,∴AD=B′C′=BC==1,故答案为:1;(2)结论:AD=BC.理由:如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接B′M,C′M∵B′D=DC′,AD=DM,∴四边形AC′MB′是平行四边形,∴AC′=B′M=AC,∵∠BAC+∠B′AC′=180°,∠B′AC′+∠AB′M=180°,∴∠BAC=∠MB′A,∵AB=AB′,∴△BAC∽△AB′M,∴BC=2AM,∴AD=BC.(3)如图4,∵AD=BC,BC=4,∴AD=1,∴D在以A为圆心,以1为半径的圆上,∴当D运动到直线OA与半圆相交时OD最大,∵A(4,3),∴OA=5,∵AD=1,∴OD的最大值是6.过A作AE⊥x轴于E,过D作DF⊥x轴于F,∴AE∥DF,∴△AOE∽△DOF,∴==,∵OE=4,AE=3,∴OF=,DF=,∴D(,).【知识点】几何变换综合题。
倍长中线法
拓展学生的解题思路
倍长中线法在数学教育中的价值
培养学生的数学思维和创新能力
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
提高学生分析问题和解决问题的能 力
促进数学教育的改革和发展
感谢您的耐心观看
汇报人:
证明倍长中线法的推论
推论:倍长中线法可以证明三角形 中线定理
应用范围:适用于所有三角形包括 等腰三角形、直角三角形等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
证明过程:通过倍长中线法将三角 形分为两个小三角形然后利用相似 三角形的性质进行证明
注意事项:在应用倍长中线法时需 要保证中线的长度足够长以便进行 倍长操作
倍长中线法的几何意义
倍长中线法是利用中线的性质来证明线段相等的方法 倍长中线法的几何意义在于将线段延长一倍从而证明线段相等 倍长中线法在几何证明题中应用广泛是解决线段相等问题的重要方法之一 倍长中线法可以通过构造辅助线来证明线段相等使证明过程更加简洁明了
倍长中线法的应用场景
定义:倍长中线法是一种几何证明方法通过延长线段来证明线段相等或三角形全等 应用场景:证明线段相等、三角形全等、平行四边形性质等 适用范围:适用于各种几何图形如三角形、四边形、圆等 注意事项:在应用倍长中线法时需要仔细分析图形确定是否适用该方法
添加副标题
倍长中线法
汇报人:
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 倍长中线法的定义
03 倍长中线法的证明
04 倍长中线法的应用
05 倍长中线法的拓展
添加章节标题
倍长中线法的定义
倍长中线法的概念
全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版+答案解析)
全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.(注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型:如图1,在三角形ABC中,AD为BC边上的中线.证明思路:延长AD至点E,使得AD=DE.若连结BE,则ΔBDE≅ΔCDA;若连结EC,则ΔABD≅ΔECD;2、中点型:如图2,C为AB的中点.证明思路:若延长EC至点F,使得CF=EC,连结AF,则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G,使得CG=DC,连结BG,则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型:如图3, AB⎳CD,点E为线段AD的中点.证明思路:延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F),则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解:如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.可以用如下方法:将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD,在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是;(2)问题解决:如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=100°,以C为顶点作一个50°的角,角的两边分别交AB、AD于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并说明理由.2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:(1)如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.(2)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC干E,交AD于F,且AE=EF.请判昕AC与BF的数量关系,并说明理由.3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料:如图1,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时,通过延长DE到点F,使EF=DE,连接CF,证明△ADE≌△CFE,再证四边形DBCF是平行四边形即得证.类比迁移:(1)如图2,AD是△ABC的中线,E是AC上的一点,BE交AD于点F,且AE=EF,求证:AC=BF.小亮发现可以类比材料中的思路进行证明.证明:如图2,延长AD至点M,使MD=FD,连接MC,⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程.方法运用:(2)如图3,在等边△ABC中,D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧),连接AD.把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE,F是线段BE的中点,连接DF、CF.请你判断线段DF与AD的数量关系,并给出证明.4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,小明在证明“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时,通过延长DE到点F,使EF=DE,连接CF,证明△ADE≌△CFE,再证四边形DBCF是平行四边形即得证.