第21章 一元二次方程全章热门考点整合
九年级上册数学第21章《一元二次方程》知识点梳理完整版
【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；九年级数学上册第21 章《一元二次方程》知识点梳理2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 −降−次−→ 一元一次方程 2. 基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式， 通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac（1） 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2） 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3） 当△<0 时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 的一个根是0，则a 的值为（）A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0 且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选 B．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于 x 的方程(a2−2a −8) x2+ (a + 2) x −1 = 0 ,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2- =0； (2) (x+a)2= ；(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1- )x2=(1+ )x．【答案与解析】(1)原方程可化为 0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1= ，x2=- ．(2)原方程可化为 x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2= a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1= a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1= ，x2= .(4)将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0∴x1=0，x2=-3-2 ．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0 或 3x-3＝0，∴x=2，x= 1．1 3 2(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0 或2t-1＝0．∴t= 1，t=1 ．1 2 2类型三、一元二次方程根的判别式的应用1 23．（2015•荆门）若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（） A ．a≥1B ． a ＞1C ． a≤1D ． a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a≥1．故选 A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出 a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2- 2x + t + 2 = 0 的两个不相等的实数根， （1）求 t 的取值范围； （2）设 s = x 2+ x 2 ，求 s 关于 t 的函数关系式．【答案与解析】(1) 因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即 t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知： x 1 + x 2 = 2 ， x 1x 2 = t + 2 ， 从而 s = x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x = 22 - 2(t + 2) = -2t ，即 s = -2t (t < -1) ．1 2 1 2 1 2【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2(1- m )x - m 2 的两实数根为 x ， x ．1 2（1） 求 m 的取值范围；（2） 设 y = x 1 + x 2 ，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2(m -1)x + m 2 = 0 ．∵ 原方程有两个实数根．∴ △= [2(m -1)]2 - 4m 2 = -8m + 4 ≥ 0 ，∴ m ≤ 1． 2（2） y = x + x = -2m + 2 ，且 m ≤ 1 ． 1 2 2因为 y 随 m 的增大而减小，故当m 1时，取得最小值 1．2类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为 10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为 xcm，由题意得 4x2＝10×8×(1-80%)．解得 x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的边长为 2cm．【总结升华】设小正方形的边长为 x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的 80%，所以 4 个小正方形面积是原矩形面积的 20%．举一反三：【变式】（2015 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在欲砌 50m 长的墙，砌成一个面积 300m2的矩形花园，则 BC 的长为多少 m?【答案】解：设 AB=x 米，则 BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为 20m．6．某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了每晚获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高 x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得 x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴ 当 x＝2 时，2x＝4；当 x＝3 时，2x＝6．答：每床每晚提高 4 元或6 元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高 x 个2 元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高 2 元，出租出去的床位减少 10 张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ；(2) ．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2 +x +1 ；②9x2 - 6x = 0 ；③1y2= 0 ；④5x2-1+ 4 = 0 ；2 2x⑤x2+xy - 3y2= 0 ；⑥3y2= 2 ；⑦(x +1)(x -1) =x2．【答案】②③⑥.【解析】①x2 +x +1不是方程；④5x2-12x+4 = 0 不是整式方程；⑤ x2+xy - 3y2= 0 含有 2 个未知数，不是一元方程；⑦(x + 1)(x -1) =x2化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中 c=-2 不能写为 c=2，(2)题中不能写为．举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例 3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2 = 5x - 2 ；（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x ．【答案】（1）3x2 - 5x+2=0 ，二次项系数是 3、一次项系数是-5、常数项是 2.（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x 化为ax2 +x -a - 2 = 0, 二次项系数是 a、一次项系数是 1、常数项是-a-2.⎩ ⎩类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q ＝0 的两根分别为 x 1＝2，x 2＝1，那么 p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2 是方程 x 2+px+q ＝0 的根，∴ 22+2p+q ＝0，即 2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即 p+q ＝-1 ②⎧2 p + q = -4, ⎧ p = -3,联立①，②得⎨ p + q = -1, 解之得： ⎨q = 2.【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用 2，1 代替方程中未知数 x 的值，得到两个关于 p 、q 的方程，解方程组可求 p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016 春•仙游县月考）求下列 x 的值 （1）x 2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x 2﹣25=0， ∴x 2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4，∴x=﹣1 或﹣9．【总结升华】应当注意，形如 =k 或（nx+m ）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式 1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361；(2)2y 2-72=0；(3)5a 2-1=0；(4)-8m 2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19 或 x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6 或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2= ，∴a=或 a=- ．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2= ，∴m=或m=- ．【变式 2】解下列方程：(1) （2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014 秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3 或1﹣2x=﹣（x﹣3），4∴x1=，x2=﹣2．3一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式a2± 2ab +b2= (a ±b)2．