浙江省各市2013年中考数学分类解析 专题12 押轴题
浙江省各市中考数学分类解析 专题12 押轴题
专题12：押轴题一、选择题1.（2012浙江杭州3分）已知关于x，y的方程组x y=4ax y=3a-⎧⎨-⎩+3，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：①x=5y=1⎧⎨-⎩是方程组的解；②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是【】A．①②B．②③C．②③④D．①③④【答案】C。
【考点】二元一次方程组的解，解一元一次不等式组。
【分析】解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断：解方程组x y=4ax y=3a-⎧⎨-⎩+3，得x=12ay=1a+⎧⎨-⎩。
∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4。
①x=5y=1⎧⎨-⎩不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确。
，故选C。
2.（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】A．5 B．453C．3 D．43. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A 的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【】A． B．C．D．【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。
2013届中考数学押轴题备考复习测试题33
解直角三角形的押轴题解析汇编二解直角三角形13. （2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，在沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知B、C两地相距___________m.【解题思路】由题意可知∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=30°，三角形ABC为等要三角形，故AB=BC=200 【答案】200【点评】本题考察了方位角以及等腰三角形中等角对等边这一性质.难度中等.18、（2011山西，18，3分）如图，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长是。
【解题思路】延长AE交BC于F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，又∵E是CD的中点，∴CF=AD=5，∵BC=10。
，∴BF=5，在RT13△ABF中AB=12、BF=5，所以AF=13，所以AE=213【答案】2【点评】本题主要考察几何图形的计算牵涉到三角形全等、勾股定理等重要几何知识，延长AE交BC于F的辅助线是本题的关键点。
难度中等。
6．（2011广西桂林，6，3分）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC =3, AC =4，则sinA 的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．45【解题思路】由勾股定理知AB ＝5，由三角函数定义知3sin 5BC A AB == 【答案】c【点评】本题考查勾股定理、三角函数定义等，难度较小．16．（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为 80和 100，大灯A 与地面离地面的距离为lm 则该车大灯照亮地面的宽度BC 是 m .（不考虑其它因素）【解题思路】过点A 作AD ⊥MN 于D ，则BC=BD-CD,而BD 、CD 分别在直角三角形ABD 、ACD 中求出：08tan 1=BD ，010tan 1=CD 则BC=BD-CD=5710tan 18tan 100=-7．【答案】5【点评】本题主要考查了直角三角形的边角关系及其应用，解决本题的关键是构造直角三角形，考查了考查考生应用知识解决问题的能力.难度中等.9. （2011山东烟台，9,4分）如果△ABC中，sin A=cos B，则下列最确切的结论是（）A. △ABC是直角三角形B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形【解题思路】根据sin A，得到∠A=450，cos B，得到∠B=450，所以∠C=1800-450-450=900，所以△ABC是等腰三角形，选择C。
2013年浙江绍兴市中考数学(含解析)试卷真题
2013年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（4分）﹣2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．0D．【考点】15：绝对值．【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．【解答】解：﹣2的绝对值是2，故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（4分）计算3a•（2b）的结果是（）A．3ab B．6a C．6ab D．5ab【考点】49：单项式乘单项式．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：3a•（2b）＝3×2a•b＝6ab．故选：C．【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（4分）地球半径约为6400000米，则此数用科学记数法表示为（）A．0.64×109B．6.4×106C．6.4×104D．64×103【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：6 400 000＝6.4×106，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】细心观察图中几何体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图象判定则可．【解答】解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．（4分）一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为（）A．B．C．D．【考点】X4：概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，2个黄球和1个红球，共6个，从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率2÷6＝．故选：B．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．6．（4分）绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【考点】KQ：勾股定理；M3：垂径定理的应用．【分析】连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA＝5m，根据CD＝8m，求出OD＝3m，根据AD＝求出AD，最后根据AB＝2AD即可得出答案．【解答】解：连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA＝5m，∵CD＝8m，∴OD＝8﹣5＝3m，∴AD＝＝＝4m，∴AB＝2AD＝2×4＝8（m）；故选：D．【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．7．（4分）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°【考点】MP：圆锥的计算．【分析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则＝2πr，解得：n＝180°．故选：D．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．（4分）如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．【考点】E6：函数的图象．【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．【解答】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、B；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除D选项．故选：C．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9．（4分）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（）A．BD2＝OD B．BD2＝OD C．BD2＝OD D．BD2＝OD 【考点】MM：正多边形和圆．【分析】首先连接BM，根据题意得：OB＝OA＝1，AD⊥OB，BM＝DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD2的值．【解答】解：如图2，连接BM，根据题意得：OB＝OA＝1，AD⊥OB，BM＝DM，∵OA的垂直平分线交OA于点M，∴OM＝AM＝OA＝，∴BM＝＝，∴DM＝，∴OD＝DM﹣OM＝﹣＝，∴BD2＝OD2+OB2＝＝＝OD．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．（4分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50【考点】GA：反比例函数的应用．【专题】16：压轴题．【分析】第1步：求出两个函数的解析式；第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；第3步：求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段；第4步：结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论．【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟，设一次函数关系式为：y＝k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y＝k1x+b得k1＝10，b＝30∴y＝10x+30（0≤x≤7），令y＝50，解得x＝2；设反比例函数关系式为：y＝，将（7，100）代入y＝得k＝700，∴y＝，将y＝30代入y＝，解得x＝；∴y＝（7≤x≤），令y＝50，解得x＝14．所以，饮水机的一个循环周期为分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．逐一分析如下：选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3＝15，位于14≤x≤时间段内，故可行；选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3＝5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2＝≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2＝≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x ≤时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案是：（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反，是解题的关键．12．（5分）分式方程＝3的解是x＝3．【考点】B3：解分式方程．【专题】11：计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣3，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．故答案为：x＝3【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有22只，兔有11只．【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设鸡有x只，兔有y只，就有x+y＝33，2x+4y＝88，将这两个方程构成方程组求出其解即可．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意，得：，解得：，∴鸡有22只，兔有11只．故答案为：22，11．【点评】本题考查了列二元一次方程解生活实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，根据条件找到反映全题题意的等量关系建立方程是关键．14．（5分）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y＝上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是2或﹣2．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】根据反比例函数的性质得出B点坐标，进而得出A点坐标．【解答】解：如图所示：∵点A与双曲线y＝上的点B重合，点B的纵坐标是1，∴点B的横坐标是，∴OB＝＝2，∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴，∴A点坐标为：（2，0），（﹣2，0）．故答案为：2或﹣2．【点评】此题主要考查了勾股定理以及反比例函数的性质等知识，根据已知得出BO的长是解题关键．15．（5分）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是12°．