13弯曲变形

1

Fb 6EIl
3x12 b2 l2
w1

Fb 6EIl
x13

b2 l2
x1
x1 FA
x2
FB
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ） 最大挠度
2

Fb 2EIl
x22

F 2EI
x2

a2

Fb 6EIl
b2 l2
w2

Fb 6EIl
求解简单超静定梁的基本步骤 ——
1. 解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静 定梁的相当系统；
2. 根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；
3. 计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得 补充方程；
4. 由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。
[例8] 图示圆形截面梁，承受集中力 F 作用。已知 F = 20 kN，跨度
ql/2
对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程


dw dx

1 EI

1 4
qlx2

1 6
qx3


C
再积分一次，得挠曲线方程
w

1 EI
1 12
qlx3

1 24
qx4


Cx

D


dw dx

1 EI

1 4
qlx2

1 6
qx3


C
w

1 EI
FB 13.75 kN 5） 强度计算 作弯矩图 最大弯矩
M max 2.03 kN m
根据梁的弯曲正应力 强度条件
max

M max Wz
95.7 MPa
100MPa
结论：该梁的强度符合要求
AC 段（0≤ x1 ≤ a）
1

Fb 6EIl
3x12 b2 l2
w1

Fb 6EIl
x13

b2 l2
x1
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
2

Fb 2EIl
x22

F 2EI
x2

a2

Fb 6EIl
b2 l2
w2

Fb 6EIl
和刚度。
解： 1）强度校核 最大弯矩
w
q
A
Bx
M max

ql 2 8

27 103
Nm
l
查型钢表，Wz = 186 cm3， 根据弯曲正应力强度条件
max

M max Wz

27 185
103 106
146 MPa
< 150 MPa
故梁的强度满足要求
w
2）梁的刚度校核
第十三章 弯曲变形
第一节 引言
一、梁对称弯曲时的变形
w
对称弯曲时，梁的轴线弯成一 条光滑连续的平面曲线。
该曲线称为梁的挠曲线 建立图示坐标系， 有挠曲线方程
w f (x)
挠曲线
w f (x)
x F
二、梁的位移参量
弯曲变形所导致的梁横截面的位移可用两个参量来描述 ——
1. 挠度（线位移）
横截面形心的竖向线位移，即
a FB l F
分段列弯矩方程
AC 段（0≤ x1 ≤ a）
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
x1 FA
x2
FB
M
x1

Fb l
x1
M
x2


Fb l
x2

F
x2

a
2）建立转角方程和挠曲线方程
分段积分，得转角方程和挠曲
线方程分别为 AC 段（0≤ x1 ≤ a）
x1 FA
x2
dx
C
二次积分，得挠曲线方程
式中，C、D 为积分常数。
w
w f (x)
x F
M (x)
w EIz dxdx Cx D
说明：1）若弯矩方程 M(x) 为分段函数，积分则应分段进行； 2）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定。
[例1] 试列出下列各梁的位移边界条件 w
EI
A
B
C
l/2
l/2
[例6] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ，
设梁的抗弯刚度 EI 为常量。
解：
F
A
B
C
l
a
第五节 弯曲刚度计算
一、梁的刚度条件
w ≤w max
式中，[w] 为梁的许用挠度
二、提高梁的弯曲刚度的措施
1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义
w

为挠曲线的纵坐标 w，规定上 正下负；
2. 转角（角位移）
x
w x
F
横截面绕中性轴转动的角度， 记作 ，规定逆时针旋向为正，反
之为负， 在小变形情况下，转角为
dw
dx
第二节 挠曲线近似微分方程
一、梁的挠曲线（中性层）曲率
1 M (x)
w

EI z
式中，EIz 称为梁的抗弯刚度。
wB w2 x2 l 0
x1 FA
x2
FB
位移连续条件：
1 x1a
2 x2 a
w w 1 x1a
2 x2 a
根据上述条件求得四个积分常数分别为
C1

C2

Fb 6EIl
b2 l2
D1 D2 0
x1 FA
x2
FB
所以，最终梁的转角方程和挠曲线方程分别为
B
A
x
l
w x0

wA

0
x0 A 0
w
w x0 wA 0
A
B
x
w xl

wB
0
l
a
[例2] 受均布载荷作用的简支梁如图所示，已知抗弯刚度 EI 为常 数，试求此梁的最大挠度以及截面 A 的转角。
解： 1）列弯矩方程
M x 1 qlx 1 qx2
22
2）建立转角方程和挠曲线方程 ql/2
1 12
qlx3

