圆的专题讲义.
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义(学生版)
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义知识图谱圆的相关概念知识精讲知识精讲一．圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径；（2）集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O”；（4）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；①将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧；②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三点剖析一．考点：圆的相关概念二．重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆．三．易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别．圆的相关概念例题例题1、判断：（1）直径是弦，弦是直径（）（2）半圆是圆弧（）（3）长度相等的弧是等弧（）（4）能够重合的弧是等弧（）（5）圆弧分为优弧和劣弧（）（6）优弧一定大于劣弧（）（7）半径相等的圆是等圆（）例题2、设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（）A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝随练随练1、下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A.1条 B.2条 C.3条D.无数条随练3、如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，74AOC ∠=︒，则E ∠=．垂径定理知识精讲一．垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.推论1：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．补充说明：做题过程中，定理与推论1（1）可以直接使用，而推论1（2）、（3）需证明后再使用．三点剖析一．考点：垂径定理二．重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距．三．易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题垂径定理例题例题1、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题2、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸例题3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，并且4CD =，6EM =，求O 的半径．例题4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm例题5、⊙O 的半径为10，两平行弦AC ，BD 的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A.2B.14C.6或8D.2或14随练随练1、如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA=30°，OC=3cm ，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图，ABC ∆内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论AB DE AE BE OD DE AEO C ⊥==∠=∠①，②，③，④， 12AE AEB=⑤，正确结论的是随练3、如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB 为8米时，弧ACB 恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度A B ''为（）15米 B.215米 C.217米 D.不能计算随练4、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，2cm AB =，4cm CD =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一．圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．若AOB A OB ''∠=∠，则 AB A B ''=，AB A B ''=，AM A M ''=．2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．二．应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一．考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二．重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三．易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中．弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例题例题1、下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③ B.②④ C.①④ D.②③例题2、如图，以ABC ∆的边BC 为直径的O 分别交AB AC 、于点D E 、，连结OD OE 、，若65A ∠=︒，则DOE ∠=．例题3、如图，AB 、CD 为⊙O 的直径， AC CE=，（1）试说明BD CE =；（2）若连结BE ，问BE 与CD 平行吗？请说明理由．随练随练1、如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定正确的是（）A.CD ⊥ABB.∠OAD=2∠CBDC.∠AOD=2∠BCDD.弧AC=弧BC随练2、如图，A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，且AB CD =，则下列说法不正确的是（）A.AOB COD ∠=∠B.AOC BOD ∠=∠C.AC BD =D.OC CD=随练3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC ，则∠ABC=___________．拓展拓展1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A.45（）cm B.9cm C.45 D.62cm拓展2、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm．拓展4、如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．拓展5、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，^^^AC CD BD==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是__________．拓展6、如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．拓展7、在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（）A.2AB AC =B.2AB AC >C.2AB AC< D.无法确定拓展8、如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则D E ∠+∠的度数为（）A.mB.1802m︒-C.902m ︒+D.2m 拓展9、如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB=2，⊙O 上存在点C ，使得弦AC=22BOC=______________°．拓展10、如图9A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧 AB 的中点，求证四边形OACB 是菱形．图9。
《圆的初步认识》 讲义
《圆的初步认识》讲义一、引言在我们的日常生活中，圆无处不在。
从汽车的轮胎到时钟的表盘，从美味的披萨到璀璨的月亮，圆以其独特的魅力和广泛的应用，成为了数学世界中一个重要的图形。
那么，究竟什么是圆呢？让我们一起来初步认识一下这个神奇的图形。
二、圆的定义圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
简单来说，圆就是由无数个到圆心距离相等的点组成的封闭曲线。
我们可以用一个简单的例子来理解。
想象一下，你用一根绳子的一端系上一支铅笔，另一端固定在一个点上。
然后，你拉紧绳子，让铅笔围绕着固定点旋转一周，所画出的图形就是一个圆。
固定点就是圆心，绳子的长度就是半径。
三、圆的各部分名称1、圆心圆心是圆的中心，通常用字母“O”表示。
它决定了圆的位置。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母“r”表示。
半径的长度决定了圆的大小。
同一个圆中，所有的半径长度都相等。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母“d”表示。
直径是圆中最长的线段，同一个圆中，直径的长度是半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。
四、圆的特征1、圆是轴对称图形圆有无数条对称轴，任何一条通过圆心的直线都是圆的对称轴。
这意味着，如果我们沿着对称轴将圆对折，两边的部分能够完全重合。
2、圆是中心对称图形圆的圆心就是它的对称中心。
绕着圆心旋转任意角度，圆都能与自身重合。
五、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。
圆的周长计算公式是 C ＝2πr 或 C＝πd ，其中π（读作“派”）是一个常数，约等于 314 。
为了更好地理解圆的周长，我们可以做一个小实验。
拿一个圆形的物体，比如一个圆盘，在它的边缘上做一个标记。