【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】设∠A＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…，∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°，即x+7x+7x＝180°，解得x＝12°，即∠A＝12°．故答案为：12°．【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．16．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为 2.8．【考点】RB：几何变换综合题．【专题】16：压轴题．【分析】如解答图所示，本题要点如下：（1）证明矩形的四个顶点A、B、C、D均在菱形EFGH的边上，且点A、C分别为各自边的中点；（2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长；（3）求出线段AP的长度，证明△AOP为等腰三角形；（4）利用勾股定理求出线段OP的长度；（5）同理求出OQ的长度，从而得到PQ的长度．【解答】解：由矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，可得对角线AC＝BD＝5．依题意画出图形，如右图所示．由轴对称性质可知，∠P AF+∠P AE＝2∠P AB+2∠P AD＝2（∠P AB+∠P AD）＝180°，∴点A在菱形EFGH的边EF上．同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上．∵AP＝AE＝AF，∴点A为EF中点．同理可知，点C为GH中点．连接AC，交BD于点O，则有AF＝CG，且AF∥CG，∴四边形ACGF为平行四边形，∴FG＝AC＝5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长．∴EF＝FG＝5，∵AP＝AE＝AF，∴AP＝EF＝2.5．∵OA＝AC＝2.5，∴AP＝AO，即△APO为等腰三角形．过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点．由S△ABD＝AB•AD＝AC•AN，可求得：AN＝2.4．在Rt△AON中，由勾股定理得：ON＝＝＝0.7，∴OP＝2ON＝1.4；同理可求得：OQ＝1.4，∴PQ＝OP+OQ＝1.4+1.4＝2.8．故答案为：2.8．【点评】本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果．三、解答题（本大题共有8小题，第17--20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分，解答需写出毕必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（8分）（1）化简：（a﹣1）2+2（a+1）（2）解不等式：+≤1．【考点】4I：整式的混合运算；C6：解一元一次不等式．【专题】11：计算题．【分析】（1）原式第一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝a2﹣2a+1+2a+2＝a2+3；（2）去分母得：3（x+1）+2（x﹣1）≤6，去括号得：3x+3+2x﹣2≤6，解得：x≤1．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及解一元一次不等式，涉及的知识有：完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．18．（8分）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：（1）出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式．（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，运用待定系数法就可以求出结论；（2）将y＝32代入（1）的解析式就可以求出x的值．【解答】解：（1）由图象得：出租车的起步价是8元；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由函数图象，得，解得：，故y与x的函数关系式为：y＝2x+2；（2）∵32元＞8元，∴当y＝32时，32＝2x+2，x＝15答：这位乘客乘车的里程是15km．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．19．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n∁n D n（n＞2）．（1）求AB1和AB2的长．（2）若AB n的长为56，求n．【考点】8A：一元一次方程的应用；LB：矩形的性质；Q2：平移的性质．【专题】2A：规律型．【分析】（1）根据平移的性质得出AA1＝5，A1A2＝5，A2B1＝A1B1﹣A1A2＝6﹣5＝1，进而求出AB1和AB2的长；（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出AB n＝（n+1）×5+1求出n即可．【解答】解：（1）∵AB＝6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，∴AA1＝5，A1A2＝5，A2B1＝A1B1﹣A1A2＝6﹣5＝1，∴AB1＝AA1+A1A2+A2B1＝5+5+1＝11，∴AB2的长为：5+5+6＝16；（2）∵AB1＝2×5+1＝11，AB2＝3×5+1＝16，∴AB n＝（n+1）×5+1＝56，解得：n＝10．【点评】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1＝5，A1A2＝5是解题关键．20．（8分）某校体育组为了了解学生喜欢的体育项目，从全校同学中随机抽取了若干名同学进行调查，每位同学从乒乓球、篮球、羽毛球、排球、跳绳中选择一项最喜欢的项目，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）这次被调查的共有多少名同学？并补全条形统计图．（2）若全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有多少名同学？【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】（1）利用条形统计图可得喜欢羽毛球的人数有30人，根据扇形统计图可得喜欢羽毛球的人数有15%，利用30÷15%即可得到被调查的总人数；用总人数﹣喜欢乒乓球的人数﹣喜欢篮球的人数﹣喜欢羽毛球的人数﹣喜欢排球的人数可得喜欢跳绳的人数，再补图即可；（2）计算出调查的人数中喜欢篮球和排球的人数所占百分比，再乘以1200即可．【解答】解：（1）这次被调查的学生总数：30÷15%＝200（人），跳绳人数：200﹣70﹣40﹣30﹣12＝48，如图所示：（2）1200××100%＝312（人）．答：全校有1200名同学，估计全校最喜欢篮球和排球的共有312名同学．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（10分）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm伞架DE DF AE AF AB AC长度363636368686（1）求AM的长．（2）当∠BAC＝104°时，求AD的长（精确到1cm）．备用数据：sin52°＝0.788，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799．【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】（1）根据AM＝AE+DE求解即可；（2）先根据角平分线的定义得出∠EAD＝∠BAC＝52°，再过点E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性质得出AD＝2AG，然后在△AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度．【解答】解：（1）由题意，得AM＝AE+DE＝36+36＝72（cm）．故AM的长为72cm；（2）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝104°，∴∠EAD＝∠BAC＝52°．过点E作EG⊥AD于G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG．在△AEG中，∵∠AGE＝90°，∴AG＝AE•cos∠EAG＝36•cos52°＝36×0.6157＝22.1652，∴AD＝2AG＝2×22.1652≈44（cm）．故AD的长约为44cm．【点评】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中．22．（12分）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD 中，BC＝2AB，则称ABCD为方形．（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．①若BC＝25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．【考点】LO：四边形综合题．【专题】16：压轴题；23：新定义．【分析】（1）答案不唯一，根据已知举出即可；（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，求出B1C1＝5，B2C2＝10，B3C3＝15，B4C4＝20，AE＝4，AH＝8，AG＝12，AN＝16，MN＝GN＝GH＝HE＝4，B1Q＝B2O＝B3Z＝B4K＝4，根据已知判断即可；②设AM＝h，根据△ABC∽△AB3C3，得出＝＝，求出MN＝GN＝GH＝HE ＝h，分为两种情况：当B3C3＝2×h时，当B3C3＝×h时，代入求出即可．【解答】解：（1）答案不唯一，如a＝2，b＝4；（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，∴＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，∵AM＝20，BC＝25，∴B1C1＝5，B2C2＝10，B3C3＝15，B4C4＝20，AE＝4，AH＝8，AG＝12，AN＝16，∴MN＝GN＝GH＝HE＝4，∴B1Q＝B2O＝B3Z＝B4K＝4，即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，∴以B1C1为一边的矩形不是方形；②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM＝h，∴△ABC∽△AB3C3，∴＝＝，则AG＝h，∴MN＝GN＝GH＝HE＝h，当B3C3＝2×h时，＝＝；当B3C3＝×h时，＝＝．综合上述：BC与BC边上的高之比是或．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．23．（12分）在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD 交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】16：压轴题．【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD＝∠B，根据AC：AB＝1：2及点E为AB 的中点，得出AC＝BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF＝CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH＝90°，则∠FEQ＝∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG＝EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ＝BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH＝AE，又BE＝AE，进而求出EF：EG的值．【解答】（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD＝∠B＝90°﹣∠ACB．∵AC：AB＝1：2，∴AB＝2AC，∵点E为AB的中点，∴AB＝2BE，∴AC＝BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD＝EF，即EF＝CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH＝90°，∴∠FEQ＝∠GEH＝90°﹣∠QEG，又∵∠EQF＝∠EHG＝90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG＝EQ：EH．∵AC：AB＝1：，∠CAB＝90°，∴∠B＝30°．在△BEQ中，∵∠BQE＝90°，∴sin B＝＝，∴EQ＝BE．在△AEH中，∵∠AHE＝90°，∠AEH＝∠B＝30°，∴cos∠AEH＝＝，∴EH＝AE．∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，∴EF：EG＝EQ：EH＝BE：AE＝1：＝：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．24．（14分）抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）解方程（x﹣3）（x+1）＝0，求出x＝3或﹣1，根据抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y＝（x﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点D的坐标；（2）①根据抛物线y＝（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD＝，CB＝3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则＝＝，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BD的解析式为y＝2x﹣6，解方程组，即可求出点P的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN＝2CN．