第三章 静磁场
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3 -9 将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内，求总磁感应 强度和诱导磁矩。 解：这类问题类似于在均匀电场中放入线性均匀介质球的情形。这 介质球将被磁化。以球心为坐标原点，令做用外场，于是就有Z轴 的对称性。因球内外均无传导电流分布，可引入磁标势，使。球内 球外，因此球内假想磁荷体密度， 球外。于是磁标势的全部定解条件为： ， （1） 有限；（2）
磁感应强度为： ， 记到的距离，矢径， 则在的磁感应强度为： 其中，故的磁场对的作用能及作用力为 负号表明受到吸引力。
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3.6两个半径为a的同轴圆形线圈，位于面上，每个线圈上载有同方向 的电流I。
（1）求轴线上的磁感应强度； （2）求在中心区域产生最接近均匀的磁场时L和a的关系。 【解】设两线圈中的电流I均沿方向，用毕奥-萨伐尔定律，可分别求 出两个电流圈在Z轴上任一点的磁感应强度和，再将两者相加，即得 在中心区域存在最接近于均匀磁场的条件为
件，外部矢势也只能是，于是方程（1）和（2）分别是 边界条件（4）为
处， 对（5）的两个方程积分，得 各积分常数由条件（3）和（6）确定，得 可以验证，A1和A2均满足库仑规范条件。
3 8 假设存在磁单极子，其磁荷为，它的磁场强度为，试找出是矢 势的一个可能的表达式，并讨论它的奇异性。 解：以磁荷所在点为坐标原点，由，通过任一半径为的球冠的磁通 量为 其中 且，与坐标无关，而 ，故 得 可以看到，对于，在（磁荷所在点），以及但处，有一条奇异弦； 而对于，在（磁荷所在点），以及但处，也好有一条奇异弦。
（3） 由（2）的两个条件，及轴对称性，两区域内标势方程的通解可写 为 再由条件（3），解出 ， 球内为均匀磁场，是第一项原外场与第二项介质球面磁化电流产生 的均匀磁场之叠加；球外的第一项为原外场，第二项为球面磁化电 流产生在外部产生的磁磁偶极场，将与式比较，得： 事实上，介质球的磁化强度 是常矢量，因此它的磁矩为 3 -10 将一内外半径分别为和的空心球，位于均匀磁场内，球的磁导
[方法一] 磁标势法 求内外均无传导电流，故， 边界条件： 有限； 即 而 ， 球内为均匀场，球外为偶极场。球面电流形成的磁矩为 [方法二]有上式得 而 且，即 ， [方法三] 矢势法 球内外传导电流均为零，故定解条件为：，（） 有限； 和 球面电流形成的磁矩 故球外矢势为 由轴对称性及，可知球内矢势函数为 ， 可以验证，矢势都满足 3—14 电荷按体积均匀分布的刚性小球，半径为，总电荷为，它绕 自身某一直径以角速度转动，求 （1）它的磁矩； （2）它的磁矩与自转角动量之比。设小球质量是均匀分布的。 解：小球的电荷密度和质量密度分别为， 设转动轴为Z轴，则球内任一点的转动速度为 球内电流密度和动量密度分别为 ，
第3章 静磁场 3.1、试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同的表达 是，证明两者之差就是无旋场。 【解】由，在直角坐标系中，有
，， 有许多A场可以满足这组方程，其中两个A场可选为
， 而且显然有
3.2、均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流 为，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。 【解】设螺线管截面半径为a，z轴为其中心轴，在柱坐标系中，螺线 管表面电流密度，记螺线管内部磁场为，外部磁场为，全部定解条件 为 ，（，）（1） ，有限；， （2） ，， （3）
