高中数学-基本逻辑联结词(精选)
逻辑联结词“或”、“且”、“非”-高中数学知识点讲解
逻辑联结词“或”、“且”、“非”1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命题．例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是pⅤq 的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或q 表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p 真q 假②q 真p 假③p 真q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q 或r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p 和命题q 连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p 且q”．规定：当p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且q 表示两个简单命题两个都成立，就是p 真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定．规定：若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p ￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p 或q”、“p 且q”的否定分别是“非p 且非q”和“非p 或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p 与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．。
高中数学-逻辑连接词
【例 3】已知 c 0 ，设 P：函数 y c x 在 R 上单调递减
Q：不等式 x+ | x - 2c |> 1 的解集为 R.如果 P 和 Q 有且仅
有一个正确，求 c 的取值范围
解：函数 y c x 在 R 上单调递减 0 c 1.
不等式 x | R上恒大于1.
（3）P或q形式，其中p：4＞３，q：４＝３
（4）非p形式：其中p：平行四边形是梯形。
例2．已知命题 p : x2 mx 1 0 有两个不等的负 根；命题 q : 4x2 4(m 2)x 1 0无实根. 若命题p与 命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围.
m 3,或1 m 2
2.在一次投篮练习中，小王连投两次，设命题 p ：“第一次
投中”命题 q ：“第二次投中”.试用 p 、 q 和联接词“或、且、
非”表示命题“两次恰有一次投中”:(__p_且____q_.)或( p且q )
3.已知 c>0,设 p:函数 y cx 在 R 上递减; q:函数 f (x) x2 cx的
例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题， （1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边， （2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的 两条弧，
（3）
（4）平4行四3 边形不是梯形
（1）P且q形式，其中p：等腰三角形顶角的角平分线垂直底 边， q：等腰三角形顶角的角平分线平分底边；
（2）P且q形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦， q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧
1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层 含义：
以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立 但q成立，三是p成立且q成立， 2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既 否定题设又否定结论
高中数学常用逻辑用语
逆否命题： 若 q 则 p
结论1：要写出一个命题的另外三个命
题关键是分清命题的题设和结论（即
把原命题写成“若p则q”的形式）
注意：三种命题中最难写 的是否命题。 高中数学常用逻辑用语
三、四种命题之间的 关系
原命题
பைடு நூலகம்若p则q
互逆 逆命题
若q则p
互
互
否
否
否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆 若﹁q则﹁p
高中数学常用逻辑用语
x∈N”是“x∈M∩N”的
B
A.充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要 D既不充分也不必要
注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是
A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2
A
高中数学常用逻辑用语
练习5、
1.已知p是q的必要而不充分条件， 那么┐p是┐q的___充__分_不__必__要_条__件__.
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的高中数结学常用论逻辑正用语 确。
归谬 结论
1.写出命题“当c＞0时，若a＞b， 则ac＞bc“的逆命题，否命题 与逆否命题，并分别判断他们的真假
2.写出命题“若x≠a且x≠b， 则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题
充分非必要条件
2) 若A B且B A，则甲是乙的
必要非充分条件
3）若A B且B A，则甲是乙的
既不充分也不必要条件 4）若A=B ，则甲是高中乙数学的常用逻充辑用分语 且必要条件。
注意点
1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相 推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.