(1)类比迁移:如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF,求证:AC=BF.小明发现可以类比材料中的思路进行证明.证明:如图2,延长AD至点M,使MD=FD,连接MC,⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程.(2)方法运用:如图3,在等边△ABC中,D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧),连接AD.把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE.F是线段BE的中点,连接DF,CF.请你判断线段DF与AD的数量关系,并给出证明;模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短(解析版)
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.(注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型:如图1,在三角形ABC 中,AD 为BC 边上的中线.证明思路:延长AD 至点E ,使得AD =DE . 若连结BE ,则BDE CDA ∆≅∆;若连结EC ,则ABD ECD ∆≅∆;2、中点型:如图2,C 为AB 的中点.证明思路:若延长EC 至点F ,使得CF EC =,连结AF ,则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ,使得CG DC =,连结BG ,则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型:如图3, //AB CD ,点E 为线段AD 的中点.证明思路:延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F ),则EDC EAF ∆≅∆.例1.(2023·成都市·八年级课时练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图,△ABC 中,若AB =8,AC =6,求BC 边上的中线AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图,延长AD 到点E ,使DE =AD ,连结BE .请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△的理由是( ).A .SSSB .SASC .AASD .ASA(2)AD 的取值范围是( ).A .68AD <<B .1216AD <<C .17AD << D .214AD <<(3)【感悟】解题时,条件中若出现“中点”、“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.【问题解决】如图,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于点E ,交AD 于F ,且AE =EF .求证:AC =BF .【答案】(1)B (2)C (3)见解析【分析】(1)根据AD =DE ,∠ADC =∠BDE ,BD =DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可;(2)根据全等得出BE =AC=6,AE =2AD ,由三角形三边关系定理得出8-6<2AD <8+6,求出即可;(3)延长AD 到M ,使AD =DM ,连接BM ,根据SAS 证△ADC ≌△MDB ,推出BM =AC ,∠CAD =∠M ,根据AE =EF ,推出∠CAD =∠AFE =∠BFD ,求出∠BFD =∠M ,根据等腰三角形的性质求出即可.(1)∵在△ADC 和△EDB 中AD DE ADC BDE BD CD ìïÐÐíïî===,∴△ADC ≌△EDB (SAS ),故选B ;(2)∵由(1)知:△ADC ≌△EDB ,∴BE =AC =6,AE =2AD ,∵在△ABE 中,AB =8,由三角形三边关系定理得:8-6<2AD <8+6,∴1<AD <7,故选:C .(3)延长AD 到点M ,使AD =DM ,连接BM .∵AD 是△ABC 中线∴CD =BD∵在△ADC 和△MDB 中DC DB ADC MDB DA DM =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ADC MDB ≌△△∴BM =AC (全等三角形的对应边相等)∠CAD =∠M (全等三角形的对应角相等)∵AE =EF ,∴∠CAD =∠AFE (等边对等角)∵∠AFE =∠BFD ,∴∠BFD =∠M ,∴BF =BM (等角对等边)又∵BM =AC ,∴AC =BF .【点睛】本题考查了三角形的中线,三角形的三边关系定理,等腰三角形性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点,主要考查学生运用定理进行推理的能力.例2.(2022·河南南阳·中考模拟)【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容:如图,在ABC V 中,D 是边BC 的中点,过点C 画直线CE ,使//CE AB ,交AD 的延长线于点E ,求证:AD ED=证明∵//CE AB (已知)∴ABD ECD Ð=Ð,BAD CED Ð=Ð(两直线平行,内错角相等).在ABD △与ECD V 中,∵ABD ECD Ð=Ð,BAD CED Ð=Ð(已证),BD CD =(已知),∴()A.A.S ABD ECD △△≌,∴AD ED =(全等三角形的对应边相等).(1)【方法应用】如图①,在ABC V 中,6AB =,4AC =,则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______.(2)【猜想证明】如图②,在四边形ABCD 中,//AB CD ,点E 是BC 的中点,若AE 是BAD Ð的平分线,试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系,并证明你的猜想;(3)【拓展延伸】如图③,已知//AB CF ,点E 是BC 的中点,点D 在线段AE 上,EDF BAE Ð=Ð,若5AB =,2CF =,求出线段DF 的长.