有理数--拓展提高难题及答案
专题1.20 有理数的乘方(拓展提高)(解析版)
专题1.20 有理数的乘方（拓展提高）一、单选题1．计算232223333m n ⨯⨯⨯=+++个个（ ）A ．23n mB ．23m nC ．32m nD ．23m n【答案】B【分析】根据幂的运算进行计算即可；【详解】23222233333个个⨯⨯⨯=+++m mn n，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了幂的定义，准确计算是解题的关键． 2．如果点A 、B 、C 、D 所表示的有理数分别为92、3、﹣3.5、20171-，那么图中数轴上表示错误的点是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】C【分析】先化简点D 表示的数为﹣1，根据数轴上表示的数进行判定即可． 【详解】解：﹣12017＝﹣1，且图中点C 表示﹣2.5，所以图中数轴上表示错误的点是C ． 故选：C ．【点睛】本题考查了数轴与点，化简每个数是解题的关键，熟练掌握数轴与数的对应关系是解题的基础． 3．a ，b 互为相反数，0a ≠，n 为自然数，则下列叙述正确的有（ ）个 ①a b --，互为相反数 ②n n a b ，互为相反数 ③22n n a b ，互为相反数 ④2121n n a b ++，互为相反数 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，a ≠0，n 为自然数， ∴-a ，-b 互为相反数，故①说法正确；当n 是奇数时，a n 与b n 互为相反数，当n 为偶数时，a n 与b n 相等，故②说法错误； a 2n 与b 2n 相等，故③说法错误； a 2n +1，b 2n +1互为相反数，故④说法正确； 所以叙述正确的有2个． 故选：B ．【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数．4．某种细菌每过30min 便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细菌由1个能分裂成（ ） A ．8 个 B ．16 个 C ．32 个 D ．64 个【答案】D【分析】根据3小时中有6个30min ，得到细菌分裂了6次，求解26即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：3÷0.5＝6（次），则经过3小时后这种细菌由1个分裂成26＝64（个）． 故选：D ．【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．5．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n 数的和，依次写出1或0即可．如：(10)(2)432119162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=为二进制下的五位数．则十进制数1027是二进制下的（ ）． A ．九位数 B ．十位数C ．十一位数D ．十二位数【答案】C【分析】根据题意得211=2148，210=1024，根据规律可知最高位应是1×210，故可求共有11位数． 【详解】解：∵211=2148，210=1024， ∴最高位应是1×210， 故共有10+1=11位数．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．6．我们常用的十进制数，如312639210610?3109,=⨯⨯⨯+++我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如32125132757173=⨯⨯+⨯++）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．1435天B ．565天C ．13天D ．465天【答案】B【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：1×73+4×72+3×7+5 =1×343+4×49+3×7+5 =343+196+21+5 =565（天）． 故选：B ．【点睛】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．二、填空题7．已知(a －3)2+|b －1|=0，则式子a 2＋b 2的值为________． 【答案】10【分析】根据非负数的性质求出a 、b 的值，代入计算即可． 【详解】解：∵(a －3)2+|b －1|=0，∴a－3=0，b－1=0，a=3，b=1，a2＋b2=32+12=9+1=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的运算，解题关键是熟练运用非负数的性质求出字母的值，代入后准确计算．8．若|x+3|+(y﹣2)2=0，则(x+y)2015=_____．【答案】-1．【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求值即可．【详解】解：∵|x+3|+(y﹣2)2=0，∴x+3=0，y﹣2=0，x=-3，y=2，(x+y)2015=(-3+2)2015=-1故答案为：-1．【点睛】本题考查了非负数的性质和乘方运算，解题关键是熟知非负数的性质，准确运用乘方的意义进行计算．9．如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．【答案】-6【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+16）2+1112，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入x的值．【详解】解：3x2+x+1＝3（x+16）2+1112，∵输入的x值为整数，要使输出结果最小，∴3（x+16）2+1112＞100，即（x+16）2＞118936＝33136，∴应输入x的值为﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x 的取值．10．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1，+a b ，a 的形式，又可以表示0,,bb a的形式，则20192020a b +=________．【答案】0【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，ba，b 的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a +b 与a 中有一个是0，ba与b 中有一个是1，再根据分母不为0判断出a 、b 的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，ba，b 的形式， ∴这两个数组的数分别对应相等．∴a +b 与a 中有一个是0，b a 与b 中有一个是1，但若a =0，会使ba无意义， ∴a ≠0，只能a +b =0，即a =-b ，于是ba中只能是b =1，于是a =-1．∴a 2019+b 2020=（-1）2019+12020=-1+1=0， 故答案为：0．【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a +b 与a 中有一个是0，ba与b 中有一个是1”是解答此题的关键．11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a ．如：1☆3=1×32+1=10．则（-2）☆3+3☆（-2）=_____． 【答案】-5【分析】原式利用题中的新定义列式计算即可求出值． 【详解】解：（-2）☆3+3☆（-2） =（-2）×32+（-2）+3×（-2）2+3 =-18-2+12+3 =-5故答案为：-5【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，则（a +b ）2019+（cd ）2020+（a b）2021的值为_____． 【答案】0【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，可以得到a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1，从而可以计算出所求式子的值．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，∴a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1， ∴（a +b ）2019+（cd ）2020+（ab）2021＝02019+12020+（﹣1）2021 ＝0+1+（﹣1） ＝0， 故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 13．大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如333235,37911,413151719,=+=++=+++⋯，若3m 分裂后，其中有一个奇数是75，则m 的值是_______． 【答案】9【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解． 【详解】解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数， ∵2×37+1=75，∴75是从3开始的第37个奇数，∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， ∴m 3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m 的值9． 故答案为：9．【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键． 14．求23201312222++++⋅⋅⋅+的值，可令23201312222S =++++⋅⋅⋅+，则23201422222S =+++⋅⋅⋅+，因此2014221S S -=-．仿照以上推理，计算出23201415555++++⋅⋅⋅+=______．【答案】2015514- 【分析】根据题意，设23201415555S =+++++，表示23201555555S =++++，利用错位相减法解题即可．【详解】解：设23201415555S =+++++，则23201555555S =++++，因此()()2320152320142015555551555551S S -=++++-+++++=-，所以2015514S =- 故答案为：2015514-．【点睛】本题考查有理数的乘方，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．三、解答题 15．计算：（1）()221531924043354⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯--÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）()832521118532369⎡⎤⎛⎫---+-⨯-÷-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】（1）-360；（2）-28【分析】（1）先计算乘方和括号内的除法，再计算括号内的乘法、然后计算括号内的加法，最后再计算乘法可得答案；（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式＝1253181603954⎡⎤⎛⎫-⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=15811533⎛⎫-⨯⨯-+ ⎪⎝⎭=40273-⨯=-360；（2）原式＝25111181818538369⎛⎫--⨯+⨯-⨯÷-⨯ ⎪⎝⎭=()1121522538--+-÷-⨯ =20524-÷- =-28．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．已知有理数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 是平方等于它本身的数，求代数式4（a +b ）﹣（cd ）5+m 的值．【答案】﹣1或0【分析】利用倒数定义、相反数定义、平方数等于本身的定义可得a +b ＝0，cd ＝1，m ＝1或0，然后再代入计算即可．【详解】解：∵a 、b 互为相反数， ∴a +b ＝0， ∵c 、d 互为倒数， ∴cd ＝1，又∵m 是平方等于它本身的数， ∴m ＝0或1，当m ＝0时，原式＝4×0﹣15+0＝﹣1； 当m ＝1时，原式＝4×0﹣15+1＝0． 故答案为：1或0．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握倒数之积等于1，相反数之和等于0，平方等于本身的是0或者1．17．如果,a b 是任意2个数，定义运算⊗如下（其余符号意义如常）：b a b a ⊗=，例如331112328,3228⎛⎫⊗==⊗== ⎪⎝⎭；求[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗的值．【答案】1【分析】首先认真分析理解规则，根据b a b a ⊗=代入数值计算即可． 【详解】解：∵b a b a ⊗=， ∴[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗ =32[(2)(3)]2014-+-⊗ =()892014-+⊗ =20141 =1【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题的关键是读懂新规定，按照规定的规律进行计算． 18．求1+2+22+23+…+22016的值，令S ＝1+2+22+23+…+22016，则2S ＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S ﹣S ＝22017﹣1，S ＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 【答案】2017554-【分析】仿照例题可令2320165555S +++⋯+=，从而得出2320175555S ++⋯+=，二者做差后即可得出结论．【详解】解：令2320165555S +++⋯+=， 则2320175555S ++⋯+=，∴()23201723201620175555555555S S -=++⋯+-+++⋯+=-，∴2017554S -=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出201755S 4=﹣是解题的关键．19．阅读下列材料：如点A 、B 在数轴上的分别表示有理数a 、b ．则A 、B 两点间的距离表示为AB ．①当A 、B 两点分别在原点的同侧时，如图（1），（2）所示，则AB ＝|b|﹣|a|；②当A 、B 两点分别在原点的异侧时，如图（3），（4）所示，则AB ＝|b|+|a|；请回答下列问题： （1）若数轴上的点C 表示c ，点D 表示d ，且|c+2|+（d ﹣3）2＝0．①直接写出c ＝ ，d ＝ ； ②求CD 是多少？（2）若数轴上的点P 表示﹣4，点Q 表示x ，且PQ ＝2020，则x 等于多少？【答案】（1）①﹣2，3，②5；（2）﹣2024或2016 【分析】（1）①根据非负数的性质可求c ，d ；②根据A 、B 两点分别在原点的异侧时，AB ＝|b|+|a|，可得答案； （2）根据数轴上两点间的距离公式，由PQ ＝2020，列出方程可求得x ． 【详解】解：（1）①∵|c+2|+（d ﹣3）2＝0， ∴c+2＝0，d ﹣3＝0， 解得：c ＝﹣2，d ＝3， 故答案为：﹣2，3；②由材料可知：CD ＝|﹣2|+|3|＝5； （2）依题意有：|x+4|＝2020， 即x+4＝﹣2020或x+4＝2020， 解得：x ＝﹣2024或2016． 故x 等于﹣2024或2016．【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离计算，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 20．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”． 初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______． （4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 【答案】（1）12；（2）②③；（3）213⎛⎫- ⎪⎝⎭，37；（4）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）314- 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）利用题中的新定义分别判断即可；（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）3122222=÷÷=； （2）当a ≠0时，a 2=a ÷a =1，因此①正确； 对于任何正整数n ，当n 为奇数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=-，当n 为偶数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=，因此②错误；因为34=3÷3÷3÷3=19，而43=4÷4÷4=14，因此③错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；故答案为：②③；（3）4(3)-=(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-=111(3)333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭213⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5111111777777⎛⎫=÷÷÷÷ ⎪⎝⎭=177777⨯⨯⨯⨯=37； （4）由题意可得：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =()()()23112344÷-⨯-+-⨯ =()12714⨯-- =314- 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．。
有理数运算专项练习难题
有理数运算专项练习难题1.问题描述：求以下各题的答案，并写出答案的计算过程。
题目1：计算 $\frac{2}{3} - \left(-\frac{5}{6}\right)$。
题目2：计算 $\left(-\frac{7}{5}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right)$。
题目3：计算 $\frac{-4}{5} \div \left(-\frac{3}{8}\right)$。
题目4：计算 $\left(-\frac{2}{3}\right) + \frac{4}{7}$。
题目5：计算 $\left(-\frac{11}{2}\right) \div \left(-\frac{3}{4}\right)$。