设CN＝a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点M，都有∠MCN＜45°，所以点M不存在．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y＝0时，（x﹣3）（x+1）＝0，解得x＝3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x＝1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH＝DH＝1，∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45°，∴CD＝，CB＝3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR，∠CDB＝∠CDE+∠BDE＝45°+∠DCP，∠QCO＝∠RCO+∠QCR＝45°+∠DCP，∴∠CDB＝∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴＝＝，∴OQ＝3OC＝9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BD的解析式为y＝2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90°，∴△MCN∽△DBE，∴＝＝，∴MN＝2CN．设CN＝a，则MN＝2a．∵∠CDE＝∠DCF＝45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF＝CN＝a，CF＝a，∴MF＝MN+NF＝3a，∴MG＝FG＝a，∴CG＝FG﹣FC＝a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），解得a＝，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90°，∴△MCN∽△DBE，∴＝＝，∴MN＝2CN．设CN＝a，则MN＝2a．∵∠CDE＝45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF＝CN＝a，CF＝a，∴MF＝MN﹣NF＝a，∴MG＝FG＝a，∴CG＝FG+FC＝a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），解得a＝5，∴M（5，12）；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．∵∠CMN＝∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点M，都有∠MCN＜45°，∴点M不存在．综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．。
2013版中考12年浙江省金华市2002 2013年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题
【2013版中考12年】浙江省金华市2002-2013年中考数学试题分类解析专题12 押轴题一、选择题1. （2002年浙江金华、衢州4分）如图，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC，交AD1S?ADE?的值为【】，那么，已知AC于E SAB2ABC?4211（B）（C） (D) A （）9342个立方体，用1表示两个立方体叠加，42003年浙江金华、衢州分）如果用□表示2. （用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【】3. （2004年浙江金华4分）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（）1，ＯCD的中点，点ＯABCD中，Ｅ，Ｆ分别是AB，分）4. （2005年浙江金华4如图，矩形1边相切于外切，且与DCBC都相切，⊙O与⊙ODAEF上，与矩形ABCD的边，AB，在线段222】ABCD 的面积为【的半径分别是点Ｆ，如果⊙O，⊙O4cm，2cm，那么矩形212222cmcmcmcm 96Ａ、2040 Ｂ、24 Ｄ、Ｃ、2cbxax??y?0?a）的图象如图所示，则下列二次函数（年浙江金华5. （20064分）结论：2cac?b4a】0＞；③0，其中正确的个数是【＞ 0①＞；②个 D. 2个 B. 0A. 个1 C. 个3 2；0=x+a的图象如图，则下列结论①k＜一次函数y=kx+b与y年浙江金华6. （20074分）21】y＜y中，正确的个数是【0②a＞；③当x＜3时，213． D ．1C．2A．0 B三军受命，我解放军各部队奋力抗战地救灾一线。
现有甲、乙3分）7. （2008年浙江金华从部队基地到小镇只有唯一通甲队先出发，两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，，如图是他们行走的路线关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图24km道，且路程为象得出有关信息，其中正确的个数是【】4、、、、A1 B2 C3 D 3小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后分）8. （2009年浙江金华3设小明骑停车. 的函数图像大致是【】关于,骑车的路程为s（米）,则st（秒）车的时间为tAC⊥BC，∠B＝60o，对角线年浙江金华3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，（9. 2010的面积为【，则梯形ABCD 】＝BC2cm22223633． A．cm6 cmB． C．cmD12 cm 4作一圆，C坐标系中，过格点A，B如图，在平面直角10. （2011年浙江金华、丽水3分）】弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是【1，）、点（）5，1 D6、点（），、点（），、点（A0 3 B23 C中棋子围1小明用棋子摆放图形来研究分）年浙江金华、丽水（11. 20123数的规律．图 5 城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【】A．2010 B．2012 C．2014 D．20161cm，点，在Rt△ABC中，∠ACB=90P年浙江金华、丽水12.（20133分）如图1的长0的以每秒PD为D，PD⊥AB，垂足－CB运动，到点B停止。
2013届中考数学押轴题备考复习 猜想、规律与探索2
猜想、规律与探索一 选择题1.一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） A ．(4，O)B.(5，0)C ．(0，5)D ．(5，5)【解题思路】方法一、在演草纸上按规律去画。
方法二、根据题意，结合图形我们可以发现第n （n+2）秒时跳蚤所在位置的坐标是⎩⎨⎧→→为偶数时为奇数时，n n),0(n )0n (，35= 5（5+2）所以要求坐标为(5，0)。
【答案】B【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次去画。
难度中等。
2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A (1，1)，B (1，－1)，C (－1，－1)，D (－1，1)，y 轴上有一点P (0，2)．作点P 关于点A 的对称点P 1，作点P 1关于点B 的对称点P 2，作点P 2关于点C 的对称点P 3，作点P 3关于点D 的对称点P 4，作点P 4关于点A 的对称点P 5，作点P 5关于点B 的对称点P 6，…，按此规律下去，则点P 2011的坐标为( ) A ．(0，2) B ．(2，0) C ．(0，－2) D ．(－2，0)【解题思路】P 1(2，0)，P 2(0，－2)，P 3(－2，0)，P 4与P 重合．题中所述点列P 1→P 2→P 3→P 4→P 5→…是循环的，循环节是．P 1→P 2→P 3→P ．∵2011＝502×4＋3，∴P 2011是循环点列中第503节的第三个点，即是P 3． 【答案】D【点评】此题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行，难度较大．对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（y x +，y x -）；且规定)),((),(11y x P P y x P n n -=（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2 ）=（3，1-），P 2（1，2 ）= P 1（P 1（1，2 ））= P 1（3，1-）=（2，4），P 3（1，2 ）= P 1（P 2（1，2 ））= P 1（2，4）=（6，2-）．则P 2011（1，1-）=（ ） A ．（0,21005） B ．（0,-21005） C ．（0,-21006） D ．（0,21006）【解题思路】：P 1（1，1-）=(0,2)；P 2（1，1-）=P 1(0,2)=(2，2-)；P 3（1，1-）=P 1（P 2(1,1-)=P 1(2，2-)=(0,4)；……由此可知当n 为奇数数时，横坐标为0，纵坐标为21(1)2n +，所以P 2011（1，1-）=（0,21006）【答案】D ．【点评】：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题难度较大，考查了学生分析问题的能力.也可以看作是新定义型问题.已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办。
绍兴市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题
绍兴市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题一、选择题1. （2002年浙江绍兴3分）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，Q （2，k ）是该抛物线上一点，且AQ ⊥BQ ，则ak 的值等于【 】 （A ）－1 （B ）－2 （C ）2 （D ）32. （2003年浙江绍兴4分）如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为【 】A ．4B ．6C ．8D ．103. （2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】A．108°B．144°C．126°D．129°4. （2005年浙江绍兴4分）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数2h 3.5t 4.9t=-（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是【】（A）0.71s（B）0.70s（C）0.63s（D）0.36s5. （2006年浙江绍兴4分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数1y(x0)x=>的图象上，则点E的坐标是【】A．5151,22⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭; B．3535,22⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭C．5151,22⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭; D．3535,22⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭6. （2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】A．向右平移7格B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格7. （2008年浙江绍兴4分）本学期实验中学组织开展课外兴趣活动，各活动小班根据实际情况确定了计划组班人数，并发动学生自愿报名，报名人数与计划人数的前5位情况如下：小班名称奥数写作舞蹈篮球航模报名人数215 201 154 76 65小班名称奥数舞蹈写作合唱书法计划人数120 100 90 80 70若用同一小班的报名人数与计划人数的比值大小来衡量进入该班的难易程度，则由表中数据，可预测【】A ．奥数比书法容易B ．合唱比篮球容易C ．写作比舞蹈容易D ．航模比书法容易8. （2009年浙江绍兴4分）如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线()()y ax y a 1x y a 2x ==+=+，，相交，其中a ＞0．则图中阴影部分的面积是【 】A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a【分析】根据等底等高的三角形、梯形面积相等的性质可知，图中阴影部分的面积是y ax =与()y a 1x =+，当x=5时所夹得三角形的面积，即：()1[5a 15a]512.52+-⨯=，故选A 。
2013年杭州市中考数学试卷及答案(解析版)
