高中数学【等式的性质与方程的解集】

等式的性质与方程的解集

知识点一、等式的性质与恒等式

1.思考

(1)下列各式是否正确?

①若x a =y a ,则x=y ;

②若x=y ,则x a =y b ;

③若x+a=y-a ,则x=y ;

④若x=y ,则ax=by.

(2)什么是立方差与立方和公式?

2.填空

(1)如果a=b ,对任意c ,都有 ;

(2)如果a=b ,对任意不为零的c ,都有 ;

(3)a 2-b 2= (平方差公式);

(4)(x+y )2= (两数和的平方公式).

3.做一做

分解因式:x 2+2xy+y 2-4= .

知识点二、方程的解集

1.思考

(1)一元一次方程kx+b=0(k ≠0)的根是什么?

(2)一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是什么?

2.填空

(1)方程的解 是指能使方程左右两边相等的未知数的值.

(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解 .

3.做一做

求方程x 2+3x+2=0的解集.

分解因式

例1分解因式:

(1)x 2-25;(2)a 2-6a+9;(3)4m (x-y )-8n (y-x );(4)(a 2+4)2-16a 2.

反思感悟 分解因式的常用方法

(1)平方差公式法;

(2)完全平方公式法;

(3)提取公因式法;

(4)十字相乘法.

变式训练 1分解因式:(1)8a 3b 2-12ab 3c ;

(2)(a+b )2

-12(a+b )+36.

求方程的解集

例2求方程x (x-2)+x-2=0的解集.

反思感悟 因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:

①将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;

②将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;

③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;

④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.

延伸探究 请用公式法求解本例方程的解集.

数形结合思想的应用

典例 二次函数y=-x 2

+(m-1)x+m 的图像与y 轴交于点(0,3).

(1)求出m 的值

(2)求此二次函数的图像与x 轴的交点及函数图像顶点的坐标.

(3)x 取什么值时,函数图像在x 轴上方.

方法点睛本题是对二次函数图像和性质的简单应用,要注意把握二次函数图像的特征,尤其是顶点、对称轴和开口方向.

当堂检测

1.下列由等式的性质进行的变形,错误的是()

A.如果a=3,那么1

a =1

3

B.如果a=3,那么a2=9

C.如果a=3,那么a2=3a

D.如果a2=3a,那么a=3

2.下列分解因式正确的是()

A.x2+y2=(x+y)(x-y)

B.m2-2m+1=(m+1)2

C.(a+4)(a-4)=a2-16

D.x3-x=x(x2-1)

3.若x=3是方程3x-a=0的解,则a的值是()

A.9

B.6

C.-9

D.-6

4.若方程(x-2)(3x+1)=0,则3x+1的值为()

A.7

B.2

C.0

D.7或0

5.不论x取何值等式2ax+b=4x-3恒成立,则a+b=.