然后将圆盘在一条直线上滚动一圈，测量标记点经过的距离，这个距离就是圆的周长。
六、圆的面积圆的面积是指圆所占平面的大小。
圆的面积计算公式是 S ＝πr² 。
我们可以通过将圆分割成无数个小扇形，然后将这些小扇形拼成一个近似的长方形来推导圆的面积公式。
九年级圆的知识点讲义
九年级圆的知识点讲义1. 什么是圆？圆是平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
2. 圆的基本要素圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弧和弦。
- 圆心：圆的中心点，用字母O表示。
- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
- 直径：穿过圆心的线段，并且两个端点都在圆上，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。
- 弧：圆上两点间的一段弯曲部分。
- 弦：圆上任意两点间直线段。
3. 圆的性质（1）半径相等性质：圆上任意两点之间的半径都相等。
（2）直径长为两倍性质：圆的直径长等于其半径的两倍，即d=2r。
（3）弧长和弧度性质：圆的弧长与圆心角的度数成正比，弧长等于圆周率π乘以半径的长度，用公式l = πr表示。
（4）圆周率π：π是一个无理数，大约等于3.14，用来计算圆的周长和面积。
4. 圆的坐标系表示圆可以在平面直角坐标系中表示为一个方程。
以圆心坐标为（h，k），半径为r的圆表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²5. 圆的相关公式和定理（1）周长计算公式：圆的周长等于直径乘以π，或等于2倍半径乘以π，用公式C = πd或C = 2πr表示。
（2）面积计算公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，用公式A = πr²表示。
（3）相交弧的性质：当两个圆相交时，它们的相交弧的度数之和等于360度。
（4）切线和半径垂直定理：切线和半径之间的夹角是直角。
6. 圆的应用圆在生活和科学中有广泛的应用，例如建筑结构中的圆形拱门、运动学中的圆周运动、天文学中的星体运动轨迹等等。
以上就是九年级圆的知识点讲义。
希望这份讲义能够帮助你更好地理解和掌握圆的相关知识。
圆的方程 高中数学讲义
圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为 注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有 个公共点；（2）直线与圆相切，有 个公共点；（3）直线与圆相离，有 个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有 个公共点（2）圆和圆外切，有 个公共点（3）圆和圆相交，有 个公共点（4）圆和圆内切，有 个公共点（5）圆和圆内含，有 个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆 ，若在大圆外，则两圆 ， 类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（2）当两圆外切时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（3）当两圆相交时，有 条公切线（4）当两圆内切时，有 条公切线（5）当两圆内含时，有 条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有 条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有 条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。
圆的方程专题讲义
圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________． 思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。
圆的方程-讲义
圆与方程1 圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2 圆的方程(1) 标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心(a ,b)，半径为r.(2) 一般方程x2+y2+D x+E y+F=0 (D2+E2−4 F>0)(3) 求圆方程的方法(i) 待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ,b ,r；若利用一般方程，需要求出D ,E ,F；(ii) 直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3 点与圆的位置关系(1) 设点到圆心的距离为d，圆半径为r，a.点在圆内⇔ d<r；b.点在圆上⇔ d=r ；c.点在圆外⇔ d>r .(2) 给定点M(x0 ,y0)及圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2.◆M在圆C内⇔(x0−a)2+(y0−b)2<r2；◆M在圆C上⇔(x0−a)2+(y0−b)2=r2；◆M在圆C外⇔(x0−a)2+(y0−b)2>r2.(3) 某点M到圆⊙O上点N的距离若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=OM+r；4 直线、圆的位置关系(1) 三种位置关系(2) 根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)◆相离⇔没有公共点⇔ d>r;◆相切⇔ 只有一个公共点⇔ d=r;◆相交⇔ 有两个公共点⇔ d<r.(3) 联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程{A x+B y+C=0x2+y2+D x+E y+F=0求解，通过解的个数来判断：◆当Δ>0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；◆当Δ=0 时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；◆当Δ<0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.(4) 圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.5 弦长弦长公式：AB=2 √r2−d2(r是圆的半径，d是圆心O到直线l的距离).利用垂径定理及勾股定理可以得到.【题型一】求圆的方程【例题1】若圆C过点(0 ,−1) ,(0 ,5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为2 √2 ，求圆C的标准方程.【例题2】已知A(−1 ,0)，B(3 ,2)，C(0 ,−2)，则过这三点的圆方程为.课堂练习1已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+ b＝.2圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为.3过点A(1 ,1)， B(−3 ,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是.【题型二】点与圆的位置关系【例题1】若点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25，则点P与圆C的位置关系是()A．点P在圆C内B．点P在圆C上C．点P在圆C内或圆C上D．点P在圆C上或圆C外【例题2】若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0，则√x2+y2的最大值是.课堂练习1若点M(m,m−1)在圆C：x2+y2−2x+4y+1=0内，则实数m的取值范围为．2在圆(x－2)2+(y+3)2=2上与点(0,－5)距离最大的点的坐标是．3在平面内，一只蚂蚁从点A(－2,－3)出发，爬到y轴后又爬到圆(x+3)2+(y−2)2=2上，则它爬到的最短路程是．4已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．5已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是．6设点M(x0 ,1) , 若圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30∘，那x0的取值范围．7如果圆(x−a)2+(y−a)2=8上总存在到原点的距离为√2的点，那实数a的取值范围．8在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1= 0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．【题型三】直线与圆的位置关系【例题1】若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0有公共点，则a的取值范围是．【例题2】求过点P(−1,4)，圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l的方程．【例题3】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP 面积的最大值和最小值之和为．【例题4】已知圆C：(x−√3)2+(y−3)2=3，过直线√3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为．课堂练习1点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定2已知过点P(2,2)的直线l与圆(x−1)2+y2=5相切，则直线l的斜率为()A．1B．12C．2D．−123【多选题】已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2=16上，点A(4,0),B(0,2)，则() A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|=3√2D．当∠PBA最大时，|PB|=3√24已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT(T 为切点)，则|PT|最小值是．