高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳
§．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p5．四种命题的构成：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q”“若q 则p ” . 7．反证法：欲证“若p 则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非q”为假，即“若p 则q”为真 .8．充分条件与必要条件 ：①pq ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件； ②p q ：p 是q 的充要条件 . 9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“∀” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明p 的充要条件是q ；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一. 关键词 是 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多有一个 任意 存在否定 不是 不都是（全是） ≤（≥） 一个也没有 至少有两个 存在 任意2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|2．全称命题与特称命题的关系：全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为,11⎪⎩⎪⎨⎧<-<-h b h a 所以,11⎩⎨⎧<-<-<-<-h b h h a h 两式相减得h b a h 22<-<- 故h b a 2<-即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb h a 22 同理也可得h b a 2<-因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4] 已知命题甲：a+b ≠4, 命题乙:a 1≠且b 3≠，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因 ：对命题的否定不正确.a 1≠且b 3≠的否定是a=1或b=3.正解：当a+b ≠4时,可选取a=1,b=5，故此时a 1≠且b 3≠不成立( a=1).同样，a 1≠,且b 3≠时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a 1≠且b 3≠为真时，必须a 1≠,b 3≠同时成立.[例5] 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为p ⇒r ⇒s ⇒q 但r 成立不能推出p 成立，所以q p ⇒,但q 成立不能推出p 成立，所以选A 解：选A[例6] 已知关于x 的一元二次方程 (m∈Z)① mx 2－4x ＋4＝0 ② x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件.解：方程①有实根的充要条件是,04416≥⨯⨯-=∆m 解得m ≤1.方程②有实根的充要条件是0)544(41622≥---=∆m m m ，解得.45-≥m ,.145Z m m ∈≤≤-∴而故m =－1或m =0或m =1. 当m =－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m =1.反之，m =1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m =1.[例7] 用反证法证明：若a 、b 、c R ∈，且122+-=b a x ，122+-=c b y ，122+-=a c z ，则x 、y 、z 中至少有一个不小于0证明： 假设x 、y 、z 均小于0，即：0122<+-=b a x ----① ；0122<+-=c b y ----② ；0122<+-=a c z ----③；①+②+③得0)1()1()1(222<-+-+-=++c b a z y x ，这与0)1()1()1(222≥-+-+-c b a 矛盾，则假设不成立， ∴x 、y 、z 中至少有一个不小于0[例8] 已知命题p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；命题q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．分析：“p 或q ”为真，则命题p 、q 至少有一个为真，“p 且q ”为假，则命题p 、q 至少有一为假，因此，两命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真. 解： 若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m ＞2，即命题p ：m ＞2若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0解得：1＜mq ：1＜m ＜3.因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以命题p 、q 至少有一为假，因此，命题p 、q 应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或 解得：m ≥3或1＜m ≤2.四、典型习题导练1．方程0122=++x mx 至少有一个负根，则（ ）A.10<<m 或0<mB.10<<mC.1<mD.1≤m2．“0232>+-x x ”是“1<x 或4>x ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数,,a b c 不全为0的充要条件是 （ ）A.,,a b c 都不是0.B.,,a b c 中至多一个是0.C.,,a b c 中只有一个是0.D.,,a b c 中至少一个不是0.4．由命题p :6是12的约数，q :6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是：_ ___，“p 且q ”形式的命题是__ _，“非p ”形式的命题是__ _.5．若,a b R ∈，试从A.0ab =B.0a b +=C.220a b +=D.0ab >E.0a b +>F.220a b +> 中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使,a b 都为0的充分条件是 ；（2）使,a b 都不为0的充分条件是 ；（3）使,a b 中至少有一个为0的充要条件是 ；（4）使,a b 中至少有一个不为0的充要条件是 ．