3.4、设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有 线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 【解】电流的磁场使介质磁化。记区域磁场为B1，区域磁场为B2，在 柱坐标系中，全部定解条件为 因电流线无穷长，而介质是均匀的，两区域的H和B应当只是离开线电 流的距离r的函数而且只有分量，由安培环路定理，对围绕着电流线、 任意半径r的圆，有 由（3）的第一个条件及对称性，应当有，而，于是由（4）得尝试 解： 这解显然满足全部定解条件。由，在电流线周围作的无限小圆周L， 得电流线与介质分界面出现的“线磁化电流”为 3.5某空间区域内有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知，其中B0为常 量，求该处的B。 【解】磁场有Z轴对称性，意味着其分量（或与坐标无关）。于是在 柱坐标系中，由 得，A可以是，Z的任意函数，但因为这是原点附近小区域的轴对称磁 场，可令A=0，即有 可以验证，，即该处，。若常量，则 描写半径为，电流为I的圆电流圈在其中心附近的磁场。
由于螺线管无穷长，外部磁场应为.由（3）的第二个条件，内部 磁场应为
， （4） 这解满足两区域中的场方程（1）和全部边界条件，因此是唯一 正确的解。
3.3设有无穷长的线电流I沿z轴流动，z<0空间充满磁导率为μ的均匀介 质，z>0区域为真空，使用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电 流分布。 【解】电流I的磁场是介质磁化。记区域磁场为，区域磁场为，在柱坐 标系中，全部定解条件为 ， （，，） （1） ，和；，和 （2）
率为，求空腔内的磁感应强度，并讨论时的屏蔽作用。 解：以球心为坐标原点，令外场。球腔内、介质中及球外三个区域 均无传导电流，故可使 。介质 球腔内，球外，故由，可知三个区域内假想磁荷密度均为零，即有 边界条件为 有限； 由Z轴对称性得 由边界条件，求得待定系数 ， ， 空腔内的标势和磁场为 ， 是与外场方向相同的均匀场，但比外场弱。对于给定的， 介质的磁导率越大，越弱，球壳对外场的屏蔽作用越显著，当 时，。 3-11 设理想铁磁体的磁化规律为，是恒定的，与无关。今将一理想 铁磁体做成的均匀磁化球（为常量）浸入磁导率为的无限介质中， 求磁感应强度和磁化电流分布。 解：铁磁体内 ， 外部介质种 故， 两区磁标势方程为 。设球半径为，并令 ，于是关于Z轴对称，边界条件为： 有限； 其解 球内为均匀场，球外为偶极场。球面的磁化电流密度为 3—12 当上题的永磁球置入均匀外磁场中，结果如何？ 解：当，，由轴对称和条件有限，则有 边界条件： 球内的两项均为均匀场，球外第二项为偶极场，而 3—13 有一个均匀带电的薄导体壳，半径为，总电荷为，今使球壳 绕自身某一直径一角速度转动，求球内外的磁场。 解：一球心为坐标原点，转动轴为Z轴。球壳电荷面密度为， 因球壳自转而形成的面电流密度为
因电流线无穷长，而介质是均匀的，两区域内的磁场应当只有分量， 而且只是离开电流线距离r的函数，由安培环路定律提出尝试解： 可以验证，这解满足全部定解条件。由，得介质的磁化强度为 上半空间，因此介质表面即处磁化电流面密度为 这电流显然是从处流出并沿介质表面径向流动，根据电流的连续性，
可判断下半空间的介质中，即电流线表面存在“线磁化电流”：
小球的磁矩和自转角动量分别为 3—15 有一块磁矩为的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平 坦界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力。 解：设介质表面为Z=0平面，为于介质表面上方处，它与界面法向的 夹角为。由于高磁导率介质表面是等磁势面，令其表面磁标势为零。 介质的磁化电流在其外部空间产生的磁场，可用介质内处的镜像磁矩 的磁场等效，为满足Z=0处标势的条件，显然与的数值应相等，与界 面法向的夹角也为，但与的夹角为2。于是在介质外部任一点的标势与
