第21章 一元二次方程全章热门考点整合

根为－1，且 a 4 c
(a＋b)2018 的值． 2 017c
c 4 2, 求
考点 2 一个解法—— 一元二次方程的解法
4．选择适当的方法解下列方程： (1) (x－1)2＋2x(x－1)＝0； (2) x2－6x－6＝0；
解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0，
(x－1)(x－1＋2x) ＝0，
(x－1)(3x－1) ＝0，
∴x1＝1，x2＝
1. 3
(2) x2－6x－6＝0； 解：(2) x2－6x－6＝0，
x2－6x＝ 6， x2－6x＋9＝ 15， (x－3)2＝ 15， x－3＝± 15 ， ∴x1＝3＋ 15 ，x2＝3－ 15 .
同类变式
选择适当的方法解下列方程： (1) 6 000(1－x)2＝4 860； (2) (10＋x)(50－x)＝800； (3) (2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
(1)求配色条纹的宽度； (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余
部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．
解：(1)设配色条纹的宽度为x m，依题意得
2x×5＋2x×(4－2x)＝ 17 ×5×4.
解答得：x配1＝色条147纹(不的符宽合度题为意810，m舍. 去)，x2＝
1 4
(1)请仿照上述过程，完成以下练习： x2＋4x－5＝[x＋(__－__1__)][x＋(___5___)]； x2－5x＋6＝[x＋(__－__2__)][x＋(__－__3__)]； x2－8x－9＝[x＋(___1___)][x＋(__－__9__)]．
(2)请观察横线上所填的数，每道题所填的两个数 与一次项系数、常数项有什么关系？
考点 1 两个概念
概念1 一元二次方程的定义
1．当m取何值时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3 ＝0是关于x的一元二次方程？
解：当m2＋1＝2且m－1≠0时， 方程(m－1)xm2＋1 ＋2mx＋3＝0是关于x的一元二 次方程． 由m2＋1＝2，得m2＝1，所以m＝±1. 由m－1≠0，得m≠1，所以只能取m＝－1. 所以当m＝－1时，方程(m－1)xm2＋1 ＋2mx＋3＝ 0是关于x的一元二次方程．
.
4
(2)配色条纹部分造价： 1870×5×4×200＝850(元)， 其余部分造价： 1 17 ×5×4×100＝1 575(元)． 80 则总造价为850＋1 575＝2 425(元)．
所以地毯的总造价是2 425元．
应用2 配方的应用
9．阅读下面材料，完成填空． 我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋ 3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式， 其过程如下： x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8 ＝(x＋3)2－1 ＝(x＋3＋1)(x＋3－1) ＝(x＋4)(x＋2)．
要准确理解一元二次方程的概念，需从次 数和系数两方面考虑．
概念1 一元二次方程的根
2．若一元二次方程ax2－bx－2 017＝0有一根为 x＝－1，则a＋b＝___2_0_1_7__．
把x＝－1代入方程中得到a＋b －2 017＝0，即 a＋b ＝2 017.
同类变式
3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一
考点 3 两个关系
关系1 一元二次方程的根的判别与系数的关系 5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.
其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－ b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个 相等的实数根，
∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0， ∴b1＝2，b2＝－10(舍去)．
解：这两个数的和等于一次项系数，积等于常数项．
同类变式
10．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的二次三
项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法 .
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab
＋b2＝(a±b)2.
例如：(x－1)2＋3，(x－2)2＋2x，
1x 2
2
2 ＋ 3 x2是x2 4
－2x＋4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数
项、一次项、二次项．
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋2的三种不同形式的配方；
(2)源自文库知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，求a＋b＋c的值．
考点 5 三种思想
思想1 整体思想
11．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数 式2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
同类变式
7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2 ＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时， x12＋x22有最小值？最小值是多少？
考点 4 两个应用
应用1 一元二次方程的应用
8．如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，为了美观， 设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)， 已知配色条纹的宽度 相同，所占面积是整 个地毯面积的 17 . 80
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0. 解得k> 3 . 4
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2k＋1)， x1·x2＝k2＋1. ∵x1＋x2＝－x1·x2， ∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)．
解得k＝0或k＝2. 又∵k> 3 ,
4 ∴k＝2.
当a为腰长时，△ABC的周长为5＋5＋2＝12. 当b为腰长时，2＋2＜5，不能构成三角形． ∴△ABC的周长为12.
关系2 一元二次方程根与系数的关系
6．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不等实根x1，x2. (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2， 求k的值．
习题课 第二十一章 一元二次方程
全章热门考点整合应用
一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一 元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次 方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一 元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题 的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．本章 热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关 系，两个应用，三种思想．