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p : 梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．（2）p : 1是方程0342=+-x x 的解；q ：3是方程0342=+-x x 的解． （3）p : 不等式0122>+-x x 解集为R ；q : 不等式1222≤+-x x 解集为． 7．命题：已知a 、b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．8．用反证法证明：若a 、b 、c 、d 均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x 、y 、z 、t 四个数中，至少有一个不大于1．。
高中数学 第1章 常用逻辑用语 1
§1.3简单的逻辑联结词知识点一由简单命题写出复合命题分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：0∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)p∨q：2是无理数或大于1；p∧q：2是无理数且大于1；綈p：2不是无理数．(2)p∨q：N⊆Z或0∈N；p∧q：N⊆Z且0∈N；綈p：N⃘Z.(3)p∨q：x2＋1≠x－4；p∧q：x2＋1>x－4且x2＋1<x－4；綈p：x2＋1≤x－4.知识点二从复合命题中找出简单命题指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理数解；(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1或x>2}；(4)他是运动员兼教练员．解(1)“p且q”形式，其中p：96是48的倍数，q：96是16的倍数．(2)“非p”形式，其中p：方程x2－3＝0有有理数解．(3)“p或q”形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}．(4)“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.知识点三判断含有逻辑联结词的命题的真假分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：3>3，q：3＝3；(2)p：∅{0}，q：0∈∅；(3)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．解(1)因为p假q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．(2)因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．(3)因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．(4)因为p假q假，所以“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．知识点四非命题与否命题写出下列命题的否定及命题的否命题：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)面积相等的三角形是全等三角形．解(1)命题的否定：存在一个菱形，其对角线不互相垂直．否命题：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直．(2)命题的否定：存在面积相等的三角形不是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．考题赏析1．(广东高考)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．答案 D2．(如皋联考)已知命题：p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.上述命题中为真命题的是________．解析p为真，q为假，故p或q，綈q为真命题．答案②④1．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为()①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．A．②③B．②④C．①③D．①④答案 C解析因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，即綈(p且q)等价于綈p或綈q，所以“綈p或綈q”是假命题等价于“綈(p且q)”是假命题，即p且q为真命题．故选C.2．条件p：x∈A∪B，则綈p是()A．x∉A或x∉B B．x∉A且x∉BC ．x ∈A ∩BD ．x ∉A 或x ∈B 答案 B解析 因x ∈A ∪B ⇔x ∈A 或x ∈B ，所以綈p 为x ∉A 且x ∉B ，故选B.3．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ①p 或綈q 是真命题； ②p 或綈q 是假命题； ③綈p 且綈q 是假命题； ④綈p 或q 是假命题， 其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为p 且q 为真，所以p 与q 都为真，所以綈p 且綈q 为假．所以只有①③是真命题，所以选C. 4．若命题“p ∧q ”为假，且“綈p ”为假，则( ) A ．p ∨q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假 答案 B解析 綈p 为假，则p 为真，又p ∧q 为假，所以q 为假．所以选B. 5．“a ≥5且b ≥2”的否定是________． 答案 a <5或b <2解析 本题考查命题的否定，“p 或q ”的否定是“綈p 且綈q ”，“p 且q ”的否定是“綈p 或綈q ”． 6．命题p ：{2}∈{2,3}，q ：{2}⊆{2,3}，则下列对复合命题的判断，正确的是________．(填上所有正确的序号)①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假． 答案 ①④⑤⑥解析 由题可知p 为假，q 为真，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真，非q 为假．答案为①④⑤⑥.7．