5过直线x+y−2√2=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两切线的夹角为60°，则点P的坐标为．6直线x+y+a=0与半圆y=−√1−x2有两个交点,则a的值是．7若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为√2，则k的取值2范围．8已知P(x,y)是圆(x−1)2+(y−2)2=r2(r>0)上任意一点，若|3x−4y|+|3x−4y+ 16|是定值，则实数r的取值范围是．9已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为．10若P为直线x−y+4=0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2−4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N)，则|MN|的最小值是．【题型四】弦长问题【例题1】已知圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=9 ，P(2 ,2)是该圆内一点，过点P的最长弦与最短弦分别是AC和BD，求四边形ABCD的面积.【例题2】设O为原点，直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点，那△ABO面积最大值为．课堂练习1 直线x−y+3=0被圆(x+2)2+(y−2)2=2截得的弦长等于．2已知圆心在x轴上，半径为√5的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为．3已知直线l：y=m(x−2)+2与圆C：x2+y2=9交于A、B两点，则弦长|AB|的最小值为．4已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0及直线l：y=kx−k+2(k∈R)，设直线l与圆C相交所得的最长弦长为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为．。
人教版初三数学上册 圆 复习专题 讲义
圆知识回顾：1、圆的半径_______，所以圆心三角形是一个_______三角形2、直径d与半径r的关系：_______3、直径所对圆周角等于_____；90°的圆周角所对的弦是______4、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的_____所对的弧_____、所对的弦_____、所对的弦心距_____5、圆周角定理：1、在同圆或等圆中，相等的_____所对的弧_____、所对的弦_____、所对的弦心距_____2、同弧所对圆周角是圆心角的_________垂径定理：一条直线，只要具备下列5条中的2条作为条件，就可以推出其他三条结论。
称为：知二推三1、经过圆心2、垂直于弦3、平分弦（不是直径）4、平分弦所对的优弧5、平分弦所对的劣弧圆的常见辅助线：1、____________________________________2、____________________________________3、____________________________________例1、如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B。
AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E（1）求证：CB平分∠ACE（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径2，AC=CD=12例2、⊙O是四边形ABCD的外接圆，OB⊥AC，OB与AC相交于点H，BC=10（1）求⊙O半径（2）求AD的长（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD，EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G。
试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由知识回顾：圆内接四边形对角________切线的判定：①____________________ 、②____________________切线定理：圆的切线______于过其切点的半径切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，________________________________________________ 三角形的内接圆圆心，是这个三角形三条_________________的交点三角形的外接圆圆心，是这个三角形三条_________________的交点圆的周长：____________ 圆的面积：____________弧长公式：____________ 扇形面积：____________圆柱侧面积：____________ 圆锥侧面积：____________圆柱体积：____________ 圆锥体积：____________点与圆的位置关系（d是点到圆心距离，r是圆的半径）：1、点在圆内⇔ ____________2、点在圆上⇔ ____________3、点在圆外⇔ ____________直线与圆的位置关系（d是直线到圆心距离，r是圆的半径）：1、相交⇔ ____________2、相切⇔ ____________3、相离⇔ ____________圆与圆的位置关系（d是两圆的圆心距离，R、r分别是两圆的半径）：1、外离⇔ ____________2、外切⇔ ____________3、相交⇔ ____________4、内切⇔ ____________5、内含⇔ ____________1、若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定2、如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（）A．点D在⊙C上B．点D在⊙C内C．点D在⊙C外D．不能确定3、已知圆锥的侧面积为16πcm2，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为cm．4、圆锥的底面半径是1，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．5、如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为．6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝．7、⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，AB=10，⊙O的内接正六边形DGHIJK的边长为2．则△ABC的面积是（）A．24B．48C．20D．188、如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG=8，EF=2．求⊙O的半径．10、如图，已知：AB为⊙O直径，PQ与⊙O交于点C，AD⊥PQ于点D，且AC为∠DAB的平分线，BE⊥PQ于点E．（1）求证：PQ与⊙O相切；（2）求证：点C是DE的中点．11、如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D的坐标为（0，2 ）（1）直接写出圆心C 的坐标；（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．12、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD交边BC于点D．O为边AB上一点，⊙O经过点A、D 并且交AB于另一点E（1）作出⊙O并标出点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，①证明：直线BC是⊙O的切线②若⊙O与AC交于点F，且AE＝26，CD＝12，求AF的长。
《圆》 讲义
《圆》讲义一、圆的定义在平面几何中，圆是一个非常重要的图形。
圆可以被定义为平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。
我们可以想象一下，如果用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，那么笔尖所画出的轨迹就是一个圆。
圆是一种非常完美和对称的图形。
无论从哪个角度观察，它的形状都保持不变。
这种对称性使得圆在数学和实际生活中都有广泛的应用。
二、圆的基本元素1、圆心圆心是圆的中心位置，决定了圆的位置。
通常用字母 O 表示。
2、半径半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
它决定了圆的大小。
用字母 r 表示。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径是半径的两倍，用字母 d 表示，即 d ＝ 2r 。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为优弧和劣弧。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
5、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径是圆中最长的弦。
6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
例如，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，则 CE ＝ DE ，弧 AC ＝弧 AD ，弧 BC ＝弧 BD 。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。
圆的周长公式为 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。
例如，如果一个圆的半径是 5 厘米，那么它的周长就是 2×314×5 ＝314 厘米。
圆培优讲义
《圆》培优讲义（一）一、圆的基本概念例：思考：车轮为什么是圆的？否则：试想，如果车轮是方的或者是椭圆的，坐车的人会有什么感觉？例：如图：AB、CB 为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。
COBA例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。
2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。