3.7、半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流J均匀分拨于截面上，试 解矢势A的微分方程，设导体的磁导率为，导体外的磁道率为。 【解】设Z轴为导体柱的中心轴，导体内有恒定电流，由于电流不是 分布于有限区域，应选择有限远折点为矢势零值参考点，可令。即导 体柱面。则在柱坐标系中，导体、外两区域矢势的全部定解条件为 有限（3） 因导体内的电流总是沿方向，从方程（1）可知导体内矢势A1只能有 方向的分量，且由对称性它只是r的函数，即；又由处矢势连续的条
磁感应强度为： ， 记到的距离，矢径， 则在的磁感应强度为： 其中，故的磁场对的作用能及作用力为 负号表明受到吸引力。
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3.6两个半径为a的同轴圆形线圈，位于面上，每个线圈上载有同方向 的电流I。
（1）求轴线上的磁感应强度； （2）求在中心区域产生最接近均匀的磁场时L和a的关系。 【解】设两线圈中的电流I均沿方向，用毕奥-萨伐尔定律，可分别求 出两个电流圈在Z轴上任一点的磁感应强度和，再将两者相加，即得 在中心区域存在最接近于均匀磁场的条件为
件，外部矢势也只能是，于是方程（1）和（2）分别是 边界条件（4）为
处， 对（5）的两个方程积分，得 各积分常数由条件（3）和（6）确定，得 可以验证，A1和A2均满足库仑规范条件。
3 8 假设存在磁单极子，其磁荷为，它的磁场强度为，试找出是矢 势的一个可能的表达式，并讨论它的奇异性。 解：以磁荷所在点为坐标原点，由，通过任一半径为的球冠的磁通 量为 其中 且，与坐标无关，而 ，故 得 可以看到，对于，在（磁荷所在点），以及但处，有一条奇异弦； 而对于，在（磁荷所在点），以及但处，也好有一条奇异弦。
（3） 由（2）的两个条件，及轴对称性，两区域内标势方程的通解可写 为 再由条件（3），解出 ， 球内为均匀磁场，是第一项原外场与第二项介质球面磁化电流产生 的均匀磁场之叠加；球外的第一项为原外场，第二项为球面磁化电 流产生在外部产生的磁磁偶极场，将与式比较，得： 事实上，介质球的磁化强度 是常矢量，因此它的磁矩为 3 -10 将一内外半径分别为和的空心球，位于均匀磁场内，球的磁导
[方法一] 磁标势法 求内外均无传导电流，故， 边界条件： 有限； 即 而 ， 球内为均匀场，球外为偶极场。球面电流形成的磁矩为 [方法二]有上式得 而 且，即 ， [方法三] 矢势法 球内外传导电流均为零，故定解条件为：，（） 有限； 和 球面电流形成的磁矩 故球外矢势为 由轴对称性及，可知球内矢势函数为 ， 可以验证，矢势都满足 3—14 电荷按体积均匀分布的刚性小球，半径为，总电荷为，它绕 自身某一直径以角速度转动，求 （1）它的磁矩； （2）它的磁矩与自转角动量之比。设小球质量是均匀分布的。 解：小球的电荷密度和质量密度分别为， 设转动轴为Z轴，则球内任一点的转动速度为 球内电流密度和动量密度分别为 ，
第3章 静磁场 3.1、试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同的表达 是，证明两者之差就是无旋场。 【解】由，在直角坐标系中，有
，， 有许多A场可以满足这组方程，其中两个A场可选为
， 而且显然有
3.2、均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流 为，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。 【解】设螺线管截面半径为a，z轴为其中心轴，在柱坐标系中，螺线 管表面电流密度，记螺线管内部磁场为，外部磁场为，全部定解条件 为 ，（，）（1） ，有限；， （2） ，， （3）
3.4、设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有 线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。 【解】电流的磁场使介质磁化。记区域磁场为B1，区域磁场为B2，在 柱坐标系中，全部定解条件为 因电流线无穷长，而介质是均匀的，两区域的H和B应当只是离开线电 流的距离r的函数而且只有分量，由安培环路定理，对围绕着电流线、 任意半径r的圆，有 由（3）的第一个条件及对称性，应当有，而，于是由（4）得尝试 解： 这解显然满足全部定解条件。由，在电流线周围作的无限小圆周L， 得电流线与介质分界面出现的“线磁化电流”为 3.5某空间区域内有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知，其中B0为常 量，求该处的B。 【解】磁场有Z轴对称性，意味着其分量（或与坐标无关）。于是在 柱坐标系中，由 得，A可以是，Z的任意函数，但因为这是原点附近小区域的轴对称磁 场，可令A=0，即有 可以验证，，即该处，。若常量，则 描写半径为，电流为I的圆电流圈在其中心附近的磁场。