知识点二、配方法的应用1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或 x-2=- ．于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ．(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2 或 x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式M = 10a2 +b2 - 7a + 8 ，N =a2 +b2 + 5a +1 ，则M -N 的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）M -N = 10a2+b2- 7a + 8 - (a2+b2+ 5a +1)=10a2 +b2 - 7a + 8 -a2 -b2 - 5a -1= 9a2 -12a + 7 = 9a2 -12a + 4 + 3 = (3a - 2)2+ 3 > 0 ．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5 的值一定小于 0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣ ＜0， 即﹣8x 2+12﹣5 的值一定小于 0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17 的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0 时，代数式 x 2+8x+17 的最小值是 1.4．已知 a2- 3a + b 2 - b + 37= 0 ，求 a - 4 2 16的值．【思路点拨】解此题关键是把 37拆成 9+ 1，可配成两个完全平方式．16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得⎛ a 2- 3a + 9 ⎫ + ⎛ b 2 - b +1 ⎫ = 0 ，4 ⎪ 2 16 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2即 a - 2 ⎪ + b - 4 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ a - 3 = 0 且b - 1= 0 ，24∴ a = 3，b = 1． 2∴ a - 4 4= 3 - 2= 3 - 2 = - 1 ． 2 2【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0 的形式，进而求出 a ．b 的值．b b1 4【学习目标】一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) ，用配方法将其变形为：(x + b)22a=b2- 4ac4a2.①当∆=b2-4ac > 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 =2a .②当∆=b2 - 4ac = 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x =-b1,2 2a .③ 当∆=b2 - 4ac < 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0； (2) 2x2 = 4x -1 ；(3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1= ，x2= ．(2)原方程化为一般形式，得2x2 - 4x +1 = 0 ．-b ±∵a = 2 ，b =-4 ，c =1 ，∴b2- 4ac = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯1 = 8 > 0 ．∴ x =4 ± 2 2= 1±2，即x =1+2，x= 1-2．2 ⨯ 2 2 1 2 2 2(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1= ，x2= ．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对 a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定 a，b，c 的值并计算b2 - 4ac 的值；(3)若b2 - 4ac 是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2= ．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014 秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x== = ，-1± 3 -1- 3 -1+ 3 ∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1= ，x 2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2= ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出 a 、b 、c 的值，在b 2- 4ac ≥ 0 的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2x 2+ 2x = 1；【答案】解：移项，得2x 2 + 2x -1 = 0 ．∵ a = 2 ，b = 2 ，c = -1 ， b 2 - 4ac = 22 - 4 ⨯ 2 ⨯(-1) = 12 > 0 ，∴ x =-2 ± 12 = ， 2 ⨯ 2 2∴ x 1 =2 ， x 2 = 2 ．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程 x 2﹣4x=12 的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x ﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选 B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3x -1)(x -1) = (4x +1)(x -1) ．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即(2x + 3)2= 0 ，∴x =x =-3 ．1 2 2(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以x1=1 ，x2=-2 ．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉 x＝1 这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 x(2 x+1) =4 x+2【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0x =-1, x =2.1 2 2 35．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）x1= ，x 2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=2（x+）（x+2）x1=﹣，x2=﹣2将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 中，b 2- 4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆”来表示，即∆=b 2- 4ac（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计1 2 算b 2 - 4ac 的值；④根据b 2 - 4ac 的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，（1） 方程有两个不相等的实数根⇒b 2 - 4ac ﹥0； （2） 方程有两个相等的实数根⇒b 2 - 4ac =0； （3） 方程没有实数根⇒b 2 - 4ac ﹤0.要点诠释：（1） 逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2） 若一元二次方程有两个实数根则 b 2 - 4ac ≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x 1、x 2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ； 1 2 1 2 1 2② 1 +1 x 1 x 2= x 1 + x 2 ； x 1 • x 2 ③ x x 2 + x 2 x = x x (x + x ) ； 1 2 1 2 1 2 1 2。
(完整版)21章一元二次方程重难点、易考点汇总,推荐文档
3.下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( ) 1
A．x2＋x2＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
4.下列方程中，无论取何值，总是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
D．3x2－2xy－5y2＝0
A. ax 2 bx c 0
B. ax 2 1 x 2 x
5.下列方程中是一元二次方程的有（
2.关于x的一 元二次方程（a2—1）x2+x—2=0是一元二次方程，则a满足（ ）
A. a≠1
B. a≠—1
C. a≠±1
D.为任意实数
3.当 k
时，关于 x 的方程 kx 2 2x x 2 3 是一元二次方程。
4 关于x的方程(m 1)x m 1 3x 6,当m ___ 时，该方程是一元二次方程
．
6、一元二次方程 ax2 bx c 0 ，若 x=1 是它的一个根，则 a+b+c=
,若 a－b+c=０，则方程必有
一根是 。
7.已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的系数满足 a c b ，则此方程必有一根为
21 章一元二次方程重点、易考点
一、一元二次方程的概念
1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方
程．
2．一元二次方程的一般形式是________________．
二、一元二次方程的解法
1．解一元二次方程的基本思想是
，
主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.
