二次函数中三角形面积最大值综合题

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2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题

28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ．

（1）求二次函数24y ax bx =++的表达式；

（2）AB 于

点M （3∴

810

AM NC n

AB BC -==

．4分 ∵OA =4，BC =10，

∴11

4102022ABC S BC OA =⋅=⨯⨯=V ．5分 ∴2811(8)(2)(3)51055

AMN

ABN n S S n n n -==-+=--+V V ．6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大．7分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点.

∴M 为AB 边中点，∴12

OM AB.=8分 ∵2241625AB OB OA =+=+=，

22641645AC OC OA =+=+=，

∴12AB AC,=9分

∴1

4

OM AC =．10分

24（2017海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()和点()。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3

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y x =

+相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。

①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ∆与PBM ∆相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。

【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有

=

或

=

两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，

可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标． 【解答】解：

（1）∵抛物线y=ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （5，0），

∴，解得，

∴该抛物线对应的函数解析式为y=x 2﹣x +3；

（2）①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方， ∴可设P （t ，t 2﹣

t +3）（1＜t ＜5），

∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线C D 交于点M 、N ，

∴M（t，0），N（t，t+3），

∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+

联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，

∴C（0，3），D（7，），

分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，

则CE=t，DF=7﹣t，

=S△PCN+S△PDN=PNCE+PNDF=PN=[﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，

∴S

△PCD

∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；

②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴当△CNQ与△PBM相似时，有=或=两种情况，

∵CQ⊥PM，垂足为Q，

∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），

∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，

∴=，

∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t﹣3，

当=时，则PM=BM，即﹣t2+t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，）；

当=时，则BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+t﹣3），解得t=或t=5（舍去），此时P（，﹣）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，）或（，﹣）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似

三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P 点坐标表示出△PCD 的面积是解题的关键，在（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

24.在平面直角坐标系xoy 中，规定：抛物线()2

y a x h k =-+的伴随直线为()y a x h k =-+.例如：抛

物线()2

213y x =+-的伴随直线为()213y x =+-，即2 1.y x =-

（1）在上面规定下，抛物线()214y x =+-的顶点为.伴随直线为；抛物线()2

14y x =+-与其伴随直线的交点坐标为和；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线()2

14y m x m =--与其伴随直线相交于点,A B (点A 在点B 的右侧)与x 轴交于点,.C D

①若90,CAB ︒∠=求m 的值；

②如果点(),P x y 是直线BC 上方抛物线的一个动点，PBC ∆的面积记为S ，当S 取得最大值

27

4

时，求m 的值. 【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

（2）①可先用m 表示出A 、B 、C 、D 的坐标，利用勾股定理可表示出AC 2、AB 2和BC 2，在Rt △ABC 中由勾股定理可得到关于m 的方程，可求得m 的值；②由B 、C 的坐标可求得直线BC 的解析式，过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ，则可用x 表示出PQ 的长，进一步表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可得到m 的方程，可求得m 的值． 【解答】解：

（1）∵y=（x +1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x +1）﹣4，即y=x ﹣3， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得

，解得

或

，

∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故答案为：（﹣1，﹣4）；y=x ﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）； （2）①∵抛物线解析式为y=m （x ﹣1）2﹣4m ，