【答案】(1)1<AD <5;(2)AD =AB +DC .理由见解析;(3)DF =3.【分析】(1)延长AD 到E ,使AD =DE ,连接BE ,证△ADC ≌△EDB ,推出AC =BE =4,在△ABE 中,根据三角形三边关系定理得出AB -BE <AE <AB +BE ,代入求出即可;(2)结论:AD =AB +DC .延长AE ,DC 交于点F ,证明△ABE ≌△FEC (AAS ),推出AB =CF ,再证明DA =DF 即可解决问题;(3)如图③,延长AE 交CF 的延长线于点G ,证明AB =DF +CF ,可得结论.【详解】解:(1)延长AD 到E ,使AD =DE ,连接BE ,∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,在△ADC和△EDB中,AD DEADC EDBDC DB=ìïÐ=Ðíï=î,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=BE=4,在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,∴6-4<2AD<6+4,∴1<AD<5,故答案为:1<AD<5;(2)结论:AD=AB+DC.理由:如图②中,延长AE,DC交于点F,∵AB∥CD,∴∠BAF=∠F,在△ABE和△FCE中,AEB FECBAE FBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î,∴△ABE≌△FCE(AAS),∴CF=AB,∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠FAD,∴∠FAD=∠F,∴AD=DF,∵DC+CF=DF,∴DC+AB=AD;(3)如图③,延长AE交CF的延长线于点G,∵E是BC的中点,∴CE=BE,∵AB∥CF,∴∠BAE=∠G,在△AEB和△GEC中,BAE GAEB GECBE CEÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î,∴△AEB≌△GEC(AAS),∴AB=GC,∵∠EDF=∠BAE,∴∠FDG=∠G,∴FD=FG,∴AB=DF+CF,∵AB=5,CF=2,∴DF=AB-CF=3.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.例3.(2022·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:(1)如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.(2)如图2,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 干E ,交AD 于F ,且AE =EF .请判昕AC 与BF 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)见解析(2)AC =BF ,理由见解析【解析】(1)解:如图,延长AD 到点E ,使DE =AD ,连接BE ,在△ADC 和△EDB 中∵AD DE ADC EDB CD DB =ìïÐ=Ðíï=î,∴△ADC ≌△EDB (SAS ).∴BE =AC =3.∵AB -BE <AE <AB +BE ∵2<AE <8.∵AE =2AD ∴1<AD <4.(2)AC =BF ,理由如下:延长AD 至点G ,使GD =AD ,连接BG ,在△ADC 和△GDB 中,AD DG ADC GDB BD CD =ìïÐ=Ðíï=î,∴△ADC ≌△GDB (SAS ).∴BG =AC ,∠G =∠DAC ..∵AE =EF ∴∠AFE =∠FAE . ∴∠DAC =∠AFE =∠BFG ∴∠G =∠BFG ∴BG =BF ∴AC =BF .【点睛】本题考查全等三角形判定与性质,三角形三边的关系,作辅助线:延长AD 到点E ,使DE =AD ,构造全等三角形是解题的关键.例4.(2022·山东·安丘市一模)阅读材料:如图1,在ABC V 中,D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时,通过延长DE 到点F ,使EF DE =,连接CF ,证明ADE CFE V V ≌,再证四边形DBCF 是平行四边形即得证.类比迁移:(1)如图2,AD 是ABC V 的中线,E 是AC 上的一点,BE 交AD 于点F ,且AE EF =,求证:AC BF =.小亮发现可以类比材料中的思路进行证明.证明:如图2,延长AD 至点M ,使MD FD =,连接MC ,……请根据小亮的思路完成证明过程.方法运用:(2)如图3,在等边ABC V 中,D 是射线BC 上一动点(点D 在点C 的右侧),连接AD .把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ,F 是线段BE 的中点,连接DF 、CF .请你判断线段DF 与AD 的数量关系,并给出证明.【答案】(1)证明见解析;(2)2AD DF =,证明见解析【分析】(1) 延长AD 至M ,使MD FD =,连接MC ,证明BDF CDM △≌△,结合等角对等边证明即可.(2) 延长DF 至点M ,使DF FM=,连接BM 、AM ,证明(SAS)ABM ACD △≌△,△ABM 是等边三角形,代换后得证.【详解】(1)证明:延长AD 至M ,使MD FD =,连接MC .在BDF V 和CDM V 中,BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î,∴BDF CDM △≌△,∴MC BF =,M BFM Ð=Ð,∵AE EF =,∴EAF EFA Ð=Ð,∵EFA BFM Ð=Ð,∴M MAC Ð=Ð,∴AC MC =,∴AC BF =.(2)线段DF 与AD 的数量关系为:2AD DF =.