二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程资料讲解
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
12-8二阶常系数非齐次线性微分方程-PPT精品文档
Pm(x)ex
y是方 (8 .1 )的 程 解
Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x ) P m ( x )
3x2 (0) x(a2x b xc) 1
y p y q f ( y x ) ( 8 . 1 )
对应齐次线性方程:
L [ y ] y p y q y 0 ( 8 . 2 )
其中p,q均为实常. 数 分(8析.1)的由通线解性结微构分: 方程y解Y的结y构, 定理知，求(8.1)
的通解的关键是求与(8.1)对应的齐次线性 如何求方(8程.1()8的.2特)的解通？解方Y 及法：(8.待1)定的系一数个法特.解y*.
类型1 f(x)P m (x)ex
其 P m ( x ) a 0 x 中 m a 1 x m 1 a m 1 x a m ,
,ai(i1,2, ,m )均为a0 常 0. 数，
方程(8.1)必有如下形式的特解： yx kQ m (x )ex
其 Q m ( x ) 中 b 0 x m b 1 x m 1 b m , bi(i 1,2,,m)均为待定常数，
即 Q ( x ) F ( ) Q ( x ) F ( ) Q ( x ) P m ( x ) ( 8 . 3 )
Q ( x ) F ( ) Q ( x ) F ( ) Q ( x ) P m ( x ) ( 8 . 3 )
(1) 若不是特征方程的根，
由 方(8程 .1)所 确; k定 的 取 法 如 下 ：
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
提示 [b30bx0=b31]2[b0xb1]3[b0xb1] =2b03b0x3b1 =2b30b0x3b21=b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0 其根为r1=2 r2=3
提示
此时2pq=0 2p=0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Qm(x) 其中Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
下页
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
提示
此时2pq=0 但2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x) 其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则 y*=xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2prq=0的重根 则 y*=x2Qm(x)ex
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
二阶常系数非齐次微分
二阶常系数非齐次微分
二阶常系数非齐次微分方程指的是形如：
$$\frac{{d^2y}}{{dx^2}}+a\frac{{dy}}{{dx}}+by=f(x)$$
其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
求解这样的微分方程一般可以采用特解叠加原理。
首先求解齐次微分方程：
$$\frac{{d^2y_h}}{{dx^2}}+a\frac{{dy_h}}{{dx}}+by_h=0$$ 假设齐次微分方程的解为$y_h=e^{rx}$，其中$r$是待定的复数。
将$y_h$代入齐次微分方程，得到特征方程：
$$r^2+ar+b=0$$
特征方程的解决定了齐次微分方程的解的形式。
如果特征方程的根为$r_1$和$r_2$，那么齐次微分方程的通解为：
$$y_h=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$
其中$c_1$和$c_2$为任意常数。
接下来求特解。
根据非齐次微分方程的结构，可以猜测特解的形式为：
$$y_p=u(x)e^{rx}$$
将$y_p$代入非齐次微分方程，可以得到关于$u(x)$的线性微分方程。
解这个线性微分方程，可以得到特解$y_p$。
将特解$y_p$与齐次解$y_h$相加，即可得到非齐次微分方程的通解：
$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+y_p$$
其中$c_1$和$c_2$为任意常数。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
下页
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2pq0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1
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例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 齐次方程yy0的特征方程为r210
因为f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]xcos2x iw2i不是
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
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例1 求微分征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
特解形式
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x1)e2x 2
提示
此时2pq0 2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
微分方程-二阶常系数非齐次线性微分方程
从而
∗ y1 = −2ixe ix = −2ix (cos x + i sin x )
= 2 x sin x + ( −2 x cos x ) i ,
Q
f ( x ) = 4 sin x = Im(4e ix )
(4e 的虚部)
ix
∗ ∴ 原方程有特解： y∗ = Im( y1 ) = −2 x cos x
λ = 1 是特征单根，k = 1
∗ ∴ 可设立特解： y2 = x ⋅ ce x ,
由解的叠加原理， 对于 y ′′ − y ′ = xe − x + e x ,
∗ ∗ ∴ 可设立特解： y∗ = y1 + y2
例2 求方程 y′′ − 3 y′ + 2 y = xe 2 x 的通解 . 解 1°特征方程 特征根
λ = 0不是特征根， k = 0
∴ 可设立(1)的特解形为
y∗ = Ax + B
( y∗ )′ = A, ( y∗ )′′ = 0
代入(1)，得
1 ∴ A= B= 2 a
a 2 ( Ax + B ) = x + 1
1 故(1)有特解： y = 2 ( x + 1) a