3、两个半圆是等弧。
4、半径相等的弧是等弧。
5、半径相等的两个半圆是等弧。
6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。
例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。
B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。
C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。
D、直径是圆中最长的弦。
例：AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，OD//BC。
求证：OD 是AC 的垂直平分线ADOC B例：圆O 的半径为5，弦AB//CD，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。
对应练习：1. 设AB＝3 厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点 A 的距离等于2 厘米的点的集合；（2）和点 B 的距离等于2 厘米的点的集合；（3）和点 A、B 的距离都等于2 厘米的点的集合；（4）和点 A、B 的距离都小于2 厘米的点的集合B2. 在下面的矩形中，如果 OA、OB、OC、OD 的中点分别为E、F、G、H。
求证：E、F、G、H4 个点在同一个圆上。
二、圆的轴对称性例 1. 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8 厘米，圆心O 到AB 的距离为3 厘米，求⊙O的半径。
EAO变式 1：如上图，若以 O 为圆心再画一个圆交弦 AB 于C，D，则AC 与BD 间可能存在什么关系?A C E D BO （1）A C D BO（2）变式 2：如下图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC＝BD 还成立吗?变式 4：如图，设 AO ＝BO ，求证 AC ＝BD 。
变式 5：如图，设 OC ＝OD ，求证 AC ＝BD 。
结论： 得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心 O 引弦 AB 的垂线。
九年级上册圆专题讲义
九年级上册圆专题讲义知识点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”知识点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD），半径相等，直径等于半径的2倍.（3）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）. （4）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.（6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.1知识点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧例1.圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm练习1.如图1，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm（图1）（图2）（图3）练习2.如图2，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______ 练习3.如图3，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______练习4.今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，OC是⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，CD=1，AB=10，求直径”23CC 中考链接：（2007昆明，13 ，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，AB=16cm ，OD=6cm ，那么⊙O 的半径是________cm（2009昆明，22节选 ，8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，过点D 作DF ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点F ，已知OE ＝1cm ，DF ＝4cm ．求⊙O 的半径知识点四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.知识点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距.3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.知识点六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
圆与圆的位置关系专题
圆与圆的位置关系专题讲义一、基本概念圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：二、典型例题例1 如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．例1图例2图例2 如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( ) ．A．2∶5 B．1：2 C．1：3 D．2∶3例3 如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．例4 如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD 并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．例5 已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A ，B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于点D ，E ，过点E 作EF ⊥CE 交CB 的延长线于F ． （1）求证：BC 是⊙P 的切线；（2）若CD=2，CB=22，求EF 的长；（3）若k=PE ：CE ，是否存在实数k ，使△PBD 恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．三、同步练习（一）填空题1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ．3．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．（二）选择题4．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) ．题图第3题图第4A ．2B ．221+C ．231+D ．231+5．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) ．A ．5B ．52C ．52+D ．536．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( ) ．A ．1B ．2C ．3D ．4 （三）解答题7．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ；(2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．8．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ．求证： (1)CD 是⊙O l 的直径；(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．题图第5题图第69．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．10．如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB 内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．(1)试建立以x为自变量的函数y的解析式；(2)求函数y的最小值．参考答案：例1例2例3例4 例5当堂巩固和课后练习：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.。
圆的基础知识(讲义)
专题一：平面几何中的圆【知识内容】一、几个重要定义外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心；外接圆圆心。
内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心；内切圆圆心。
垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心。
重心：三角形三条中线恰好交于一点，此点称为重心。
旁心：三角形一条内角平分线，与另外两角同侧的外角平分线交于一点，即傍心。
注意：①三角形的外心到三个顶点的距离相等，与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理，如图1，∠BOC=2∠BAC ；②设I 为∆ABC 的内心，如图1，射线AI 交∆ABC 外接圆于A ’，则A ’I=A ’B=A ’C ； ③重心把每条中线都分成定比2:1，且S △GBC =S △GAB =S △GAC ；G 为∆ABC 的重心⇔ 0GA GB GC ++= ；设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3)，则G(123123,33x x x y y y ++++)； ④垂心有丰富的四点共圆资源，如图2，D,H,E,C ；A,E,H,F ；B,D,H,F 以及B,D,E,A ；B,F,E,C ；A,F,D,C 都四点共圆，且前三组圆共点于H ；高线AD 平分∠FDE ；⑤三角形的旁心常常与内心及三角形的半周长联系在一起，注意切线的性质；⑥Euler 定理：设∆ABC 的外心、重心、垂心分别为O,G , H ，则O,G , H 三点共线，且1OG GH =，我们称O,G , H 的连线为欧拉线。