由于螺线管无穷长，外部磁场应为.由（3）的第二个条件，内部 磁场应为
， （4） 这解满足两区域中的场方程（1）和全部边界条件，因此是唯一 正确的解。
3.3设有无穷长的线电流I沿z轴流动，z<0空间充满磁导率为μ的均匀介 质，z>0区域为真空，使用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电 流分布。 【解】电流I的磁场是介质磁化。记区域磁场为，区域磁场为，在柱坐 标系中，全部定解条件为 ， （，，） （1） ，和；，和 （2）
率为，求空腔内的磁感应强度，并讨论时的屏蔽作用。 解：以球心为坐标原点，令外场。球腔内、介质中及球外三个区域 均无传导电流，故可使 。介质 球腔内，球外，故由，可知三个区域内假想磁荷密度均为零，即有 边界条件为 有限； 由Z轴对称性得 由边界条件，求得待定系数 ， ， 空腔内的标势和磁场为 ， 是与外场方向相同的均匀场，但比外场弱。对于给定的， 介质的磁导率越大，越弱，球壳对外场的屏蔽作用越显著，当 时，。 3-11 设理想铁磁体的磁化规律为，是恒定的，与无关。今将一理想 铁磁体做成的均匀磁化球（为常量）浸入磁导率为的无限介质中， 求磁感应强度和磁化电流分布。 解：铁磁体内 ， 外部介质种 故， 两区磁标势方程为 。设球半径为，并令 ，于是关于Z轴对称，边界条件为： 有限； 其解 球内为均匀场，球外为偶极场。球面的磁化电流密度为 3—12 当上题的永磁球置入均匀外磁场中，结果如何？ 解：当，，由轴对称和条件有限，则有 边界条件： 球内的两项均为均匀场，球外第二项为偶极场，而 3—13 有一个均匀带电的薄导体壳，半径为，总电荷为，今使球壳 绕自身某一直径一角速度转动，求球内外的磁场。 解：一球心为坐标原点，转动轴为Z轴。球壳电荷面密度为， 因球壳自转而形成的面电流密度为
因电流线无穷长，而介质是均匀的，两区域内的磁场应当只有分量， 而且只是离开电流线距离r的函数，由安培环路定律提出尝试解： 可以验证，这解满足全部定解条件。由，得介质的磁化强度为 上半空间，因此介质表面即处磁化电流面密度为 这电流显然是从处流出并沿介质表面径向流动，根据电流的连续性，
可判断下半空间的介质中，即电流线表面存在“线磁化电流”：
小球的磁矩和自转角动量分别为 3—15 有一块磁矩为的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平 坦界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力。 解：设介质表面为Z=0平面，为于介质表面上方处，它与界面法向的 夹角为。由于高磁导率介质表面是等磁势面，令其表面磁标势为零。 介质的磁化电流在其外部空间产生的磁场，可用介质内处的镜像磁矩 的磁场等效，为满足Z=0处标势的条件，显然与的数值应相等，与界 面法向的夹角也为，但与的夹角为2。于是在介质外部任一点的标势与
3.7、半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流J均匀分拨于截面上，试 解矢势A的微分方程，设导体的磁导率为，导体外的磁道率为。 【解】设Z轴为导体柱的中心轴，导体内有恒定电流，由于电流不是 分布于有限区域，应选择有限远折点为矢势零值参考点，可令。即导 体柱面。则在柱坐标系中，导体、外两区域矢势的全部定解条件为 有限（3） 因导体内的电流总是沿方向，从方程（1）可知导体内矢势A1只能有 方向的分量，且由对称性它只是r的函数，即；又由处矢势连续的条