高中数学第一章数列双基限时练9含解析北师大版必修5-精品

高中数学第一章数列双基限时练9含解析

北师大版必修5-精品

2020-12-12

【关键字】高中、数学

一、选择题

1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3，则S 8等于( ) A ．－8516

B.8516

C ．256

D ．－256

解析 由a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3知．

q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝－12

， 代入a 1＋a 2＋a 3＝6中， 得a 1(1－12＋1

4

)＝6，得a 1＝8，

S 8＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1281－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＝8516.

答案 B

2．在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，使S n >510

－1的最小正整数n 的值是( ) A ．10 B ．11 C ．12

D ．9

解析 由S n ＝a 11－q n 1－q ＝41－5n

1－5

＝5n －1>510－1，即5n >510

，n >10.

答案 B

3．在等比数列{a n }中，a 1＝4，S 3＝12，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2

D ．－2或1

解析 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝12，

当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q ＝41－q

31－q

＝12，

得1＋q ＋q 2

＝3，得q ＝－2，或q ＝1(舍)． 综上可知q ＝1，或q ＝－2.

4．在等比数列{a n }中，S n ＝48，S 2n ＝60，则S 3n ＝( ) A ．180 B ．108 C ．75

D ．63

解析 由等比数列前n 项和的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴(60－48)2

＝48×(S 3n －60)，得S 3n ＝63.

答案 D

5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5

D ．6

解析 两式相减得3a 3＝a 4－a 3，a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3

＝4. 答案 B

6．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的前n 项和T n 为

( )

A.q n

S n

B.S n q

n

C.

1

S n q

n －1

D.

S n

a 21

q

n －1 解析 S n ＝a 11－q n

1－q

，

T n ＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－

1q

＝

q n －1a 1

q n －q n －1

＝S n

a 21q

n －1. 答案 D 二、填空题

7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知公比q ＝1

3

，则S 1＋3S 3－4S 2＝________.

解析 原式＝a 1＋3

a 1⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13

31－13

－4

a 1⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13

21－

13

＝0.

答案 0

8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析 由题可得1－q 6

1－q ＝4·1－q 3

1－q

，得q 3＝3或q 3＝1(舍)，∴a 4＝q 3

＝3.

9．数列1,1＋2,1＋2＋22

；1＋2＋22

＋23

，…，1＋2＋22

＋…＋2n －1

的前n 项和S n ＝

________.

解析 ∵1＋2＋22

＋…2n －1

＝1－2n

1－2

＝2n －1， ∴原数列的前n 项和

S n ＝21－1＋22－1＋…＋2n －1

＝(2＋22

＋ (2)

)－n ＝21－2n 1－2

－n ＝2n ＋1

－n －2.

答案 2

n ＋1

－n －2

三、解答题

10．在等比数列{a n }中，a 3－a 1＝8，a 6－a 4＝216，S n ＝40，求公比q ，a 1及n 的值．

解 ∵{a n }为等比数列，⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 3－a 1＝8，

a 6－a 4＝216，∴

a 6－a 4a 3－a 1＝q 3＝216

8

＝27，得q ＝3.∴a 3－a 1

＝a 1(q 2

－1)＝8a 1＝8，得a 1＝1.又S n ＝a 11－q n 1－q ＝1－3n －2＝3n

－12

＝40，得3n ＝81＝34

，得n

＝4.

11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 及公比q . 解 a 1a n ＝a 2·a n －1＝128，①

a 1＋a n ＝66.②

①②联立方程组并解得

⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，

a n ＝64，

或⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝64，a n ＝2.

∵S n ＝126，

∴当a 1＝2时，126＝2－64q 1－q ，q ＝2.

∴64＝2×2

n －1

，n ＝6.

当a 1＝64时，126＝64－2q 1－q ，q ＝1

2

，

∴2＝64×⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1

，∴n ＝6.

综上n ＝6，q ＝2或q ＝1

2

.

12．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．