2．配方法：通过配方把一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识归纳(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识归纳单选题1、某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（）A．(20+x)(100−2x)=1800B．(20+x)(100−2x)=18000.5×2)=1800D．x[100−2(x−20)]=1800C．x(100−x−200.5答案：C分析：根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;×2）kg，依题意得：解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（100−x−200.5依题意得：x(100−x−20×2)=18000.5故选:C小提示：此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程2、有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为800cm2．设切去的正方形的边长为x cm，可列方程为（）A．4x2=800B．50×30−4x2=800C．(50−x)(30−x)=800D．(50−2x)(30−2x)=800答案：D分析：根据题意求得底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，即可求解．设切去的正方形的边长为x cm，则底面的长为(50−2x)，宽为(30−2x)，则(50−2x)(30−2x)=800故选：D小提示：本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．故选：D．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．4、已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则1x1+1x2的值为（）A．2B．-1C．−12D．-2答案：D分析：根据一元二次方程的根与系数的关系先求出x1+x2，x1·x2的值，再代入所求的式子中计算即可．解：根据根与系数的关系得，x1+x2=4，x1·x2=-2∴1x1+1x2=x1+x2x1•x2=4−2=-2．故选D ．小提示：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．5、用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（）A．(x+1)2=3B．(x+1)2=6C．(x−1)2=3D．(x−1)2=6答案：C分析：方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．小提示：本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．6、已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）A．4或5B．3C．√41D．3或√41答案：D分析：先利用因式分解法解得x1=4，x2=5，然后分类讨论：当两直角边分别为4和5或斜边为5，再利用勾股定理计算出第三边．解：解方程x2−9x+20=0得x1=4，x2=5，当两直角边分别为4和5，则第三边的长=√42+52=√41，当斜边为5，第三边的长=√52−42=3，所以此三角形的第三边长为3或√41．故选：D ．小提示：本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 7、一元二次方程x 2−25=0的解为（ ）A ．x 1=x 2=5B ．x 1=5，x 2=−5C ．x 1=x 2=−5D ．x 1=x 2=25 答案：B分析：先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可． 解：x 2−25=0， 移项得：x 2=25，开平方得：x 1=5，x 2=﹣5， 故选B ．小提示：本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法． 8、关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( ) A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝3 答案：D分析：利用因式分解法求解可得． 解：∵x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0， 解得x ＝5或x ＝3， 故选：D ．小提示：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．9、用配方法解一元二次方程3x 2+6x −1=0时，将它化为(x +a )2=b 的形式，则a +b 的值为（ ） A ．103B ．73C ．2D ．43 答案：B分析：将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．解：∵3x2+6x−1=0，∴3x2+6x=1，x2+2x=13，则x2+2x+1=13+1，即(x+1)2=43，∴a=1，b=43，∴a+b=73．故选：B．小提示：本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．10、下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2−x+14=0B．x2+2x+4=0C．x2-x+2=0D．x2-2x=0答案：D分析：逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．A.此方程判别式Δ=(−1)2−4×1×14=0，方程有两个相等的实数根，不符合题意;B.此方程判别式Δ=22−4×1×4=−12<0,方程没有实数根，不符合题意;C.此方程判别式Δ=(−1)2−4×1×2=−7<0，方程没有实数根，不符合题意;D .此方程判别式Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意;所以答案是： D.小提示：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．填空题11、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．答案：x1=0,x2=−1,x3=1分析：先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.解：∵x3−x=0,∴x(x+1)(x−1)=0,则x=0或x+1=0或x−1=0,解得：x 1=0,x 2=−1,x 3=1. 所以答案是：x 1=0,x 2=−1,x 3=1.小提示：本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.12、在解一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0时，小明看错了系数p ，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q ，解得方程的根为4和﹣2，则p ＝________，q ＝________． 答案： ﹣2 ﹣3分析：由小明看错了系数p 知常数项q 无误，根据所得两根之积可得q 的值；由小红看错了系数q 知一次项系数p 无误，根据所得两根之和可得p 和q 的值． 解：∵小明看错了系数p ，解得方程的根为1和−3， ∴q =1×(﹣3)=﹣3，∵小红看错了系数q ，解得方程的根为4和−2， ∴−p =4−2=2， ∴p =−2，所以答案是：﹣2；﹣3．小提示：本题主要考查根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝﹣ba，x 1•x 2＝ca ，解题关键熟记根与系数的关系．13、从前有一人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43m ，竖着比城门高23m ，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个人试了试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？设竹竿的长为x m ，请列出符合条件的方程______（要求化为一般式）． 答案：x 2−4x +209=0分析：用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可． 解：设竹竿的长为x 米．由题意得： (x −23)2+(x −43)2=x 2 ， 化简得：x 2−4x +209=0所以答案是：x2−4x+20=09小提示：本题考查一元二次方程的应用，得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．14、方程3x2−8x+1=0的一次项系数是______．答案：-8分析：根据一元二次方程的一般形式解答．解：方程3x2−8x+1=0的一次项是−8x，其系数是−8．故答案是：−8．小提示：本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．15、已知一元二次方程x2−14x+48=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．答案：20分析：求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．解：x2−14x+48=(x−6)(x−8)=0，则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为√32+42=5，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20小提示：本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．解答题16、解方程：(1)(x+8)2=36；(2)x(5x+4)-(4+5x)=0；(3)x2+3=3(x+1)；(4)2x2-x-6=0．答案：(1)x1=-2,x2=-14(2)x1=1,x2=-45(3)x1=0,x2=3(4)x1=2,x2=-32分析：（1）利用直接开平方法求解；（2）利用因式分解法进行计算即可；（3）整理后，利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解．（1）解：(x+8)2=36，∴x+8=±6，解得：x1=-2,x2=-14；（2）解：x(5x+4)-(4+5x)=0(x-1)(5x+4)=0，∴x-1=0,5x+4=0，；解得：x1=1,x2=-45（3）解：x2+3=3(x+1)∴x2-3x=0，即x(x-3)=0，∴x=0,x-3=0，解得：x1=0,x2=3；（4）解：2x2-x-6=0，∵a=2,b=-1,c=-6，∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49，∴x=1±√492×2=1±74，解得：x1=2,x2=-32．小提示：本题考查了解一元二次方程——因式分解法和公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17、阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为12n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程12n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问：(1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；(2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？答案：(1)6(2)错误，理由见解析分析：（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解；（2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可．（1）设这个多边形的边数是n，则12n（n－3）＝9，解得n＝6或n＝－3（舍去）．∴这个多边形的边数是6；（2）小明同学的说法是不正确的，理由如下：由题可得12n（n－3）＝10，解得n＝3±√892，∴符合方程的正整数n不存在，∴n边形不可能有10条对角线，故小明的说法不正确．小提示：本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是解答本题的关键．18、已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．答案：（1）k≤−1；（2）k=−√6分析：（1）根据方程的系数结合Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合1x1+1x2=k−2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ=(−2)2−4(k+2)⩾0解得k≤−1；（2）由一元二次方程根与系数关系，x1+x2=2,x1x2=k+2∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2即(k+2)(k−2)=2，解得k=±√6．又由（1）知：k≤−1，∴k=−√6．小提示：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合1x1+1x2=k−2，找出关于k的方程．。