2013年浙江省杭州市中考数学试卷一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（2013杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题．2．（2013杭州）下列计算正确的是（）A．m3+m2=m5B．m3m2=m6C．（1﹣m）（1+m）=m2﹣1 D．考点：平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；分式的基本性质．分析：根据同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质即可判断．解答：解：A．不是同类项，不能合并，故选项错误；B．m3m2=m5，故选项错误；C．（1﹣m）（1+m）=1﹣m2，选项错误；D．正确．故选D．点评：本题考查了同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质，理解平方差公式的结构是关键．3．（2013杭州）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（）A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180°C．AB=AD D．∠A≠∠C考点：平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．故选B．点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2013杭州）若a+b=3，a﹣b=7，则ab=（）A．﹣10 B．﹣40 C．10 D．40考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：联立已知两方程求出a与b的值，即可求出ab的值．解答：解：联立得：，解得：a=5，b=﹣2，则ab=﹣10．故选A．点评：此题考查了解二元一次方程组，求出a与b的值是解本题的关键．5．（2013杭州）根据2008～2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是（）A．2010～2012年杭州市每年GDP增长率相同B．2012年杭州市的GDP比2008年翻一番C．2010年杭州市的GDP未达到5500亿元D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长考点：条形统计图．分析：根据条形统计图可以算2010年～2011年GDP增长率，2011年～2012年GDP增长率，进行比较可得A的正误；根据统计图可以大约得到2012年和2008年GDP，可判断出B的正误；根据条形统计图可得2010年杭州市的GDP，可判断出C的正误，根据条形统计图可直接得到2008～2012年杭州市的GDP 逐年增长．解答：解：A．2010年～2011年GDP增长率约为：=，2011年～2012年GDP增长率约为=，增长率不同，故此选项错误；B．2012年杭州市的GDP约为7900，2008年GDP约为4900，故此选项错误；C．2010年杭州市的GDP超过到5500亿元，故此选项错误；D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长，故此选项正确，故选：D．点评：本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．6．（2013杭州）如图，设k=（a＞b＞0），则有（）A．k＞2 B．1＜k＜2 C．D．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．解答：解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k====1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，故选B．点评：本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．7．（2013杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径考点：直线与圆的位置关系；命题与定理．分析：根据直线与圆的位置关系进行判断即可．解答：解：A．圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；B．当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；C．两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确；D．两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误，故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．8．（2013杭州）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．分析：由三视图可看出：该几何体是﹣个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2．根据正六棱柱的体积=底面积×高即可求解．解答：解：由三视图可看出：该几何体是﹣个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积=6××62×2=108．故选C．点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．9．（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（） A．B．C．D．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==．故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．10．（2013杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③考点：二次函数与不等式（组）；命题与定理．分析：先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．解答：解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为（1，1），根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），①如果，那么0＜a＜1正确；②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；③如果，那么a值不存在，故本小题错误；④如果时，那么a＜﹣1正确．综上所述，正确的命题是①④．故选A．点评：本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键．二．填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11．（2013杭州）32×3.14+3×（﹣9.42）= ．考点：有理数的混合运算．分析：根据32×3.14+3×（﹣9.42）=3×9.42﹣3×（﹣9.42）即可求解．解答：解：原式=3×9.42﹣3×（﹣9.42）=0．故答案是：0．点评：本题考查了有理数的混合运算，理解运算顺序是关键．12．（2013杭州）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为．考点：实数大小比较．专题：计算题．分析：先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．解答：解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜．故答案为：﹣＜＜．点评：本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．13．（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）考点：特殊角的三角函数值；含30度角的直角三角形．专题：探究型．分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．解答：解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确．故答案为：③③④．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．14．（2013杭州）杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为，，则= 分杭州市某4所高中最低考点：算术平均数．分析：先算出2011年的平均最低录取分数线和2012年的平均最低录取分数线，再进行相减即可．解答：解：2011年的平均最低录取分数线=（438+435+435+435）÷4=435.75（分），2012年的平均最低录取分数线=（442+442+439+439）÷4=440.5（分），则=440.5﹣435.75=4.75（分）；故答案为：4.75．点评：此题考查了算术平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题，比较简单．15．（2013杭州）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= （平方单位）考点：圆锥的计算；点、线、面、体；圆柱的计算．分析：梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差．解答：解：AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×3=12π；AC旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×2=8π，则|S1﹣S2|=4π．故答案是：4π．点评：本题考查了图形的旋转，理解梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键．16．（2013杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）考点：切线的性质；等边三角形的性质．专题：分类讨论．分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．点评：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．三．解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（2013杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．考点：作图—复杂作图．分析：根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可．解答：解：如图所示：发现：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．点评：此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键．18．（2013杭州）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组．分析：通过解一元一次方程组求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=求得方程程x2﹣2x ﹣4=0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根．解答：解：由求得，则2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，符合题意∴x=1+．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元一次不等式组．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．19．（2013杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三角形．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．专题：证明题．分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形．解答：证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠DAE=∠CBF，∴∠GAB=∠GBA，∴GA=GB，即△GAB为等腰三角形．点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20．（2013杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y 轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．专题：分类讨论．分析：根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分①n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n=﹣8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．解答：解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8．分类讨论：①n=8时，易得A（﹣6，0）如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB=16，且A（﹣6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==2，要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，∴x＞2；（2）n=﹣8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB=16，且A（6，0），∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x==﹣2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜﹣2．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论．21．（2013杭州）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．考点：游戏公平性．分析：（1）由在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）由无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．