图1图2二、圆内重要定理： 1．四点共圆定义：若四边形ABCD 的四点同时共于一圆上，则称A ，B ，C ，D 四点共圆； 基本性质：若凸四边形ABCD 是圆内接四边形，则其内对角互补； 判定方法：1°定义法：若存在一点O 使OA=OB=OC=OD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆； 2°定理1：若凸四边形ABCD 的对角互补，则此凸四边形ABCD 有一外接圆；3°视角定理：若四边形ABCD 中，∠ADB=∠ACB ，则A, B, C, D 四点共圆。
(完整版)圆周运动讲义
圆周运动讲义【知识点】1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧的长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
匀速圆周运动是一种变加速曲线运动,虽然匀速圆周运动的速度大小不变，但它的速度的方向时刻在发生变化,所以匀速圆周运动不是匀速圆周运动，而是匀速率圆周运动。
2．线速度v①物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量;②定义:质点沿圆周运动通过的弧长s 和所以时间t 的比值叫做线速度 ③大小:v ＝s/t ，单位：m/s④矢量，它的方向是质点在圆周上某点沿圆周上的切线方向。
实际上就是该点的瞬时速度。
3．角速度①物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间t 的比值，就是质点运动的角速度。
③大小：＝/t ，单位：rad/s④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
4．周期T 、频率f 和转速n①周期T ：在匀速圆周运动中，物体沿圆周转过一周所用的时间叫做匀速圆周运动的周期。
在国际单位制中，单位是秒（s ）。
匀速圆周运动是一种周期性的运动。
②频率f ：每秒钟完成圆周运动的转数。
在国际单位制中,单位是赫兹（Hz ）。
③转速n:单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的转数。
在国际单位制中，单位是转/秒（n/s). 匀速圆周运动的T 、f 和n 均不变。
5．描述匀速圆周运动的物理量之间的关系①线速度和角速度间的关系: ②线速度和周期的关系: ③角速度和周期的关系: ④周期和频率之间的关系： 6。
描述圆周运动的动力学物理量———向心力（1）向心力来源：向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。
向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。
做匀速圆周运动的物体向心力是所受外力的合力做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力,而不是物体所受合外力。
(2）向心力大小:根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：22224T r m r m r v m F πω=== 其中r 为圆运动半径。
圆(2)讲义
BA CE D OF圆专项辅导（2）-------------- 点与圆、直线与圆的位置关系 11.15一、知识梳理.1、⊙O 的半径10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与⊙O 的位置关系是：点A 在________；点B 在________；点C 在________.2、.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________.3．下列四个命题中，正确的个数是( )①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有 一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个4．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边△ABC 的边长为( ) A. 3 B. 5 C ．2 3 D ．2 55、 已知如图R t △ABC 的斜边AB =6 cm.直角边AC =3 cm.（1）以C 为圆心，2 cm 长为半径的圆和AB 的位置关系是___________； （2）以C 为圆心，4 cm 长为半径的圆和AB 的位置关系是___________； （3）如果以C 为圆心的圆和AB 相切，则半径长为______________.6、 如图，已知AD 为⊙O 的切线，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，则∠CAD ＝________.7、 如图，⊙O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______．知识点1、点与圆的位置关系：(1)点P 在圆外⇔d>r ；(2)点P 在圆上⇔d=r ；(3)点P 在圆内⇔d<r 知识点2、 不在同一条直线上的三个点能确定一个圆，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心。
九年级圆基础知识点圆讲义
一对一授课教案一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O⊙”,读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：1直径是弦,是圆中最长的弦; 2半圆是弧,弧是半圆; 3等圆是半径相等的圆;4等弧是弧长相等的弧; 5半径相等的两个半圆是等弧; 6等弧的长度相等;2．P为⊙O内与O不重合的一点,则下列说法正确的是A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆,可以作A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 4．以已知点O 为圆心,已知线段a 为半径作圆,可以作A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个5、如下图,1若点O 为⊙O 的圆心,则线段__________是圆O 的半径；线段________是圆O 的弦,其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． 2若∠A =40°,则∠ABO =______,∠C =______,∠ABC =______．5．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm,最远距离为9cm,则这圆的半径是 cm ． 6．圆上各点到圆心的距离都等于 ,到圆心的距离等于半径的点都在 ． 7．如图,点C 在以AB 为直径的半圆上,∠BAC=20°,∠BOC 等于A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°8、如图,在⊙O 中,弦AB=8cm,OC ⊥AB 于C,OC=3cm,求⊙O 的半径长．9．如图1,如果AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,•错误的是 ．A ．CE=DEB ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>ADB ACEDOBAOMBACDP O BACED O BA CEDOF 51 2 3 410．如图2,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是A ．4B ．6C ．7D ．811．如图3,在⊙O 中,P 是弦AB 的中点,CD 是过点P 的直径,•则下列结论中不正确的是A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD BD = D ．PO=PD12．如图4,AB 为⊙O 直径,E 是BC 中点,OE 交BC 于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____．13．P 为⊙O 内一点,OP=3cm,⊙O 半径为5cm,则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．14、深圳南山区,3分如图1－3－l,在⊙O 中,已知∠A CB ＝∠CDB ＝60○,AC ＝3,则△ABC 的周长是____________.15．如果两个圆心角相等,那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对16、大连,3分如图1－3－7,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=30°则∠BOC 的大小是 A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○三、综合题1、如图,⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD 长．BACE DO3、已知：如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB ,CD 的延长线交于E ,若AB =2DE ,∠E =18°,求∠C 及∠AOC 的度数．板块三：点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ,点P 到圆心O 的距离为d ,则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <. 位置关系图形定义 性质及判定点在圆外 Pr O点在圆的外部d r >⇔点P 在O ⊙的外部.点在圆上Pr O点在圆周上d r =⇔点P 在O ⊙的圆周上.点在圆内Pr O点在圆的内部d r <⇔点P 在O ⊙的内部.二、确定圆的条件 1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心定点,确定圆的位置；②半径定长,确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时,远才能确定． 2. 过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A 的圆,这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A B 、的圆,这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时,过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时,圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点,而这个交点O 是唯一存在的,这样的圆有唯一一个．⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心． 3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”． 板块四：直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O ⊙的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点. d r >⇔直线l 与O ⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点,直线叫做圆的切线,唯一公共点叫做切点. d r =⇔直线l 与O ⊙相切相交lOd r直线与圆有两个公共点,直线叫做圆的割线.d r <⇔直线l 与O ⊙相交从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定 1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三、三角形内切圆 1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形． 1、 如图,ABC ∆中,AB AC =,O 是BC 的中点,以O 为圆心的圆与AB 相切于点D ;求证：AC 是O 的切线;OD CBA2、 如图,已知AB 是O 的直径,BC 是和O 相切于点B 的切线,过O 上A 点的直线AD OC ∥,若2OA =且6AD OC +=,则CD = ;直线和圆的位置关系相交相切 相离 公共点个数2 1圆心到直线的距离d 与半径r 的关系d r <d r =d r >公共点名称 交点 切点 无 直线名称割线切线无CODBA3、 如图⊿ABC 中∠A ＝90°,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,E 为AC 边中点,求证：DE 是⊙O 的切线;8 如图,在ABC △中90ACB ∠=,D 是AB 的中点,以DC 为直径的O 交ABC △的三边,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ,且ME =:2:5MD CO =．1求证：GEF A ∠=∠． 2求O 的直径CD 的长．A。
圆的对称性讲义
第 1 讲 圆的对称性圆的认识与对称性 一.知识点梳理1.圆是一种几何图形。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
2.圆和点的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么点P 在圆内⇔d <r ； 点P 在圆上⇔d =r ；点P 在圆外⇔d >r3.圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆。
能够互相重合的两个圆叫做等圆。
等圆或同圆的半径相等。
4.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
圆中最长的弦为直径。
5.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等。
6.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
7.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
8.圆是中心对称图形，圆心是他的对称中心。
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
9.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
（垂径定理）二.典型例题例1.如图，AB.AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M.N ，如果MN ＝√3，那么BC ＝（ ）A．3B．√6C．2√3D．3√3变式.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．2√15B．8C．2√10D．2√13例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连接BD，的中点；（1）求证：点E是BD（2）当BC＝12，且AD：CD＝1:2时，求⊙O的半径．的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．变式.如图，AB是⊙O的直径，C是BD（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．例4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．变式.如图，点A.B.C是圆O上的三点，AB∥OC（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB＝2，∠AOE＝30°，求圆O的半径OC及PE 的长．例5.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AE＝2√2，ON＝1，求⊙O的半径．⊙弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．例6.如图，D是O（1）求线段OD的长；（2）当EO＝√2BE时，求DE的长．例7.如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．例8.已知⊙O的半径为5，点A.B.C都在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC和BD的长；（2）如图2，若∠CAB＝60°，过圆心O作OE⊥BD于点E，求OE的长．三.课堂训练1．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（）A．6 B．2√21C．6或2√21D．以上说法都不对2.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．2√15 B．8 C．2√10 D．2√13的度数是．3．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BĈ上任意一点，连接PA，PB，PC，4.如图4，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BMC则线段PA，PB，PC之间的数量关系为．图（4）图（5）图（6）图（7）5.如图5，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是cm．6.如图6，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是．7.如图7点A是半圆上一个三等分点（靠近点N这一侧），点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则AP+BP的最小值为．8.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切，直线y=x被⊙P截得的弦AB长为4√3，若点P的坐标为（4，P），则P的值为（）A．4√2B．4+2√2C．4+4√2D．2+4√29.如图，以△AOB的顶点O为圆心，OB为半径作⊙O，交OA于点E，交AB于点D，连接DE，DE∥OB，延长AO交⊙O于点C，连接CB．＝BD；（1）求证：BC（2）若AD＝4√3，AE＝CE，求OC的长．10.已知⊙O的半径为5，点A.B.C都在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC和BD的长；（2）如图2，若∠CAB＝60°，过圆心O作OE⊥BD于点E，求OE的长．本次课课后练习1.如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 2．如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A ．AB ⌒>2CD ⌒ B ．AB ⌒<2CD ⌒C ．AB ⌒=2CD ⌒ D ．AB ⌒与2CD ⌒的大小无法确定 4.如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝16，P 是弦AB 上的动点（不含端点A ，B ），若线段OP 长为正整数，则点P 的个数有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 5.如图，半径为5的⊙P 与y 轴相交于点M （0，﹣4）和N （0，﹣10）．则P 点坐标是（ ）A ．（﹣4，﹣7）B ．（﹣3，﹣7）C ．（﹣4，﹣5）D ．（﹣3，﹣5） 6.如图6，在⊙O 中，若AB ⌒=AC ⌒，∠B=80°，则∠A= ．图（6） 图（7） 图（9） 图（10）7.如图7，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形△ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC ＝12，OA ＝8，则BD 的长为 ．8.⊙O 中r =5cm ，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，且AB 把CD 分成4cm 和6cm 两部分，则圆心O 到弦AB 的距离是_______，弦AB 的长为_______．9.如图9，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC=2，则DC 的值是10.如图10，⊙O 内接△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCD ，D 是⊙O 上的一点，则下列结论：①CD 是⊙O 直径；②CD 平分弦AB ；③AC＝BC ；④AD ＝BD ；⑤CD ⊥AB ，其中正确的有．11. 如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12，（1）若CD＝4，求⊙O的半径；（2）若AD+CD＝30，求AC的长．12.如图，AB.AC是⊙O的两条弦，M是AB的中点，N是AC的中点，弦MN分别交AB.AC于点P.D．（1）求证：AP＝AD；（2）连接PO，当AP＝3，OP＝√10，⊙O的半径为5，求MP的长．＝CD．13.如图，点A.B.C在⊙O上，AC（1）若D.E分别是半径OA.OB的中点，如图1，求证：CD＝CE．（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB＝90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A.O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值．。