已知p ：3－x ≤0或3－x >4，q ：5x ＋2<1，求p ∧q .解 由3－x ≤0或3－x >4，解得p ：x ≥3或x <－1； 由5x ＋2－1<0，即3－x x ＋2<0， 解得q ：x <－2或x >3.所以p ∧q ：x <－2或x >3.8．已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.若p真q 假，则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52＝⎣⎡⎭⎫12，1. 若p 假q 真，注意到已知a ＞0，a ≠1，所以有 a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.讲练学案部分知识点一 含逻辑联结词的命题的构成将下列命题写成“p ∧q ”“p ∨q ”和“綈p ”的形式： (1)p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分；(2)p ：能被5整除的整数的个位数一定为5，q ：能被5整除的整数的个位数一定为0. 解 (1)p ∧q ：菱形的对角线互相垂直且平分． p ∨q ：菱形的对角线互相垂直或平分． 綈p ：菱形的对角线不互相垂直．(2)p ∧q ：能被5整除的整数的个位数一定为5且一定为0； p ∨q ：能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0；綈p ：能被5整除的整数的个位数一定不为5.【反思感悟】 简单命题用联结词“或”、“且”、“非”联结得到的新命题是复合命题，联结后可以综合起来叙述，但综合叙述不能叙述成条件复合的简单命题或叙述成结论复合的简单命题．如(2)中的p ∨q 不能叙述成：能被5整除的整数的个位数一定为5或0，因为p 、q 都是假命题，则p ∨q 也为假命题．判断下列命题是否是复合命题并说明理由．(1)2是4和6的约数；(2)不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或x <2.解 (1)是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数．(2)是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题，因不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3是假命题，不等式x 2－5x ＋6>0的解为x <2也是假命题，而命题(2)是真命题，这与p 、q 都假，则p ∨q 一定假矛盾．命题“不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或解为x <2”是p ∨q 的形式．知识点二 含逻辑联结词的命题的真假判断分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假：(1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．解 (1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．【反思感悟】 判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是对应p 、q 的真假及“p ∧q ”“p ∨q ”为真时的判定依据，至于“綈p ”的真假，可就p 的真假判断，也可就“綈p ”直接判断．判断下列命题的真假：(1)－1是偶数或奇数；(2)2属于集合Q ，也属于集合R ； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)此命题为“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故原命题为真命题．(2)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R ，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题．(3)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )．因为p 为真命题，所以“綈p ”为假命题，故原命题为假命题．知识点三 简单的逻辑联结词的综合应用已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m2≤－1，∴m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零， 则Δ＝16(m －2)2－16<0， 解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎨⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}．【反思感悟】 由p 、q 的真假，可以判断“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”的真假．反之，由“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”的真假，也能推断p 、q 的真假，如“p ∧q ”为假，则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等负根．q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．(1)当m 为何值时，p 或q 为真？ (2)当m 为何值时，p 且q 为真？解 由已知可知：p 真时m >2，q 真时1<m <3， (1)若p 或q 为真，只需m ∈{m |m >2}∪{m |1<m <3} ＝{m |m >1}．(2)若p 且q 为真，只需m ∈{m |m >2}∩{m |1<m <3} ＝{m |2<m <3}.课堂小结：1. 从集合的角度理解“且”“或”“非”. 设命题p ：x ∈A.命题q ：x ∈B. 则p ∧qx ∈A 且x ∈Bx ∈A ∩B ；p ∨q x ∈A 或x ∈B x ∈A ∪B ；2.对有逻辑联结词的命题真假性的判断 当p 、q 都为真，p ∧q 才为真；⌝p 与p 的真假性相反且一定有一个为真.当p 、q 有一个为真，p ∨q 即为真； 3.含有逻辑联结词的命题否定（1）“x=0或x=1”的否定是“x ≠0且x ≠1”而不是“x ≠0或x ≠1”; （2）“x 、y 全为0”的否定是“x 、y 不全为0”，而不是“x 、y 全不为0”；（3）“全等三角形一定是相似三角形”的否定是“全等三角形一定不是相似三角形”而不是“全等三角形不一定是相似三角形”.