可知此游戏不公平；（3）可设计为：先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止．解答：解：（1）∵在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），∴是20倍数或者能整除20的数有7个，则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为：；（2）不公平，∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．∴不公平；（3）先抽出一张，记下数字，然后放回．若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回，重新抽取．不断重复，直至抽满10个不同的数字为止．（为保证每个数字每次被抽到的概率都是）点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．（2013杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，22．已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x 轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．（2）从数学思想上考虑解答．解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=3，∴点C（3，+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1，+2），∵点A也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．23．（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E 在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE=∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，．①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．考点：四边形综合题．分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；②注意中心对称、轴对称的几何性质．解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，∴∠APE=∠CFP．（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，∴△APE∽△CPF，则．而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，又∵P为对称中心，则AP=CP=，∴AE===．如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．S△APE==×2×=，∵阴影部分关于直线AC轴对称，∴△APE与△APN也关于直线AC对称，则S四边形AEPN=2S△APE=；而S2=2S△PFC=2×=2x，∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x，∴y===+﹣1．∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，∴2≤x≤4．令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a==，即x=2时，y取得最大值．而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．∴y关于x的函数解析式为：y=+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，则EB=BF，即AE=FC，∴=x，解得x=，代入x=，得y=﹣2．点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．。
2013年浙江省杭州市中考数学试卷(含解析版)
2013年浙江省杭州市中考数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m3•m2＝m6C．（1﹣m）（1+m）＝m2﹣1D．3．（3分）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（）A．AC⊥BD B．∠A+∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C 4．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则ab＝（）A．﹣10B．﹣40C．10D．405．（3分）根据2008～2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是（）A．2010～2012年杭州市每年GDP增长率相同B．2012年杭州市的GDP比2008年翻一番C．2010年杭州市的GDP未达到5500亿元D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长6．（3分）如图，设k＝（a＞b＞0），则有（）A．k＞2B．1＜k＜2C．D．7．（3分）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径8．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．10．（3分）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象：①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11．（4分）32×3.14+3×（﹣9.42）＝．12．（4分）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B ＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）14．（4分）杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为，，则＝分杭州市某4所高中最低录取分数线统计表学校2011年2012年杭州A中438442杭州B中435442杭州C中435439杭州D中43543915．（4分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC＝CD＝2，AB＝3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|＝（平方单位）16．（4分）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值（单位：秒）三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．18．（8分）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4＝0的根．19．（8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE＝CF．求证：△GAB是等腰三角形．20．（10分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．21．（10分）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同）打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．22．（12分）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．23．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF＝45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE＝∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF＝x，．①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．2013年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题．2．（3分）下列计算正确的是（）A．m3+m2＝m5B．m3•m2＝m6C．（1﹣m）（1+m）＝m2﹣1D．【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4F：平方差公式；65：分式的基本性质．【分析】根据同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质即可判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故选项错误；B、m3•m2＝m5，故选项错误；C、（1﹣m）（1+m）＝1﹣m2，选项错误；D、正确．故选：D．【点评】本题考查了同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质，理解平方差公式的结构是关键．3．（3分）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（）A．AC⊥BD B．∠A+∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B＝180°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°．故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则ab＝（）A．﹣10B．﹣40C．10D．40【考点】4C：完全平方公式．【专题】11：计算题．【分析】联立已知两方程求出a与b的值，即可求出ab的值．【解答】解：联立得：，解得：a＝5，b＝﹣2，则ab＝﹣10．故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，求出a与b的值是解本题的关键．5．（3分）根据2008～2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是（）A．2010～2012年杭州市每年GDP增长率相同B．2012年杭州市的GDP比2008年翻一番C．2010年杭州市的GDP未达到5500亿元D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长【考点】VC：条形统计图．【分析】根据条形统计图可以算2010年～2011年GDP增长率，2011年～2012年GDP 增长率，进行比较可得A的正误；根据统计图可以大约得到2012年和2008年GDP，可判断出B的正误；根据条形统计图可得2010年杭州市的GDP，可判断出C的正误，根据条形统计图可直接得到2008～2012年杭州市的GDP逐年增长．【解答】解：A、2010年～2011年GDP增长率约为：＝，2011年～2012年GDP增长率约为＝，增长率不同，故A选项错误；B、2012年杭州市的GDP约为7900，2008年GDP约为4900，故B选项错误；C、2010年杭州市的GDP超过5500亿元，故C选项错误；D、2008～2012年杭州市的GDP逐年增长，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．6．（3分）如图，设k＝（a＞b＞0），则有（）A．k＞2B．1＜k＜2C．D．【考点】6A：分式的乘除法．【专题】11：计算题．【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．【解答】解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k＝＝＝＝1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，∴1＜+1＜2，∴1＜k＜2故选：B．【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．7．（3分）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径【考点】MB：直线与圆的位置关系；O1：命题与定理．【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：A、圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；B、当圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；C、两条不平行弦所在直线可能有一个交点，故本选项正确；D、两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误，故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．8．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2．根据正六棱柱的体积＝底面积×高即可求解．【解答】解：由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积＝6××62×2＝108．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．【考点】T7：解直角三角形．【专题】11：计算题．【分析】在直角三角形ABC中，由AB与sin A的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB＝4，sin A＝，∴BC＝AB sin A＝2.4，根据勾股定理得：AC＝＝3.2，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝．故选：B．【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．