证明如下:延长DF 至点M ,使DF FM =,连接BM 、AM ,如图2所示:∵点F 为BE 的中点,∴BF EF=在BFM V 和EFD △中,∵BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î,∴(SAS)BFM EFD △≌△∴BM DE =,MBF DEF Ð=Ð,∴BM DE∥∵线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE∴CD DE BM ==,120Ð=°BDE ,∴18012060MBD Ð=-=°°°∵ABC V 是等边三角形∵AB AC =,60ABC ACB Ð=Ð=°,∴6060120ABM ABC MBD ÐÐа°=+=+=°∵180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°,∴ABM ACDÐ=Ð在ABM V 和ACD △中,∵AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î,∴(SAS)ABM ACD △≌△∴AM AD =,BAM CAD Ð=Ð,∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ÐÐÐÐÐÐ=+=+==°∴AMD V 是等边三角形,∴2==AD DM DF .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质,熟练掌握等边三角形的判定和性质,三角形全等的判定和性质是解题的关键.模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
三角形倍长中线法例题
三角形倍长中线法例题好嘞,今天咱们聊聊三角形的中线,特别是那个倍长中线的神奇法则。
大家都知道,三角形就是那种有三个边、三个角的家伙,形状可以千变万化。
你想,它可以像披萨,也可以像山峰,样子真是多姿多彩。
三角形中线是啥呢?简单来说,就是从一个顶点到对边中点的那条线。
你想啊,它就像是三角形的小桥,把三角形的内部世界连接起来。
好啦,咱们进入正题,倍长中线法则。
啥意思呢?就是说,三角形的中线,长度是有规律的,特别是当你把它的边长搞得越来越大,倍增的时候,中线也跟着变长。
这就像你平时吃饭,点了双人份,结果服务员给你上了四人份,哇,幸福感瞬间倍增。
没错,这就是倍长中线法则的魅力所在。
你可能会问,为什么要关注这个法则呢?在现实生活中,三角形可不是个孤立的概念。
比如说,建筑设计啊,工程测量啊,甚至艺术创作,这些都需要运用到三角形的特性。
想象一下,建筑师在设计新楼的时候,可能就会用到中线法则,来保证建筑的稳定性和美观性。
嘿,设计师可得心灵手巧,不然一不小心就成了“倒三角”那样,真是吓人。
好吧,咱们举个例子。
想象一下,你有一个三角形,边长分别是6、8和10。
哇,这可是个直角三角形。
找到中线的长度公式,别担心,公式并不复杂。
只要拿一个边长,算出对边的中点,接着用平方根法则搞定,简单得像剥香蕉一样。
得出中线的长度后,你会发现它跟边长的关系简直就是“亲如兄弟”。
如果你把这个三角形的边长都乘以2,中线的长度也跟着翻倍。
是不是感觉到数学的魔力了?想象一下,当你在课堂上学习这个知识点,老师可能会问你,“那如果我把边长扩大三倍呢?”大家肯定会开始琢磨,怎么又来个三倍!但是,冷静想想,答案也是很明显的。
无论边长怎么变化,中线的长度永远都跟着步伐走,保持着一种神奇的默契。
就像好朋友,无论何时何地,总是能心有灵犀。
学习这些法则的时候,也少不了一些有趣的冷知识。
比如,古希腊的数学家们就已经在研究这些东西了,真是个牛人。
他们的发现不仅推动了几何学的发展,还影响了后世的科学家。
全等三角形倍长中线法的经典例题
全等三角形倍长中线法的经典例题示例文章篇一:嘿,同学们!今天我要跟你们讲讲全等三角形倍长中线法,这可太有趣啦!先来说说啥是倍长中线法。
就好像我们搭积木,找到了关键的那块积木,整个造型就稳啦!倍长中线法就像是那个关键的“积木”,能帮我们解决好多全等三角形的难题呢。
比如说有这样一道题:在三角形ABC 中,AD 是中线。
那我们就延长AD 到点E,让AD = DE 。
这时候,连接BE ,哇塞,神奇的事情发生啦!“小明,你说说这时候能发现啥?”我问同桌小明。
小明挠挠头说:“好像能得到一些相等的边和角。
”“对呀!”我兴奋地说,“你看,因为AD 是中线,BD = DC ,又因为我们延长AD ,让AD = DE ,再加上对顶角相等,这不就可以证明三角形ADC 和三角形EDB 全等嘛!”再看这道题,三角形ABC 中,AD 是中线,AB = 5 ,AC = 3 ,求中线AD 的取值范围。
这可难倒了不少同学,可咱们用倍长中线法,不就轻松多啦?我跟后桌的小红一起讨论,我说:“小红,你想想,倍长中线之后,是不是能把条件都联系起来啦?”小红眼睛一亮:“对呀,这样就能构造出全等三角形,然后就能找到边的关系啦!”哎呀,这不就像我们找宝藏,倍长中线法就是那把能打开宝藏大门的钥匙嘛!通过这些例题,咱们是不是发现,倍长中线法简直就是解决全等三角形问题的神器呀!只要我们灵活运用,那些难题就都不在话下啦!我觉得呀,数学就像一个大宝藏,而这些解题方法就是我们挖掘宝藏的工具,只要我们用心去寻找,就能发现无数的惊喜!示例文章篇二:哎呀呀,同学们,今天咱们来聊聊全等三角形里倍长中线法的那些经典例题!先来说说啥是倍长中线法吧。
就好像我们走路遇到一条河,直接过去太困难,但是如果修一座桥,是不是就轻松多啦?倍长中线法就像是那座桥,能让我们在解全等三角形的难题时,一下子找到出路!比如说有这么一道题:在三角形ABC 中,AD 是中线。
延长AD 到E,使DE = AD。
八年级数学倍长中线法经典题
八年级数学倍长中线法经典题八年级数学倍长中线法是中学数学中一个重要的内容,在孩子们学习数学的过程中,也免不了要接触到这一内容,因此,本文将以八年级数学倍长中线法经典题为核心,深入分析其中的知识点,以期能够为学生提供帮助,有助于更好地掌握数学知识。
首先,我们应该了解倍长中线法有什么特点,倍长中线法的要点是设定一定的倍数关系,根据这个倍数关系,继而解决具体问题。
倍长中线法是类似积法的一种思想,它通过对特定关系求和,来求解数学问题。
倍长中线法是一种解决数学问题的有效方法,它可以节省学生的学习时间,让他们在容易的情况下进行更快的解决。
其次,我们应该明白如何运用倍长中线法来解决数学问题。
首先,我们必须先把数学问题分解成几个部分,确定每个部分有什么关系,然后使用倍长中线法构造解决方案。
具体细节需要根据不同的问题而定,可以先把不同变化的部分分开,然后以相同的倍数比形式表示,最后将得到的结果再加在一起,从而得出最终结果。
此外,我们也可以通过实际运用,来熟悉如何运用倍长中线法来解决数学问题。
下面举几个经典的倍长中线法的数学习题,来帮助孩子们更好地理解倍长中线法。
练习一:设有如下三边长:3cm,2cm,5cm,求这个三角形的周长。
解:根据倍长中线法,将给定的三边长分别乘以2、3、5倍,得到新的三边长分别为6cm,6cm,25cm,则这个三角形的周长为6cm+6cm+25cm=37cm。