(完整word版)初三数学圆的讲义
圆一．圆的定义及相关概念考点1：圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
考点2：确定圆的条件：圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆。
考点2：（圆的性质）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔ d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm,ο30=∠CEA ， 求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．AB DCO· E二．垂径定理及其推论考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2．圆的两条平行弦所夹的弧相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
六年级圆辅导讲义
第讲圆基础过关1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
如下图中，中心的一点O。
注意：一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等．（画圆切忌别忘记标圆心0）圆心O，直径d，半径r。
并说这些直径d与半径r都是线段。
在同一个圆内，直径是半径的两倍圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
同圆中所有的半径、直径都相等。
圆内最长的的线段是（）通过训练1：2、辨一辨。
（对的在括号里打“√”，错的在括号里打“×”）①两端都在圆上的线段叫做直径。
（）②穿过圆心的线段叫直径。
（）③半径2厘米的圆比半径1.5厘米的圆大。
（）④圆的半径是射线。
（）⑤圆心到圆上任意一点的距离都相等。
（）⑥画一个直径为4厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应是4厘米。
（）⑦所有的直径是半径的两倍。
（）⑧穿过圆心两端都在圆上的线段叫直径。
（）轴对称图形：1.圆是轴对称图形。
（）是它的对称轴。
有（）条对称轴。
2.正方形（）轴对称图形。
有（）条对称轴3.长方形（）轴对称图形。
有（）条对称轴4.三角形（）轴对称图形。
5.等腰三角形（）轴对称图形。
有（）条对称轴6.等边三角形（）轴对称图形。
有（）条对称轴7.直角等腰三角形（）轴对称图形。
有（）条对称轴8.如图：在长方体中有大小相等的4个圆中，已知这个长方形的长是20厘米，圆的直径是多少厘米？长方形的周长是多少厘米？圆的周长回顾复习：长方形的周长=正方形的周长=知识点1圆的周长总是比直径的3倍多一点，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示。
圆的周长÷直径=圆周率Π=3.14159…（圆周率是一个无限不循环的小数，如无特殊说明，π一般取3.14）圆的周长=圆周率×直径 C=πd提问：想求圆的周长必须知道圆的（）注意：圆周率是一个固定的数。
不会因为圆的大小而变化。
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与圆有关的证明及计算1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E 为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．圆的动态探究题11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=s时，四边形PBQE为菱形；②当t=s时，四边形PBQE为矩形．12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ 与⊙O相切；（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．填空：①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，填空：①当的长为时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；②当的长为时，△ABC的面积最大，最大面积为．15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．①△ABD的面积为．②的长．16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=时，四边形AQBC的面积最大；②当AQ=时，△ABC与△ABQ全等．17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，①当E是半径OA中点时，切线长DC=cm：②当AE=cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）填空：①当CE=时，四边形AOCE为正方形；②当CE=时，△CDE为等边三角形．19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是；②当∠BOP=时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．∴．则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF==3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD交于AB于点G．∵D是的中点，OD为半径，∴AG=BG．∵AO=OC，∴OG是△ABC的中位线．∴OG∥BC，即OD∥CE．又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，∴CF=10．设半径OC=OD=r，则OF=10﹣r，∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE，∴，∴=，∴r=，即：⊙O的半径为．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，OD⊥DE，又∵DE⊥EF，∴OD∥EF，∴∠ODA=∠DAE，∴∠DAE=∠OAD，∴AD平分∠CAE；（2）解：连接CD，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC=90°，在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm，∴根据勾股定理得：AD=cm，由（1）知：∠DAE=∠OAD，∠AED=∠ADC=90°，∴△ADC∽△AED，∴，即，∴AC=10，∴⊙O的半径是5．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E 为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【解答】（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：由（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD==，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴，∴OA=3，∴⊙O半径=3．10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴===2，∴DE=2OE在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，∴OE=．11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=2s时，四边形PBQE为菱形；②当t=0或4s时，四边形PBQE为矩形．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），∴AP=DQ=t，则PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中∴△ABP≌△DEQ（SAS）∴BP=EQ，同理可证，PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB，∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，∴AP=PF=DQ=QC，即t=4﹣t，得t=2，故答案为：2；②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE为矩形；当t=4时，∠ABP=∠APB=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE为矩形．故答案为：0或4．12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ 与⊙O相切；（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5﹣2t，∵NM⊥AB，∴PM=PN，∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5﹣2t，解得t=；当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，∵∠NOP=∠QON，∴Rt△ONP∽Rt△OQN，∴=，即=，整理得t2﹣5t+5=0，解得t1=，t2=（1≤t≤2.5，故舍去），即当t=时，NQ与⊙O相切；故答案为，；（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：∵四边形AMQN为正方形．