数学函数的应用题

函数的应用题【热点聚焦】最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义等等．【基础知识】运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法：1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题．根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：【课前训练】1．老师今年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一．三年后老师这台笔记本还值（ ）A ．7200×（31）3元B ．7200×（32）3元C ．7200×（31）2元D ．7200×（32）2元 2．化学上常用pH 来表示溶液酸碱性的强弱，pH ＝－1g ｛c （H ＋）｝，其中f （H ＋）表示溶液中H ＋的浓度．若一杯胡萝卜汁的c （H ＋）＝1×10－5mo l/L ，则这杯胡萝卜汁的pH 是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4％，那么经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f （x ）的图象大致为图中的（ ）4．邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为____．5．某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如图所示，下列四种说法：（1）前三年中产量增长的速度越来越快；图 2 图1（2）前三年中产量增长的速度越来越慢；（3）三年后，这种产品停止生产了；（4）第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是____．【试题精析】【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖. 每块地砖(如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【例2】（2003北京春）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决.【例3】（2000全国卷）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f （t ）；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g （t ）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元／102 ，ｋg ，时间单位：天）【评述】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.【例4】（2001上海卷）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的21，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗．．一次．．以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f （x ）.（1）试规定f （0）的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质；（3）设f （x ）=211x +，现有a （a ＞0）单位量的水，可以清洗一次，也 可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力．以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法．【例5】据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，到1999年底，地球上的人口数达到了60亿．请你根据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿？到2100年地球上将会有多少人口？【例6】(2007年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律()(t f 越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=40203807201024010010024)(2t t t t t t t f (1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？【针对练习】1．(2007年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的43，若要使存留的污垢不超过原有的1％，则至少要漂洗( )A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是 ( ) A y =2x (x ∈N *) B.y =2x (x ∈N *)C.y=2x+1(x∈N*)D.y=log2x(x∈N*)3．对山东省某县农村抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率49%，电视机拥有率85%，洗衣机拥有率44%，至少拥有上述三种家用电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的占25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( ) A.35% B.10% C.15% D.资料不全，难以判断4．北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小蜥蜴体长15cm，体重15g，问：当小蜥蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是（）A．20g B．25g C．35g D．40g5．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y与水深入的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是……（）6．1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20％，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月l日存入人民币1万元，存期2年，年利率为2.25％，则到期可净得本金和利息总计____元．7．已知函数f（x）的图象如右图，试写出一个可能的解析式____．8．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9％，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08％．若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均（GDP达到或超过1999年的2倍，至少需____年．（按1999年本市常住人口总数约1300万计算）9．我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量pm3时，只付基本费8元和每户每月定额损耗费q元；若用水量超过pm3时，除了付上述的基本费和损耗外，超过部分每m3付r元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过5元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表：月份用水量（m3）水费（元）1 9 92 15 193 22 33（1）写出水费y （元）与用水量x （m 3）的函数关系式（这里的p ，q ，r 可作为已知数）；（2）根据数据表，求p ，q ，r 的值．第七节参考答案【课前训练】1．答案：B 解析：此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义．设原价为1，一年后降价为32，再过一年降价为32×32，……，三年后降价为32×32×32＝（32）3，故选B ． 2．答案：D 3．答案：D 解析：y ＝（1＋0.104％）x ，如图D4．答案：f （x ）＝⎩⎨⎧≤)5(3)5(5＞x x x x5．答案：（2）（3）（4） 解析：从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢，所以（2）是正确的；三年后总产量不变，说明没有新的产量增加，所以（3）或（4）都是正确的．【试题精析】【例1】 (1) 证明：图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转ο90后得到，△CFE 为等腰直角三角形，∴ 四边形EFGH 是正方形.(2) 解：设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)，则a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122 ()24.02.02+-=x x a []4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a . 由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省.答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省.【例2】解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：5030003600- =12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：f （x ）=（100－503000-x ）（x －150）－503000-x ×50，整理得：f （x ）=－502x +162x －21000=－501（x －4050）2+307050.所以，当x =4050时，f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.【例3】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100，所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5.综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【例4】解：（1）f （0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．（2）函数f （x ）应该满足的条件和具有的性质是：f （0）=1，f （1）=21， 在［0，＋∞）上f （x ）单调递减，且0＜f （x ）≤1．（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f 1＝211a +，清洗两次后，残留的农药量为 f 2＝2222)4(16)2(11a a +=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+，则f 1－f 2＝22222222)4)(1()8()4(1611a a a a a a ++-=+-+． 于是，当a ＞22时，f 1＞f 2；当a =22时，f 1＝f 2；当0＜a ＜22时，f 1＜f 2． 因此，当a ＞22时，清洗两次后残留的农药量较少；当a =22时，两种清洗方法具有相同的效果；当0＜a ＜22时，一次清洗残留的农药量较少． 【例5】解：题目中的数据均为大致时间，粗略估计的量，带有较多的误差．因此寻找人口增长规律时不需要，也不应该过分强调规律与数据完全吻合．数据中20世纪以前的人口资料更加粗略，况且人口的预报准确程度主要受到20世纪人口增长规律的影响，因而组建预报模型时，不必考虑20世纪以前的数据资料，在20世纪人口增长速度是逐渐变快的，因此用直线变化（匀速增长）建模做预报是不恰当的．做为人口增长的模型，一般可以使用指数关系N （t ）＝ae ，其中N （t ）为t 时人口数，a 、r 为参数．将N （t ）＝ae n 式取对数可得ln N （t ）＝ln a ＋r t ，它是关于t 的线性模型，这里ln 为以e 为底的对数．利用1930～1999年的数据可以得到ln a ＝－28.33，r ＝0.0162，a ＝33.28-e＝4.97×10－13．模型为N （t ）＝4.97×10－13t e 0162.0（亿）（1930≤t ≤1999）． 模型的拟合效果如下表（人口单位：亿）拟合效果较好，可用于预报．令N （t ）＝100，可求出t ＝2030.84，故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将达到100亿，而于2100年世界人口将达到307亿．【例6】(1)解：当0＜t ≤10时，244)12(10024)(22+--=++-=t t t t f 是增函数，且240)10(=f 当20＜t ≤40时，3807)(+-=t t f 是减函数，且240)20(=f所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟(2)解：205)25(195)5(==f f ，，所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中(3)当0＜t ≤10时，令18010024)(2=++-=t t t f 得：4=t当20＜t ≤40时，令1803807)(=+-=t t f 得：57.28≈t则学生注意力在180以上所持续的时间2457.24457.28>=-所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题。