1 24
qx4

Cx

D
3）确定积分常数 该梁的位移边界条件为
w 0 x0
w 0 xl
解得积分常数
D0
C 1 ql3 24EI
故得梁的转角方程和挠曲线方程分别为


1 EI

1 4
qlx2

1 6
qx3

1 24
ql 3

w

1 EI
A
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4 梁的最大挠度发生在中间截 面，为
q
wmax l
Bx
w 5ql4 7.26103 m = 7.26 mm max 384EI
由于
w 7.26 mm < w l 7.5mm
max
400
故梁的刚度满足要求
第六节 简单超静定梁
q
A
B
l
2. 采用合理的截面形状 选用具有较高 Iz/A 比值的截面形状 结论：工字形截面较为合理
3. 减小梁的跨度
[例7] 图示简支梁由 No. 18 工字钢制成，长度 l = 3 m ，受 q = 24 kN/m 的均布载荷作用。材料的弹性模量 E = 210 GPa ，许用应
力 [ ] = 150 MPa ，梁的许可挠度 [w ] = l / 400 。试校核梁的强度
x23

F 6EI
x2
a源自文库3

Fb 6EIl
b2 l2
x2
AC 段（0≤ x1 ≤ a） CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
1

Fb 6EIl
3x12 b2 l2
w1

Fb 6EIl
x13

b2 l2
x1
2

Fb 2EIl
x22

F 2EI
1 12
qlx3

1 24
qx4

1 24
ql
3
x



1 EI

1 4
qlx2

1 6
qx3

1 24
ql 3

w

1 EI
1 12
qlx3

1 24
qx4

1 24
ql
3
x

4）计算最大挠度和最大转角
由梁的变形图易见，梁的最大 挠度发生于 x = l /2 的跨中截面 处，故得最大挠度
x2

a2

Fb 6EIl
b2 l2
w2

Fb 6EIl
x23

F 6EI
x2
a3

Fb 6EIl
b2 l2
x2
4）计算最大转角和最大挠度
假设 a ＞ b，可得梁的最大转角
Fabl a
max B 6EIl
x1 FA
x2
FB
AC 段（0≤ x1 ≤ a）
x23

F 6EI
x2
a3

Fb 6EIl
b2 l2
x2
Fb l2 b2 3
wmax
w1
x1
l2 b2 3

9 3EIl
第四节 计算弯曲变形的叠加法
叠加法的要点 —— 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 2）记住常用结论 3）必须画出叠加变形图 4）掌握叠加法的常用技巧
FB
1

Fb 2EIl
x12

C1
w1

Fb 6EIl
x13
C1x1

D1
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
2

Fb 2EIl
x22

F 2EI
x2

a2

C2
w2

Fb 6EIl
x23

F 6EI

x2

a 3

C2 x2

D2
3）确定积分常数
位移边界条件： wA w1 x10 0
wmax

w
x l 2

5ql4 384EI
截面 A 的转角：
A
x0


ql 3 24EI
(顺时针)
[例3] 图示简支梁，在截面C 处受集中力F 作用，试建立梁的转角 方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚 度 EI 为常数。
解： 1）列弯矩方程
支座反力
b FA l F
[例4] 图示悬臂梁，同时承受集中载荷 F1 和 F2 的作用。设梁的 抗弯刚度为 EI，试用叠加法计算自由端 C 的挠度 wC。
解：
F1
A
C
B
a
a
F2
[例5] 阶梯悬臂梁如图，试求自由端端 C 的挠度 wC。已知 BC 段 梁的抗弯刚度为为 EI、AB 段梁的抗弯刚度为为 2EI。
解：
F
2EI
l = 500 mm，截面直径 d = 60 mm，材料的许用应力 [ ] = 100 MPa，
试校核该梁的强度。
解： 1）解除多余约束 2）建立变形协调方程
wB 0
3）建立补充方程
wB

11Fl 3
96EI

FBl 3 6EI

0
4）求解多余未知力
解得
11F FB 16 13.75 kN
w f (x)
x F
二、梁的挠曲线近似微分方程 联立高等数学中的曲率计算公式
得梁的挠曲线近似微分方程
1

w 1 w2
32
d2w M (x) dx2 EIz
第三节 计算弯曲变形的积分法
d2w dx2

M (x) EI z
对梁的挠曲线近似微分方程
一次积分，得转角方程



M (x) EI z