数学:第十一章全等三角形复习教案(人教新课标八年级上)

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第十三章全等三角形复习教案

一、知识点:

1.全等三角形:

⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫全等形。

⑵全等三角形的有关概念:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角。

⑶全等三角形的性质:全等三角形对应边相等,对应角相等。

2.三角形全等的性质:

全等三角形的识别:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(直角三角形)

3.角平分线的性质:

⑴角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等。

⑵角平分线的判定:到角两边距离相等的点在角的平分线上。

⑶三角形三个内角平分线的性质:三角形三条内角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等。

二、经验与提示

1.寻找全等三角形对应边、对应角的规律:

①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.

②全等三角形对应边所对的角是对应角,两个对应边所夹的角是对应角.

③有公共边的,公共边一定是对应边.

④有公共角的,公共角一定是对应角.

⑤有对顶角的,对顶角是对应角.⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角)

2.找全等三角形的方法

(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;

(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;

(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;

(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。

3.角的平分线是射线,三角形的角平分线是线段。

4.证明线段相等的方法:

(1)中点定义;

(2)等式的性质;

(3)全等三角形的对应边相等;

(4)借助中间线段(即要证a=b,只需证a=c,c=b即可)。随着知识深化,今后还有其它方法。

5.证明角相等的方法:

(1)对顶角相等;

(2)同角(或等角)的余角(或补角)相等;

(3)两直线平行,同位角、内错角相等;

(4)角的平分线定义;

(5)等式的性质;

(6)垂直的定义;

(7)全等三角形的对应角相等;

(8)三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化,今后还有其它的方法。

6.证垂直的常用方法

(1)证明两直线的夹角等于90°;

(2)证明邻补角相等;

(3)若三角形的两锐角互余,则第三个角是直角;

(4)垂直于两条平行线中的一条直线,也必须垂直另一条。

(5)证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等;

(6)邻补角的平分线互相垂直。

7.全等三角形中几个重要结论

(1)全等三角形对应角的平分线相等;

(2)全等三角形对应边上的中线相等;

(3)全等三角形对应边上的高相等。

三、典型例题

例1.已知,

求证:。

证明:

文字叙述题

例2:求证:等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。

已知:如图,,求证:. 证明:

例3 已知:如图,已知AB=DC,AC = DB,AC和DB相交于点O .

求证:OB=OC;

略证:证明。

例4 已知:如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=DC,AD∥BC,PB=PC.

求证:PA=PD.

略证:证明即可。

全等三角形的应用(生活实际问题)

(1)利用全等三角形配玻璃

例5如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()

(A)带①去(B)带②去(C)带③去(D)带①和②去

答案:C

(1)利用全等测距离

例6 如图,工人师傅把两根钢条AA’和BB’中心铆在一起,可以

做成一个测量工件内槽宽度的工具,请你结合图形,并利用你学过

的知识,解释一下它的工作原理。

答案:证明即可。

三角形中常见辅助线的作法

1、延长中线构造全等三角形

例1 如图1,已知△ABC中,AD是△ABC的中线,AB=8,AC=6,求AD的取值范围.提示:延长AD至A',使A'D=AD,连结BA'.根据“SAS”易证△A'BD≌△ACD,得AC=A'B.这样将AC转移到△A'BA中,根据三角形三边关系定理可解.

2、引平行线构造全等三角形

例2 如图2,已知△ABC中,AB=AC,D在AB上,E是AC延长线上一点,且BD=CE,DE与BC交于点F.

求证:DF=EF.

提示:此题辅助线作法较多,如:

①作DG∥AE交BC于G;

②作EH∥BA交BC的延长线于H;

再通过证三角形全等得DF=EF.

3、作连线构造等腰三角形

例3 如图3,已知RT△ACB中,∠C=90°,AC=BC,AD=AC,DE⊥AB,垂足为D,交BC 于E.

求证:BD=DE=CE.

提示:连结DC,证△ECD是等腰三角形.

4、利用翻折,构造全等三角形.

例4 如图4,已知△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC交BC于D.求证:AC=AB+BD.提示:将△ADB沿AD翻折,使B点落在AC上点B'处,再证BD=B'D=B'C,易得△ADB≌△ADB',△B'DC是等腰三角形,于是结论可证.

5、作三角形的中位线

例5 如图5,已知四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N.求证:∠BME=∠CNE.

提示:连结AC并取中点O,再连结OE、OF.则OE∥AB,OF∥CD,故∠1=∠BME,∠2=∠CNE.、且OE=OF,故∠1=∠2,可得证.

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