练习二:已知正方形的边长为10cm,求正方形的面积。
解:根据倍长中线法,将边长乘以4倍,得到新的边长为40cm,则正方形的面积为40cm×40cm=1600cm2。
通过这两个练习,孩子们可以轻松地运用倍长中线法来解决数学问题。
最后,孩子们应该注意在学习过程中有意识地复习和练习,利用倍长中线法来解决数学问题,当孩子们掌握了这种技巧之后,他们就可以更好地应对数学考试。
总的来讲,倍长中线法在孩子们学习数学中具有重要的价值,他们应该充分利用好这一技能,在学习和考试中发挥更好成绩。
初中数学三角形相关辅助线:倍长中线、角平分线、手拉手模型
初一全等三角形相关辅助线板块一、倍长中线中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.下面举例说明.△ABC中AD是BC边中线方式1:延长AD到E,使DE=AD,连接BE;方式2:作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E;方式3:过点C作NC∥AB,交AB于M点;例1 如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线.求证:AB +AC >2AD .DABC例2 如图,在△ABC 中,AB >AC ,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F ,交CA 的延长线于G .求证:BF =CG .例3 如图4,CB ,CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线,且AC =AB .求证:CE =2CD .变式1:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF变式2:在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F ,求证:AB=AF+CF 。
FEDBCEABC课堂练习:如图, 在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA DF //交AE 于点F ,DF=AC. 求证:AE 平分BAC ∠第 1 题图ABFDEC板块二、角平分线角平分线是三角形中的重要线段之一,在利用角平分线解决几何问题时,常常采用“轴对称”添加辅助线.所谓轴对称,根据翻折对称的思想,构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.下面举例说明.(l)若PA ⊥OM 于点A ,如图 (a),可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ,则PB=PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”.(a)B AOPM N(b)B OPMNA(2)若点A 是射线OM 上任意一点,如图 (b),可以在ON 上截取OB=OA ,连接PB ,构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线,可以将图对折看,对称以后关系现”.(3)若AP ⊥OP 于点P ,如图 (c),可以延长AP 交ON 于点B ,构造△AOB 是等腰三角形,P 是底边AB 的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合一试试看”.(c)BAOPM N(d)QOPMN(4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ,如图 (d),可以构造△POQ 是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现”.例1 (1)如图2-3(a),在△ABC 中,∠C=90。
全等三角形倍长中线法
全等三角形倍长中线法全等三角形倍长中线法,听起来是不是有点高深?但其实它就像一杯清茶,细细品味其实很有趣。
先给大家讲讲这个中线。
中线是什么呢?想象一下,一个三角形就像你吃的披萨,三角形的中线就像是从一个顶点划到对边中点的那条线。
这条线把三角形一分为二,真是妙不可言!而且,这条线可不是简单的线哦,它有它的奥秘和美丽。
接下来,我们来聊聊全等三角形。
说白了,全等三角形就像是两个完全一样的双胞胎,不论怎么旋转、翻转,尺寸和形状都一模一样。
就像两个小朋友,一个穿蓝色衣服,一个穿红色衣服,他们的脸型、身高、手长全都一样,简直是个绝配!在几何学里,利用全等三角形的特性,我们能找到一些有趣的解决方案。
说到倍长中线法,这个方法其实就是在利用这些全等三角形的关系,来帮助我们找到中线的长度。
想象一下,我们有个三角形,三个顶点分别是A、B、C。
我们从顶点A 出发,划一条线到对边BC的中点D,这条线就是中线AD。
接下来,如果我们把中线的长度乘以2,那可不是说它就长了一倍哦,而是我们能找到一个新的点,让它们形成一个新的三角形。
而这个三角形,也是全等的,真的是太酷了吧!不过,这个倍长中线法可不止这么简单。
其实,运用这个方法时,我们还可以用到一些数学定理,像平行线、相似三角形等等。
就像在厨房里做菜,我们不仅需要主料,还需要辅料,才能做出一道美味的菜肴。
再说了,做数学题也是需要多动脑筋的,有时候光靠一个公式可不够哦!让我们更深入地了解一下。
我们用倍长中线法,实际上就是借助全等三角形的关系来做一些巧妙的推理。
比如,我们可以知道,中线的长度与三角形的面积、周长之间有着密切的关系。
当你掌握了这个技巧,就像是打开了新世界的大门,里面有数不尽的宝藏等着你去发掘。
想想看,数学就像是探险游戏,每解决一个难题,就像找到了一个隐藏的宝藏,兴奋得不行!不过,很多同学可能在学习这个法则时,觉得有点无从下手,或者是觉得这个知识点特别抽象。
其实呀,只要把它和生活中的例子结合起来,就会变得简单多了。
初中数学几何专题- 辅助线专题(1)-中线倍长问题
A
C
MD
【拓】等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 有公共的直角顶点 A,分别连接 CD、BE. (1)如图,若 N 为 BE 的中点,求证:2AN=CD;
A
D
M
C
E
N
B
(2)如图,若 N 为 BE 的中点,点 M 为 AN 和 CD 的交点,求证:AM⊥CD; A
D
M
C
E
N
B
(3)如图,若 AM⊥CD 于点 M,点 N 为 MA 与 BE 的交点,求证:N 为 BE 的中点.