10．（3分）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象：①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③【考点】HC：二次函数与不等式（组）；O1：命题与定理．【专题】16：压轴题．【分析】先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．【解答】解：易求x＝1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为（1，1），根据对称性，y＝x和y＝在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），①如果，那么0＜a＜1，故①正确；②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故②错误；③如果，那么a值不存在，故③错误；④如果时，那么a＜﹣1，故④正确．综上所述，正确的命题是①④，错误的命题是②③．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11．（4分）32×3.14+3×（﹣9.42）＝0．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】根据32×3.14+3×（﹣9.42）＝3×9.42+3×（﹣9.42）即可求解．【解答】解：原式＝3×9.42+3×（﹣9.42）＝3×[9.42+（﹣9.42）]＝3×0＝0．故答案是：0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解运算顺序是关键．12．（4分）把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为．【考点】2A：实数大小比较．【专题】11：计算题．【分析】先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．【解答】解：7的平方根为﹣，；7的立方根为，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为﹣＜＜．故答案为：﹣＜＜．【点评】本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是②③④（只需填上正确结论的序号）【考点】KO：含30度角的直角三角形；T5：特殊角的三角函数值．【专题】2B：探究型．【分析】先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan60°＝，故④正确．故答案为：②③④．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．14．（4分）杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分），设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为，，则＝ 4.75分杭州市某4所高中最低录取分数线统计表学校2011年2012年杭州A中438442杭州B中435442杭州C中435439杭州D中435439【考点】W1：算术平均数．【分析】先算出2011年的平均最低录取分数线和2012年的平均最低录取分数线，再进行相减即可．【解答】解：2011年的平均最低录取分数线＝（438+435+435+435）÷4＝435.75（分），2012年的平均最低录取分数线＝（442+442+439+439）÷4＝440.5（分），则＝440.5﹣435.75＝4.75（分）；故答案为：4.75．【点评】此题考查了算术平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题，比较简单．15．（4分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC＝CD＝2，AB＝3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|＝4π（平方单位）【考点】I2：点、线、面、体；MP：圆锥的计算；MQ：圆柱的计算．【分析】梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB 和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差．【解答】解：绕AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×2＝8π；绕CD旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×3＝12π，则|S1﹣S2|＝4π．故答案是：4π．【点评】本题考查了图形的旋转，理解梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周所得的几何体的表面积的差就是AB和CD旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键．16．（4分）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值t＝2或3≤t≤7或t＝8（单位：秒）【考点】KK：等边三角形的性质；MC：切线的性质．【专题】16：压轴题；32：分类讨论．【分析】求出AB＝AC＝BC＝4cm，MN＝AC＝2cm，∠BMN＝∠BNM＝∠C＝∠A＝60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝AM+MB＝4cm，∠A＝∠C＝∠B＝60°，∵QN∥AC，AM＝BM．∴N为BC中点，∴MN＝AC＝2cm，∠BMN＝∠BNM＝∠C＝∠A＝60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′＝cm，∠PM′M＝90°，∵∠PMM′＝∠BMN＝60°，∴M′M＝1cm，PM＝2MM′＝2cm，∴QP＝4cm﹣2cm＝2cm，即t＝2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接P A，则∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝cm，∴PM＝1cm，∴QP＝4cm﹣1cm＝3cm，即t＝3，当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N＝∠ACP′＝90°，∠P′NC＝∠BNM＝60°，CP′＝cm，∴P′N＝1cm，∴QP＝4cm+2cm+1cm＝7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′则PN′＝cm，∠PN′N＝90°，∵∠PNN′＝∠BNM＝60°，∴N′N＝1cm，PN＝2NN′＝2cm，∴QP＝4cm+2cm+2cm＝8cm，即t＝8；注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．故答案为：t＝2或3≤t≤7或t＝8．【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．【考点】N3：作图—复杂作图．【分析】根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可．【解答】解：如图所示：发现：DQ＝AQ或者∠QAD＝∠QDA等等．【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键．18．（8分）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4＝0的根．【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；CB：解一元一次不等式组．【分析】通过解一元一次方程组求得2＜x＜4．然后利用求根公式x＝求得方程x2﹣2x﹣4＝0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根．【解答】解：由求得，则2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4＝0可得x1＝1+，x2＝1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，符合题意∴x＝1+．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元一次不等式组．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．19．（8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE＝CF．求证：△GAB是等腰三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KI：等腰三角形的判定；LJ：等腰梯形的性质．【专题】14：证明题．【分析】由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE＝CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE＝∠CBF，则可得∠GAB＝∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形．【解答】证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD＝BC，∴∠D＝∠C，∠DAB＝∠CBA，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠DAE＝∠CBF，∴∠GAB＝∠GBA，∴GA＝GB，即△GAB为等腰三角形．【点评】此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20．（10分）已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】32：分类讨论．【分析】根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分①n＝8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；②n＝﹣8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围．【解答】解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8．分类讨论：①n＝8时，易得A（﹣6，0）如图1，∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，∵AB＝16，且A（﹣6，0），∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x＝＝2，要使y1随着x的增大而减小，且a＜0，∴x≥2；②n＝﹣8时，易得A（6，0），如图2，∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在对称轴两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB＝16，且A（6，0），∴B（﹣10，0），而A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x＝＝﹣2，要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x≤﹣2．综上所述，x≥2或x≤﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论．21．（10分）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同）打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．（1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；（2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；（3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．【考点】X7：游戏公平性．【分析】（1）由在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其他序号学生概率不为100%．可知此游戏不公平；（3）可设计为：先抽出一张，记下数字，然后每个数字加5，得到序号，若数字加5超过50，则减掉50，差为序号，直到得到10人为止．【解答】解：（1）∵在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），∴是20倍数或者能整除20的数有7个，则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为：；（2）不公平；∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其它序号学生概率不为100%．∴不公平；（3）先抽出一张，记下数字，然后每个数字加5，得到序号，若数字加5超过50，则减掉50，差为序号，直到得到10人为止．（每个人都有机会）方法二：分五组，1﹣10，11﹣20.41﹣50，任抽一张卡片，这张卡片是哪一一组的，这一组的人就全部选中．每个人的选中概率p＝×＝．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．22．（12分）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KH：等腰三角形的性质．【专题】16：压轴题．【分析】（1）①根据等边对等角可得∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．（2）从数学思想上考虑解答．