2.计算过程：答案1：首先，将负号分配到括号内，得到 $\frac{2}{3} +\frac{5}{6}$。
求最小公倍数为6，转化为相同分母，得到$\frac{4}{6} + \frac{5}{6}$，然后相加得到 $\frac{9}{6}$。
化简后得到答案 $\frac{3}{2}$。
答案2：将两个有理数相乘，得到 $\frac{14}{15}$。
答案3：将被除数和除数取倒数，得到 $\frac{-4}{5} \times\left(-\frac{8}{3}\right)$。
相乘得到 $\frac{32}{15}$。
答案4：将两个有理数相加，得到$\frac{2}{3} + \frac{4}{7}$。
求最小公倍数为21，转化为相同分母，得到 $\frac{14}{21} +\frac{12}{21}$，然后相加得到 $\frac{26}{21}$。
化简后得到答案$\frac{2}{3}$。
答案5：将被除数和除数取倒数，得到 $\frac{-11}{2} \times\left(-\frac{4}{3}\right)$。
相乘得到 $\frac{44}{6}$。
初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析
初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析一．选择题共12小题1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队03．要使为整数,a只需为A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数4．体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%5．有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为A．2 B．﹣1 C ．D．20086．有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++=A．1 B．±1 C．﹣1 D．07．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=A．16 B．1C C．1A D．228．若ab＞0,且a+b＜0,那么A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞09．如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a810．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc11．设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=A．C135B．C136C．C1311D．C127二．填空题共10小题13．2.40万精确到位,有效数字有个．14．如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是填入M、N、P、R中的一个或几个．15．为了求1+3+32+33+...+3100的值,可令M=1+3+32+33+...+3100,则3M=3+32+33+34+ (3101)因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．16．我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：；按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．18．我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值．19．符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…2G=2,G=4,G=6,G=8,…利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=．20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．只填序号,答案格式如：“①②③④”．21．若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=．22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=．三．解答题共18小题23．计算：++++…+．24．请你仔细阅读下列材料：计算：﹣÷﹣+﹣解法1：按常规方法计算原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣解法2：简便计算,先求其倒数原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10故﹣÷﹣+﹣=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．25．已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．1求2※4的值；2求1※4※﹣2的值；3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．26．若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c0,a+b0,c﹣a0．2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．28．1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．④当x=时,|x+1|+|x﹣2|=5．29．请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：1999×﹣152999×118+999×﹣﹣999×18．30．同学们都知道：|5﹣﹣2|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：1数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是,2数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．3如果|x﹣2|=5,则x=．4同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是．5由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值如果有,直接写出最小值；如果没有,说明理由．31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得：S=22015﹣1,即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：11+2+22+23+24+…+21021+3+32+33+34+…+3n其中n为正整数32．小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1,﹣1≤x≤2和x＞2,经研究发现,当﹣1≤x≤2时,值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：1当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是．2已知y=|2x+8|﹣4|x+2|,求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．34．计算：××××××…××××．35．小明早晨跑步,他从自家向东跑了2千米到达小彬家,继续向东跑了1.5千米到达小红家,然后向西跑了4.5千米到达中心广场,最后回到家．1以小明家为原点,以向东的方向为正方向,用1 个单位长度表示1千米,你能在数轴上表示出中心广场,小彬家和小红家的位置吗2小彬家距中心广场多远3小明一共跑了多少千米36．已知：b是最小的正整数,且a、b满足c﹣52+|a+b|=0,请回答问题1请直接写出a、b、c的值．a=,b=,c=2a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时即0≤x≤2时,请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|请写出化简过程3在12的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t 秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变若变化,请说明理由；若不变,请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得：2S﹣S=22014﹣1,即S=22014﹣1,即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．38．计算：1；2﹣24+3﹣16﹣5；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12﹣47.65×2+﹣37.15×﹣2+10.5×﹣7．39．1+2+3+…+100= 经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=,其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…nn+1=观察下面三个特殊的等式1×2=1×2×3﹣0×1×22×3=2×3×4﹣1×2×33×4=3×4×5﹣2×3×4将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料,请你思考后回答：1直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…nn+1=2探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+nn+1n+2=3请利用2的探究结果,直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．40．如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是﹣2,已知点A、B是数轴上的点,请参照图并思考,完成下列各题．1如果点A表示数﹣3,将点A向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B 两点间的距离是；2如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离为；3如果点A表示数﹣4,将A点向右移动16个单位长度,再向左移动25个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离是；4一般地,如果A点表示的数为m,将A点向右移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度,那么请你猜想终点B表示什么数A、B两点间的距离为多少初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析参考答案与试题解析一．选择题共12小题1．2016春碑林区校级期末1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米分析首先根据题意求出头发丝的半径是60 000÷2纳米,然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．解答解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．故选D．点评此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．2014秋赛罕区校级期末足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队0分析每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．解答解：由题意知,红队共进4球,失2球,净胜球数为：4+﹣2=2,黄队共进3球,失5球,净胜球数为3+﹣5=﹣2,蓝队共进2球,失2球,净胜球数为2+﹣2=0．故选A．点评每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．3．2010春佛山期末要使为整数,a只需为A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数分析如果为整数,则a﹣52为4的倍数,可确定a的取值．解答解：∵为整数,∴a﹣52为4的倍数,∴a﹣5是偶数,则a可取任意奇数．故选A．点评本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数,任何一个偶数必定能够被2整除,偶数的平方能够被4整除．4．2013秋郑州期末体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%分析根据正数是大于标准的数,非负数是达标成绩,可得达标人数,达标人数除以总人数,可的达标率．解答解：﹣1＜0,0=0,﹣1.2＜0,﹣0.1＜0,0=0,﹣0.6＜0,达标人数为6人,达标率为6÷8=75%,故选：D．点评本题考查拉正数和负数,注意非负数是达标人数,达标人数除以总人数的达标率．5．2014 新华区模拟有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为A．2 B．﹣1 C ．D．2008分析从所给出的资料中,可得到若a1=2,a2=,a3=﹣1,a4=2…则这列数的周期为3,据此解题即可．解答解：根据题意可知：若a1=2,则a2=1﹣=,a3=1﹣2=﹣1,a4=1﹣﹣1=2,…,这列数的周期为3,∵2008=3×669+1∴a2008=2．故选：A．点评考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律,并直接利用规律求出得数,代入后面的算式求解．6．2016春沭阳县期末有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++= A．1 B．±1 C．﹣1 D．0分析根据a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,可知a,b,c为两正一负或两负一正,按两种情况分别讨论,求得代数式的可能的取值即可．解答解解：∵a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,∴a,b,c为两正一负或两负一正,且b+c=﹣a,a+c=﹣b,a+b=﹣c,①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；综上,++的所有可能的值为±1．故选B点评本题主要考查了代数式求值,关键是掌握绝对值的性质等知识点,注意分情况讨论字母的符号,不要漏解．7．2013 天桥区一模计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=A．16 B．1C C．1A D．22分析首先把A+C利用十进制表示,然后化成16进制即可．解答解：A+C=10+12=22=16+6,则用16进制表示是16．故选A．点评本题考查了有理数的运算,理解十六进制的含义是关键．8．2012秋祁阳县校级期中若ab＞0,且a+b＜0,那么A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞0分析两数之积大于0,说明两数同号,两数之和小于0,说明两数都是负数．解答解：∵ab＞0,∴a,b同号；又∵a+b＜0,∴a,b同为负数．故本题选C．点评本题考查的知识点为：两数相乘,同号得正；同号两数相加为负数,则这两个数都为负数．9．2011秋南海区期末如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a8分析从表格中可看出a5在中间,上下相邻的数为依次大7,左右相邻的数为依次大1,所以可得到代数式．解答解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=a4+a5+a6﹣21+a4+a5+a6+21=2a4+a5+a6,正确,不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2a2+a5+a8,正确,不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5,正确,不符合题意D、a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=6,错误,符合题意．故选D．点评本题考查有理数的加减混合运算,关键是从表格中看出各个数与a5的关系,从而得出结果．10．2010 广州为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc分析m对应的数字是12,12+10=22,除以26的余数仍然是22,因此对应的字母是w；a对应的数字是0,0+10=10,除以26的余数仍然是10,因此对应的字母是k；t对应的数字是19,19+10=29,除以26的余数仍然是3,因此对应的字母是d；…,所以本题译成密文后是wkdrc．解答解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18,它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2,所对应的密文为wkdrc．故选：A．点评本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的区分度．11．2009秋和平区校级期中设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值分析根据非负数的性质,分别讨论x的取值范围,再判断y的最值问题．解答解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时,y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时,y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时,y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时,y有最小值为2；故选D．方法二：由题意,y表示数轴上一点x,到﹣1,1的距离和,这个距离和的最小值为2,此时x 的范围为﹣1≤x≤1,故选D．点评本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题,注意按未知数的取值分情况讨论．12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=A．C135B．C136C．C1311D．C127分析根据题目信息,表示出C125与C126,然后通分整理计算即可．解答解：根据题意,有C125=,C126=,∴C125+C126=+,=,=,=C136．故选B．