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点第 21 章一元二次方程。
1. 一元二次方程的概念。
形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程叫做一元二次方程，其中ax^2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 一元二次方程的一般形式。
一般形式为ax^2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，a≠0）3. 一元二次方程的解法。
- 直接开平方法：适用于形如(x + m)^2 = n（n≥0）的方程。
- 配方法：通过配方将方程化为完全平方式，再求解。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），其解为x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，前提是b^2 - 4ac≥0。
- 因式分解法：将方程化为两个因式乘积等于 0 的形式，从而求解。
4. 一元二次方程根的判别式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），Δ = b^2 - 4ac- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根。
5. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x_1、x_2，则有x_1 + x_2 = -(b)/(a)，x_1x_2 = (c)/(a)第 22 章二次函数。
1. 二次函数的概念。
形如y = ax^2 + bx + c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
2. 二次函数的图象和性质。
- 图象是一条抛物线。
- 当a > 0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -(b)/(2a)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
九年级数学上册第二十一章一元二次方程知识点总结(超全)(带答案)
九年级数学上册第二十一章一元二次方程知识点总结(超全)单选题1、一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（）A．(x+4)2=17B．(x+4)2=15C．(x−4)2=17D．(x−4)2=15答案：C分析：先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．解：∵x2-8x-1=0，∴x2-8x=1，∴x2-8x+16=17，∴（x-4）2=17．故选C．小提示：本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．2、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：通过根与系数之间的关系得到α+β=−2m+2，αβ=m2−m，由α2+β2=(α+β)2−2αβ可求出m的值，通过方程有实数根可得到[2(m−1)]2−4(m2−m)≥0，从而得到m的取值范围，确定m的值．解：∵方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)=−2m+2，1=m2−m，αβ=m2−m1∵α2+β2=(α+β)2−2αβ，α2+β2=12∴(−2m+2)2−2(m2−m)=12，整理得，m2−3m−4=0，解得，m1=−1，m2=4，若使x2+2(m−1)x+m2−m=0有实数根，则[2(m−1)]2−4(m2−m)≥0，解得，m≤1，所以m=−1，故选：A．小提示：本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．3、关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定答案：A分析：根据根的判别式的判断方程根的数量即可．解：△=(−m)2−4×2×(−3)=m2+24>0，故方程有两个不相等的实数根，故选：A．小提示：本题考查根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别式是解决本题的关键．4、一元二次方程2x2+x−1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案：A分析：根据Δ=b2−4ac即可判断．解：∵a=2，b=1，c=−1，∴Δ=b2−4ac=12−4×2×(−1)=1+8=9>0，∴一元二次方程2x2+x−1=0有两个不相等的实数根．故选：A．小提示：本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．5、设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n=mx的两个实数根．若x1<x2<0，则（）A．{m>1,n>0B．{m>1,n<0C．{m<1,n>0D．{m<1,n<0答案：C分析：先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关系得出x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，，然后根据x1< x2<0，得出m-1<0，n>0，即可求解．解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1-m）x+n=0，∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+x+n=mx的两个实数根．∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，∵x1<x2<0，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m-1<0，n>0，∴m<1，n>0，故选：C．小提示：本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x1+x2=-ba ，x1x2=ca”是解题的关键．6、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．7、若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0，−2B．0，0C．−2，−2D．−2，0答案：B分析：直接把x=−2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．解：根据题意，∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，把x=−2代入x2+2x+m=0，则(−2)2+2×(−2)+m=0，解得：m=0；∴x2+2x=0，∴x(x+2)=0，∴x1=−2，x=0，∴方程的另一个根是x=0；故选：B小提示：本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．8、某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（）A．(20+x)(100−2x)=1800B．(20+x)(100−2x)=18000.5×2)=1800D．x[100−2(x−20)]=1800C．x(100−x−200.5答案：C分析：根据销售额=售价乘以销售量列方程,求解即可;×2）kg，依题意得：解：设销售单价应为x元/kg,则销售量为（100−x−200.5×2)=1800依题意得：x(100−x−200.5故选:C小提示：此题主要考查了一元二次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程9、方程x2−1=0的解是（）A．x1=x2=1B．x1=0,x2=1C．x1=1,x2=−1D．x1=0,x2=−1答案：C分析：先移项，再两边开平方可得解．解：由原方程可得：x2=1，两边开平方可得：x1=1,x2=−1，故选：C．小提示：本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．10、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x 2−2x ⋅(x +40−2x 2)=950 整理，得，x 2+20x −125=0解得，x 1=5,x 2=−25（不合题意，舍去）．故选：D ．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键． 填空题11、关于x 的一元二次方程2x 2+4mx +m =0有两个不同的实数根x 1，x 2，且x 12+x 22=316，则m =__________． 答案：−18##-0.125 分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2，再由x 12+x 22=316变形得到（x 1+x 2）2-2x 1x 2=316，即可得到4m 2-m =316，然后解此方程即可．解：根据题意得x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2，∵x 12+x 22=316， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=316， ∴4m 2-m =316， ∴m 1=-18，m 2=38，∵Δ=16m 2-8m ＞0， ∴m ＞12或m ＜0时， ∴m =38不合题意，所以答案是：−18．小提示：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ． 12、关于x 的方程(k −1)x |k|+1−x +5=0是一元二次方程，则k =________．分析：直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．解：∵关于x的方程(k−1)x|k|+1−x+5=0是一元二次方程，∴{k−1≠0①|k|+1=2②由①得：k≠1,由②得：k=±1,所以k=−1.