【解答】解：（1）①∵AB＝BC＝CD＝DE，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，又∵∠EDM＝84°，∴∠A+3∠A＝84°，解得，∠A＝21°；②∵点B在反比例函数y＝图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC＝2，∴点C（3，+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴D（1，+2），∵点D也在反比例函数图象上，∴+2＝k，解得，k＝3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．23．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF＝45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE＝∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF＝x，．①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．【考点】LO：四边形综合题．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；（2）本问关键是求出y与x之间的函数解析式．①首先分别用x表示出S1与S2，然后计算出y与x的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；②注意中心对称、轴对称的几何性质．【解答】（1）证明：∵∠EPF＝45°，∴∠APE+∠FPC＝180°﹣45°＝135°；而在△PFC中，由于PC为正方形ABCD的对角线，则∠PCF＝45°，则∠CFP+∠FPC＝180°﹣45°＝135°，∴∠APE＝∠CFP．（2）解：①∵∠APE＝∠CFP，且∠FCP＝∠P AE＝45°，∴△APE∽△CFP，则．而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC＝AB＝，又∵P为对称中心，则AP＝CP＝，∴AE＝＝＝．如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，P为AC中点，则PH∥BC，且PH＝BC＝2，同理PG＝2．S△APE＝＝×2×＝，∵阴影部分关于直线AC轴对称，∴△APE与△APN也关于直线AC对称，则S四边形AEPN＝2S△APE＝；而S2＝2S△PFC＝2×＝2x，∴S1＝S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2＝16﹣﹣2x，∴y＝＝＝+﹣1．∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF＝45°，∴2≤x≤4．令＝a，则y＝﹣8a2+8a﹣1，当a＝＝，即x＝2时，y取得最大值．而x＝2在x的取值范围内，代入x＝2，则y最大＝4﹣2﹣1＝1．∴y关于x的函数解析式为：y＝+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，则EB＝BF，即AE＝FC，∴＝x，解得x＝，代入x＝，得y＝﹣2．【点评】本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．。
浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试题分类解析 专题12 押轴题
【2013版中考12年】浙江省嘉兴市、舟山市2002-2013年中考数学试题分类解析专题12 押轴题一、选择题1. （2002年浙江舟山、嘉兴4分）有六个等圆按图甲、乙、丙三种形状摆放，使相邻两圆均互相外切，且如图所示的圆心的连线（虚线）分别构成正六边形、平行四边形和正三角形.将圆心连线外侧的6个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S，P，Q，则【】A.S＞P＞QB.S＞Q＞PC.S＞P且P=QD.S=P=Q【答案】D。
【考点】扇形面积的计算，多边形内角和定理。
2. （2003年浙江舟山、嘉兴4分）如图是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D。
如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取地两根钢条及焊接的点是【】A .AC和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点AC. AB和AD，焊接点AD. AD和BC，焊接点D【答案】D。
【考点】等腰三角形性质的应用。
3. （2004年浙江舟山、嘉兴4分）如图，等腰直角三角形ABC（∠C=Rt∠）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4cm，CA与MN在直线l上，开始时A点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C 点与N点重合时为止。
设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA的长度为xcm，则y与x之间的函数关系大致是【】【答案】B。
【考点】平移问题的函数图象，正方形和等腰直角三角形的性质。
4. （2005年浙江舟山、嘉兴4分）从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q （p≠q），构成函数1y px 2=-和2y x q =+，使两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的在序数组（p,q ）共有【 】A.12组B.6组C.5组D.3组 【答案】C 。
【考点】一次函数交点问题，直线上点的坐标与方程的关系。
杭州市2013年中考数学试卷解析
杭州市2013年中考数学试卷解析
一、选择题部分
（1）根据题目要求，进行分类和整理，依次解答每道题。
第1题：根据题意，分析可能的解法，给出解决思路和步骤。
第2题：通过计算和运算，得出最终答案。
（2）针对每一道题目提供详细的解析和解题思路，确保解答准确。
二、填空题部分
（1）根据题目要求，对题目进行梳理和归类，给出每一类题目的
解题方法。
（2）对每个题目提供详细的解题步骤和解析，确保填空答案正确。
三、解答题部分
（1）对每道解答题进行分析和归类，确定解题的方法和步骤。
（2）按照解题方法，详细解答每一道题目，并给出解题思路和推
理过程。
四、综合题部分
（1）对综合题进行细致的拆解和分类，确定解题思路和步骤。
（2）按照题目要求，逐步解答每道小题，确保解答准确。
五、总结和总体评价
（1）总结本次数学试卷的难点和重点，归纳出解题技巧和方法。
（2）对试卷整体进行评价，分析试题分布和难度是否合理。
六、学习建议和考试技巧
（1）给出学生在备考数学中可能会遇到的困惑和问题。
（2）提供相应的学习建议和备考技巧，帮助学生提高数学成绩。
以上是对“杭州市2013年中考数学试卷解析”的大致格式和内容安排。
具体内容和细节根据试卷实际情况进行调整和补充，以确保文章的全
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2013年中考数学压轴题及解析分类汇编(优选.)
2013年中考数学压轴题及解析分类汇编2013年中考数学压轴题及解析分类汇编2013中考数学压轴：相似三角形问题2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)2013中考数学压轴：等腰三角形问题2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(三)2013中考数学压轴：直角三角形问题2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(二)2013中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)2013中考数学压轴：平行四边形问题2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)2013中考数学压轴：梯形问题2013中考数学压轴题函数梯形问题(一)2013中考数学压轴题函数梯形问题(二)2013中考数学压轴题函数梯形问题(三)2013中考数学压轴：面积问题2013中考数学压轴题函数面积问题(一)2013中考数学压轴题函数面积问题(二)2013中考数学压轴题函数面积问题(三)2013中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=cos 1∠=①当3BQ BA=时，BQ =． 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x=的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ． （2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)． 因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=，1 b=．因此直线AB的函数解析式为112y x=+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当EA EFAO FP=时，255=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF=时，255=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12yx=-，直线AB为172y x=-．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．图52013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4 考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B′(6，0)，可得A B′＝45．如图2，由AM//CN，可得''''B N B CB M B A=，即2845=．解得'5B C=．所以35AC=．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①如图3，当''AB B CAC B D=时，535=，解得'3B D=．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B DAC B C=时，355=，解得5'3B D=．此时OD＝133，点D的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xxx，得0=x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为221-=xy．设点D的横坐标为m)41(<<m，那么点D的坐标为)22521,(2-+-mmm，点E的坐标为)221,(-mm．所以)221()22521(2---+-=mmmDE mm2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆mmSDACmm42+-=4)2(2+--=m．当2=m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5 图6第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D 可以在射线BA 上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形．1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310 AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4 在⊙M中，115226Mr BD y x===，在⊙N中，1122Nr CE x==．①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 例1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M 是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”，拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7, 4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APR ACP PORCORAS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t-⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ． 如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 例3如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP 与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m =，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．。
【2013版中考12年】浙江省衢州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题
浙江省衢州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题一、选择题1. （2002年浙江金华、衢州4分）如图，D 是△ABC 的AB 边上一点，过D 作DE∥BC， 交AC 于E ，已知ADAB 12=，那么ADE ABCS S ∆∆的值为【 】2. （2003年浙江金华、衢州4分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【 】3. （2004年浙江衢州4分）设“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为【 】4. （2005年浙江衢州4分）如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5等于【】5. （2006年浙江衢州4分）每位同学都能感受到日出时美丽的景色。