∴∠MAN=90°，∴MN为⊙O的直径，而∠MQN=90°，∴点Q在⊙O上，∴AQ为直径，∴点P在圆心，∴MN=AQ=2，AP=1，∴t=AP=1，CQ=t=1，∴AC=AQ+CQ=2+1=3．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．填空：①当的长度是π时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC=90°，点D为BC的中点，∴DB=DA=DC，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=60°+30°=90°，∴OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线；（2）解：①∵△ABD为等边三角形，∴AB=BD=AD=CD=，在Rt△ODC中，OD=CD=1，当DE∥AB时，DE⊥AC，∴AD=AE，∵∠ADE=∠BAD=60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴AB=BD=DE=AE，∴四边形ABDE为菱形，此时的长度==π；②当∠ADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度==π；当∠DAE=90°时，DE为直径，∠AOE=2∠ADE=60°，此时的长度==π，所以当的长度为π或π时，△ADE是直角三角形．故答案为π；π或π．14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，填空：①当的长为π时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；②当的长为π时，△ABC的面积最大，最大面积为．【解答】（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）①连接AD，∵∠ADC=∠B=60°，CD是直径，∴∠DAC=90°，∵AC=3，∴AD=，CD=2，OC=，当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时==π．②∵∠B=60°，∴当BA=BC时，△ABC的面积最大，此时△ABC是等边三角形，∴==π，S△ABC=×32=．15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．①△ABD的面积为16．②的长π．【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB为直径，且过点E，∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．（2）①连结OF．∵CD的延长线与半圆相切于点F，∴OF⊥CF．∵FC∥AB，∴OF即为△ABD中AB边上的高．∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16，∵点O是AB中点，点E是BD的中点，∴S△OBE=S△ABD=4．②过点D作DH⊥AB于点H．∵AB∥CD，OF⊥CF，∴FO⊥AB，∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．∵在Rt△DAH中，sin∠DAB==，∴∠DAH=30°．∵点O，E分别为AB，BD中点，∴OE∥AD，∴∠EOB=∠DAH=30°，∴的长度==π．故答案为：16，π．16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=3时，四边形AQBC的面积最大；②当AQ=3或3时，△ABC与△ABQ全等．【解答】（1）证明：如图1所示，连接OC．∵PC是圆O的切线，OC是半径，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠PCA+∠ACO=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠B+∠OCA=90°，∴∠PCA=∠B，又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB；（2）解：①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；如图2所示：连接AQ、BQ，∵OA=OB，OQ⊥AB，∴OQ=BQ，∵AB是直径，∴∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形，∴AQ=AB=3，故答案为：3；②如图3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=3，BC=AC=3，分两种情况：a．当AQ=AC=3时，在Rt△ABC和Rt△ABQ中，，∴△ABC≌△ABQ（HL）；b．当AQ=BC=3时，同理△ABC≌△BAQ；综上所述：当AQ=3或3时，△ABC与△ABQ全等．17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC=DP；（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，①当E是半径OA中点时，切线长DC=4cm：②当AE=3cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．【解答】解：（1）连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵PE⊥AB，∴∠PEA=90°，∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°，∴∠APE=∠PCD，∵∠APE=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，∴DC=DP．（2）①连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵∠A=30°，AB=12，∵AC=AB?cos30°=6，在Rt△APE中，∵AE=OA=3，∴AP=AE÷cos30°=2，∴PC=AC﹣AP=4，∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC，∴△DPC是等边三角形，∴DC=4，故答案为4．②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形．理由：连接AF、OF．∵AE=EO，FE⊥OA，∴FA=FO=OA，∴△AFO是等边三角形，∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°，∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°，∴△FOC是等边三角形，∴CF=CO=OA=AF，∴四边形AOCF是菱形，∴AE=3cm时，四边形AECF是菱形．故答案为3．18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）填空：①当CE=2时，四边形AOCE为正方形；②当CE=时，△CDE为等边三角形．【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1），∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴△ACD为直角三角形，又∵E为AD的中点，∴EA=EC，在△OCE和△OAE中，，∴△OCE≌△OAE（SSS），∴∠OCE=∠OAE=90°，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下：当C为边BD的中点，而E为AD的中点，∴CE为△BAD的中位线，∴CE∥AB，CE=AB=OA，∴四边形OAEC为平行四边形，∵∠OAE=90°，∴平行四边形OCEA是矩形，又∵OA=OC，∴矩形OCEA是正方形，∴CE=OA=2，故答案为：2；②连接AC，如图（2），∵△CDE为等边三角形，∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，在Rt△ABC中，AC=AB=2，在Rt△ACD中，∵tan∠D=，∴CD===，∴CE=，故答案为：．19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为75°或15°时，四边形DEFG是正方形．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，∴DG∥EF，DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）①连接OC．∵CA=CB，∴=，∴DG⊥OC，∵AD=DC，AE=EO，∴DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的面积=．故答案为；②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，故答案为75°或15°．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是2+；②当∠BOP=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．【解答】（1）证明：如图1中，连接ON．∵AM是⊙O的切线，∴ON⊥AM，∵OD⊥BC，AM⊥BC，∴∠ODM=∠ONM=∠DMN=90°，∴四边形ODMN是矩形，∵OD=ON，∴四边形ODMN是正方形，∴OD=ON=DM=MN，∵OA=OB，OD∥AM，ON∥BM，∴BD=DM，AN=MN，∴BD=AN；（2）①如图2中，连接OC、PC．∵PC≤OC+OP，∴当点P在CO的延长线时，P、O、C共线时，PC的值最大，最大值为OC+OP．由（1）可知，BM=AM，∠AMB=90°，∴∠B=45°，∵AB=AC=4，∴△ABC是等腰直角三角形，BM=AM=MC=2，OP=OD=BD=DM=，∴OA=2，OC==2，∴PC的最大值为2+；②如图3中，由题意以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形当OB为对角线时，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，﹣∠ABC=135°．当OB为边时，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°综上所述，当∠POB=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形；。