所以答案是：−1小提示：此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．13、一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是_________．答案：x1=2，x2=−7分析：由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．解：由题意可知：x−2=0或x+7=0，∴x1=2或x2=−7，所以答案是：x1=2或x2=−7．小提示：本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．14、若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是___．答案：1分析：根据一元二次方程解的定义把x=1代入到mx2+nx−1=0(m≠0)进行求解即可．解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，∴m+n−1=0，∴m+n=1，所以答案是：1．小提示：本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．15、若m，n是一元二次方程x2+2x+1=0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是______分析：先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m+1=0，则m2+2m=-1，根据根与系数的关系得出m+n=-2，再将其代入整理后的代数式计算即可．解：∵m是一元二次方程x2+2x+1=0的根，∴m2+2m+1=0，∴m2+2m=-1，∵m、n是一元二次方程x2+2x+1=0的两个根，∴m+n=-2，∴m2+4m+2n=m2+2m+2m+2n=-1+2×（-2）=-5．所以答案是：-5．，小提示：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-bax1x2=c．也考查了一元二次方程的解．a解答题16、某商场于今年年初以每件40元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，一月份销售64件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件．设二、三这两个月月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售，商场获利2240元?答案：(1)二、三这两个月的月平均增长率为25%(2)该店应按原售价的九折出售分析：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据增长率公式列方程解答；（2）设商品应降价x元，根据售价乘以数量列一元二次方程解答．（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为a，根据题意可得：64(1+a)2=100，解得：a 1=14，a 2=−94（不合题意舍去）答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）设商品应降价x 元，根据题意，得(60−x −40)(100+x 2×20)=2240， 化简，得x 2−10x +24=0，解得x 1=4，x 2=6，∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元，此时，售价为：60−6=54（元），5460×100%=90%，答：该店应按原售价的九折出售．小提示：此题考查了一元二次方程的实际应用，正确掌握增长率问题计算公式a （1+x ）2=b ，以及销售问题的计算公式是解题的关键．17、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根．(1)若这个方程有一个根为-1，求m 的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；(3)已知Rt △ABC 的一边长为7，x 1，x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．答案：(1)m 的值为1或-2(2)-2＜m ＜1(3)m ＝√624或m ＝4924 分析：（1）把x =-1代入方程，列出m 的一元二次方程，求出m 的值；（2）首先用m 表示出方程的两根，然后列出m 的不等式组，求出m 的取值范围；（3）首先用m 表示出方程的两根，分直角△ABC 的斜边长为7或2m +3,根据勾股定理求出m 的值.（1）解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x ＝-1代入方程x 2-4mx +4m 2-9＝0，得1+4m +4m 2-9＝0． 解得m ＝1或m ＝-2．∴m 的值为1或-2．（2）解：∵x 2-4mx +4m 2＝9，∴(x -2m )2＝9，即x -2m ＝±3． ∴x 1＝2m +3，x 2＝2m -3．∵2m +3＞2m -3，∴{2m +3＞−12m −3＜−1解得-2＜m ＜1．∴m 的取值范围是-2＜m ＜1．（3）解：由(2)可知方程x 2-4mx +4m 2-9＝0的两根分别为2m +3，2m -3．若Rt △ABC 的斜边长为7，则有49＝(2m +3)2+(2m -3)2．解得m ＝±√624． ∵边长必须是正数，∴m ＝√624． 若斜边为2m +3，则(2m +3)2＝(2m -3)2+72．解得m ＝4924．综上所述，m ＝√624或m ＝4924． 小提示：本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.18、解方程：(1)（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2；(2)x 2−√2x −14=0． 答案：(1)−2或43 (2)√2+√32或√2−√32分析：（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可；（2）先配方，然后直接开平方计算求解即可．（1）解：(2x −1)2=(3−x )2 (2x −1)2−(3−x )2=0 (2x −1+3−x )(2x −1−3+x )=0 (x +2)(3x −4)=0∴x +2=0或3x −4=0解得x =−2或x =43∴方程的解为−2或43．（2）解：x 2−√2x −14=0 (x −√22)2=14+12∴x −√22=√32或x −√22=−√32解得x =√2+√32或x =√2−√32∴方程的解为√2+√32或√2−√32． 小提示：本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解．。
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程“必背知识点
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。
2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。
0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时，方程无实数根。
3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。
4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
2022年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程知识点总结素材 (新版)新人教版
一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理（完整版）第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（二）一元二次方程的一般形式：ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中：二次项为ax 2；二次项系数为 a ；一次项为 bx ，一次项系数为 b ；常数项为 c 。
特殊形式：（三）一元二次方程中“未知数的最高次数是 2，二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。
（四）一元二次方程的解（根）1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。
2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不 相等，则该数不是这个方程的根。
3、关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。
（2）a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。
（3）c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。
二、解一元二次方程（一）直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。
2、方程x 2 = p 的根（1） 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ，x 2 =− p 。
（2） 当 p=0 时，方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。
（3） 当 p<0 时，因为对任意实数 x ，都有x 2≥0，所以方程x 2 = p 无实数根。
人教九年级数学上册第二十一章一元二次方程考点大全笔记
