矩阵的秩的性质

矩阵的秩的性质和

矩阵秩与矩阵运算之间的关系

要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之

就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”

那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩

阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积等，又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念，综合所学，我们得到如下性质：

1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。

2、秩为r 的n 级矩阵（n r ≥），任意r+1阶行列式为0，并且至

少有一个r 阶子式不为0.

3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A rank A rank =，)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank =

4、设A 是n s ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则+)(A rank

)}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤-

5、设A 是n s ⨯矩阵，P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵，则

)()()(A rank AQ rank PA rank ==

6、设A 是n s ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，且AB=0，则

n B rank A rank ≤+)()(

7、设A 是n s ⨯矩阵，则)()'()'(A rank A A rank AA rank ==

其中，也涉及到线性方程组解得问题：

8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为A ，n A rank =)(

则方程组有惟一非零解，n A rank <)(则有无穷多解，换言之，即为克莱姆法则，

非齐次线性方程组有解时，n A rank =)(惟一解，n A rank <)(

有无穷多解。

还有满秩矩阵：

9、可逆⇔满秩

10、行（列）向量组线性无关，即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非

零行数目为n 。

扩展到矩阵的分块后：

11、110(A )(A )0n n A rank rank rank A ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭

12、()()0A C rank rank A rank B B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭

证明：

1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。

设矩阵A 的行向量组是12

s γγγ，，设A 经过1︒初等变换j+i*k 变成矩阵B ，则B 的行向量组是

1,,,,,,i i j s k γγγγγ+，显然， 1,,,,,,i i j s k γγγγγ+可由12s γγγ，线性表出，由于1()j i j i k k γγγγ=⋅+-，因此12s γγγ，也可由1,,,,,,i i j s k γγγγγ+线性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此A 的行秩等于B 的列秩。

容易证明，2︒型和3︒型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。

进而列秩也可以得到证明，又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同，那么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等于列秩的性质便得证。

2、设s n ⨯矩阵A 的秩为r ，则A 的行向量组中有r 个线性无关的向量，设A 的第1,,r i i 行向量线性无关，它们组成一个矩阵A 1（称A 1是A 的子矩阵），由于A 1的行向量组线性无关，因此A 1的行秩为r ，

列秩也为r 。于是A 1又r 列线性无关。设A 1的第1,,r j j 列线性无关，它们组成A 1的一个子矩阵A 2的列向量组线性无关，因此2||0A ≠。即

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