点评本题是信息给予题,读懂题目信息是解题的关键．二．填空题共10小题13．2009秋绥中县期末2.40万精确到百位,有效数字有3个．分析根据24 000确定精确度,从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止共有3个有效数字．解答解：2.40万=24 000,精确到百位,有效数字有3个,分别是2,4,0．点评从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．14．2016秋余杭区期末如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是N或P填入M、N、P、R中的一个或几个．分析根据数轴判断出a、b之间的距离小于3,且大于1,然后根据绝对值的性质解答即可．解答解：∵MN=NP=PR=1,∴|MN|=|NP|=|PR|=1,∴|MR|=3；①当原点在N或P点时,1＜|a|+|b|＜3,又因为|a|+|b|=2,所以原点可能在N或P点；②当原点在M或R点时,|a|+|b|＞2,所以原点不可能在M或R点；综上所述,原点应是在N或P点．故答案为：N或P．点评此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,把式子化简后根据整点的特点求解．15．2015 茂名为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+...+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+ (3100),仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．分析根据题目信息,设M=1+5+52+53+…+52015,求出5M,然后相减计算即可得解．解答解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1,则M=．故答案为．点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键．16．2013 天河区一模我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：；按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是13．分析根据题目信息,利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．解答解：11012=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．故答案为：13．点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．17．2012 台州请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．分析由题中的新定义,将已知的等式结果变形后,总结出一般性的规律,即可用a与b表示出新运算a⊕b．解答解：根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=+,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣=+,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣=+,则a⊕b=+=．故答案为：．点评此题考查了有理数的混合运算,属于新定义的题型,其中弄清题意,找出一般性的规律是解本题得关键．18．2011 越秀区校级模拟我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值±15或±9．分析首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式,然后根据x,y是整数即可确定x,y的值,从而求解．解答解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3,则13＜xy＜15,因为x、y是整数,则x=±1时,y=±14；当x=±2时,y=±7,当x=±3时,y的值不存在；当x=±4,±5,±6,±8,±9,±10,±11,±12,±13时,y的值不存在；当x=±14时,y=±1；当x=±7时,y=±2．则x+y=1+14=15,或x+y=﹣1﹣14=﹣15,或x+y=2+7=9,或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．点评本题考查了不等式的整数解,正确确定x,y的值是关键．19．2011春宿迁校级期末符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…2G=2,G=4,G=6,G=8,…利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=﹣2009．分析此题是一道找规律的题目,通过观察可发现1中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1,2中等号后面的数为分母减去1再乘2,计算即可．解答解：G2010﹣G﹣2010=2010×2﹣1﹣2010﹣1×2﹣2010=﹣2009．点评找到正确的规律是解答本题的关键．20．2006 连云港a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①②④．只填序号,答案格式如：“①②③④”．分析首先能够根据数轴得到a,b之间的关系的正确信息,然后结合数的运算法则进行分析．解答解：根据数轴得a＜﹣1＜b,|a|＞|b|．①中,a﹣b＜0,故①正确；②中,a+b＜0,故②正确；③中,由于b的符号无法确定,所以ab＜0不一定成立,故③错误；④中,ab+a+b+1=b+1a+1＜0,故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：①②④．点评此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．特别注意④中,能够运用因式分解的知识分解成积的形式,再分别判断两个因式的符号．21．2006 贺州若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=±1．分析根据绝对值的意义,知绝对值等于正数的数有2个,且互为相反数．根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正,异号得负．解答解：∵|x|=2,|y|=3,∴x=±2,y=±3．又∵＜0,∴x,y异号,故x=2,y=﹣3；或x=﹣2,y=3．∴x+y=2+﹣3=﹣1或﹣2+3=1．故答案为：±1．点评理解绝对值的意义,注意互为相反数的两个数的绝对值相同．同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．22．2004 乌鲁木齐王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=1﹣．分析结合图形,知+=1﹣,++=1﹣,推而广之即可．解答解：结合图形,得+++…+=1﹣．点评此题注意运用数形结合的思想进行分析．三．解答题共18小题23．计算：++++…+．分析把++++…+变形为+++++++ +…++,再根据加法交换律和结合律计算即可求解．解答解：++++…+=++++++++…++=+++++++…+++=2×2014+=4028+=4028．点评此题考查了有理数的混合运算,关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．24．2016秋湖北月考请你仔细阅读下列材料：计算：﹣÷﹣+﹣解法1：按常规方法计算原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣解法2：简便计算,先求其倒数原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10故﹣÷﹣+﹣=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．分析观察解法1,用常规方法计算即可求解；观察解法2,可让除数和被除数交换位置进行计算,最后的结果取计算结果的倒数即可．解答解：解法1,﹣÷﹣+﹣=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣÷=﹣；解法2,原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣56=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21,故﹣÷﹣+﹣=﹣．点评此题考查了有理数的混合运算,解决本题的关键是读懂题意,理解第二种解法的思路：两个数相除,可先求这两个数相除的倒数．25．2016秋东莞市期末已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．1求2※4的值；2求1※4※﹣2的值；3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．分析读懂题意,掌握规律,按规律计算每个式子．解答解：12※4=2×4+1=9；21※4※﹣2=1×4+1×﹣2+1=﹣9；3﹣1※5=﹣1×5+1=﹣4,5※﹣1=5×﹣1+1=﹣4；4∵a※b+c=ab+c+1=ab+ac+1,a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．∴a※b+c+1=a※b+a※c．点评解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点,找出其中的规律．26．2014秋朝阳区期末若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．分析根据互为相反数的两数之和为0,互为倒数的两数之积为1可得a+b=0,cd=1,代入可得出答案．解答解：由题意得：a+b=0,cd=1,m2=4,原式=m2﹣3=4﹣3=1．点评本题考查了倒数和相反数的知识,难度不大,注意细心运算．27．2016秋东台市期中有理数a、b、c在数轴上的位置如图：1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0,a+b＜0,c﹣a＞0．2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．分析1根据数轴判断出a、b、c的正负情况,然后分别判断即可；2去掉绝对值号,然后合并同类项即可．解答解：1由图可知,a＜0,b＞0,c＞0且|b|＜|a|＜|c|,所以,b﹣c＜0,a+b＜0,c﹣a＞0；故答案为：＜,＜,＞；2|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=c﹣b+﹣a﹣b﹣c﹣a=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．点评本题考查了绝对值的性质,数轴,熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．28．2016秋镜湖区校级期中1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1| ,如果|AB|=2,那么x为1或﹣3；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．④当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．分析①根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；②根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；③|x+1|+|x﹣3|的最小值,意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小,那么x应在﹣1和3之间的线段上．④分三种情况讨论即可求得．解答解：①|2﹣5|=3,|﹣2﹣﹣5|=3,|1﹣﹣3|=4；②|x﹣﹣1|=|x+1|,如果AB=2,则x+1=±2,解得x=1或﹣3；③若|x+1|+|x﹣2|取最小值,那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上,所以﹣1≤x≤2．④若x+1＞0,x﹣2＞0,则x+1+x﹣2=5,解得x=3,若x+1＜0,x﹣2＜0,则﹣x+1﹣x﹣2=5,解得x=﹣2,若x+1和x﹣2异号,则等式不成立,所以当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．故答案为：3,3,4；|x+1|,1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．点评本题主要考查了数轴和绝对值,掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．29．2016 河北请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：1999×﹣152999×118+999×﹣﹣999×18．分析1将式子变形为1000﹣1×﹣15,再根据乘法分配律计算即可求解；2根据乘法分配律计算即可求解．解答解：1999×﹣15=1000﹣1×﹣15=1000×﹣15+15=﹣15000+15=﹣14985；2999×118+999×﹣﹣999×18=999×118﹣﹣18=999×100=99900。
苏科版七年级数学第二章《有理数》拓展提优练习(PDF版 含答案)
七年级数学第二章《有理数》拓展提优一．填空题1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点An与原点的距离不小于26，那么n的最小值是．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为．二．解答题5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；＜＜＜＜＜（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为，点B表示的数为．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝，PC＝．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A 的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x ﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1②|x﹣2|＝2③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：，式子|x+3|+|x+2|的最小值是．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝＝（）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝，a⊕b＝．（2）若a≠b，则a⊕b b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．16．已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数m和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求|m|﹣+﹣cd的值．17．若a，b互为相反数且都不为零，c，d互为倒数，m与最小的正整数在数轴上对应点间的距离为2，求（a+b）•+mcd+的值．18．定义☆运算，观察下列运算：（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13．（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：两数进行☆运算时，同号，异号．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，．（2）计算：（+17）☆[0☆（﹣16）]＝．（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．19．定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝73⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝115⊙4＝5×4+4＝24（﹣4）⊙（﹣3）＝﹣4×4﹣3＝﹣19完成下列题目（1）2⊙（﹣3）＝，（﹣5）⊙（﹣2）＝（2）计算并比较1⊙[（﹣2）⊙1]与（﹣1）⊙[1⊙（﹣2）]的大小（3）计算1⊙（﹣1）+2⊙（﹣2）+3⊙（﹣3）+…+16⊙（﹣16）的值．20．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：（1）若数轴上数1表示的点与﹣1表示的点重合，则数轴上数﹣5表示的点与数表示的点重合．（2）若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是．③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示）21．阅读下列材料，回答提出的问题我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，|a|在数轴上含义是：表示a这个数的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这样就把|a|与数轴上的点建立了一种联系（这正是绝对值的几何意义），比如说|2|的几何意义就是：数轴上表示2这个数的点到原点的距离，它是2，所以说|2|＝2，|﹣2|表示﹣2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说|﹣2|＝2，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为|a﹣0|，但平时我们都写成|a|，原因你明白．（1）若给定|x|＝3，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x；（2）实际上，对于数轴上任意两个数x1，x2之间的距离我们也可以表示为|x1﹣x2|，反过来，|x1﹣x2|这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示x1与x2这两个数的点之间的距离，你能结合上面的叙述，解释|5﹣2|＝3的几何意义吗？请按你的理解说明：|5+2|＝7呢？如果能解释这个，你了不起；（3）若|x﹣2019|＝1，请直接写出x的值．22．如图，数轴上每相邻两刻度线间的距离为1个单位长度，请回答下列问题：（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？图中5个点表示的数的乘积是多少？（3）求|x+1.5|+|x﹣0.5|+|x﹣4.5|的最小值．23．