全等三角形中的截长补短 学生版

第九讲

全等三角形中的截长

补短

中考要求

知识点睛

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．

(3)有公共边的，公共边常是对应边．

(4)有公共角的，公共角常是对应角．

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或

最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．

(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠= ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，

BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

D

O

E

C

B A

4321

F

D

O

E C

B A

【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作

60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

N

E

B M A D

【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2

∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．

M E

D C

B

A

【例4】 (“希望杯”竞赛试题)如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，

∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )

A . a

B . k

C .

2

k h

+ D . h M

D

C

B

A

【例5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .

F

E

D

C

B

A

【例6】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交

于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．

F

B

D

O

E

D

C

A

【例7】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三

角形，BDC ∆是顶角为120 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．

N

M D

C

B

A

【例8】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120 的等腰三角形，以

D 为顶点作一个60 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．

D

N

M

C

B

A

【巩固】(全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，D 是底边BC 上的

一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =.

E

D C

B A

【例9】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

C

E

D

B A

【巩固】(2009浙江湖州)若P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，

则点P 叫做ABC ∆ 的费马点．

⑴ 若点P 为锐角ABC ∆的费马点，且60ABC ∠=︒，34PA PC ==，，则PB 的值为________；

⑵ 如图，在锐角ABC ∆外侧作等边ACB ∆′，连结BB ′． 求证：BB ′过ABC ∆的费马点P ，且BB PA PB PC =++′

． B'

B

A

板块二、全等与角度

【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠= ，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求

ABC ∠的度数.

D C

B A

【例11】 在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，

求BDC ∠.

D

C

B A

【例12】 (“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠= ，又

M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠= ，60ABM ∠= ，求NMB ∠.