备战中考数学分点透练真题尺规作图与无刻度直尺作图(解析版)

第二十三讲尺规作图与无刻度直尺作图命题点1 五种基本尺规作图类型一判定作图结果1．（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解答】解：根据基本作图，A、D选项中为过C点作AB的垂线，B选项作AB的垂直平分线得到AB边上的中线CD，C选项作CD平分∠ACB．故选：C．2．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．类型二根据作图步骤进行计算、证明或结论判断3．（2021•贵阳）如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：根据题意得b＞AB，即b＞3，故选：D．4．（2021•杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC 的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB 于点P，则AP：AB＝（）A．1：B．1：2C．1：D．1：【答案】D【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAB＝×90°＝45°，∵EP⊥AB，∴∠APE＝90°，∴∠EAP＝∠AEP＝45°，∴AP＝PE，∴设AP＝PE＝x，故AE＝AB＝x，∴AP：AB＝x：x＝1：．故选：D．5．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心C．∠BAD＝∠CAD D．AD是三角形的高【答案】C【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．故选：C．6．（2021•怀化）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意；D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；故选：C．7．（2021•济宁）如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（）A．B．1C．D．4【答案】C【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，∴∠EAD＝∠F AD，EA＝ED，F A＝FD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠F AD＝∠EDA，∴DE∥AF，同理可得AE∥DF，∴四边形AEDF为平行四边形，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝2，∵DE∥AB，∴＝，即＝，∴CD＝．故选：C．8．（2021•河北）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】D【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O 的直径，∴OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，∴S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，故选：D．9．（2021•鄂州）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】B【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵DO＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝40°，∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．故选：B．10．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4【答案】C【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．１１．（2021•新疆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC＝°．【答案】80【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，由作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝40°+40°＝80°，故答案为：80．１２．（2021•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．作法：如图．（1）画B'C′＝BC；（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，∴△A'B'C′≌．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是．（填序号）①AAS②ASA③SAS④SSS【答案】（１）AB，AC，△ABC（SSS）．（２）④【解答】解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，，∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．故答案为：AB，AC，△ABC（SSS）．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．１３．（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．【答案】BC，三线合一【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（三线合一），∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．故答案为：BC，三线合一．类型三依据要求直接作图１４．（2021•重庆）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC 于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【答案】略【解答】解：如图：猜想：DF＝3BF，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．１５．（2021•嘉峪关）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．【答案】（１）略（２）BF＝BC．【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD，线段CD即为所求．②如图，点F，线段CD，BD，BF即为所求作．（2）结论：BF＝BC．理由：∵DE垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD＝DF，∴DF＝DC，＝，∴∠DBC＝∠DBF，∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°，∴∠DFB＝∠DCB，在△DFB和△DCB中，，∴△DFB≌△DCB（AAS），∴BF＝BC．１６．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．【答案】略【解答】解：（1）如图所示，①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；③如图，⊙O与AB交于点M；（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切线．（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半径为6．类型四转化类作图１７．（2021•陕西）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】略【解答】解：如图，点P为所作．１８．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】（１）略（２）略【解答】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．方法二：作P点关于点O的对称点P′，以PO为半径作圆O，连接PP′，设原来的圆O半径为r，以AB（即2r）的长度为半径，P′为圆心画圆，交弧PP′于点Q，连接PQ，交于原来的圆O于点D，点D即为切点（中位线能证明OD是半径且垂直PQ）．１９．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC ＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．【答案】略【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：设PQ交AD于G，BC交AD于G′，∵DQ∥AP，∴＝，∵DC∥AB，∴＝，∵P，Q分别为边AB，CD的中点，∴DC＝2DQ，AB＝2AP，∴＝＝＝，∴＝，∴点G与点G′重合，∴直线AD，BC，PQ相交于同一点．命题点２无刻度直尺作图20．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O 于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BF A 的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△F AP≌△BAC，则点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．故答案为：．（Ⅱ）如图，点P即为所求．故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BF A的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△F AP≌△BAC，则点P即为所求．类型一网格中作图２１．（2021•吉林）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．２２．（2021•武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG，点H即为所求类型二根据图形性质作图２３．（2021•湖北）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图1中，线段BF即为所求．（2）如图2中，线段BG即为所求．２４．（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．。