已知数轴上两点A，B对应的是﹣2和4，点P为数轴上一动点，（1）若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数．（2）若点P在点A和点B之间，且将线段AB分成1：3两部分，求点P对应的数．（3）数轴上是否存在点P，使得点P到点A的距离与到点B的距离之比为1：2？若存在，求点P对应的数；若不存在，说明理由．24．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若两点之间的距离为2，那么x值为；（2）在（1）的条件下，是否存在点P，使得点P到点A的距离等于点P到点B的距离的三倍．答案与解析一．填空题（共4小题）1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是﹣1008．【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2018次右移后，点A向右移动1×（2018÷2）个单位，第2019次左移2019个单位，故点A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+2．【解答】解：第n次移动n个单位，第2019次左移2019×1个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位，所以A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+1＝﹣1008．故答案为：﹣1008．【点评】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动的后的实际距离和方向是解答次题的关键．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17．【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A12表示的数为16+3＝19，则可判断点A n与原点的距离不小于26时，n的最小值是17．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19，A14表示的数为19+3＝22，A16表示的数为22+3＝25，A18表示的数为25+3＝28，所以点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17，故答案为：17．【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是﹣2．【分析】设点C表示的数是x，利用AB＝AC﹣BC＝1，列出方程解答即可．【解答】解：设点C表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣9）＝x+9，BC＝4﹣x，∵AB＝1，即AC﹣BC＝x+9﹣（4﹣x）＝2x+5＝1，解得：x＝﹣2，∴点C表示的数是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查数轴，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含x 的式子表示出线段的长度．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为7或﹣1．【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，b＞0，c＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＞0，原式＝1+1+1+1+1+1+1，＝7；②a、b、c中有两个正数时，不妨设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，abc＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1，＝﹣1；③a、b、c有一个正数时，不妨设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，abc＞0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1，＝﹣1；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＜0，原式＝﹣1﹣1﹣1+1+1+1+1﹣1，＝﹣1；综上所述，原式的值为7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．二．解答题（共19小题）5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜ 2.5＜3（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．【分析】（1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来；（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案；（3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案【解答】解：（1）如图；，（2）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜2.5＜3，故答案为：﹣4，﹣3，﹣1.5，0，2.5，3，（3）对．﹣4与﹣3之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5．或者﹣4与﹣1.5之间距离等于2.5与0之间距离是2.5．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为﹣24，点B表示的数为﹣12．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝2t，PC＝36﹣2t．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q 点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．【分析】（1）因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A表示数﹣24；点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度，故点B表示：﹣24+12＝﹣12．（2）因为点P从点A出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动，则t秒后点P表示数﹣24+2t（0≤t≤18，令﹣24+2t＝12，则t＝18时点P运动到点C），而点A 表示数﹣24，点C表示数12，所以PA＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．（3）以点Q作为参考，则点P可理解为从点B出发，设点Q运动了m秒，那么m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，点P表示的数是﹣12+2m，再分两种情况讨论：①点Q运动到点C之前；②点Q运动到点C之后．【解答】解：（1）设A表示的数为x，设B表示的数是y．∵|x|＝24，x＜0∴x＝﹣24又∵y﹣x＝12∴y＝﹣24+12＝﹣12．故答案为：﹣24；﹣12．（2）由题意可知：∵t秒后点P表示的数是﹣24+2t（0≤t≤18），点A表示数﹣24，点C 表示数12∴PA＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．故答案为：2t；36﹣2t．（3）设点Q运动了m秒，则m秒后点P表示的数是﹣12+2m．①当m≤9，m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，则PQ＝|﹣24m+4m﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝5或7，此时P表示的是﹣2或2；②当m＞9时，m秒后点Q表示的数是12﹣4（m﹣9），则PQ＝|12﹣4（m﹣9）﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝，此时点P表示的数是．答：P、Q两点之间的距离能为2，此时点P点表示的数分别是﹣2，2，．【点评】本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N 的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB＝3PA；②PA ＝3PB；可以得出结论．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）30﹣（﹣50）＝80，80÷（3+1）＝20，30﹣20＝10，﹣50+20＝﹣30，故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为：3；﹣1．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？【分析】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；（3）求出所有数的绝对值的和即可．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+11）+（﹣9）+（﹣7）+（+12）+（﹣10）＝（6+11+12）﹣（3+9+7+10）＝29﹣29＝0答：守门员最后回到了球门线的位置．（2）由观察可知：6﹣3+11＝14米．答：在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是12米．（3）|+6|+|﹣3|+|+11|+|﹣9|+|﹣7|+|+12|+|﹣10|＝6+3+11+9+7+12+10＝58米．答：守门员全部练习结束后，他共跑了58米．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算．关键是根据题意，正确列出算式．9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x ＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x ＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1②|x﹣2|＝2③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．【分析】（1）根据绝对值的意义进行计算即可；（2）（2）对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算得结果；（3）根据abcd≠0，得出共有5种情况，然后分别进行化简即可．【解答】解：（1）①|x|＝1，x＝±1；②|x﹣2|＝2，x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，所以x＝4或0，③|x+1|＝3，x+1＝3或x﹣1＝﹣3，所以x＝2或﹣2，（2）当abc≠0时，①a，b，c三个都是负数时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c三个都是正数时，＝1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，＝﹣1+1+1＝1．故的值为±1，或±3．（3）①若a，b，c，d有一个负数，三个正数，则+＝﹣1+3＝2；②若a，b，c，d有二个负数，二个正数，则+＝﹣2+2＝0；③若a，b，c，d有三个负数，一个正数，则+═﹣3+1＝﹣2；④若a，b，c，d有四个负数，则+═﹣4；⑤若a，b，c，d有四个正数，则+═4；故+的值为：±2，±4，0．【点评】本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c、d的分类讨论．注意＝±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为﹣1）．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是2，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为|x﹣3|或|3﹣x|；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：5，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是7．【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|的表达式计算出绝对值；（2）要去掉绝对值符号，需要抓住已知点在数轴上进行分段讨论，写出去绝对值后的表达式讨论计算即可．【解答】解：（1）根据题意知﹣3和﹣5的两点之间的距离可表示为：|﹣3﹣（﹣5）|＝2；数x和3的两点之间的距离|x﹣3|或|3﹣x|；故答案为2，|x﹣3|或|3﹣x|；（2）①∵﹣3≤x≤2，∴x+3≥0，x﹣2≤0，∴|x+3|+|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝5所以当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为5．|x+3|+|x+2|是表示x到A、C的距离之和，可观察下图．当﹣3≤x≤﹣2时，由①可知|x+3|+|x+2|＝1当﹣2＜x≤2时，|x+3|+|x+2|＝|x+2|+1+|x+2|＝2|x+2|+1＞1∴当﹣3≤x≤﹣2时，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．故答案为5，1．②画出图形，则可知，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|是表示x的点到A、B、C三点距离之和．如下图分区间来讨论，可以得出当﹣3≤x≤2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3﹣x+2＝﹣x+9，可见x＝2取得最小值，﹣x+9＝7；当2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3+x﹣2＝x+5，x＝2时取得最小值，x+5＝7．所以式|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|当x等于2时，最小值是7．故答案为2，7．【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值【分析】（1）从数轴上的标示可知c＜0＜a＜b，由此去掉绝对值符号化简即可；（2）分区间进行去绝对值化简比较即可．【解答】解：（1）根据数轴上的标示知，c＜0＜a＜b，∴a﹣c＞0，﹣a﹣b＜0，∴原式＝3（a﹣c）﹣2（a+b）＝3a﹣3c﹣2a﹣2b＝a﹣2b﹣3c．（2）①当x≤c时，y＝﹣x+a﹣x+b﹣x+c＝﹣3x+a+b+c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝c时最小，最小值为：a+b﹣2c，②当c≤x≤a时，y＝﹣x+a﹣x+b+x﹣c＝﹣x+a+a﹣c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝a时最小，最小值为：a﹣c，③当a≤x≤b时，y＝x﹣a﹣x+b+x﹣c＝x﹣a+b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，④当x≥b时，y＝x﹣a+x﹣b+x﹣c＝3x﹣a﹣b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，从以上讨论中可知，只有当c≤x≤a时y的值是a﹣c，小于其他最小值，所以当c≤x≤a时y有最小值是a﹣c．【点评】本题不仅考查了数轴上的点的正、负和大小的判定，更重要的是考查了含绝对值符号的一元一次函数的极值问题，运用分类讨论的方法和函数的增加性来得出函数的极值的解题能力．12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝4；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．【分析】（1）根据规定的运算方法，依次计算出a2、a3；（2）进一步计算出a4、a5，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2018除以3，根据规律，即可得出答案．【解答】解：（1）a2＝＝，a3＝＝4．故答案为，4；（2）∵a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝＝﹣，a5＝＝，…∴这列数以﹣，，4三个数依次不断循环出现；2018÷3＝672…2，a2018＝a2＝．【点评】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．【分析】（1）12层时最底层最左边这个圆圈中的数是11层的数字之和再加1；（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．【解答】解：（1）1+2+3+…+11+1＝6×11+1＝67；（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝＝78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (54)（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）＝276+1485＝1761．另解：第一层有一个数，第二层有两个数，同理第n层有n个数，故原题中1+2+．+11为11层数的个数即为第11层最后的圆圈中的数字，加上1即为12层的第一个数字．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n＝．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝64＝（8）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：n（n+2）+1＝（n+1）2．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．【分析】（1）（2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1＝64＝82；含有n的式子表示的规律．（3）由（1+）（1+）＝×××知，+…+（1+）＝，利用此规律计算．【解答】解：（1）7×9+1＝64＝82；（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．（3）原式＝＝．故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．【点评】本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到+…+（1+）＝××××××…××＝是解题的关键．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝19，a⊕b＝|4a﹣b|．（2）若a≠b，则a⊕b≠b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的新定义和（1）中的结果，可以解答本题；（3）根据题意和题目中的式子可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）（﹣4）⊕3＝|（﹣4）×4﹣3|＝19，a⊕b＝|4a﹣b|，故答案为：19，|4a﹣b|；（2）∵a⊕b＝|4a﹣b|，b⊕a＝|4b﹣a|，a≠b，∴（4a﹣b）﹣（4b﹣a）＝4a﹣b﹣4b+a＝4（a﹣b）+（a﹣b）＝5（a﹣b）≠0，∴a⊕b≠b⊕a，故答案为：≠；。