∗
∴ 当a > 0时， (1)的通解为： 1 y = C1 cos ax + C 2 sin ax + 2 ( x + 1). a
作变量变换
x = e t 或 t = ln x ,
将自变量换为 t ,
d y d y dt 1 d y = = , d x dt d x x dt
d2 y 1 ⎛ d2 y d y ⎞ ⎟, = 2⎜ 2 − dt ⎟ d x2 x ⎜ d t ⎠ ⎝
高等数学：第八讲 二阶常系数线性非齐次微分方程(1)
齐次方程的通解为 Y C1ex C2e3x ．
由于这里 0 不是特征根，所以设方程的特解为 y* b1x b0
把它代入方程得
3b1x (2b1 3b0 ) 3x 1
比较系数得
32bb11
3 3b0
1
b1
1, b0
1 3
所以原方程的一个特解为
y* x 1 3
因此所求通解为
y
C1e x
f (x) Pm (x)ex
此时微分方程(1)成为
Pm (x) a0 xm a1xm1
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
am1x am
分三种情形讨论此式：
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
(1)设不是特征方程的 根，即2 p q 0.
C2e3x
(x
1) 3
谢谢
y (C1 C2 x)er x y e x (C 1 cos x C2 sin x)
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
定理
设 y * (x) 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解，
Y C1 y1(x) C2 y2 (x)是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，
则 y Y y* C1 y1(x) C2 y2 (x) y * (x) 是方程(1)的通解.
二阶常系数 线性非齐次 微分方程(1)
目录
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
03
例题
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
二阶常系数非齐次线性
齐次微分方程解法
微分方程的一般形式 （一）; py' qy f (x) (1)
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
2b0x2b0b1=x 比较系数 得 b0 = 1 b1=1 故 y*= x( 1 x 1)e2x 2 2 提示 2b0=1 2b0b1=0 5y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x 齐次方程 y
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例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
特解形式 首页 上页 返回 下页 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ束 铃
二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 有形如 y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 m=max{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
2015考研数学一真题解析二阶常系数非齐次微分方程解的结构
2015考研数学一真题解析：二阶常系数非齐次微分方程解的结构来源：文都教育二阶常系数非齐次微分方程是考研数学重要考点，命题形式包括二阶常系数非齐次微分方程求通解、解得结构定理及已知通解求微分方程，2015考研数学考查了本知识点，题目和解析如下： 设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )A. 3,2,1=-==-a b cB. 3,2,1===-a b cC. 3,2,1=-==a b cD. 3,2,1===a b c【答案】A【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的逆问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解 【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构与通解此知识点方法和公式固定，大家只需按解得结构原理和求通解公式按部就班解答就可以了，下面文都考研数学老师帮大家复习一下此知识点。
1.二阶常系数非齐次微分方程定义—形如)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,为常数）的方程。
2.通解的结构—)(x f qy y p y =+'+''的通解为0=+'+''qy y p y 的通解与其本身一个特解之和。
3.特解求法：情形一：)()(x P e x f m x λ= 设方程的特解结构为：()x y e Q x λ*= ①当λ不是特征根时，)()(x Q x Q m =； ②当λ是特征单根时， )()(x xQ x Q m =；③当λ是特征重根时，)()(2x Q x x Q m =． 情形二：]sin )(cos )([)(x x R x x P e x f n L x ωωλ+= 设特解结构为 ：[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x S x x λωω*=+，其中},{n L Max m =， ①当i ωλ+不是特征方程的根时，0=k ；②当i ωλ+是特征方程的根时，1=k ； 代入原方程求出多项式(),()m m R x S x 的系数即可．。
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。
因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。
(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。
则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
7-7.二阶常系数非齐次线性微分方程
P (x)表示m次多项式 m
f ( x) = eλx P ( x) 型 m •一、
* λx 设非齐方程特解为 y = Q(x)e 代入原方程
y′′ + py′ + qy = f (x)
y = Q(x)e
*
(2)
猜想
λx
y*′ = eλ x λQ ( x ) + Q′ ( x )
y = xQm (x)e ;
*
λx
特解
Q′( X ) 是 次 项 m 多 式
(3) 若λ是特征方程的重根， Q′′( X ) 是m次多项式 是特征方程的重根，
λ + pλ + q = 0,
2
2λ + p = 0,
可设 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ),
综上讨论
y = x Qm (x)e .