一、选择题1．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1) 答案 C解析 点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．2．如果原命题的结论是“p 且q ”的形式，那么否命题的结论形式为( ) A ．綈p 且綈q B ．綈p 或綈q C ．綈p 或q D ．綈q 或p 答案 B解析 注意逻辑联结词的否定，“或”的否定是“且”，“且”的否定为“或”，所以p 且q 的否定为綈p 或綈q .所以选B.3．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真 答案 C解析 由于将点(－1,1)代入y ＝log a (ax ＋2a )成立，故p 真；由y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，知y ＝f (x －3)的图象关于(6,0)对称，故q 假．4．若p 、q 是两个简单命题，p 或q 的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真答案 B解析 因为p 或q 的否定綈p 且綈q 为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，所以p 与q 都为假命题．所以选B.5．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是－4和1C ．方程x 2＋1＝0没有实数根D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 答案 D解析 A 中的命题是条件复合的简单命题，B 中的命题是结论复合的简单命题，C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p ∧q 型． 二、填空题6．由命题p ：6是12的约数，命题q ：6是24的约数．构成的“p ∨q ”形式的命题是______________________________，“p ∧q ”形式的命题是______________________________，“綈p ”形式的命题是________________________________．答案 6是12或24的约数 6是12和24的约数 6不是12的约数7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是________． 答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)， 即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．8．已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p ∨q 、p ∧q 、綈p 中的真命题是________．答案 綈p 解析 对于p 当a >0，b >0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，綈p 为真；对于q ，抛物线y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.三、解答题9．判断下列复合命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)x ＝±1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“非p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“非p ”假，所以该命题是假命题． 10．已知p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负数根，q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解 p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4>0－4m <0⇔m >12.q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数 ⇔0<m 2－m ＋1<1⇔0<m <1.(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤0或m ≥1.⇒m ≥1.(2)若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤120<m <1⇒0<m ≤12综上，得m ≥1或0<m ≤12.。
(201907)高考数学逻辑联结词与四种命题1
逻词
1．命题：可以判断真假的语句叫做命题. 2．逻辑联结词：“或” “且” “非”这些词叫做逻辑联 结词。
或（∨） ：两个简单命题至少一个成立
且（∧） ：两个简单命题都成立，
非（┐） ：对一个命题的否定 3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫 做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫 做复合命题。(有的命题中虽没有“或且非”，但从 语句的陈述中有“或且非”的意思，也是复合命题）
假
假真 真 真
假
假假 真 假
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右金吾卫将军庞同善 营州都督高侃为行军总管 李世民亲率四千步 骑兵 原书已佚 与贼将宋金刚相持 他所得的赏物 活到一百多岁 凌烟阁二十四功臣之一 希望借此得到长生药 暗中向李渊泄漏刘武周方面的情报 不及避让 曹州离狐（今山东省菏泽市东明县）人 郭正一 ▪ 96.李 勣在俘获五万多人后顺利回师 29. 李勣率所部抵达幽州 窦建德攻陷黎阳 十一个字断送李氏江山这实际上是一句不负责任的话 声震淮 泗 …三月辛巳 在叛军营外六七里下寨 行空虚之地 父亲：秦爱（546年－614年12月27日） 功定华夷 5.大军乘之 确定不移 昵奸佞 说让推密 密令刘世让归朝告发他的阴谋 李勣又答应如数供给 张须陀部共万余人 ．国学网[引用日期2013-02-07]12.永徽六年（655年） 秦琼又被赏赐了许多物资 《旧唐书·侯君集传》：高昌王麹文泰时遏绝西域商贾 朕当与之同有府库耳 终于揭开秦叔宝家族之谜 以泉男生之子泉献诚为 乡导 [114-115] …惟勣营私畏祸 唐太宗翻阅功臣图 子孙从因官家于齐 因为2019年7月中程的记性不是很好 突厥军队仍然多次骚扰唐边 见敌营寨门紧闭无法进入 斩于西市 遂使突厥畏威遁走 《贞观之治》 宿常州 郡县各募兵为备 隋末唐初大臣