专题212 有理数的加法(拓展提高)(解析版)
专题2.12 有理数的加法（拓展提高）一、单选题1．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足0a b +>，则b 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】根据0a b +>确定出0b >且b a >，进而确定出b 的范围，判断即可． 【详解】解：∵0a b +>，21a -<<-， ∴0b >，而且1b a >>， ∴1b a >->， 符合条件是D ，b =2． 故选：D ．【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b 的取值范围．2．有理数m ，n ，k 在数轴上的对应点的位置如图所示，若m +n ＜0，n +k ＞0，则A ，B ，C ，D 四个点中可能是原点的是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【答案】B【分析】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．【详解】解：若点A 为原点，可得0＜m ＜n ＜k ，则m +n ＞0，与题意不符合，故选项A 不符合题意； 若点B 为原点，可得m ＜0＜n ＜k ，且|m |＞n ，则m +n ＜0，n +k ＞0，符合题意，故选项B 符合题意； 若点C 为原点，可得m ＜n ＜0＜k ，且|n |＞|k |，则n +k ＜0，与题意不符合，故选项C 不符合题意； 若点D 为原点，可得m ＜n ＜k ＜0，则n +k ＜0，与题意不符合，故选项D 不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了与数轴有关的计算，数形结合进行判断是解题的关键．3．已知a ，b ，c 为非零有理数，则a b ca b c++的结果可能值的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】由绝对值的性质可知a a ，b b ，cc这三个式子的值是±1，分情况讨论求出结果即可． 【详解】解：∵a ，b ，c 为非零有理数，∴它们的绝对值可能是自己本身，也可能是自己的相反数， ∴1aa=±， 同理1b b =±，1c c=±， ∴1113a ca b cb ++=++=， 1113a b ca b c++=---=-， 1111a b ca b c++=--=-， 1111a b ca b c++=+-=， 一共有4种结果． 故选：C ．【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质． 4．如果0a b +<，且0b >，那么a b a -、、、b -的大小关系是（ ）A ．a b a b <<-<-B ．a b b a <-<<-C ．a b a b <-<-<D ．b a a b -<<-< 【答案】B【分析】根据题目条件分析出a 是负数，且a 的绝对值大于b 的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵0a b +<，且0b >， ∴0a <，且a b >， ∴a b b a <-<<-． 故选：B ．【点睛】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 5．如图，有理数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点分别是A ，B ，C ，D ，若5b d +=，则a c +（ ）A ．大于5B ．小于5C ．等于5D ．不能确定【答案】A【分析】根据数轴，判断出数轴上的点表示的数的大小，进而可得结论 【详解】解：由数轴可得，a ＞d ，c ＞b ， ∴a+c ＞b+d ∵b+d=5 ∴a+c ＞5 故选：A【点睛】本题考查数轴、有理数加法法则以及有理数的大小比较，属于中等题型． 6．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 A M =(i ，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A 8=(3，4)，则A 2020=( ) A ．(44，81) B ．(44，82)C ．(45，83)D ．(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解； 【详解】设2020在第n 组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1 则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n-1)=12×2n×n=2n ， 当n=44时，21936n = ， 当n=45时，22025n =，∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数； 故选：D ．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法；二、填空题7．绝对值大于﹣12且小于13的所有整数的和是_______． 【答案】0．【分析】首先根据有理数大小比较的方法，可得：绝对值大于-12且小于13的所有整数有：±12、±11、±10、±9、±8、±7、±6、±5、±4、±3、±2、±1、0，求它们的和即可．【详解】解：∵绝对值大于-12且小于13的所有整数有：±12、±11、±10、±9、±8、±7、±6、±5、±4、±3、±2、±1、0，因为互为相反数的两个数的和是0，所以绝对值大于﹣12且小于13的所有整数的和是0． 故答案为：0．【点睛】本题考查了绝对值和有理数的加法，解题关键是理解绝对值的意义，知道互为相反数的两个数和为0．8．如果0ab >，那么a abb ab ab++=________． 【答案】3或−1．【分析】由ab ＞0，则a 、b 同号，再根据绝对值的性质计算即可． 【详解】∵ab ＞0， ∴a 、b 同号， 当a ＞0，b ＞0时，a ab b a b ab++=1＋1＋1＝3； 当a ＜0，b ＜0时，a ab b ab ab++=−1−1＋1＝−1； 故答案为：3或−1．【点睛】本题考查化简绝对值，熟练掌握有理数绝对值的性质是解题的关键． 9．绝对值不大于100的所有整数的和是_____________． 【答案】0【分析】找出所有绝对值不大于100的数，再将它们相加即可解答.【详解】解：绝对值不大于100的所有整数有-100、-99、-98…-1、0、1、2、3、…99、100， ∴和为：-100+（-99）+（-98）+…+（-1）+0+1+2+3+…+99+100=（-100+100）+（-99+99）+…+（-1+1）+0=0．故答案为0．【点睛】本题考查了绝对值和有理数的运算，解题的关键是找出所有绝对值不大于100的数.10．计算：|12－1|＋|13－12|＋|14－13|＋…＋|199－198|＋|1100－199|＝___________．【答案】99 100【分析】先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果．【详解】解：原式=111111111 1...22334989999100 -+-+-++-+-=1 1100 -=99 100，故答案为：99 100．【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算．11．如图，是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选的座位号之和为____________．【答案】66．【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为1，3，5，6可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4，5．丁所购票数最多，即可得出丁应该为6，8，10，12，14，16，再将所有数相加即可．【详解】解：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．∴丙选座要尽可能得小，选择：1，2，3，4，5．此时左边剩余5个座位，右边剩余6个座位，∴丁选：6，8，10，12，14，16．∴丁所选的座位号之和为681012141666+++++=；故答案为：66．【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．12．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同数目的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角“△”代表的数是_____；方格中九个数的和是_____．【答案】-4 -27【分析】根据“河图”的特征可得：每一条对角线上的三个数的和等于第三行的各个数的和，求出△的值即可． 【详解】解：根据题意得：+(5)(3)(6)∆-=-+- 解得：=4∆-设与△和-3在同一条对角线上另一个数为y ，则有：(6)(5)(3)y +-=-+- ∴2y =-∴对角线上三个数的和为：(4)(3)(2)9-+-+-=-，即每一行，每一列以及线上三个数的和都等于-9， ∴方格中九个数的和是(9)(9)(9)27-+-+-=-， 故答案为：-4；-27【点睛】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力． 13．小颖同学做这样一道题“计算|5|-+∆”，其中“∆”是被墨水污染看不清的一个数，她翻开后面的答案，得知该题的计算结果是3，那么“∆”表示的数是_________． 【答案】2或8【分析】根据有理数的加法法则以及绝对值的性质解答即可； 【详解】∵53-+=△， ∴ 53-+=△或53-+=-△， 解得：=8或2， 故答案为：8或2．【点睛】本题考查了有理数的加法和绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解答本题的关键；14．对于正数x 规定()1xf x x =+，例如133113(3),11343413f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+，计算1120152014f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111(1)(2)(3)(2013)(2014)(2015)201332f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．【答案】120142【分析】根据规定式子可得1111(),(1)1121111x f f x x x====+++，从而可得11()()111x f x f x x x+=+=++，由此即可得．【详解】因为对于正数x 规定()1xf x x=+，所以1111(),(1)1121111x f f x x x ====+++，所以11()()111x f x f x x x+=+=++， 则原式111(2015)(2014)(2)(1)201520142f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 1120142=⨯+， 120142=，故答案为：120142． 【点睛】本题考查了有理数加法运算的规律型问题，根据规定的运算式子，找出规律是解题关键．三、解答题15．10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？【答案】10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克． 【分析】先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解．【详解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4（千克） 以90千克为标准，10袋小麦的记录如下：+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1，（+1）+（+1）+（+1.5）+（-1）+（+1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（-1.2）+（+1.8）+（+1.1） =（+1）+（-1）+（+1.2）+（-1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（+1）+（+1.5）+（+1.8）+（+1.1） =5.4千克．答：10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克．【点睛】本题考查了正负数的意义，读懂题目信息，写出90千克的增减量是解题的关键．16．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东四方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km ）依先后次序记录如下：9+，3-，8-，6+，6-，4-，10+．（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ （2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营运额是多少？ 【答案】（1）离鼓楼出发点为4km ，在鼓楼东；（2）110.4元【分析】（1）根据正数和负数意义，将所有的数相加所得结果即可得出答案；（2）根据绝对值的意义，将所有的数的绝对值相加即可得出总的路程，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得，+9+（-3）+（-8）+6+（-6）+（-4）+10=+4， 因为向东为正，向西为负，所以出租车离鼓楼出发点为4km ，在鼓楼东； （2）由题意可得，出租车营运的总路程为，|+9|+|-3|+|-8|+|6|+|-6|+|-4|+|10|=46（km ）， 营运额为：46×2.4=110.4（元）．【点睛】本题主要考查正负数的运算和绝对值的意义，根据题意列式计算是解决本题的关键．17．某食品厂计划平均每天生产200袋食品，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超过计划量记为正）：（1）根据记录的数据，求产量最多的一天比产量最少的一天多生产食品多少袋？ （2）根据记录的数据，求该厂本周实际共生产食品多少袋？ 【答案】（1）20；（2）1410．【分析】（1）根据题意和表格可以求得该厂产量最多的一天的产量和产量最少一天的产量，从而可以解答本题；（2）根据表格求出本周一共比计划多生产10袋，可求得该厂本周实际共生产食品多少袋． 【详解】解：（1）最多的一天为星期四：20011211+=（袋）， 最少的一天为星期五：2009191-=（袋），21119120-=（袋），产量最多的一天比产量最少的一天多生产食品多20袋；（2）5171195610+--+-++=（袋） 2007101410⨯+=（袋） 答：该厂本周实际共生产食品1410袋．【点睛】本题考查正数和负数的意义和有理数加法，解题的关键是明确题意，准确列式计算．18．某公路检修小组早上从A 地出发，沿东西方向的公路上检修路面，晚上到达B 地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）：﹣5，﹣3，+6，﹣7，+9，+8，+4，﹣2． （1）请你确定B 地位于A 地的什么方向，距离A 地多少千米？ （2）距A 地最远的距离是多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，问这个小组从出发到收工共耗油多少升？【答案】（1）B 地在A 地的东边10千米；（2）最远处离出发点12千米；（3）8.8升【分析】（1）计算这些有理数的和，即可知道收工时，B 地位于A 地的什么方向，距A 地多远， （2）逐次计算结果，当达到绝对值最大时即可， （3）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数． 【详解】解：（1）∵﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2＝10， 答：B 地在A 地的东边10千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： |﹣5|＝5（千米）；|﹣5﹣3|＝8（千米）；|﹣5﹣3+6|＝2（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7|＝9（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9|＝0（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9+8|＝8（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4|＝12（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2|＝10（千米）；12＞10＞9＞8＞5＞2＞0，∴最远处离出发点12千米；（3）这一天走的总路程为：|﹣5|+|﹣3|+|+6|+|﹣7|+|+9|+|+8|+|+4|+|﹣2|＝44（千米），应耗油44×0.2＝8.8（升），答：问这个小组从出发到收工共耗油8.8升．【点睛】本题考查有理数的加法、绝对值的意义，理解有理数和绝对值的意义是正确解答的关键．19．如果自然数m使得作竖式加法m+（m+1）+（m+2）时对应的每一位都不产生进位现象，则称m为“三生三世数”，例如：12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象；50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象（1）分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由；（2）求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．【答案】（1）42不是“三生三世数”，3210是“三生三世数”，理由见解析；（2）102，111，120，132【分析】（1）根据“三生三世数”的定义进行判断便可；（2）先根据“三生三世数”定义求出三位数中小于200的“三生三世数”，再求得其中是3的倍数的数便可．【详解】解：（1）∵42+43+44计算时会产生进位现象，∴42不是“三生三世数”，∵3210+3211+3212计算时不会产生进位现象，∴3210是“三生三世数”，（2）根据“三生三世数”的定义知，小于200的三位数中的“三生三世数”有：100，101，102，110，111，112，120，121，122，130，131，132，∵102，111，120，132能被3整除，∴三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”有：102，111，120，132．【点睛】本题考查了有理数的加法、新定义，解题的关键是明确题意，利用题干中的新定义解答． 20．从数轴上看： a 表示数a 的点到原点之间的距离，类似地4a -表示数a 的点到表示数4的点之间的距离．一般地a b -表示数a 的点到表示数b 的点之间的距离．（1）在数轴上，若表示数x 的点与表示数2-的点之间的距离为5个单位长度，则 x =________；． （2）对于任何有理数x ，式子 16x x ++- 有最_____（大或小）值，该值为________．（3）利用数轴，求方程 549x x -++= 的所有整数解的和.【答案】（1）3或-7；（2）小，7；（3）5【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）先得到16x x ++-的意义，再判断取值；（3）先得到549x x -++=的意义，从而得到相应的x 的范围，得到整数取值，最后相加．【详解】解：（1）∵表示数x 的点与表示数-2的点之间的距离为5个单位长度， ∴25x +=，解得：x =3或-7；（2）16x x ++-表示数轴上到-1和6的距离之和，∴有最小值，当x 在-1和6之间（包含-1和6）时，该值最小，且为7；（3）549x x -++=表示数轴上表示x 的数到-4和5的距离之和为9，则当x ＜-4或x ＞5时，549x x -++>，当-4≤x ≤5时，满足条件，此时x 的整数值为：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，∴所有整数解的和为-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=5．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．。