下图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为【】6. （2007年浙江衢州4分）如图，已知直线l的解析式是4y x43=-，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点。
一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,则该圆运动的时间为【】A.3秒或6秒B.6秒C.3秒D.6秒或16秒BC 的斜边AB 上，⊙O 切AC 边于点E ，切BC 边于点D ，连结OE ，如果由线段CD 、CE 及劣弧ED 围成的图形(阴影部分)面积与△AOE 的面积相等，那么ACBC 的值约为( 取3.14) 【 】∵由线段CD 、CE 及劣弧ED 围成的图形(阴影部分)面积与△AOE 的面积相等，22OECD ODE 1S S S OE OE 4π=-=-正方形扇形影部分阴，AEO 1S OE AE 2∆=⋅， ∴2211OE OE OE AE 42π-=⋅。
2013年浙江省中考数学压轴题解析汇编
2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江宁波·26题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD。
过P、D、B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ 交⊙Q于点F，连结EF，BF。
（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时，①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由。
解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，将点A∵EF=DE=OE+OD=2+OD ∴OH=2+OD 13（0，4）、B（4，0）代入得：OD=2+OD=4 ∵OB=OH+HB=2+OD+解得∴OD=，即点D坐标为（0，）∴直线AB的函数解析式为y=-x+4 由此可求得直线CD的解析式为y=x+ 33（2）① ∵B（4，0），C （-4，0）∴OB=OC=4 联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（2，2）∴OD是BC的垂直平分线∴∠BDE=∠CDE ② 当BD∶BF=1∶2时，如图②。
∵∠CDE=∠ADP(对顶角) ∴∠BDE=∠ADP 过点F作FH⊥x轴于H。
② 连接EP。
与①同理可证Rt△BHF∽Rt△DOB ∵∠BDE=∠BAD+∠DBP则∴FH=8，HB=2OD ∠ADP=∠DPE+∠DEP，且∠BDE=∠ADP OBODBD∴∠BAD+∠DBP=∠DPE+∠DEP 连接EB。
与(2)同理可证得DE=EF ∵∠DBP=∠DEP ∴∠DPE=∠BAD ∵FH=OD+DE=OD+EF=OD+OH=OD+OB+HB=OD+OB+2OD=3OD+OB ∵∠DPE=∠DFE ∴∠DFE=∠BAD 44∵OA=OB ∴∠BAD=∠OBA=45°，即点D坐标为（0，-）∴8=3OD+4，得OD=33∴∠DFE=45°14由此可求得直线CD的解析式为y=-x- ∵DF是⊙Q的直径∴∠DEF=90°33∴△DEF是等腰直角三角形联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（8，-4）22∴DF=DE，即y=x 综上，存在满足题述条件的Rt△BDF，点P坐标（3）① 当BD∶BF=2∶1时，如图①。
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浙江省各市2013年中考数学分类解析 专题12 押轴题一、选择题1. （2013年浙江杭州3分）给出下列命题及函数y =x ，y =x 2和y =1x①如果21>a>a a，那么0＜a ＜1； ②如果21a >a>a，那么a ＞1； ③如果21>a >a a，那么－1＜a ＜0； ④如果21a >>a a时，那么a ＜－1． 则【 】A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③如果21>a >a a，那么a 值不存在，命题③错误； 如果21a >>a a时，那么a ＜－1，命题④正确。
综上所述，正确的命题是①④。
故选A 。
2. ．（2013年浙江舟山3分）对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点【 】A ．在同一条直线上B ．在同一条抛物线上C ．在同一反比例函数图象上D ．是同一个正方形的四个顶点3. （2013年浙江金华、丽水3分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止。
过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示。
当点P 运动5秒时，PD 的长是【 】A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm4. （2013年浙江宁波3分）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【】A．a=52b B．a=3b C．a=72b D．a=4b5. （2013年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是【】A．16 B．15 C．14 D．13【答案】C。
【考点】网格问题，二次函数综合题，平移问题，勾股定理，分类思想的应用。
6. （2013年浙江衢州3分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是【】7. （2013年浙江绍兴4分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的【】A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：508. （2013年浙江台州4分）已知△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1=A 2B 2，A 1C 1=A 2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2； ②若∠A 1=∠A 2，∠B 1=∠B 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是【 】A .①正确，②错误B .①错误，②正确C .①，②都错误D .①，②都正确9. （2013年浙江嘉兴4分）对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义一种运算：()()1212A B x x y y ⊕=+++．例如，A （－5，4），B （2，﹣3），()()A B 52432⊕=-++-=-．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C D D E E F F D ⊕=⊕=⊕=⊕，则C ，D ，E ，F 四点【 】A ．在同一条直线上B ．在同一条抛物线上C ．在同一反比例函数图象上D ．是同一个正方形的四个顶点10. （2013年浙江温州4分）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C作 BAC ，如图所示，若AB =4，AC =2，12S 4S π-=，则34S S -的值是【 】A .429π B . 423π C . 411π D . 45π【答案】D 。
二、填空题1. （2013年浙江杭州4分）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值▲ （单位：秒）2. （2013年浙江舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC 上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为▲ ．【答案】。
【考点】跨学科问题，正方形的性质，轴对称的性质， 相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】根据已知中的点E ，F 的位置，可知入射角的正切值为12，第一次碰撞3. （2013年浙江金华、丽水4分）如图，点P 是反比例函数()ky k 0x<=图象上的点，P A 垂直x 轴于点A（－1，0），点C 的坐标为（1，0），PC 交y 轴于点B ，连结AB ，已知AB （1）k 的值是 ▲ ；（2）若M （a ，b ）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA ＜∠ABC ，则a 的取值范围是 ▲ 。
4. （2013年浙江宁波3分）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC3yx（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为▲ ．5. （2013年浙江湖州4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是▲ ．则△OMN为等腰直角三角形，∴ON=。
6. （2013年浙江衢州4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是▲ ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是▲ ．【答案】20。
7. （2013年浙江绍兴5分）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为▲ ．【答案】2.8。
【考点】矩形和菱形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5。
依题意画出图形，如图所示。
由轴对称性质可知，∠P AF+∠P AE=2∠P AB+2∠P AD=2（∠P AB+∠P AD）=180°。
8. （2013年浙江台州5分）任何实数a，可用[]a表示不超过a的最大整数，如[][]1=，现对72进行如下操作：4=,43第次第2次第3次，这样对72只需进行3次操作后1−−−→=−−−→=−−−→=72821变为1，类似地，①对81只需进行▲ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是▲ .9. （2013年浙江嘉兴4分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC 上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为▲ ．10. （2013年浙江温州5分）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上。
木工师傅想到了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm）后，从点N沿折线NF-FM （NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示。
图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠、无缝隙、不计损耗），则CN，AM的长分别是▲ .三、解答题1. （2013年浙江杭州12分）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC ∥x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，且BC =2，点D 在AC 上，且横坐标为1，若反比例函数()k y x>0x=的图象经过点B ，D ，求k 的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．2. （2013年浙江杭州12分）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF =45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1．（1）求证：∠APE =∠CFP ；（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF =x ，12S y S ． ①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y 的值．3. （2013年浙江舟山10分）某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．（1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m 3海水，淡化率为70%．每淡化1m 3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m 3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？4. （2013年浙江舟山12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2211y x m m m 44=--+的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，连结AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD =AC ，连结BD ．作AE ∥x 轴，DE ∥y 轴．（1）当m =2时，求点B 的坐标；（2）求DE 的长？（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式？②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时，以，A ，B ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？5. （2013年浙江金华、丽水10分）如图，已知抛物线21y x bx 2=+与直线y 2x =交于点O （0，0），()A 12ａ，。