D
A
E
B
P
C
【家庭作业】 1、在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,若 AB=3,AD=4,则 AC 长的取值范围是______________. 2、已知:如图,AD 是△ABC 的中线,点 E 在 AD 上,BE=AC,延长 BE 交于 AC 于 F,求证:AF=EF.
3、如图,在△ABC 中,AB>AC,E 为 BC 边的中点,AD 为∠BAC 的平分线,过 E 作 AD 的平行线,交 AB 于 F,交 CA 的延长线于 G.求证:BF=CG.
(2)如图 2,△ABC 为一般三角形时线段 AM 与 ED 的关系是_________.试证明你的结论; (3)如图 3,若以△ABC 的边 AB、AC 为直角边,向内作等腰直角△ABD 和△ACE,其它条件不变,
试探究线段 AM 与 DE 之间的关系,不要求证明你的结论.
D E
ED
A
A
A
C M
B MC 图1
B
D
E
C
【例 2】如图,△ABC 中, AC<AB , AD 是中线.求证: DAB<DAC . A
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用):13 全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版)
专题13全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.(注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型:如图1,在三角形ABC 中,AD 为BC 边上的中线.证明思路:延长AD 至点E ,使得AD =DE .若连结BE ,则BDE CDA ;若连结EC ,则ABD ECD ;2、中点型:如图2,C 为AB 的中点.证明思路:若延长EC 至点F ,使得CF EC ,连结AF ,则BCE ACF ;若延长DC 至点G ,使得CG DC ,连结BG ,则ACD BCG .3、中点+平行线型:如图3,//AB CD ,点E 为线段AD 的中点.证明思路:延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F ),则EDC EAF .例1.(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解:如图①,在ABC 中,若8AB ,5AC ,求BC 边上的中线AD 的取值范围.可以用如下方法:将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △,在ABE △中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______;(2)问题解决:如图②,在ABC 中,D 是BC 边上的中点,DE DF 于点D ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF ,求证:BE CF EF ;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,180BCD,以C为顶点作,100,CB CDB D一个50 的角,角的两边分别交AB、AD于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并说明理由.例2.(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:(1)如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.(2)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC干E,交AD于F,且AE=EF.请判昕AC与BF的数量关系,并说明理由.例3.(2022·山东·安丘市一模)阅读材料:如图1,在ABC 中,D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时,通过延长DE 到点F ,使EF DE ,连接CF ,证明ADE CFE ≌,再证四边形DBCF 是平行四边形即得证.类比迁移:(1)如图2,AD 是ABC 的中线,E 是AC 上的一点,BE 交AD 于点F ,且AE EF ,求证:AC BF .小亮发现可以类比材料中的思路进行证明.证明:如图2,延长AD 至点M ,使MD FD ,连接MC ,……请根据小亮的思路完成证明过程.方法运用:(2)如图3,在等边ABC 中,D 是射线BC 上一动点(点D 在点C 的右侧),连接AD .把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ,F 是线段BE 的中点,连接DF 、CF .请你判断线段DF 与AD 的数量关系,并给出证明.例4.(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1,在△ABC 中,D ,E 分别是边AB ,AC 的中点,小明在证明“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”时,通过延长DE 到点F ,使EF =DE ,连接CF ,证明△ADE ≌△CFE ,再证四边形DBCF 是平行四边形即得证.(1)类比迁移:如图2,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于点E ,交AD 于点F ,且AE =EF ,求证:AC =BF .小明发现可以类比材料中的思路进行证明.证明:如图2,延长AD 至点M ,使MD =FD ,连接MC ,……请根据小明的思路完成证明过程.(2)方法运用:如图3,在等边△ABC 中,D 是射线BC 上一动点(点D 在点C 的右侧),连接AD .把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE .F 是线段BE 的中点,连接DF ,CF .请你判断线段DF 与AD 的数量关系,并给出证明;模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
初中数学倍长中线法(最全最新倍长中线法专题)
∴△CBD≌△CBF(SAS), ∴CD=CF,∵CF=CE+EF,CE=EF, ∴CF=2CE,∴CD=2CE.