专题218 有理数的除法(拓展提高)(解析版)
专题2.18 有理数的除法（拓展提高）一、单选题1．下列计算中，正确的是（ ）． A ．1515-=- B ．4.5 1.7 2.5 1.8 5.5--+=C ．()22--=D ．()1313-÷-=【答案】C【分析】根据绝对值、相反数、有理数加减和乘除运算的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】1515-=，故选项A 错误； 4.5 1.7 2.5 1.8 2.1--+=，故选项B 错误；()22--=，故选项C 正确；()111133339⎛⎫-÷-=-⨯-= ⎪⎝⎭，故选项D 错误； 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值、相反数、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、相反数、有理数加减和乘除运算的性质，从而完成求解．2．在数轴上有a 、b 两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（ ）A ．0a b +>B ．0ab >C ．0a b -<D ．0ab> 【答案】C【分析】根据数轴上的位置判断a 、b 两个有理数的正负和绝对值大小即可． 【详解】解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，a b >， ∴0a b +<，0ab <，0ab<，0a b -<， ∴A 、B 、D 错误，C 正确; 故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上表示数和有理数的运算，解题关键是通过数轴确定两个有理数的正负和绝对值大小．3．已知数a b c ，，的大小关系如图所示，下列选项中正确的有（ ）个 ①0abc > ②0a b c +-> ③||1||||a b c a b c++= ④||||||2a b c a b c a --++-=-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据数轴可以得到a<0，c>b>0，|c|>|a|>|b|，再根据有理数的乘除法法则，有理数的加法法则及绝对值的性质即可得出答案．【详解】解：由数轴可得a<0，c>b>0，|c|>|a|>|b|， ∴①0abc <，故①错误；②∵c>b ，∴b-c<0，∵a<0，∴0a b c +-<，故②错误； ③∵a<0，∴1a a =-，∵c>b>0，∴1b b =，1c c =，∴||1111||||a b c a b c++=-++=，故③正确；④∵a<0，b>0，∴a-b<0，∴|a-b|=b-a ，∵a<0，c>0，且|c|>|a|，∴c+a>0，∴|c+a|=c+a ，∵c>b>0，∴b-c<0，∴|b-c|=c-b ，∴||||||2a b c a b c b a c a c b a --++-=---+-=-，故④正确． ∴③④两个正确． 故选C ．【点睛】本题考查了利用数轴判断式子的正负，有理数的运算法则，绝对值的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．下列说法正确的是（ ） A ．绝对值是本身的数都是正数 B ．单项式23x y 的次数是2C ．除以一个不为0的数，等于乘以这个数的相反数D ．3π是一个单项式【答案】D【分析】根据绝对值的意义、有理数的除法法则、单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：A 选项，绝对值是本身的数是正数或0，故原说法错误；B 选项，单项式23x y 的次数是3，故原说法错误；C 选项，除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，故原说法错误；D 选项，3π表示一个数，是一个单项式，故正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了绝对值、单项式的定义以及有理数的除法，熟记相关定义和法则是解答本题的关键．5．有一列数1a ，2a ，3a ，，n a ，从第二个数开始，每个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若14a =，则2020a 为（ ） A ．2- B ．4 C ．34D ．13-【答案】B【分析】根据题意分别求出121131144a a =-=-=，231411133a a =-=-=-，34111(3)4a a =-=--=，由此得到规律进行计算即可 【详解】∵14a =， ∴121131144a a =-=-=，231411133a a =-=-=-，34111(3)4a a =-=--=，，数列每3个数为一个周期循环， ∵202036731÷=，∴2020a 个数与第一个数相等，即2020a =4， 故选：B【点睛】此题考查数字的变化规律，有理数的减法法则，除法法则，解此题的关键是能从所给出的条件中找到数据变化的规律 6．a 是有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是223=-2-，2-的“哈利数”是212(2)2=--，已知13a =，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，．．．，依此类推，则2010a =（ ） A ．12B ．2-C ．3D ．43【答案】B【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，而20104=5022÷，从而可得答案．【详解】解：∵13a =，()23452212422,,,3,142322232223a a a a ∴==-======-----∴该数列每4个数为一周期循环， ∵20104=5022÷，∴20102 2.a a ==- 故选：B ．【点睛】本题考查数字的变换规律，列代数式，同时考查有理数的加减运算，除法运算，根据题意得出该数列每4个数为一周期循环是关键．二、填空题7．定义一种新的运算：x *y =2x y x +，如：3*1=3213+⨯=53，则2*3=__________． 【答案】4【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：2232*342+⨯==， 故答案为：4【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 8．已知：2|2|(1)a b +++取最小值，则aab b+=________． 【答案】4【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a 、b 的值，再代入求值即可得． 【详解】20a +≥，2(1)0b +≥，2120()b a +∴++≥，∴当2120,0()b a ++==时，212()b a +++取得最小值0，20,10a b ∴+=+=，解得2,1a b =-=-， 则()2122214a ab b +=-⨯-+=+-=-， 故答案为：4．【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘除法与加法，熟练掌握绝对值与偶次方的非负性是解题关键．9．有时两数的和恰等于这两数的商，如()4242-+=-÷，42423333+=÷等．试写出另外1个这样的等式______． 【答案】993322-+=-÷． 【分析】根据两数的和恰等于这两数的商的要求，举出实例即可．【详解】解：993322-+=-÷，()()11-1-122+=÷． 故答案为：993322-+=-÷．【点睛】本题考查生活经验的积累问题，掌握两数的和恰等于这两数的商是解题关键．10．已知m 、n 为有理数，那么m n -可看成数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离．若有理数x 在数轴上的位置如图所示，则22x x +-型的值为________．【答案】1【分析】由数轴上表示x 的点的位置，得到x 小于-2，可得出x+2都小于0，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：由数轴上表示x 的点的位置,得到x<-2， ∴x+2<0， ∴22x x +-＝22x x ----=1，故答案为1．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解本题的关键．11．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，规定一种运算：a a c d b b d c =-，例如5(3)51231217⨯--⨯=-=-．那么3234--=_________．【答案】6【分析】根据规定的运算进行列式，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】()()323423126634-=⨯--⨯-=-=-．故答案为：6．【点睛】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，理解题意，掌握运算法则是解题的关键． 12．如图，有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示： 则下列结论：①a+b-c ＞0：②b-a ＜0：③bc-a ＜0：④|a|b |c|-+=1a |b|c．其中正确的是_______．【答案】②③．【分析】根据数轴，得到11b a c <-<<<，然后绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则11b a c <-<<<，∴0a b c +-<，故①错误；0b a -<，故②正确； 0bc a -<，故③正确；1(1)13acb a b c-+=--+=，故④错误； 故答案为：②③．【点睛】本题考查了数轴的定义，绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴的定义，正确得到11b a c <-<<<．13．一天，甲乙两人利用温差测试测量山峰的高度，甲在山顶测得的温度是-4℃，乙此时在山脚测得的温度是8℃．已知在该地区高度每增加100米，气温大约降低0.6℃，则这个山峰的高度大约是__________米． 【答案】2000【分析】先根据题意列出运算式子，再计算有理数的加减乘除运算即可得． 【详解】由题意得：()()840.6100840.6100--÷⨯=+÷⨯⎡⎤⎣⎦，120.6100=÷⨯，=⨯，20100=（米），2000故答案为：2000．【点睛】本题考查了有理数加减乘除运算的实际应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．14．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．【答案】10或64【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．【详解】解：如图，利用倒推法可得：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，由第1次计算后得5，可得原数为10，由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．三、解答题 15．计算 （1）77()8181-+-= （2）()015-- = （3）( 2.25)(80)-⨯+=（4）3217⎛⎫÷-⎪⎝⎭= 【答案】（1）0；（2）15；（3）-180；（4）-49【分析】（1）先化简绝对值，再根据有理数加法法则计算； （2）先将减法化为加法再计算； （3）根据乘法法则计算；（4）将除法化为乘法，再根据乘法法则计算． 【详解】（1）77()8181-+-=77()8181-+=0； （2）()015-- =0+15=15； （3）( 2.25)(80)-⨯+=-180； （4）3217⎛⎫÷-⎪⎝⎭=721()3⨯-=-49． 【点睛】此题考查有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则，熟练掌握各计算法则是解题的关键．16．如图A 在数轴上所对应的数为2-．（1）点B 在点A 右边距A 点4个单位长度，求点B 所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A 以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B 以每秒3个单位长度沿数轴向右运动，当点A 运动到6-所在的点处时，求,A B 两点间距离． 【答案】（1）2；（2）14个单位长度【分析】（1）根据左减右加可求点B 所对应的数；（2）先根据时间=路程÷速度，求出运动时间，再根据列出=速度×时间求解即可．【详解】解：（1）-2+4=2．故点B所对应的数是2；（2）（-2+6）÷2=2（秒），2+2+（2+3）×2=14（个单位长度）．答：A，B两点间距离是14个单位长度．【点睛】本题考查了数轴，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式．17．某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表．（1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？（2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？【答案】（1）0.3亿元，（2）甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．【分析】（1）由表可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，由此可得出结果．（2）将甲乙两厂每个月的盈利相加即可得出结果．【详解】解：（1）由图可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，0.7-0.4=0.3（亿元）∴可得出乙比甲多亏0.3亿元．（2）甲：﹣0.2﹣0.4+0.5+0+1.2+1.3＝2.4亿元，2.4÷6=0.4（亿元）；乙：1.0﹣0.7﹣1.5+1.8﹣1.8+0＝﹣1.2亿元，-1.2÷6=-0.2（亿元）．∴甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．答：八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的加减法，解题关键正确理解正负数的意义，准确进行计算．18．请你先认真阅读材料：计算12112 ()() 3031065 -÷-+-解：原式的倒数是21121-+()3106530⎛⎫-÷-⎪⎝⎭＝2112()(30)31065-+-⨯-＝23×（﹣30）﹣110×（﹣30）+16×（﹣30）﹣25×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣110再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：11322()()4261437-÷-+-． 【答案】114-． 【分析】根据题意，先计算出113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的倒数132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果，再算出原式结果即可．【详解】解：原式的倒数是：132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132********⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭13224242424261437⎛⎫=-⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭()792812=--+-14=-，故原式114=-． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．19．设0a >，x ，y 为有理数，定义新运算：||a x a x =⨯※．如323|2|6=⨯=※，()414|1|a a -=⨯-※．（1）计算20210※和()20212-※的值．（2）若0y <，化简()23y -※．（3）请直接写出一组,,a x y 的具体值，说明()a x y a x a y +=+※※※不成立．【答案】（1）0；4042；(2)6y -；（3）1a =，2x =，3y =-（答案不唯一）【分析】(1)根据题意※表示前面的数与后面数的绝对值的积，直接代入数据求解计算；(2)有y<0，得到y 为负数，进而得到-3y 为正数，去绝对值后等于本身-3y ，再代入数据求解即可；(3)按照题意要求写一组具体的,,a x y 的值再验算即可．【详解】解：(1)根据题意得:202102021|0|0=⨯=※； ()202122021|2|4042-=⨯-=※；(2)因为0y <，所以30y ->，所以()()232|3|236y y y y -=⨯-=⨯-=-※；(3)由题意，当,,a x y 分别取1a =，2x =，3y =-时，此时()2311※※(-1)=1-=，而11※2※(-3)=2+3=5+，所以，()a x y a x a y +=+※※※不成立．【点睛】本题是新定义题型，按照题目中给定的运算要求和顺序进行求解即可．20．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A 类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B 类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C 类，例如3，6，9等．（1）2020属于 类（填A ，B 或C ）；（2）①从A 类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A ，B 或C ）；②从A 类数中任意取出15个数，从B 类数中任意取出16个数，从C 类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A ，B 或C ）；（3）从A 类数中任意取出m 个数，从B 类数中任意取出n 个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C 类，则下列关于m ，n 的叙述中正确的是 （填序号）．①m +2n 属于C 类；②|m ﹣n |属于B 类；③m 属于A 类，n 属于C 类；④m ，n 属于同一类．【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④．【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．。
