圆的专题讲义.
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与圆有关的证明及计算
1.已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半径.
2.如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA 平分∠BDE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.
4.如图,已知△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,D是的中点,过点D作直线BC的垂线,分别交CB、CA的延长线E、F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若EF=8,EC=6,求⊙O的半径.
5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,(1)求证:CB∥PD;
(2)若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直径.
6.如图,直线EF交⊙O于A、B两点,AC是⊙O直径,DE是⊙O的切线,且DE⊥EF,垂足为E.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)若DE=4cm,AE=2cm,求⊙O的半径.
7.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E 为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是半圆⊙O的切线.
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D点,连接CD.
(1)求证:∠A=∠BCD;
(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?并说明理由.
9.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.(1)求证:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB=,求⊙O半径的长.
10.如图AB是⊙O的直径,PA,PC与⊙O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.
(1)求证:∠EPD=∠EDO;
(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长.
圆的动态探究题
11.如图,⊙O半径为4cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向中点F,G运动.连接
PB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PEQB为平行四边形;
(2)填空:
①当t=s时,四边形PBQE为菱形;
②当t=s时,四边形PBQE为矩形.
12.如图,AB为⊙O的直径,点C为AB延长线上一点,动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动,同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动,当两点相遇时停止运动,过点P作AB的垂线,分别交⊙O于点M和点N,已知⊙O的半径为l,设运动时间为t秒.
(1)若AC=5,则当t=时,四边形AMQN为菱形;当t=时,NQ 与⊙O相切;
(2)当AC的长为多少时,存在t的值,使四
边形AMQN为正方形?请说明理由,并求出此
时t的值.
13.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若BC=2,E是半圆上一动点,连接AE、AD、
DE.
填空:
①当的长度是时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是时,△ADE是直角三角形.
14.如图,点A,B,C分别是⊙O上的点,且∠B=60°,CD是⊙O的直
径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若AC=3,填空:
①当的长为时,以A,C,B,D为顶点的四边形为矩形;
②当的长为时,△ABC的面积最大,最大面积为.
15.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,以AB为直径的半圆过点E,圆心为O.
(1)利用图1,求证:四边
形ABCD是菱形.
(2)如图2,若CD的延长线
与半圆相切于点F,且直径
AB=8.
①△ABD的面积为.②的长.
16.在圆O中,AC是圆的弦,AB是圆的直径,AB=6,∠ABC=30°,过点C作圆的切线交BA的延长线于点P,连接BC.
(1)求证:△PAC∽△PCB;
(2)点Q在半圆ADB上运动,填空:
①当AQ=时,四边形AQBC的面积最大;
②当AQ=时,△ABC与△ABQ全等.
17.如图,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上一动点(不与A,C
重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交于点F,交过点C的切线于点D.
(1)求证:DC=DP;
(2)若直径AB=12cm,∠CAB=30°,
①当E是半径OA中点时,切线长DC=cm:
②当AE=cm时,以A,O,C,F为顶点的四边形是菱形.
18.如图,⊙O的直径AB=4,点C为⊙O上的一个动点,连接OC,过点A作⊙O的切线,与BC的延长线交于点D,点E为AD的中点,连接CE.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)填空:①当CE=时,四边形AOCE为正方形;
②当CE=时,△CDE为等边三角形.