5_离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

6 X (k ) X * (( N k )) N RN (k )， 若 x(n) imagenary
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• 【满足圆周共轭对称性的序列】
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• 【圆周卷积和性质】
– 若： DFT x1(n) X1(k ), DFT x2 (n) X 2 (k )
* * 2 DFT x (( n )) R ( n ) X (k ) N N 1 * 3 DFTRe x(n) X ep (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 1 * 4 DFT jIm x(n) X op (k ) X (( k )) X (( N k )) N RN ( k ) N 2 5 X (k ) X * (( N k )) N RN (k ), 若 x(n) real
( n) 和 a k 分别表示周期性信号和频谱。 –定义新符号： x
–定义矩形序列符号 RN (n) 和
RN (k )
为
1, 0 n N 1 1, 0 k N 1 RN (n) 或 RN (k ) 0, 其它 n 0, 其它 k
( n) 和 a k –有限长序列 x(n) 和 ak 可以认为是周期性序列 x 的一个周期。
谱或系统的频率响应也是数字化的。 –实际应用中的信号总是有限时宽的、且为非周期的。希 望信号频谱也是有限频宽、且非周期的。 –考察前面介绍的4种傅里叶级数或傅里叶变换，没有任
何一种能够满足这种需求。
–因此，发展新的傅里叶变换方法以适应数字信号处理实 际应用的要求称为数字信号处理理论的一个重要任务。 –这就为DFT的发展提供了需求和动力。
k RN (k ) a( k )N RN (k ) ak a
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• 分析：
–注意到，在DFS中，时间序列 x(n) 是周期性的，周期
为N。 –另一方面，周期为N的序列只有N点独立样本，其余的 都重复。 – DFS中，实际上只用了 x(n) 的N点数据。
–这样，可以把N点长的非周期序列看成周期为N的序列
– 则： DFT ax1 (n) bx2 (n) aX1(k ) bX 2 (k )
• 【序列的圆周位移性质】
(n) ，将 x (n) 位移，取主值区间上的 – 将 x(n) 延拓为 x 序列值。即：
(n m)RN (n) – 圆周位移： xm (n) x((n m)) N RN (n) x
式中， WN e
j 2 kn N
j
2 N
W
kn N
e
,
W
kn N
e
j
2 kn N
DFS：
2 jk n 1 1 jk0n x (n )e x(n )e N ak N n N N n N 2 jk n jk0n x(n) ak e ak e N k N k N
– 若： DFT x(n) X (k )
mk – 则： X m (k ) DFT xm (n) WN X (k )
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• 【圆周位移的图形解释】
左移=顺时针旋转 右移=逆时针旋转
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• 【对偶性】
– 若： DFT x(n) X (k )
间距点上取值
X ( k ) 是 ak 的主值周期。
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2 k N
X (k ) ak RN (k )
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• 【例5.1】
三个正弦信号的混合 2 1
幅度
0 -1 -2 0 20 40 60 80 100 n 混合信号的频谱 120 140 160 180 200
300 200 100 0
– 即DFT是DFS的一个周期。
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• （2）DFT的图形解释
）
– (a) 长度为T的连续时间信号，其频谱为 X ( j) 。
– (b) 时域采样信号：p(t ) TS (t nTS ) ，其频谱仍为 n 同周期脉冲序列。
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– 利用加窗函数
1， 0 n N 1 1 ，0 k N 1 RN (n) 或 RN (k ) 0， 其它n 0， 其它k
– 则DFT定义式改写为：
N 1 nk (k ) R (k ) X ( k ) x ( n ) W R ( k ) X N N N n 0 N 1 1 nk x(n) X ( k ) W N RN ( n ) x ( n ) RN ( n ) N k 0
的一个周期。
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• 离散傅里叶变换（DFT）
• 【假设】
– 设 x(n) 为有限长序列，点数为N，可将其看作周期 (n) 的一个周期；而把 x (n) 看作 为N的周期序列 x 是 x(n) 的周期延拓，即：
(n) ， 0 n N 1 （主值） x x(n) 0 ， 其他n
* N 1
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• 【圆周共轭对称性】
• 若：
DFT x(n) DFTRe x(n) jIm x(n)
• 则： * * * 1 DFT x ( n ) X (( k )) R ( k )= X (( N k )) N RN (k ) N N
N 9 的序列，求 n 25, n 5 两数对 N
• 【解】
– 因为：n 25 2 9 7 ，故：((25))9 7 – 因为：n 5 ( 1) 9 4，故：(( 5))9 4 – 这样：
(25) x((25))9 x(7) x ( 5) x(( 5))9 x(4) x
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• DFT的定义： X (k )
离散、非周期； x ( n ) 离散、非周期
2 N 1 N 1 j kn kn N X ( k ) DFT[ x ( n )] x ( n )e x ( n ) W N , k 0,1, , N 1 n 0 n 0 2 N 1 N 1 j kn 1 1 kn x ( n) IDFT[ X ( k )] N X ( k )e X ( k ) W N , n 0,1,, N 1 N k 0 N k 0
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–再定义：
(n) x(n 模 N ) x((n)) N x
k a( k 模 N ) a( k )N a
–式中，((n)) N （或 (k ) N ）表示 对 N 取余数）。 –这样，有：
n
对 N 取余数（或 k
(n) RN (n) x((n)) N RN (n) x ( n) x
内容概要
• §5.1
• §5.2
引言
离散傅里叶变换（DFT）
• §5.3
• §5.4 • §5.5 • §5.6
DFT理论与应用中若干问题
二维傅里叶变换简介 快速傅里叶变换（FFT） FFT的主要应用
§5.1 引言
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• 为什么要学习离散傅里叶变换（DFT）？
–数字信号处理，要求信号是数字化的，也希望信号的频
幅度
0
20
40
60
80
100 f /Hz
120
140
160
180
200
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5.2.3
• DFT的性质
离散傅里叶变换的性质
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• DFT的性质（续）
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• 【线性性质】
– 若： DFT x1(n) X1(k ), DFT x2 (n) X 2 (k )
（3）FT： x(t )连续、非周期 ； X ( j)连续、非周期； –
X ( j) x (t )e jt dt 1 j t x (t ) X ( j )e d 2
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（4）DTFT： x(n) 离散、非周期； X (e j )连续、周期；
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§5.2 离散傅里叶变换（DFT）
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5.2.1
已有傅里叶变换的简要回顾
（1）FS：x(t ) 连续、周期 ；ak 离散、非周期；
2 jk t 1 1 jk 0t T a x ( t )e d t x ( t )e dt k T T T T 2 jk t jk 0t x (t ) a e ak e T k k k
(n) 的主值序列。 –称 x(n)是 x
(n ) x
r
x(n rN )

–记为：
(n) x(n模N ) x((n)) N x
– x((n )) N 表示“ n 对 N 取余数”，或 n 对 N 取模值。
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• 【例】
(n )为周期 – 设x 的余数。
– 则：DFT X (n) Nx((k )) N RN (k ) Nx(( N k )) N RN (k )