课堂练习
练习5.已知: 如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB的中点. 求证: CD=2CE
课堂练习
练习6.已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线, 求证: ∠C=∠BAE.
课后练习
5.如图,△ABC中,AB=4,AC=7,M是BC的中点,AD平分∠BAC,过M作FM∥AD交AC于F, 求FCE=90°,M是BE的中点,AB=AC,AD=AE, 求证: AM⊥CD.
课后练习
7.已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD.BC的延长线交 MN于E、F.
课堂练习
练习7.如图,已知D是△ABC的边BC上的一点,CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的 中线.求证: AD是∠EAC的平分线.
例题讲解
例5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E为BC的中点,过点E作EF∥AD交AB于点G,交CA的 延长线于点F.求证: BG=CF.
证明: 作CM∥AB交FE的延长线于M.∵BG∥CM, ∴∠B=∠MCE,∵E是BC中点, ∴BE=EC,在△BEG和△CEM中,
求证: ∠DEN=∠F.
课后练习
1.如图1已知:AD为△ABC的中线,易证AB+AC>2AD. (1)如图2,在△ABC中,AC=5,AB=13,D为BC的中点,DA⊥AC.求△ABC的面积. (2)问题2:如图3,在△ABC中,AD是三角形的中线.点F在中线AD上,且BF=AC,连接并 延长BF交AC于点E.求证AE=EF.
例2.已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是
数学倍长中线法
倍长中线法1.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD , BC边上的点,若AG=1 ,BF=2,/ GEF=90°,求GF 的长2•如图,CB、CD分别是钝角△ AEC和锐角△ ABC的中线,且AC=AB .求证:①CE=2CD .② CB 平分/ DCE.3•如图已知△ ABC , AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,求证EF = 2AD.E tr C4•如图,在△ ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,BE = AC, BE的延长线交AC 于点F,求证:/ AEF=/ EAFB D C5..如图,在△ ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF// AD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BG=CF,求证:AD ABC的角平分线.6..如图,△ ABC中,BD=DC=AC,E 是DC的中点,求证,AD平分/ BAE.7.:已知在△ ABC中,AB=AC ,D在AB 上, E在AC的延长线上, 求证:BD=CE DE 交BC 于F,且DF=EF ,ADFSfiffl :如图,在中,AB^AC, D 、E 在EC 上,且 DE=EC,过D 作 DF 1/BA 交 AE 于点F ,DW| 求证! AE 平分乙嘶9•在四边形 ABCD 中,AB // DC , E 为BC 边的中点,/ BAE= / EAF , AF 与DC 的延长线 相交于点F 。
试探究线段 AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论10•已知:如图, ABC 中, C=90 ,CM AB 于M ,AT 平分 BAC 交CM 于D ,交BC于T ,过D 作DE//AB 交BC 于E ,求证:CT=BE.■—DD;□諒皿中,分别UAAB.也为直角边向外做等腰直角三角三角形3以山唱 F为0C中站FA的延长线交DE于点G,求证.DE=2AF?丄DE12.12如图空3C中,么二知:D为斜边EC的中点,E, F分别九AB, AC上的点.,且药丄QF若BE* CF-4(试求ET的长.13.四边形ABCD是矩形,将VABE沿着直线AE翻折,点A落在点F处,直线AF与直线CD交于点G,如图1,若E为BC的中点,请探究线段AB、AG、DG之间的关系15•如國肿是仙C的中线,A£^k-AC,是血延按续上一点.,且厶酥如D,凹咬血延长线于点厂探究丿瓦卫尸的数境关系.17如图,等搀直角 3C与等睡直角ABDE9 P为CE中点连接刊、PD 探究阳、肋的关系.]8 如图,AAEC 与LBDE中,ZCXB= Z.BDE=90°, AC^ k-AB f DE = k -DB 9 P 为 CE 中点,连接血、PD.探究刃1、卩D的数董关系.A19•如图,两个正方^ABDE^ACGF,点卩为的中点,连接刊交EF于点0 探究曲与商的关系.20.⑴如图1,两个矩形ABDE^ ACGF相似,AE^k-AB,点F为眈的中点,连接血交EF于点◎探究AP^EF的关系.(2劝图2,若将'俩个矩形肋D陋加®相似”改为“两几平行四辺形ABDE^ ACGF^ 似匕且Z^ = a.探究处与防的关系.« 1B图22L已知:如图,正牙形廊J和正方形朋点M是线段DF的中点试说明线段砲与恥的关系.22.如图,若将上题中正芳形阳前绕点8顺时针旋转a度数(乂《90。
初中数学经典几何模型02-倍长中线模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS ”证明)(注:一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。
【知识总结】题干中出现三角形一边的中线(与中点有关的线段),或中点,通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形.把该中线延长一倍,证明三角形全等,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路:倍长中线(线段)造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E , 使DE =AD ,连接BE作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N,使DN=MD,连接CD1、如图,已知在△ABC中,D为AC中点,连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