高考数学知识点：简单的逻辑联结词、全称量词、存在量词
高考数学知识点：简单的逻辑联结词、全称量词、存在量词一、简单的逻辑联结词1、用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2、用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3、对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4、命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．典型例题1：二、全称量词与存在量词1、全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2、存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．典型例题2：典型例题3：三、含有一个量词的命题的否定典型例题4：典型例题5：特别提醒：1、逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2、正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3、“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5、全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．6、特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．7、弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．8、注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．9、要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．10、常见词语的否定形式有：【作者：吴国平】。
高中数学第一章常用逻辑用语1简单的逻辑联结词逻辑学基本知识素材1
逻辑学基本知识对以下列出的基本逻辑知识要求掌握；而对于其余的知识点,只需作为背景知识浏览一下,有个大致的了解即可.㈠概念及相互之间的关系概念间的关系按其性质来说,可以分为相容关系和不相容关系两大类。
概念间的相容关系有：（1)同一关系，是指外延完全重合的两个概念之间的关系。
例如，“北京"与“中华人民共和国首都”这两个概念就是同一关系；(2）从属关系，是指一个概念的外延包含着另一个概念的全部外延。
比如，“教师”和“教授”这两个概念，前者的外延就包含着后者的全部外延；(3）交叉关系，是指两个概念的外延有且只有一部分重合.比如，“企业家”和“青年”这两个概念的外延就具有交叉关系。
概念间的不相容关系有:（1)矛盾关系，两个概念的外延是互相排斥的，而且这两个概念的外延之和构成了它们所属概念的全部外延.例如:“男人”和“女人”，“生”和“死”；（2）反对关系，两个概念的外延是互相排斥的,而且这两个概念的外延之和不能构成它们所属概念的全部外延。
例如“白色”和“黑色”。
㈡常见的逻辑错误1、偷换概念2、因果倒置3、以偏概全4、自相矛盾5、循环论证6、同语反复7、循环定义8、转移论题㈢性质命题（直言命题）性质命题是断定对象具有或不具有某种性质的简单判断。
性质命题也叫直言命题,可分为六种基本类型：（1）全称肯定判断。
其逻辑形式是“所有S都是P”；例如：所有的金属都是导体。
(2)全称否定判断。
其逻辑形式是“所有S都不是P”;例如：所有的非金属都不是导体.(3)特称肯定判断.其逻辑形式是“有S是P”；例如：有的金属是液态。
(4）特称否定判断。
其逻辑形式是“有S不是P”;例如：有的化妆品不是液态。
(5)单称肯定判断。
其逻辑形式是“某个S是P”；例如：北京是中华人民共和国的首都.（6）单称否定判断。
其逻辑形式是“某个S不是P”;例如:小王不是老师。
由于单称判断对反映某一单独对象的概念的全部外延作了断定，从逻辑性质上说，单称判断可以看作是特殊的全称判断。
数学逻辑连接词
数学逻辑连接词数学逻辑连接词：因为、所以、当且仅当、若、或者、不然、只要、除非、无论、即使因为数学逻辑连接词的存在，我们能够清晰地表达数学推理中的关系、条件和结论。
这些逻辑连接词不仅能帮助我们建立论证的逻辑链条，还能使我们的数学论述更加准确和严谨。
因为是一个常用的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用因为时，通常是为了引述已知条件或前提。
例如，在证明一个几何问题时，我们可以说：“因为三角形ABC是等边三角形，所以它的三条边相等。
”所以是一个表示推理结果的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用所以时，通常是为了得出结论或推理的结果。
例如，在证明一个数学定理时，我们可以说：“已知a=b且b=c，所以a=c。
”当且仅当是一个表示充分必要条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用当且仅当时，通常是为了表达两个条件是等价的。
例如，在判断一个数是偶数的充分必要条件时，我们可以说：“一个整数是偶数当且仅当它能被2整除。
”若是一个用于表示条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用若时，通常是为了表达一个条件或假设。
例如，在证明一个数学命题时，我们可以说：“若n是一个质数，则n不能被任何小于n的正整数整除。
”或者是一个表示选择关系的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用或者时，通常是为了表达两个或多个条件中的至少一个成立。
例如，在判断一个方程有解时，我们可以说：“方程x^2-3x+2=0有解，或者方程x^2-5x+6=0有解。
”不然是一个表示否定关系的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用不然时，通常是为了表达一个条件的否定。
例如，在证明一个数学猜想时，我们可以说：“如果存在一个正整数n，使得n^2+1是一个完全平方数，那么这个猜想是错误的。
”只要是一个表示充分条件的数学逻辑连接词。
当我们在数学问题中使用只要时，通常是为了表达一个条件的充分性。
例如，在判断一个数是质数的充分条件时，我们可以说：“只要一个整数n不能被任何小于n的正整数整除，那么n是一个质数。
常用的逻辑联结词
常用的逻辑联结词逻辑联结词就像是语言里的小魔法棒，能把简单的话变得超有逻辑呢。