1 x 通解ϕ ( x) = C1 cos x + C2 sin x + e 2
1 x 特解ϕ ( x) = ( cos x + sin x + e ) . 2
布置作业
P347 习题 7-8
1. (8)；2.(3). ；
P304------习题 习题7-2 习题
7.小船从河边 出发驶向对岸 小船从河边0出发驶向对岸 小船从河边 出发驶向对岸……. 解：设小船的航行路线C： 设小船的航行路线 ： y h v 水流 0 x
dy cos x ( 3) + y cot x = 5e , y dx
x=
π
1 3 2 −x y = x − x + 2x + c1 + c2e 3
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来聊聊二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明确什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y关于自变量x的非线性微分方程，形式如下：dy/dt = a * y^2 + b * x * dy/dx + c * x^2其中a、b、c是已知的常数，t表示时间，x和y分别表示自变量和因变量。
接下来，我们来探讨一下如何求解这个方程。
我们需要将这个方程转化为一个标准的线性微分方程。
为了做到这一点，我们需要引入两个辅助函数：P(t, y)和Q(t, y)。
P(t, y)是一个一阶线性微分方程，表示y关于t的导数；Q(t, y)是一个二阶线性微分方程，表示y关于y的导数。
我们有：dy/dt = P(t, y)dP(t, y)/dt = Q(t, y)将这两个方程联立起来，我们可以得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b这是一个标准的线性微分方程，可以使用常系数线性初值问题的方法来求解。
具体来说，我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[a * y^2 / b * dt + c * x^2 * Q(t, y)] + C1(t)其中C1(t)是y的一个初始条件。
接下来，我们可以通过求解这个积分方程来得到y 的通解。
我们需要将通解代入原方程中，解出x的表达式。
下面我们来看一个具体的例题。
假设我们要求解以下二阶常系数非齐次线性微分方程：dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx + x^2我们首先引入两个辅助函数P(t, y)和Q(t, y):P(t, y) = dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dxQ(t, y) = dP(t, y)/dt = 6 * x * dy/dx + 2 * exp(-t) * dx然后我们将这两个方程联立起来，得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b将已知的参数代入这个方程，我们可以得到：dy/dt = (2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx 2 * exp(-t) * x^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b整理得：dy/dt = [exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + [by^3 + cxy^3] dt + C1(t)现在我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + int[by^3 + cxy^3] dt + C1(t)通过求解这个积分方程，我们可以得到y的通解。
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特解形式
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二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]
y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]
一、f(x) Pm(x)e x型 二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y
py qy f(x)称为二阶常系数非齐次
线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常首系页 数非齐次线性微返回分方程的下页通解是对应的齐 铃 次方程的通解y Y(x)与非齐次方程本身的一个特
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
2b0x2b0b1=x 比 较 系 数 得 b 0 = 1 2 b 1 = 1 故 y * = x ( 1 2 x 1 ) e 2 x
因此所给方程的通解为
y = C 1 e 2 x C 2 e 3 x 1 2 ( x 2 2 x ) e 2 x
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex应设为m次多项式
Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明白什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y与其导数y关于t的关系式，形式如下：dy/dt + A*y = B*exp(ct)其中，A、B、c是已知常数，t是自变量。
这个方程的解法有很多种，但是我们今天主要讨论两种方法：一种是分离变量法，另一种是特征线法。
我们来看一下分离变量法。
分离变量法的基本思想是把未知函数y看作两个函数的和，一个是指数函数e^(ct),另一个是线性函数y(t)。
这样一来，我们就可以用积分的方法求解这个方程了。
具体步骤如下：1. 把方程改写为：e^(ct) = y(t) B/A*ln|y(t)|2. 对两边取对数：ln|y(t)| = ct ln|y(t)| ln(B/A)3. 对上式两边求积分：∫[0,∞] ln|y(t)| dt = ∫[0,∞] (ct ln|y(t)| ln(B/A)) dt4. 根据积分公式和性质，我们可以得到：y(t) * e^(-bt) = B/A * e^(-bt) * |y(t)|^n + C,其中n是一个待定常数5. 通过比较系数，我们可以得到：y(t) = (B/A)^n * |y(t)|^n6. 这样我们就得到了二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。
接下来，我们可以通过凑特解的方法得到原方程的通解。
下面我们来看一下特征线法。
特征线法的基本思想是找到一个特征线，使得它与原方程有相同的极值点。
具体步骤如下：1. 对于特征线l:y = x + c,代入原方程得：x + c = x + A*y B*exp(ct) => A*y =B*exp(ct) + c => y = (B/A)*exp(ct) + c/A2. 由于特征线l与原方程有相同的极值点，所以我们可以得到原方程的通解为：y = (B/A)^n * exp(ct) + c/A * (x x0)^n3. 其中，x0是特征线的交点的横坐标，n是待定常数。