(名师选题)人教九年级数学上册第二十一章一元二次方程考点大全笔记单选题1、对于任意实数k，关于x的方程x2−2(k+5)x+2k2+4k+50=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定答案：B分析：先计算根的判别式的值，得到Δ=[−2(k+5)]2−4×1×(2k2+4k+50)=−4(k−3)2−64<0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．解：∵Δ=[−2(k+5)]2−4×1×(2k2+4k+50)=−4k2+24k−100=−4(k−3)2−64<0，∴方程无实数根．故选B．小提示：本题考查了根的判别式与一元二次方程的根的关系，即当Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ= 0时，方程有两个相等的实数根，当Δ < 0时，方程无实数根．2、定义新运算a∗b，对于任意实数a，b满足a∗b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6，若x∗k=x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根答案：B分析：将x∗k按照题中的新运算方法展开，可得x∗k=(x+k)(x−k)−1，所以x∗k=x可得(x+k)(x−k)−1=x，化简得：x2−x−k2−1=0，Δ=(−1)2−4×1⋅(−k2−1)=4k2+5，可得Δ>0，即可得出答案.解：根据新运算法则可得：x∗k=(x+k)(x−k)−1=x2−k2−1，则x∗k=x即为x2−k2−1=x，整理得：x2−x−k2−1=0，则a=1,b=−1,c=−k2−1，可得：Δ=(−1)2−4×1⋅(−k2−1)=4k2+5∵k2≥0，∴4k2+5≥5；∴Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.小提示：本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.3、若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0，−2B．0，0C．−2，−2D．−2，0答案：B分析：直接把x=−2代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．解：根据题意，∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，把x=−2代入x2+2x+m=0，则(−2)2+2×(−2)+m=0，解得：m=0；∴x2+2x=0，∴x(x+2)=0，∴x1=−2，x=0，∴方程的另一个根是x=0；故选：B小提示：本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．4、关于x的方程x（x﹣5）＝3（x﹣5）的根是( )A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝﹣5；x2＝3D．x1＝5；x2＝3答案：D分析：利用因式分解法求解可得．解：∵x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣3）＝0，则x﹣5＝0或x﹣3＝0，解得x＝5或x＝3，故选：D．小提示：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5、若关于x的一元二次方程k2x2+(2k−1)x+1=0的两个实数根互为倒数，则k=（）A．1B．-1C．±1D．−1−√2答案：B分析：先根据一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．解：∵关于x的一元二次方程k2x2+(2k−1)x+1=0有两个实数根，∴此方程根的判别式Δ=(2k−1)2−4k2≥0，且k2≠0，解得k≤1且k≠0，4又∵关于x的一元二次方程k2x2+(2k−1)x+1=0的两个实数根互为倒数，∴1=1，k2（舍去），解得k=−1或k=1>14经检验，k=−1是所列分式方程的解，故选：B．小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．6、下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A．x2＋2x＝x2﹣1B．m2x2﹣7＋x2＝0C．x2＋1﹣1＝0D．ax2＋bx＋c＝0x答案：B分析：根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．解：A.x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；B.m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C.x2＋1xD.ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：B．小提示：本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．7、已知关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−1=0有解，则k的取值范围是（）A．k>0B．k≤2C．k≤2且k≠1D．k≥0且k≠1答案：D分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义以及△的意义得到k-1≠0且△≥0，即4+4（k-1）≥0，然后解不等式组即可得到k的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−1=0有实数根，∴k-1≠0且△≥0，即k-1≠0且4+4（k-1）≥0，解得k≥0且k≠1．故选D小提示：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义．8、已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（）A．4或5B．3C．√41D．3或√41答案：D分析：先利用因式分解法解得x1=4，x2=5，然后分类讨论：当两直角边分别为4和5或斜边为5，再利用勾股定理计算出第三边．解：解方程x2−9x+20=0得x1=4，x2=5，当两直角边分别为4和5，则第三边的长=√42+52=√41，当斜边为5，第三边的长=√52−42=3，所以此三角形的第三边长为3或√41．故选：D．小提示：本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．9、已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（）A．﹣7B．7C．2D．﹣2答案：B分析：根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把代数式x12+x22化为(x1+x2)2−2x1x2，再整体代入求值即可.解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．故选：B．小提示：本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键.10、关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（）A．x=3，m=−4B．x=3，m=4C．x=−3，m=−4D．x=−3，m=4答案：A分析：根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程x2+mx+3=0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．解：设方程的另一根为x2．∵关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为1，∴x=1满足关于x的一元二次方程x2+mx+3=0，∴12+m+3=0，解得m=-4；又由韦达定理知1×x2=3，解得x2=3．故方程的另一根是3．故选：A．,x1⋅小提示：本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=−bax2=c来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．a填空题11、已知方程(k−3)x｜k−1｜+3x+2=0．当k=_____时，为一元二次方程．答案：-1分析：根据一元二次方程的定义得到k−3≠0且|k−1|=2，解得即可．根据题意得，k−3≠0且|k−1|=2，解得k=-1，所以答案是：-1．小提示：本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，熟知定义是解题的关键．12、如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．答案：2分析：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，依题意得：（22-x）（14-x）=240，整理得：x2-36x+68=0，解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．所以答案是：2．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13、扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是______元．答案：4分析：由去年这种水果批发销售总额为10000元，可得今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：12000x −1000x+1=1000，求得x即可解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元∴12000x −10000x+1=1000整理得x2-x-12=0解得x=4或x=-3经检验x=4或-3都是分式方程的解（x=-3不合题意，舍去）．故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．所以答案是：4．小提示：本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．解答题14、2022年2月4日北京冬奥会如期开幕，北京也成为历史上首个“双奥之城”，全国上下也一同关注这一盛事，并为奥运健儿加油打气，与此同时冬奥会吉祥物“冰墩墩”也十分吸引观众的眼球；“冰墩墩”毛绒玩具也备受人们的喜爱．现有A、B两个厂家生产“冰墩墩”毛绒玩具，A厂家每小时生产“冰墩墩”400个，B厂家每小时生产“冰墩墩”500个．(1)若A、B厂家一共工作12小时，且生产“冰墩墩”的总数量不少于5500个，则B厂家至少生产“冰墩墩”多少小时：(2)原计划A、B两个厂家每天均工作8小时，但现在为了满足市场的需求，两个厂家每天均增加工作时间，A 工厂增加的时间比B工厂增加时间多2小时，但因为机器损耗及人员不足原因，A厂家每增加1小时，该厂每小时的产量将减10个，B厂家每增加1小时，该厂每小时的产量将减15个，这样两个厂一天生产的“冰墩墩”总量将比原计划多1820个，为了生产“冰墩墩”更高效，求A厂实际每天生产“冰墩墩”的时间．答案：(1)7小时(2)12小时分析：（1）设B厂家生产“冰墩墩”x小时，则A厂家生产“冰墩墩”(12−x)小时，利用工作总量=工作效率×工作时间，结合生产“冰墩墩”的总数量不少于5500个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；（2）设A厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为y小时，则B厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为(y−2)小时，A 厂每小时的产量为(480−10y)个，B厂每小时的产量为(650−15y)个，利用总产量=每小时的产量×每天的工作时间，结合两厂一天生产的“冰墩墩”总量将比原计划多1820个，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．（1）解：设B厂家生产“冰墩墩”x小时，则A厂家生产“冰墩墩”(12−x)小时，依题意得：400(12−x)+500x≥5500，解得x≥7．答：B 厂家至少生产“冰墩墩”7小时；（2）解：设A 厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为y 小时，则B 厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为(y −2)小时，A 厂每小时的产量为400−10(y −8)=(480−10y )个，B 厂每小时的产量为500−15(y −2−8)=(650−15y )个，依题意得(480−10y )y +(650−15y )(y −2)=400×8+500×8+1820，整理得5y 2−232y +2064=0，解得y 1=12，y 2=34.4．∵34.4＞24，∴y 2=34.4不合题意，舍去．答：A 厂实际每天生产“冰墩墩”的时间为12小时．小提示：本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．15、当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．答案：(1)m ＝3(2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2分析：（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得{|m −1|=2m +1≠0 ，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得m+1＝0或{|m−1|=1，m+1+m−3≠0解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．小提示：本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．。