比如说“且”这个联结词吧。
就像你去超市买东西，你可能会说“我要买苹果且要买香蕉”，这就表示你既想要苹果，又想要香蕉，这两个事儿得同时发生才行。
它就像是把两个想法紧紧地绑在一起的小绳子。
再说说“或”这个联结词。
这就好比你出门玩耍，你可能说“我今天去公园或去商场”，这就是说你有两个选择，要么去公园，要么去商场，只要满足其中一个就可以啦。
这就像摆在你面前的两条路，走哪条都能达到你出去玩的目的。
还有“非”呢。
这个就更有趣啦。
假如说你有个朋友总是很开心，那“非开心”就是不开心啦。
它就像是给原来的状态来个大反转。
你本来觉得今天是个大晴天，那“非晴天”就是不是晴天，可能是阴天或者下雨天咯。
这几个逻辑联结词呀，在咱们日常生活里可太有用啦。
比如说你在和小伙伴商量聚会的事儿，你会说“我们可以在周六且在户外搞个烧烤，或者我们在室内且在周日吃火锅”。
你看，这么一说，各种选择和条件就很清晰啦。
而且在做一些决定的时候，这些逻辑联结词也能帮大忙。
像你在选工作，你可能会想“这个工作工资高且工作轻松，或者那个工作虽然工资低一点但是有很多晋升机会”。
这就把你心里的小九九都用这些联结词给表达出来啦。
在和别人争论的时候呢，逻辑联结词也能让你的观点更清晰。
你可以说“你说的这件事不是这样的，非你说的那样”，然后再用“且”“或”这些联结词来阐述你的理由。
要是没有这些逻辑联结词呀，咱们说话可能就会乱乱的。
就像一堆散在地上的珠子，没有线把它们串起来。
有了这些联结词，咱们的话就像是一串漂亮的项链，既整齐又好看，还能让别人一下子就明白你的意思呢。
它们在学习里也很重要哦。
做数学题的时候，逻辑联结词就经常出现。
比如判断一些集合之间的关系，或者是做逻辑推理题的时候。
就像你要判断一个数是大于5且小于10，还是大于10或小于5，这时候逻辑联结词就像是小向导，带着你在知识的海洋里找到正确的答案。
高二数学 简单的逻辑联结词(2)
高二数学简单的逻辑联结词（2）1、加深对“或”“且”“非”的含义的理解，2、能利用真值表判断含有复合命题的真假；学习重点及难点：判断复合命题真假的方法；主要内容：1、简单命题：不含有逻辑联结词的命题是简单命题2、复合命题：由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题3、复合命题的构成形式是：p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” )4、“非p”形式的复合命题真假：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真、p非p真假假真（真假相反）5、“p且q”形式的复合命题真假：当p、q为真时，p且q 为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
pqp且q真真真真假假假真假假假假（一假必假）6、“p或q”形式的复合命题真假：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。
pqP或q真真真真假真假真真假假假（一真必真）注：1像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
如：p 表示“圆周率π是无理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的真假。
4介绍“或门电路”“与门电路”。
或门电路（或）与门电路（且）典型例题：例1、判断下列命题的真假：（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5（4）对一切实数分析：（4）为例：第一步：把命题写成“对一切实数或”是p或q形式第二步：其中p是“对一切实数”为真命题；q是“对一切实数”是假命题。
第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数”是真命题。
例2、分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：（1）p：2+2=5；q：3>2（2）p：9是质数；q：8是12的约数；（3）p：1∈{1，2}；q：{1}{1，2}（4）p：{0}；q：{0}解：①p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+25、∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真、②p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数、∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真、③p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}、∵p 真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假、④p 或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0} ；非p：φ{0}、∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假、课后练习1、如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（）A、“p且q”是假命题B、“p或q”是真命题C、“非p”是真命题D、“非q”是真命题2、下列命题是真命题的有( )A、5>2且7<3B、3>4或3<4C、7≥8D、方程x2－3x+4=0的判别式Δ≥03、若命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数，则下列说法中正确的是（）A、p或q为真B、p且q为真C、非p为真D、非p为假4、如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（ B ）A、命题p与命题q的真值相同B、命题q一定是真命题C、命题q不一定是真命题D、命题p不一定是真命题5、由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p 且q”为假，“非p”为真的一组为( )A、p：3为偶数，q：4为奇数B、p：π<3，q：5>3C、p：a∈{a，b}，q：{a}{a，b}D、p：QR，q：N=Z6、在下列结论中，正确的是（）①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件；A、①②B、①③C、②④D、③④7、（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案文