专题216 有理数的乘法(拓展提高)(解析版)
专题2.16 有理数的乘法（拓展提高）一、单选题1．若a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列选项不正确的是（ ）A ．ab ＜0B ．|a |＞|b |C ．a +b ＞0D ．a ＜﹣b ＜b ＜﹣a【答案】C【分析】根据数轴上数的位置，确定数的正负与绝对值大小即可．【详解】解：由数轴可得，a ＜0＜b ，|a|＞|b|，则ab ＜0，|a|＞|b|，a+b ＜0，a ＜﹣b ＜b ＜﹣a ，错误的是C ．故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上的数和有理数运算法则，解题关键是根据数轴判断a ，b 的符号合绝对值大小，再根据有理数运算法则判断式子是否正确．2．如果两个有理数的和等于零，那么这两个有理数的积是（ ）A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数 【答案】D【分析】根据有理数的加法法则可得这两个数为一正一负，或同为0，再根据乘法法则得到这两个有理数的积是负数或0．【详解】如果两个有理数的和等于零，那么这两个有理数互为相反数，故这两个数为一正一负，或同为0，则这两个有理数的积是负数或0，故选：D ．【点睛】此题考查有理数的加法法则和乘法法则，熟记法则是解题的关键．3．对于任意有理数,a b ，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a b ab a b ⊕=+-．例如：525252⊕=⨯+-，则3(2)⊕-的计算结果等于()A ．-7B ．-1C ．-11D ．-5 【答案】B【分析】根据新运算法则解答即可．【详解】解：()()3(2)32326321⊕-=⨯-+--=-++=-．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的运算，正确理解新运算法则、明确求解的方法是解题的关键．4．在整数集合{3,2,1,0,1,2,3,4,5,6}---中选取两个整数填入“6⨯=”的○内，使等式成立则正确选取后不同填入．．．．的方法有（ ） A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种 【答案】C【分析】计算积为6的数，每个式子为两种．【详解】解：-3×（-2）=6，：-2×（-3）=6；2×3=6，3×2=6；1×6=6，6×1=6，共有6种，故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的乘法，属于基础题，注意3个式子，6种方法5．若234a b ==，，且0ab <，那么+a b 的值为（ ）A ．5或1B ．-5或-1C ．5或-5D ．1或-1【答案】D【分析】先根据题意确定a ，b 的所有可能取值，然后代入求值即可．【详解】解：∵234a b ==，∴a 3b 2=±=±，∵0ab <∴a 、b 异号当a=3，b=-2时 3-21a b +==当a=-3，b=2时321a b +=-+=-故选：D ．【点睛】此题主要考查求代数式的值，解题的关键是正确根据题意确定a ，b 的值．6．王叔叔将“绿色出行，从我做起”化为实际行动，坚持每天步行上下班，他以10000步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录了一周上下班的步数情况如下表，若王叔叔平均每步0.75米，请你计算本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了多少米（ ）A ．2500B ．10500C ．52500D ．39375【答案】D【分析】先根据题意和表格数字列出运算式子，再计算有理数的乘法与加减法即可得．【详解】由题意得：()1000051200800160050000.75⨯+-+++⨯⎡⎤⎣⎦， ()5000025000.75=+⨯，525000.75=⨯，39375=（米），即本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了39375米，故选：D ．【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．二、填空题7．12021-的倒数的相反数是________． 【答案】2021【分析】直接利用倒数、互为相反数的定义分析得出答案．【详解】解：12021-的倒数为：-2021，则-2021的相反数是：2021． 故答案为：2021．【点睛】此题主要考查了倒数、相反数，正确把握相关定义是解题关键．8．乘积为240-的不同五个整数的平均值最大是__________．【答案】9【分析】显然是要使得负因数的绝对值尽量小，且正因数尽量大，符合的负因数只能为-1，然后正因数为1，2，3，40，再根据平均数的求法求出五个整数的平均值．【详解】解：∵要求乘积为-240的不同五个整数的最大平均值，又∵-1×1×2×3×40=-240， ∴平均值最大的五个因数为-1，1，2，3，40，∴五个整数的平均值为（-1+1+2+3+40）÷5=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了有理数的乘法，本题确定负因数为-1是解题的关键．9．规定*是一种运算符号，且*2a b ab a =-，则计算()4*2*3-=_______．【答案】-16．【分析】按照新定义转化算式，然后计算即可．【详解】根据题意，2*3232(2)-=-⨯-⨯-=64-+=-2，()4*2*3-=()4*24(2)24-=⨯--⨯=88--=-16故答案为：-16．【点睛】本题考查了新定义运算，解题关键是把新定义运算转化为有理数计算，并准确计算．10．已知21x y -=-，且,a b 互为倒数，那么620132x aby y -+-=______．【答案】2010【分析】利用倒数的性质得到ab ＝1，代入原式计算后，提取公因式变形，将2x−y ＝−1代入计算即可求出值．【详解】由题意得：2x−y ＝−1，ab ＝1，则原式＝6x−2y−y ＋2013＝3（2x−y ）＋2013＝−3＋2013＝2010．故答案为：2010．【点睛】此题考查了代数式求值，倒数，熟练掌握倒数的性质是解本题的关键．11．若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，e 是绝对值最小的数，则()325a b cd e +-+=______．【答案】-2【分析】根据已知求出a+b、cd、e的值，代入代数式即可求出答案．【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，e为绝对值最小的数，∴a+b=0，cd=1，e=0，∴3（a+b）-2cd+5e=3×0-2+5×0=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，相反数，绝对值，倒数等知识点，解此题的关键是求出a+b、cd、e的值，此题是一道容易出错的题目，但题型较好．12．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则16*（﹣2*5）＝_____．【答案】﹣15【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．【详解】解：∵a*b＝3ab，∴16*（﹣2*5）＝16*[3×（﹣2）×5]＝16*（﹣30）＝3×16×（﹣30）＝﹣15，故答案为：﹣15．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．13．某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒数加1的和的相反数．如第1位同学报（111+），第2位同学报1(1)2-+，第3位同学报1(1)3+……这样得到的50个数的乘积为_______．【答案】-51【分析】先确定每位同学所报之数，再列算式，确定积的符号为负，再算积即可．【详解】解：第1位同学报（111+），第2位同学报1(1)2-+，第3位同学报1(1)3+，第4位同学报1(1)4-+，…，第49位同学报1(1)49+，第50位同学报1(1)50-+，列式得（111+）1(1)2⎡⎤⨯-+⎢⎥⎣⎦1(1)3⨯+1(1)4⎡⎤⨯-+⨯⨯⎢⎥⎣⎦1(1)49+1(1)50⎡⎤⨯-+⎢⎥⎣⎦， =21-32⨯43⨯54⨯⨯⨯50495150⨯， =51-．故答案为：-51．【点睛】本题考查有理数乘法与加法混合运算，掌握有理数混合运算法则，特别是负号的确定，多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时，积为负，负因数有偶数个时，积为正是解题关键．14．已知a 是不等于1-的数，我们把11a +称为a 的和倒数．如：2的和倒数为11123=+，已知211,a a =是1a 的和倒数，3a 是2a 的和倒数，4a 是3a 的和倒数，…，依此类推，则31212a a a a ⋅⋯⋅=______． 【答案】1233【分析】根据和倒数的定义分别计算出a 1、a 2、a 3、…a 12的值，代入计算即可求解．【详解】解：a 1＝1，a 211112==+，a 3121312==+，413a 2513==+，515a 3815==+，618a 51318==+，7113a 821113==+，8121a 1334121==+，9134a 2155134==+，10155a 3489155==+，11189a 55144189==+，121144a 892331144==+， 则a 1•a 2•a 3…a 12＝1123581321345589144123581321345589144233233⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：1233【点睛】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5…a 12的值是解题关键．三、解答题15．计算（1）5116()()()6767+-+-+-； （2）（﹣20）﹣（﹣18）+（﹣14）﹣13；（3）111(8)()842-⨯-+； （4）（﹣8）×（﹣43）×（﹣0.125）×54． 【答案】（1）﹣13；（2）﹣29；（3）﹣3；（4）﹣53 【分析】（1）原式化简后，相加即可求出值；（2）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（4）原式结合后，相乘即可求出值．【详解】解：(1)原式＝56﹣16﹣17﹣67＝23﹣1 ＝﹣13； （2）原式＝﹣20+18﹣14﹣13＝﹣47+18＝﹣29；（3）原式＝﹣8×18﹣8×（﹣14）﹣8×12 ＝﹣1+2﹣4＝﹣3；（4）原式＝﹣8×0.125×43×54 ＝﹣53． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练运用有理数运算法则和运算律进行计算． 16．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，求a 234b m cd m++-的值． 【答案】1或-7【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，可以求得a +b 、cd 、m 的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：因为a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是3，所以a +b ＝0，cd ＝1，m ＝±2．当m＝2时，a234bm cdm++-＝223142+⨯-⨯⨯＝0+4﹣3＝1；当m＝﹣2时，a234bm cdm++-＝()223142+⨯--⨯⨯＝0﹣4﹣3＝﹣7．所以a234bm cdm++-的值是1或-7．【点睛】本题考查了相反数的意义、倒数的意义、绝对值的意义、有理数的混合运算，明确相反数、倒数、绝对值的意义是解题关键．17．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x*y＝xy﹣5例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）请仿照上面的例题计算下列各题：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣16）；（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】（1）①﹣11；②﹣152；（2）＝【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利用题中的新定义计算即可求出值，先计算括号里面的再计算；（2）设□和〇的数字分别为有理数a，b，利用新定义，分别计算□*〇与〇*□，再比较大小即可．【详解】解：（1）①根据题中的新定义得：原式＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11；②根据题中的新定义得：原式＝（4×5﹣5）*（﹣16）＝15*（﹣16）＝15×（﹣16）﹣5＝﹣52﹣5＝﹣152；（2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，根据题意得：a*b ＝ab ﹣5，b*a ＝ab ﹣5，即a*b ＝b*a ，则□*〇＝〇*□．故答案为：＝．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．利用运算律计算有时可以简便例1：256172651782214-+-+=--++=-+=；例2：()99999910019900999801⨯=-=-=．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算．（1）1112322+--； （2）计算：()221546463737-⨯-⨯+⨯--⨯． 【答案】（1）-3；（2）-10【分析】（1）根据加法交换律与加法结合律计算；（2）根据乘法分配律、加法交换律与加法结合律计算 ． 【详解】（1）原式1113252322=--+=-+=- （2）()221546463737-⨯-⨯+⨯--⨯． ()212544663377=-⨯+⨯--⨯-⨯ 2125463377⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4610=--=-【点睛】本题考查有理数的简便运算，熟练掌握有理数的运算律是解题关键．19．小明家想要从某商场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从,A B 两个品牌中各选中一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1所示．目前该商场有促销活动，促销方案如表2所示．表1：洗衣机和烘干机单价表表2：商场促销方案你认为有哪几种购买方案？请通过计算为小明家选择支付总费用最低的购买方案．【答案】①购买A 品牌的洗衣机与烘干机各一台；②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台；③购买A 品牌的洗衣机一台，购买B 品牌的烘干机一台；④购买A 品牌的烘干机一台；购买B 品牌的洗衣机一台；方案①的总费用为13272元，方案②的总费用为12820元，方案③的总费用为12872元，方案④的总费用为14020元，总费用最低的方案为方案②．【分析】由表1可得购买方案有四种，再根据表2的优惠方案分别计算四种方案的购买费用，通过比较从而可得答案．【详解】解：由题意可得购买方案为：①购买A 品牌的洗衣机与烘干机各一台；②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台；③购买A 品牌的洗衣机一台，购买B 品牌的烘干机一台；④购买A 品牌的烘干机一台；购买B 品牌的洗衣机一台；所以一共有四种方案．方案①：()70000.8113%110000.8400⨯⨯-+⨯-4872880040013272=+-=（元）方案②：()75000.8113%100000.8400⨯⨯-+⨯-5220800040012820=+-=（元）方案③：()70000.8113%100000.8⨯⨯-+⨯4872800012872=+=（元）方案④：()75000.8113%110000.8⨯⨯-+⨯5220880014020=+=（元）由12820＜12872＜13272＜14020,所以选择方案②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台总费用最低．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，数学分类思想的应用，掌握分类讨论数学思想是解题的关键．20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：2449(5)25⨯-，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式＝12491249452492555-⨯=-=-； 小军：原式＝24244(49)(5)49(5)(5)24925255+⨯-=⨯-+⨯-=-； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：1599(8)16⨯-． 【答案】（1）小军的解法较好；（2）还有更好的解法；解法见详解；（3）见详解；【分析】（1）根据计算判断小军的解法较好；（2）把244925写成15025⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把151916写成12016⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； 【详解】（1）小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好；（2）还有更好的解法，()()()()241114495=505=5055=250=24925252555⎛⎫⨯--⨯-⨯--⨯--+- ⎪⎝⎭ ； （3）()()()()151111198=208=2088=160=159********⎛⎫⨯--⨯-⨯--⨯--+- ⎪⎝⎭ ； 【点睛】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键 ；。
