《反比例函数的图像与性质2》教案

《反比例函数的图象与性质》教案

教学目标

(一)教学知识点

1．进一步巩固作反比例函数的图象．

2．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．

(二)能力训练要求

1．通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力．

2．通过从图象中获取信息，训练学生的识图能力．

3．通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力．

(三)情感与价值观要求

让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲．经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心．由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊．

教学重难点

通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质． 从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质．

教学方法

教师引导学生类推归纳概括学习法．

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k ＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内．并讨论了反比例函数y ＝

x 4与y ＝x 4 的图象的异同点．这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的．

我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k ＞0时，y 的值随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标．本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质． Ⅱ．新课讲解

1．做一做

[师]观察反比例函数y ＝x 2，y ＝x 4，y ＝x

6的形式，它们有什么共同点？

[生]表达式中的k 都是大于零的．

[师]大家的观察能力非同一般呐！下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的共同特征．

(1)函数图象分别位于哪几个象限？

(2)在每一个象限内，随着x 值的增大．y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？

(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？

[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论．

[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内．

(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x 逐渐增大时，函数值y 逐渐减小．

(3)因为图象在逐渐接近x 轴，y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x 轴、y 轴相交．

[师]大家同意他的观点吗？

[生]不同意(3)中的观点．

[师]能解释一下你的观点吗？

[生]从关系式y ＝x

2中看，因为x ≠0，所以图象与y 轴不可能有交点；因为不论x 取任何实数，2是常数，y ＝x

2永远也不为0，所以图象与x 轴也不可能有交点． [师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不过我再补充一下

(2)．观察函数y ＝x

2的图象，在第一象限任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别向x 轴，y 轴作垂线．找到对应的x 1，x 2，y 1，y 2，因为在坐标轴上能比较出x 1与x 2，y 1与y 2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变量的变化是如何变化的．由图可知x 1＜x 2，y 2＜y 1，所以在第

一象限内有y 随x 的增大而减小．

同理可知在其他象限内y 随x 的增大而如何变化．大家可以分组验证上图中的其他五种情况．

[生]情况都一样．

[师]能不能总结一下．

[生]当k ＞0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．

2．议一议

[师]刚才我们研究了y ＝x 2，y ＝x 4，y ＝x

6的图象的性质，下面用类推的方法来研究y ＝x 2-，y ＝x 4-，y ＝x

6-的图象有哪些共同特征？

[生](1)y ＝x 2-，y ＝x 4-，y ＝x

6-中的k 都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当k ＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内． (2)在图象y ＝

x 2-中，在第二象限内任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可知x 1＞x 2，y 1＞y 2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y 随自变量x 的增大而增大．

(3)这些反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交．

[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：

反比例函数y ＝x

k 的图象，当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大．

3．想一想

(1)在一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2，S 1与S 2有什么关系？为什么？

(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？

[师]在下面的图象上进行探讨．

[生]设P (x 1，y 1)，过P 点分别作x 轴，y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，则S 1＝|x 1|·|y 1|＝|x 1y 1|．

∵(x 1，y 1)在反比例函数y ＝

x

k 图象上，所以y 1＝1x k ，即x 1y 1＝k ． ∴S 1＝|k |．

同理可知S 2＝|k |，

所以S 1＝S 2．

[师]从上面的图中可以看出，P 、Q 两点在同一支曲线上，如果P ，Q 分别在不同的曲线上，情况又怎样呢？

[生]S 1＝|x 1y 1|＝|k |，

S 2＝|x 2y 2|＝|k |．

[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，不管P 、Q 是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上．过P 、Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2．

(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课