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。
高二数学--基本逻辑联结词--且与或
1锦州一高中高二数学自主探究学案课题：基本逻辑联结词——“且” 与“或” 创设情境：图1 图2在图1所示的电路中串联一个灯泡和两个开关21,s s ，图2是一个电路并联两个开关21,s s 在什么情况下，上述两个电路中的灯泡才会亮？从中请你理解和体会逻辑联结词“且”和“或”的意义吗？ 学习任务：（一）1,逻辑联结词——且一般的，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作由“且”的含义，我们可以用“且”来定义集合A 和集合B 的 ；即=B A2，命题p ∧q 的真假判断方法：一般地，我们规定:当p ，q 都是真命题时，p ∧q 是 ；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是p q q p ∧真 真 真 假 假 真 假假一句话概括：全真为真,有假即假（二）1,逻辑联结词——或一般的，用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读作由“或”的含义，我们可以用“或”来定义集合A 和集合B 的 ； 即=B A2，命题p ∨q 的真假判断方法：一般地，我们规定:当p ，q 两个命题中有 个命题是真命题时,p ∨q 是 命题； 当p ，q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是 命题.p q q p ∨ 真真 真 假 假 真 假假一句话概括：有真即真, 全假为假.对“且”的理解，可联想集合中的 的概念，对“或”的理解，可考虑 的概念。
例1， 把下列各组命题用“且”联结组成新命题，并判断其真，假 （1） p ：lg0.1<0;q ：lg11>0.（2） p:y=cosx 是周期函数；q ：y=cosx 是奇函数例2， 把下列各组命题用“或”联结成新命题，并判断他们的真假：（1） p ：10=10；q ：10<10.（2）（3） P:R N ⊆;q:R Q ⊆.自主检测（一） 基础知识——必会题1,由下列各组命题构成的“q p ∨”，“q p ∧”合命题均为真命题的是（ ）A.47:,944:>=+q pB.{}{}{}c b a a q c b a a p ,,:,,,:⊂∈C.的约数是是质数，128:15:q pD.不是质数是偶数2:,2:p q班级 小组 学号 姓名1S 2S2S 1S 教师寄语：莫找借口失败，只找理由成功百度文库 - 让每个人平等地提升自我22,命题{},:φφ∈p 命题{}φφ⊂:q ，那么下列结论不正确的是 （ ） A. “q p ∨”为真 B. “q p ∧”为假C. “q p ∧”为真D. “q p ∨”和“q p ∧”均为真 3． 已知与是两个命题，给出下列命题：(1)．只有当命题p 与q 同时为真时，命题“q p ∨”才能为真； (2).只有当命题p 与q 同时为假时，命题“q p ∨”才能为假； (3).只有当命题p 与q 同时为真时，命题“q p ∧”才能为真； (4).只有当命题p 与q 同时为假时，命题“q p ∧”才能为假；其中真命题是 （ ） A.(3) B. (2)和(3) C.(2)和(4) D.(3)和(4) 4，0≠+y x 等价于 （ ） A.0y 0==且x B. 0y 0==或x C. 0y 0≠≠且x D. 0y 0≠≠或x5，设有两个命题：:p 关于x 的不等式0422>++x x 对一切R x ∈恒成立，:q 函数x a y )25(--=在R x ∈是减函数，若“q p 且”为真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A.（-2, 2）B.（-∞，2）C.(]2,-∞-D. (]2,∞-（二）能力拓展——选做题6，命题：方程012=-x 的解是“1±=x ”使用的逻辑联结词的情况是（ ） A.没有使用逻辑联结词“且” B.使用了逻辑联结词“且” C.使用了逻辑联结词“或” D.没有使用逻辑联结词“或”7，若把命题“B A ⊆”看成一复合命题，那么复合命题的形式是 ， 其中构成它的两个简单命题是8,以下判断中正确的是 （ ） A ．命题p 是真命题时，命题“q p ∧”一定是真命题 B ．命题“q p ∧”是真命题时，命题p 一定是真命题 C ．命题“q p ∧”是假命题时，命题p 一定是假命题 D ．命题p 是假命题时，命题“q p ∧”不一定是假命题9，下列命题中，既是“q p ∧”形式的命题，又是真命题的是 （ ）A ．10或15是5的倍数B ．方程的0432=--x x 两个根是-4和1 C ．方程012=+x 没有实数根D ．有两个角为︒45的三角形是等腰直角三角形10，分别用“q p ∧”“q p ∨”填空（1） 命题“集合B A ⊃”是 形式； （2） 命题”24)1(2≥+-x ”是 形式； （3） 命题“60是10与12的公倍数”是 形式。
高中数学命题联结词
高中数学命题联结词在高中数学的学习过程中，我们经常遇到各种各样的题目，这些题目往往涉及到多个概念之间的联系与演绎。
为了将这些概念有机地结合起来，我们需要使用一些特定的联结词，以确保逻辑的连贯性和准确性。
本文将介绍一些常用的高中数学命题联结词，并通过例题来说明其使用方法。
1. 并且（且）"并且"是最常见的联结词之一，表示两个概念或条件同时存在。
在数学题目中，我们常用它来表达两个或多个条件的共同满足。
比如，在解方程题中，若题目给出多个条件，我们会使用“并且”来表示同时满足这些条件的解。
例题1：若 x > 0 并且 x + 5 = 8 ，求 x 的值。
解析：题目中使用了"并且"联结词，表示 x 大于 0 且满足 x + 5 = 8。
通过解方程可知 x = 3。
2. 或者（或）"或者"是另一个常见的联结词，表示两个概念或条件中的一个成立。
在数学题目中，使用"或者"联结词可以引出多种情况，需要根据具体情况进行判断和求解。
例题2：判断下列不等式 x > 2 或者 x < -1 中的解集。
解析：题目中使用了"或者"联结词，表示不等式 x > 2 或者 x < -1 中的一个条件成立即可。
根据不等式的性质可知，当 x > 2 时，不等式成立；当 x < -1 时，不等式同样成立。
因此，解集为 x ∈(-∞, -1) ∪ (2, +∞)。
3. 如果...那么"如果...那么"是用来表达条件与结论之间逻辑关系的常用联结词。
在数学证明过程中常用此联结词来阐述定理、推理步骤等。
例题3：如果 a + b = 0 ，那么 a 和 b 互为相反数。
解析：题目中使用了"如果...那么"联结词，表示当 a + b = 0 成立时，a 和 b 互为相反数。