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总
第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。
其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．二、一元二次方程的解法 １．一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零．（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．求根公式：x =2(40)b ac -≥（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =（2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． （3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．四、根与系数的关系——韦达定理1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，，则两个根满足：1212b cx x x x a a+=-⋅=，2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程20x px q ++=的两个根是12x x ，，那么1212x x p x x q +=-⋅=，． 推论2：以两个数12x x ，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++= 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则0ba -=，得0b =；（2）若两根互为倒数，则1c a =，得a c =；若两根互为负倒数，则1ca =-，得a c =-； （3）若有一个根是零，则0ca=，得0c =； （4）若两根都为零，则0b a -=，0ca =，得0b =，0c =；（5）若有一根为1，则0a b c ++=；若有一根为1-，则0a b c -+=．4、几个常见转化；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x 1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221（2）222121212()2x x x x x x +=+-；（3）12121211x x x x x x ++=；（4）22121212()()4x x x x x x -=+-；（5）12||x x -=（6）2212121212()x x x x x x x x +=+；（7）22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==．五、用一元二次方程解决实际问题 1、面积最大化问题 2、利润最大化问题 3、增长率问题 4、传播问题 5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： （1） 24b ac ∆=-为完全平方数；（2）2b ak -+或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组．对于方程20(0)ax bx c a ++=≠，则： （1）有两正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪->+>⎪⎩≥（2）有两负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪-<+<⎪⎩≥（3）有一个正跟一个负根：121200(0)0(0)c x x a b x x a ⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪->+>⎪⎩正根的绝对值较大 121200(0)0(0)cx x a b x x a⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪-<+<⎪⎩负根的绝对值较大（4）有一零根一正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪->+>⎪⎩（5）有一零根一负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a ⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-<+<⎪⎩（6）有两个零根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆=⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-=+=⎪⎩。
人教版九年级上册数学第21章 一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .acx x abx x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 ac x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ⇔ ab-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0； （2）两根互为倒数 ⇔ ac=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0； （3）只有一个零根 ⇔ ac = 0且a b-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ⇔ac = 0且a b-= 0 ⇔ c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ⇔ ac=0 ⇔ c=0； （6）两根异号 ⇔ac＜0 ⇔ a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ⇔ac ＞0，a b-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ⇔ac ＞0，a b-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法：.0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧===------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为 ；⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或 ；.0x ,0x :.1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
九年级上册第21章一元二次方程全章复习人教版
已知关于x的一元二次方程
x2-6x+2k-1=0有两个相
等的实数根，求k的值及方程的根. 例2 关于x的一元二次方程 (m-1)x2-2x+1=0.
的矩形？能围成一个面积为101 cm2的矩形吗？如 (2) 按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.
3. 用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm 若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+x+m2-1=0有一根为0，则m=
② 一元二次方程根的概念. 一元二次方程的实际应用
若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的 倍；
③ 选用适当的方法解方程. △<0 方程无实数根.
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) 计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ 列方程 增长 (降低) 率问题 ∵方程有一个根小于1， 分析: 设2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x. 若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的 倍； (2) 若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 到2022年底，全省5G基站的数量将达到17.
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
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①因为规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30)， 则建造双人间的房间数为2t， 三人间的房间数为100－3t， 由题意得t＋2×2t＋3(100－3t)＝200，解得t＝25. 即t的值是25.
考点 5 三种思想
9．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4 ＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2. ∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1
返回
＝2(2a2＋a)＋1＝5.
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7．(中考·湖州)随着某市养ห้องสมุดไป่ตู้机构(养老机构指社会福 利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进， 拥有的养老床位不断增加．
(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015 年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到 2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率．
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∴当a＝
1 2
时， x21＋x22的值最小．
此时x21＋x22
＝
2(1 2)2 2
4
1, 2
即最小值为12.
