数学函数的应用题

函数的应用题

【热点聚焦】

最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等．

【基础知识】

运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：

1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；

2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；

3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题．

根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：

【课前训练】

1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ）

A ．7200×（31）3元

B ．7200×（32）3元

C ．7200×（31）2元

D ．7200×（3

2）2元 2．化学上常用pH 来表示溶液酸碱性的强弱，pH ＝－1g ｛c （H ＋）｝，其中f （H ＋

）表示溶液中H ＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c （H ＋）＝1×10－5mo l/L ，则这杯胡萝卜汁的pH 是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4％，那么经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f （x ）的图象大致为图中的（ ）

4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．

5．某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法：

（1）前三年中产量增长的速度越来越快；

图 2 图1

（2）前三年中产量增长的速度越来越慢；

（3）三年后，这种产品停止生产了；

（4）第三年后，年产量保持不变．

其中说法正确的是____．

【试题精析】

【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖. 每块地砖

(如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边

BC 和CD 上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制

成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米

价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使

中间的深色阴影部分成四边形EFGH .

(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；

(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最

省？

【例2】（2003北京春）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆

车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每

增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月

需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.

【例3】（2000全国卷）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示

.

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f （t ）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元／102 ，ｋg ，时间单位：天）

【评述】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.

【例4】（2001上海卷）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果

作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的2

1，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗．．一次．．

以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f （x ）.

（1）试规定f （0）的值，并解释其实际意义；

（2）试根据假定写出函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质；

（3）设f （x ）=2

11x +，现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也 可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.

【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法．

【例5】据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底，地球上的人口数达到了60亿．请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿？到2100年地球上将会有多少人口？

【例6】(2007年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律()(t f 越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：

⎪⎩

⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=402038072010240

10010024)(2t t t t t t t f (1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

【针对练习】

1．(2007年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的4

3，若要使存留的污垢不超过原有的1％，则至少要漂洗( )

A ．3次

B ．4次

C ．5次

D ．6次

2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是 ( ) A y =2x (x ∈N *) B.y =2x (x ∈N *)