排列组合学案

2.捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。
例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排列的种数为：
3.插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。
（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。
例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一起的所有排列的种数为：（有序）先排其余4人，产生5个空，再排3人：
（3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。
①没0：先排后两位且不排列 ，再排前两位 故 =60
②有0：在末位时， =120。不在末位时，0只能在第二位， =30
共有 + + ＝150
（4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐位排）269
练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的正整数.114
所以共有排列方法：（ + ） =37440
七、环状排列问题：
从n个不同元素中取出m个元素的环状排列的种数有 种；特殊的n个不同元素的环状全排列的种数为 ＝（n-1）!(由于环状有重复一样的)
例：由a、b、c、d四个元素组成的环状排列有多少个？
分析：由a、b、c、d组成的全排列有 ＝24个。其中4个全排列abcd bcda cdab dabc在环状排列中只算作1个排列，故由4个不同元素组成的环状排列有： ＝3！＝6种
解:分两类:第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意排列,有 个,
第二类，万位为1,则千位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有 个;
共有18+96=114个.
四、隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不空
把n个小球放入不同编号的m个盒子中,
（1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。
（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？（留位法） 或 =2520种
三、排数字：
例：用0、1、2、3、4、5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。末位 ，首位 ，中间 。故共在：
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。
①0在末位 。②0不在末位：先排末位 ，再首位 ，中间 。即
共有： + ＝156
解法二：（麻烦，用第一种方法好）满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有 种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有 种方法。
解：此题相当于把60个小球放25个盒子中（不空）则有 种。
五．能人问题：
方法：此类问题以哪类人分类都可，但主要是分类的标准一定要明确，可以按其中一类人的参与情况分类，也可以以能人参加其中一项为标准分类；也可按能人的参与情况分类，能人不参加；能人一人参加；能人两人参加，一般哪个情况少以哪个分类。
例.车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅即能当车工,又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,问有多少种选派方法?
练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5}，则从集合A到集合B一共可以有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？125、243
二．排序问题：
1.优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。。
例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：
先排男生 或先排女生
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
二、过程与方法
通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法
三、情感态度与价值观
通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
教学重点教学难点及
解析:按钳工的参与情况分类。5名钳工有4名被选上的方法有 种; 5名钳工有3名被选上的方法有 种; 5名钳工有2名被选上的方法有 种.共有75+100+10=185种.
练习：有11名划船运动员,其中有5人会左浆,4人会右浆,还有甲、乙两人即会左浆,又会右
浆,现要派出4名左浆手,4名右浆手,组成划船队,有多少种选派方案?
（2）2与4不同色时，1有4种，2有3种，3有2种，4有2种。4*3*2*2＝48
故共有：36+48＝84种
2、点的涂色问题：
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例、将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
1
432
练习：用4种不同的颜色去涂矩形的四个区域（如图），要求相邻两个区域颜色不同，个区域只涂一种颜色，则一共有多少种涂法。
解析：注意讨论2与4的同色与不同色两种情况。84种
（1）2与4同色时，1有4种，2有3种，3有3种4与2同色
不排，所以，4*3*3＝36
解决措施
重点：排列、组合综合题的解法．
难点：正确的分类、分步．
教学要点
经
典
例
题
一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。
解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即指数形式，
有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共 种。
（4）在（3）的基础上再分配即可，共有 ＝90或直接 ＝90
练习1：3名医生和6名护士，被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_______种。 =540
练习2：4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多少种（答：37440）；
解法一：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有 种染色方法。（讨论c）
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
①C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；故：5×4×3×3=180②C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，故：5×4×3×2×2=240。所以共有180+240=420种方法。
方法2：间接。 -2 + =3720
（4）女生不相邻的排法有多少种？（插空法）
男生先排 共产生5个空位，插入3个女生 。共有： =1440种
（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？
先从5人（除甲乙）中，选二人排到甲乙中间有 种排法，再排甲乙 ，此4人视为一体与另3人排列有 种。所以共有 =960种
八．涂色问题：
1、区域涂色问题：
根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
②
①
③
④
例1.用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，
接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，
解析：（1）每个盒子至少放一个直接用档板法：把n个小球排成一排，中间产生n－1个空，插入m-1个档板，(分成m份)放入盒中即可。故 种
例1：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每盒中至少有1个，有多少种放法。
解：把10个小球排成一排，中间产生9个空，插入两个档板，(分成3份)即可，故有 ＝36
高二数学集体备课学案与教学设计
章节标题
选修2-3排列组合专题
计划学时
1
学案作者
杨得生
学案审核
张爱敏
高考目标
掌握排列、组合问题的解题策略
三维目标
一、知识与技能
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力
2、混合分配问题：是指在分配中既含有平均分配的情况，又含有不平均分配的成分，注意平均分成k组的部分要除以 ，只后再排列。
如：10个人分成三组，人数分别为2、4、4，参加3种不同劳动，分法种数为
例：有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法。
（1）分成1本，2本，3本三组。
（2）分给甲，乙，丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本。
解:5名左浆手有4名被选上的方法有 种;
5名左浆手有3名被选上的方法有 种;
5名左浆手有2名被选上的方法有 种.共有75+100+10=185种.
六、分组问题、分配问题：
它们的主体区别：分组问题没有序，分配问题有序
1、平均分组/配问题：对于km个不同的元素分成k组，每组m个，则
不同的分配种数是 … （有序）平均分组的种数是 （无序）
解析：先排4名医生排列数为 。
再排护士，由题知有两种情况：①分配人数为3、1、1、1。其中3人 ，其余三个
1人可平均分组也可不分直接排 所以 =480（分组 ）
②分配人数为2、2、1、1的，2、2行平均分组 其余两个1人可直接排（或 ），故有 =1080（或 . . =1080）。