(AB+AC)2、已知,如图△ABC中,AM是BC边上的中线,求证:AM<123、如图,在△AB C中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BG=CF,求证:AD为△ABC的角平分线.4、如图,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F,求证:BE+CF>EF.5、在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为BC的中点,点E,F分别为AB,AC上的点,且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC 为边能否构成一个三角形?若能,请判断三角形的形状?【基础训练】1、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF=EF,求证:AC=BE.2、如图所示,已知△AB C中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.3、已知△ABC中,AB=AC,CF是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,求证:CD=2CE.4、如图,在正方形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为AB 边的中点,G ,F 分别为AD ,BC 边上的点,且AG =1,BF =2.若GE ⊥EF ,则GF 的长为多少?5、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,且BD =CD ,求证:AB =AC .G FEAD BC CDBA【巩固提升】1、如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线.(1)按要求作图:延长AD到点E,使DE=AD;连接BE.(2)求证:△ACD≌△EBD.(3)求证:AB+AC >2AD.(4)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.AD2、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,且BD =CD . 求证:AB =AC .DCBA3、如图,CB 是△AEC 的中线,CD 是△ABC 的中线,且AB =AC . 求证:①CE =2CD ;②CB 平分∠DCE .D CB A3、 如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是AD 上一点,BE =AC ,BE 的延长线交AC 于点F ,求证:∠AEF =∠EAF .F ED CBA4、 如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 的中点,EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ,交AB于点G ,BG =CF ,求证:AD 为△ABC 的角平分线.GFE DCBA5、 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在BC 上,点F 是CD 的中点,且AF ⊥AB ,已知AD =2.7,AE =BE =5,求CE 的长.FEDC BA6、如图,在正方形ABCD中,CD=BC,∠DC B=90°,点E在CB的延长线上,过点E作EF⊥BE,且EF=BE.连接BF,FD,取FD的中点G,连接EG,CG.求证:EG=CG且EG⊥CG.G FE D CB A初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形 答案【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等。
数学倍长中线法
倍长中线法1.如图, 在正方形ABCD中, E为AB边的中点, G、F分别为AD, BC边上的点, 若AG=1, BF=2, ∠GEF=90°, 求GF的长2.如图, CB.CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线, 且AC=AB. 求证: ①CE=2CD. ②CB平分∠DCE.3.如图已知△ABC, AD是BC边上的中线, 分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 求证EF=2AD.4.如图, 在△ABC中, D是BC边的中点, E是AD上一点, BE=AC, BE 的延长线交AC于点F, 求证: ∠AEF=∠EAF5..如图, 在△ABC中, AD交BC于点D, 点E是BC中点, EF∥AD交CA的延长线于点F, 交EF于点G, 若BG=CF, 求证: AD为△ABC的角平分线.6..如图, △ABC中, BD=DC=AC,E是DC的中点, 求证, AD平分∠BAE.7.: 已知在△ABC中, AB=AC, D在AB上, E在AC的延长线上, DE交BC于F, 且DF=EF, 求证: BD=CEA9.在四边形ABCD 中, AB ∥DC, E 为BC 边的中点, ∠BAE=∠EAF, AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系, 并证明你的结论10.已知: 如图, XXXABC 中, XXXC=90XXX, CMXXXAB 于M, AT 平分XXXBAC 交CM 于D, 交BC 于T, 过D 作DE//AB 交BC 于E, 求证: CT=BE.DABCMTEGDE12.13.四边形ABCD是矩形, 将沿着直线AE翻折, 点A落在点F处, 直线AF与直线CD交于点G,如图1, 若E为BC的中点, 请探究线段AB、AG、DG之间的关系FGB.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
数学倍长中线法集团档案编码:[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
倍长中线法
1.如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 边的中点,G 、F 分别为AD ,BC 边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,求GF 的长
2.如图,CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线,且AC=AB .求证:①CE=2CD .②CB 平分∠DCE .
3.如图已知△ABC,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,求证EF =2AD.
4.如图,在△ABC 中,D 是BC 边的中点,E 是AD 上一点,BE =AC ,BE 的延长线交AC 于点F ,求证:∠AEF=∠EAF
5..如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ,交EF 于点G ,若BG=CF ,求证:AD 为△ABC 的角平分线.
6..如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证,AD 平分∠BAE.
7.:已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE
9.在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论
10.已知:如图,ABC 中,C=90,CMAB 于M ,AT 平分BAC 交CM 于D ,交
BC 于T ,过D 作DE//AB 交BC 于E ,求证:CT=BE.
12.
13.四边形ABCD 是矩形,将ABE 沿着直线AE 翻折,点A 落在点F 处,直线AF 与直线CD 交于点G,
如图1,若E 为BC 的中点,请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系
F
E
C A B
D E
A B
C
.。