3.非齐次微分方程
有根
x ( d cos x k sin x )
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例7. 第六节例1 (P323)中, 若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 F h sin pt 的作用 , 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d x dt
2 2
k
2
x h sin p t
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Q ( x )
( p q ) Q ( x ) Pm ( x )
2
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则 Q ( x ) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y * x Q m ( x ) e
于是求得一个特解
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例5. 解: 特征方程为 r 2 9 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6 b cos 3 x 6 a sin 3 x
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 cos 3 x 3 sin 3 x )
y* x
k
e
x
~ [ R m ( x ) cos x R m ( x ) sin x ]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y * x ( a x b ) cos x ( cx d ) sin x
Pm ( x ) e
( i ) x
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例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx. (2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的单根, 则 y*=xQm(x)eλx.
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二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx] 有形如 y*=xkeλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx] 的特解, 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k , , = , , 按λ+iω(或λ−iω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1. >>>
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例1 求微分方程y′′−2y′−3y=3x+1的一个特解. 解 齐次方程y′′−2y′−3y=0的特征方程为r2−2r−3=0. 因为f(x)=Pm(x)eλx=3x+1, λ=0不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=b0x+b1. 把它代入所给方程, 得 −3b0x−2b0−3b1=3x&方程
一、 f(x)=Pm(x)eλx型 二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
方程y′′+py′+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程, 其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个 特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+y*(x).
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例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 因此所给方程的通解为 y =C e2x +C2e3x − 1 (x2 +2x)e2x . 1 2
比较两端同类 项的系数, 得 >>> 得a=−1 , b=0, c=0, d = 4 . 3 9 因此所给 方程的特解为 y*=−1 xcos2x+ 4 sin 2x . 3 9
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例3 求微分方程y′′+y=xcos2x的一个特解. 解 齐次方程y′′+y=0的特征方程为r2+1=0. 因为f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]=xcos2x, λ+iω=2i不是 特征方程的根, 所以所给方程的特解应设为 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x. 把它代入所给方程, 得 >>> (−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+4a+3d)sin2x=xcos2x.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x), 其中Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 有形如 y*=xkQm(x)eλx 的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k按λ不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2.
提示: 此时λ2+pλ+q=0, 但2λ+p≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m+1次多项式: Q(x)=xQm(x), 其中Qm(x)=b0xm +b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx. (2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的单根, 则 y*=xQm(x)eλx. (3)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的重根, 则 y*=x2Qm(x)eλx.
比较两端 x 同 次幂的系数, 得 b0=−1, b =1 . 1 3 因此所给 方程的特解为 y*=−x+ 1 . 3
提示: [b0x+b1]′′−2[b0x+b1]′−3[b0x+b1] =−2b0−3b0x−3b1 −3b0=3, −2b0−3b1=1. =−3b0x−2b0−3b1.
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