随机过程 第3章 泊松过程

P{ X (t h ) X (t ) 1} h o ( h ) P{ X (t h ) X (t ) 2} o ( h )
泊松过程的几个例子

考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令 X(t) 表示电 话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是 一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时 间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊 松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0 的泊松 过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
到达时间的条件分布
[定理] 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A发 生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于n个 [0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同 的分布，
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
fW n (t ) e t ( t ) n 1 ( n 1)!
Wn 的特征函数：
Wn 的数字特征：
Φ W n ( )
n
( j ) n
E [T n ] n 2 D [ T ] n n
[例1](例3.7) 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t)
FTn (t ) P{Tn t} (1 e t )
f Tn ( t ) e t
Φ Tn ( t )
j
D [Tn ] 1 2
E [Tn ] 1 ,
等待时间（到达时间）Wn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Wn , n1} 是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布，其概率密度为
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X ( s ) k , X (t ) X ( s ) n k} P{ X (t ) n}
(s ) k e s [ (t s )]n k e (t s ) k! (n k )! n! s k (t s) n k n t (t ) e k!(n k )! tn n!
*[例4] (例3.6)设{X1(t), t 0 }和{X2(t), t 0 }是两个相互独
立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分 别为 1和2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间， W1(2)为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 P{Wk(1)<W1(2)}，即第一个泊松过程的第k次事件发生早于 第二个泊松过程的第1次事件发生 的概率。
C
k n
s s 1 t t
wk.baidu.com
k
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
*[例3] (例3.5)设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k
次(k < n) 事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h X (t ) n}
P{s Wk s h, X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
(s) d s
0
t
P{ X (t s) X (t ) n} [mX (t s) mX (t )]n exp{[mX (t s) mX (t )]}, (n 0) n!
或
[ m X (t )] n P{ X (t ) n} exp{ m X (t )}, n!
( n 0)
例5 (例3.8)
设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
( t ) 0 . 5 (1 cos t )
Wn Ti
i 1
n
(n 1)
t
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同 分布的均值为1/ 的指数分布。 Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数： Tn 的特征函数： Tn 的数字特征：
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e ( t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X ( t ) 1 ( s ) 其它 0,
k e
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而取 各个值的概率为
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
D(X )
fWk
( s n) X (t )
n! s s 1 k (k 1)!(n k )! t t
h

k 1
nk
Beta分布
lim
h0
P{s Wk s h X (t ) n}
fWk (s) P{X (t ) X (s) n k} P{X (t ) n}
第3章 泊松过程
内容提要
泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程
引 言
[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1，其概率 分布为：
P( X 1) p, P( X 0) 1 p q
E ( X ) p, D ( X ) pq
[例2] (例3.4)设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s <
t，对于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。
P{ X ( s ) k X (t ) n}
P{ X ( s ) k , X (t ) n} P{ X (t ) n}
j X ( t )
]e
t ( e j 1)
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
m X (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) D X (t ) t
R X ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )] s ( t 1) , ( s t )
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
fW n (t ) e t ( t ) n 1 ( n 1)!
P{W
(1) k
W
(2) 1
1 } 2 1

k
3.3 非齐次泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有跳跃强度函数 (t) 的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) P { X ( t h ) X ( t ) 1} ( t ) h o ( h )
BX ( s, t ) RX ( s, t ) m X ( s )m X (t ) min( s, t ) s , ( s t )
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A 发生的次数， T1 0 W1 T2 T3 W2 W3 Tn Wn-1 Wn
3.1 泊松过程的定义
[定义] 称{ N (t), t 0 } 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件： (1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值; (3) 若 s < t ，N (s) N (t) ; (4) 当s < t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t] 中“事件A” 发生的次数。
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 次数，则 X ~ B (n, p)
n p k q nk P( X k ) k
E ( X ) np , D ( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim
n
P( X k )
是具有参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出 现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。 [解] 仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ， 则T 的概率分布为 分布:
k 1 t ( t ) e , t 0 fT (t ) ( k 1 )! t 0 0 ,
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}


3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )

t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
[定理] 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m X (t ) 的非齐次泊松过程，则有