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新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
九(上)21章一元二次方程知识总结.doc
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x 5 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
知识点 3：一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 例 4. 关于 x 的一元二次方程（a-1)x +x+a -1=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ A.1 B.-1
2 2 2
例 20. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元， 要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？ 类型 4：面积问题 例 17. 如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余 部分种花草．要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？
2
2
【注意：用求根公式法解一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的步骤是：①把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值（注意符号） ；②求出 △=b -4ac 的值并判断符号( 注：若△＜ 0 ，则方程无实数根） ；③将 a、b 及△的值代人求根公式 ． ．．．．． ． ．．．．．．．． ． 若△ =0 则写成 =x = 】 1 2 ．． ． ．． ． ． ．．．x ． ． ． ） ． . ④(a +1)x +bx+c=0
【注意：常用的对称式的变形有: x12 x2 2 x1 x2 2 2x1 x2 例 22. 若 x1=﹣1 是关于 x 的方程 x +mx﹣5=0 的一个根，则 m=
2
】 ,方程的另一个根 x2= )
x2
．
第21章 一元二次方程知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义1. 定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①是整式方程 ; ②只含有一个未知数 ; ③未知数的最高次数是2. 注意：分母位置不能有未知数 例：判断下了哪些是一元二次方程051)1(2=-+xx 073)2(2=+-xy x 41)3(2=-+x x 032)4(3=+-m m 0522)5(2=-x 4)6(2=-bx ax 知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是 )0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 是二次项，a 是二次项系数;bx 是一次项，b 是一次项系数;c 是常数项知识点三 一元二次方程的解(根)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
例如=x -3和x=2都是一元二次方程0652=+-x x 的解(根). 温馨提示:（1）一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个;（2）在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若0=++c b a ，则1=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根;若0=+-c b a ，则1-=x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根注意:判断一个数值是不是一元二次方程解的方法:将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解;反之，它就不是一元二次方程的解.21.2 解一元二次方程21.1.2 配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法就做直接开平方法 一般地，对于方程为常数）p p x (2=为常数）p p x (2=根据平方根的意义，方程根的情况当时0>p 两个不相等的实数根p x p x =-=21,当时0=p 两个相等的实数根 021==x x 当时0<p方程无实数根可以利用直接开平方法解一元二次方程的类型 （1）)0(2≥=p p x p x p x =-=21,（2））0(2≥=p p ax 先系数化为1 ，ap x a p x -==21, （3）())0(2≥=+p p a x 整体开平方后将a 移项，a p x a p x --=-=21,（4）())0(2≥=+p p b ax 整体开平方，再将b 移项，最后系数化为 1abp x a b p x --=-=21, 温馨提示:(1)采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，直接开平方法只适用于部分一元二次方程，它适用的方程是能转化为以上类型的方程,(2)利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当0≥p 时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况。
21章一元二次方程重难点、易考点汇总
21章一元二次方程重点、易考点一、一元二次方程的概念 1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是________________． 二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是 ， 主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________. 4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________． ~三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.注意：222121212()2x x x x x x +=+-⋅22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 2121212()4x x x x x x -=+-⋅五、实际问题与一元二次方程&列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．考点一：一元二次方程的定义 题型（一）判断一元二次方程１、是一元二次方程。
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考点 1 两个概念
概念1 一元二次方程的定义
1．当m取何值时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3 ＝0是关于x的一元二次方程？
解：当m2＋1＝2且m－1≠0时， 方程(m－1)xm2＋1 ＋2mx＋3＝0是关于x的一元二 次方程． 由m2＋1＝2，得m2＝1，所以m＝±1. 由m－1≠0，得m≠1，所以只能取m＝－1. 所以当m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1 ＋2mx＋3＝ 0是关于x的一元二次方程．
习题课 第二十一章 一元二次方程
全章热门考点整合应用
一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一 元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次 方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一 元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题 的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章 热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关 系，两个应用，三种思想．
解：这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项．
同类变式
10．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的二次三
项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法 .
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab
＋b2＝(a±b)2.
例如：(x－1)2＋3，(x－2)2＋2x，
1x 2
考点 3 两个关系
关系1 一元二次方程的根的判别与系数的关系 5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.
其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－ b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个 相等的实数根，
∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0， ∴b1＝2，b2＝－10(舍去)．
当a为腰长时，△ABC的周长为5＋5＋2＝12. 当b为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形． ∴△ABC的周长为12.
关系2 一元二次方程根与系数的关系
6．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不等实根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2， 求k的值．
(1)请仿照上述过程，完成以下练习： x2＋4x－5＝[x＋(__－__1__)][x＋(___5___)]； x2－5x＋6＝[x＋(__－__2__)][x＋(__－__3__)]； x2－8x－9＝[x＋(___1___)][x＋(__－__9__)]．
(2)请观察横线上所填的数，每道题所填的两个数 与一次项系数、常数项有什么关系？
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0. 解得k> 3 . 4
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2k＋1)， x1·x2＝k2＋1. ∵x1＋x2＝－x1·x2， ∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)．
解得k＝0ห้องสมุดไป่ตู้k＝2. 又∵k> 3 ,
4 ∴k＝2.
(x－1)(3x－1) ＝0，
∴x1＝1，x2＝
1. 3
(2) x2－6x－6＝0； 解：(2) x2－6x－6＝0，
x2－6x＝ 6， x2－6x＋9＝ 15， (x－3)2＝ 15， x－3＝± 15 ， ∴x1＝3＋ 15 ，x2＝3－ 15 .
同类变式
选择适当的方法解下列方程： (1) 6 000(1－x)2＝4 860； (2) (10＋x)(50－x)＝800； (3) (2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
.
4
(2)配色条纹部分造价： 1870×5×4×200＝850(元)， 其余部分造价： 1 17 ×5×4×100＝1 575(元)． 80 则总造价为850＋1 575＝2 425(元)．
所以地毯的总造价是2 425元．
应用2 配方的应用
9．阅读下面材料，完成填空． 我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋ 3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式， 其过程如下： x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8 ＝(x＋3)2－1 ＝(x＋3＋1)(x＋3－1) ＝(x＋4)(x＋2)．
2
2 ＋ 3 x2是x2 4
－2x＋4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数
项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋2的三种不同形式的配方；
(2)已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，求a＋b＋c的值．
考点 5 三种思想
思想1 整体思想
11．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数 式2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
要准确理解一元二次方程的概念，需从次 数和系数两方面考虑．
概念1 一元二次方程的根
2．若一元二次方程ax2－bx－2 017＝0有一根为 x＝－1，则a＋b＝___2_0_1_7__．
把x＝－1代入方程中得到a＋b －2 017＝0，即 a＋b ＝2 017.
同类变式
3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一
(1)求配色条纹的宽度； (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余
部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．
解：(1)设配色条纹的宽度为x m，依题意得
2x×5＋2x×(4－2x)＝ 17 ×5×4.
解答得：x配1＝色条147纹(不的符宽合度题为意810，m舍. 去)，x2＝
1 4
同类变式
7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2 ＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时， x12＋x22有最小值？最小值是多少？
考点 4 两个应用
应用1 一元二次方程的应用
8．如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，为了美观， 设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)， 已知配色条纹的宽度 相同，所占面积是整 个地毯面积的 17 . 80
根为－1，且 a 4 c
(a＋b)2018 的值． 2 017c
c 4 2, 求
考点 2 一个解法—— 一元二次方程的解法
4．选择适当的方法解下列方程： (1) (x－1)2＋2x(x－1)＝0； (2) x2－6x－6＝0；
解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0，
(x－1)(x－1＋2x) ＝0，