专题112 有理数大小的比较(拓展提高)(解析版)
专题1.12 有理数大小的比较（拓展提高）一、单选题1．已知0a <，0ab <，且a b >，那么将a ，b ，a -，b -按照由大到小的顺序排列正确的是（ ） A ．a b b a ->->> B ．b a a b >>->- C ．b a a b >->>- D ．a b b a ->>->【答案】D【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵a ＜0，ab ＜0， ∴b ＞0， 又∵|a |＞|b |，∴设a =-2，b =1，则-a =2，-b =-1 则-2＜-1＜1＜2． 故-a ＞b ＞-b ＞a ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，解答此题的关键是根据条件设出符合条件的数值，再比较大小．2．下列各数中最小非负数是（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】C【分析】根据非负数的意义和有理数的大小比较求解． 【详解】解：∵-2、-1是负数，0、1是非负数，且0<1， ∴题中最小非负数是0， 故选C ．【点睛】本题考查非负数的应用和有理数的大小比较，熟练掌握非负数的意义是解题关键． 3．一个大于1的正整数a ，与其倒数1a，相反数-a 比较，大小关系正确的是（ ） A ．-a ＜1a≤a B ．-a ＜1a＜a C ．1a＞a ＞-a D ．-a ≤a ≤1a【答案】B【分析】先根据倒数、相反数的定义可得101,0a a<<-<，再根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】因为1a >，且为正整数，所以101,0a a <<-<， 所以1a a a-<<，故选：B ．【点睛】本题考查了相反数、倒数、有理数的大小比较法则，熟练掌握倒数与相反数的定义是解题关键． 4．已知正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则这样的正整数n 有（ ） A ．6个 B ．10个 C ．16个 D ．20个【答案】C【分析】由236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，以及若x 不是整数，则[]x <x 知,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，得到n 的值.【详解】∵236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若x 不是整数，则[]x <x ，∴,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数， ∴n 的值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个， 故选：C.【点睛】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解[]x 表示不超过x 的最大整数，得到,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，由此解决问题. 5．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的数，则bc a-=（ ） A ．1 B ．1-C ．0D ．2-【答案】B【分析】根据有理数的大小及绝对值的意义求解．【详解】∵a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的数， ∴1a =，1b =-，0c，∴1011b c a --=-=-， 故选B ．【点睛】本题考查有理数的应用，熟练掌握有理数大小比较的方法及绝对值的意义是解题关键． 6．按如图所示的运算程序，能使输出的m 的值为1的是（ ）．A ．1x =，1y =B ．2x =，1y =-C ．2x =-，3y =-D ．1x =-，3y =【答案】C【分析】将各项代入运算程序中，逐一计算即可求解．【详解】解：A ．输入1x =，1y =，即x y =，故0m x y =-=，该项不符合题意； B ．输入2x =，1y =-，即x y >，故3m x y =-=，该项不符合题意； C ．输入2x =-，3y =-，即x y >，故1m x y =-=，该项符合题意； D ．输入1x =-，3y =，即x y <，故25m x y =-+=，该项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，读懂程序框图中的运算规则是解题的关键．二、填空题7．比较大小（填写“＞”或“＜”）： －2________－3 ；78-________89-；3()4--________4[()]5-+-【答案】> > <【分析】根据有理数的大小比较方法作答． 【详解】解：∵|-2|<|-3|， ∴-2>-3，∵763864872972-=-=，， ∴7889-<-， ∴7889->-， ∵31544164205520⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，， ∴3445⎡⎤⎛⎫⎛⎫--<-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为>；>；<．【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法、分数比较大小的方法及多重符号的化简是解题关键 ． 8．用“＞”.“＜”.“＝”号填空:（1）0.02-____1； （2）3()4--____](0.75)⎡-+-⎣；（3）227-_______ 3.14-. 【答案】< = <【分析】根据有理数的大小比较法则，即可得出． 【详解】（1）0.02-＜1； （2）3()4--=34=0.75，](0.75)⎡-+-⎣=0.75， ∴3()4--=](0.75)⎡-+-⎣（3）227-＜ 3.14-.【点睛】本题主要考查有理数的大小比较法则，注意去符号时的变号和分数化小数时的计算． 9．已知0a <，0b >，并且a b >，那么a b a b --、、、按照由小到大的顺序排列是__________． 【答案】a b b a <-<<【分析】根据绝对值的意义可得a b ->，b a ->，根据有理数的大小比较法则即可得答案． 【详解】解：∵0a <，0b >，并且a b >， ∴a b ->，b a ->， ∴a b b a <-<<-，故答案为：a b b a <-<<-【点睛】本题主要考查了比较有理数的大小以及绝对值的意义，正数大于负数，两正数比较绝对值大的数大，两负数比较绝对值大的反而小；熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键．10．在-1.0426中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最大，则被替换的数字是________． 【答案】4【分析】根据两个负数，绝对值大的其值反而小比较被替换的数的绝对值的大小，得到答案． 【详解】解：被替换的数是-3.0426，-1.0326，-1.0436，-1.0423， |-1.0326|＜|-1.0423|＜|-1.0436|＜|-3.0426|， ∴最大的数是-1.0326，∴使所得的数最大，则被替换的数字是4， 故答案为：4．【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则：正数都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 11．把下列各数：87.5%、0.88、421、522按从小到大的顺序排列：________． 【答案】4587.5%0.882122<<< 【分析】把各数化成用小数形式表示的准确数或近似数，再根据小数比较大小的方法即可得到答案． 【详解】解：4587.5%0.8754210.1905220.2272122==÷≈=÷≈，，，又0.1900.2270.8750.88<<<， ∴原来各数按从小到大的顺序排列为：4587.5%0.882122<<<， 故答案 为：4587.5%0.882122<<<． 【点睛】本题考查数的大小比较，把各数化成相同的形式再作比较是解题关键 ． 12．已知a ＝1，b ＝2，c ＝4，且a b c >>，则a b c -+＝________． 【答案】1-或3-【分析】因为a b c >>，所以根据题意应该分为两种情况，为1a =±， 2b =-， 4c =-，然后带入原式即可求解．【详解】由题意得：1a =±， 2b =-， 4c =-， 当a ＝1-，2b =-， 4c =-时a b c -+＝3-； 当a ＝1，2b =-， 4c =-时，a b c -+＝1-；故答案为：1-或3-．【点睛】本题考查了绝对值的化简，和有理数大小的比较，根据题意确定a 的取值分为两种情况是本题的易错点，注意不要丢项落项． 13．如果4231=,5374A B C D ⨯⨯=⨯=⨯则,,,A B C D 中最大的是__________，最小的是____________． 【答案】D A【分析】令4231=125374A B C D ⨯⨯=⨯=⨯=，分别计算出A 、B 、C 、D 的值进行比较即可． 【详解】令4231=125374A B C D ⨯⨯=⨯=⨯=可得15,18,28,48A B C D ==== ∴D C B A >>>则,,,A B C D 中最大的是D ，最小的是A 故答案为：D ，A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较问题，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 14．下列四组有理数的比较大小：①﹣1＜﹣2；②﹣（﹣1）＞﹣（﹣2）；③+（﹣56）＜﹣|﹣67|；④|﹣56|＜|﹣67|，正确的序号是__． 【答案】④【分析】按有理数大小比较法则，两两比较，然后进行判断．【详解】①两个负数，绝对值大的反而小，所以-1＞-2，故原比较错误； ②因为-（-1）=1，-（-2）=2，所以-（-1）＜-（-2），故原比较错误；③因为+（﹣56）=﹣56，﹣|﹣67|=-67，而535636642742=<=，所以+（﹣56）>﹣|﹣67|，故原比较错误；④因为|﹣56|=56，|﹣67|=67而535636642742=<=，所以+（﹣56）<﹣|﹣67|，故原比较正确；正确的是④． 故答案为：④．【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较．解题的关键是掌握有理数大小的比较方法，要注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．三、解答题15．将下列各数在数轴上表示出来，并比较它们的大小（用“＜”连接）．()4--， 3.5--，112⎛⎫+- ⎪⎝⎭，0，()2.5++【答案】见解析，()()13.510 2.542⎛⎫--<+-<<++<-- ⎪⎝⎭【分析】首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用“＜”连接即可． 【详解】解：()4--=4， 3.5--=3.5，112⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-112， ()2.5++=2.5 如图所示：则()()13.510 2.542⎛⎫--<+-<<++<-- ⎪⎝⎭．【点睛】此题主要考查了数轴，有理数比较大小，关键是在数轴上正确确定表示各数的点的位置． 16．画一条数轴，把1-12，0，3各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比较它们的大小，用“<”号连接．【答案】数轴表示见解析；-3＜112-＜0＜112＜3． 【分析】先画出数轴，把各数依次表示出来，从左到右用“＜”把各数连接起来即可． 【详解】解：112-的相反数是112，0的相反数是0，3的相反数是-3，在数轴上的表示如图所示：从左到右用“＜”连接为：-3＜112-＜0＜112＜3． 故答案为：-3＜112-＜0＜112＜3． 【点睛】本题考查的是数轴的特点、相反数的定义及有理数的大小比较，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．17．（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－13，52，0.25（2）比较下列各组数的大小①35与34- ②| 5.8|--与( 5.8)--【答案】（1）数轴见详解；10.2503523-<-<<<；（2）①3354->-；② 5.8(5.8)--<--【分析】（1）由数轴的定义画出数轴并标出各数，然后写出它们的相反数并比较大小； （2）由比较大小的法则进行比较，即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴如图所示：由题意，3-的相反数是3；0的相反数是0；13-的相反数是13；52的相反数是52-；0.25的相反数是0.25-； ∴10.2503523-<-<<<； （2）①∵3354<，∴3354->-；②| 5.8| 5.8--=-，( 5.8) 5.8--=， ∴ 5.8( 5.8)--<--；【点睛】本题考查了数轴的定义，相反数的定义，比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．18．已知下列三个有理数a ，b ，c ，其中132a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，b 是4-的相反数，c 是在1713-与263-之间的整数．请你解答下列问题： （1）这三个数分别是多少？ （2）将这三个数用“>”号连接起来．（3）这三个数中，哪一个数在数轴上表示的点离原点的距离最近？ 【答案】（1）132a =；4b =；7c =-；（2）b a c >>；（3）a 【分析】（1）根据相反数的知识直接写出答案；（2）比较出三个数的大小，用“＞”号连接起来即可；（3）利用数轴的知识直接写出答案．【详解】解：（1）这三个数分别是：113322a⎛⎫=--=⎪⎝⎭，()44 b=--=，7c=-．（2）∵14372 >>-∴b a c>>；（3）∵11|||3|322a⎛⎫=--=⎪⎝⎭，|||4|4b==，|||7|7c=-=，且17432>>∴在数轴上a这个数表示的点离原点的距离最近．【点睛】本题主要考查有理数大小比较的知识点，涉及的知识点有数轴以及相反数，此题基础题，比较简单．19．某工厂生产一种螺丝帽，要求是∶螺丝帽内径可有0.02毫米的误差，先抽查6个螺丝帽，检查结果如下∶请问∶（1）这6个螺丝帽中符合要求的有几个?分别是哪几个?（2）将这些数按照从小到大的顺序用“<”连接起来．【答案】（1）符合要求的有3个，分别是第2，4，6个；（2）-0.021＜-0.019＜-0.017＜+0.013＜+0.023＜+0.031 【分析】（1）根据螺丝帽内径可有0.02毫米的误差，可以通过表格判断哪些螺丝合格，哪些不合格，从而可以解答本题．（2）根据有理数的大小比较法则比较即可．【详解】解：（1）∵螺丝帽内径可有0.02毫米的误差，∴表格中第1个+0.031＞0.02，故第1个不符合要求；表格中第2个|-0.017|＜0.02，故第2个符合要求；表格中第3个+0.023＞0.02，故第3个不符合要求；表格中第4个+0.013＜0.02，故第4个符合要求；表格中第5个|-0.021|＞0.02，故第5个不符合要求； 表格中第6个|-0.019|＜0.02，故第6个符合要求； 故符合要求的有3个，分别是第2，4，6个； （2）由题意可得：-0.021＜-0.019＜-0.017＜+0.013＜+0.023＜+0.031．【点睛】本题考查正数和负数，有理数的大小比较，解题的关键是明确正数和负数在题目中的具体含义． 20．已知0,0aab c<>，且||||||c b a >>，数轴上a ，b ，c 对应的点是A ，B ，C ．（1）若||a a =-时，请在数轴上标出A ，B ，C 的大致位置，并判断a ，b ，c 的大小； （2）在（1）的条件下，化简||||a b b c ---． 【答案】（1）数轴见解析，c ＜a ＜b ；（2）c-a【分析】由题意知a ，b 异号，a ，c 同号，且a ，b ，c 点离原点距离已知，（1）根据|a|=-a 可知a 为负值，所以可判断b 为正，c 为负，从而可标示出点A 、B 、C 在数轴上的大概位置；（2）根据数轴上标出的点的位置得到a-b 和b-c 的符号，再去绝对值化简即可． 【详解】解：根据ab ＜0，ac＞0，可知a ，b 异号，a ，c 同号． （1）∵|a|=-a ， ∴a ＜0， ∴b ＞0，c ＜0，∵|c|＞|b|＞|a|，所以A 、B 、C 在数轴上的大致位置如下图：a ，b ，c 的大小关系为：c ＜a ＜b ； （2）由（1）可得：a-b ＜0，b-c ＞0， 原式=-a+b-（b-c ） =-a+b-b+c =c-a【点睛】本题考查正负数在数轴上的对应关系，关键是根据点所表示数的绝对值判断点在数轴上离原点的距离，也就是绝对值的几何意义．。
专题1.2 从自然数到有理数(拓展提高)(解析版)
专题1.2 从自然数到有理数（拓展提高）一、单选题1．在数0，117-，π3，0.13&&，0.01010101，2.3%中，有理数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】A【分析】分别根据实数的分类及有理数的概念进行解答．【详解】解：有理数有0，117-，0.13&&，0.01010101，2.3%，共5个，故选：A．【点睛】此题考查有理数，解答此题要明确有理数概念和分类．有理数包括正整数，负整数，正分数，负分数和0．2．下列各数中，不是分数的是（）A．12B．30%-C．63-D．0.1015【答案】C【分析】根据把“1”平均分成若干份，其中的一份或几份，可得答案．【详解】A、12是分数，故A不符合题意；B、−30%＝−310，是分数，故B不符合题意；C、63-＝−2，是整数，不是分数，故C符合题意；D、0.1015＝2032000，是分数，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了有理数，利用分数的定义是解题关键．3．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）A．①B．②C．③D．④【答案】D【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．【详解】解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分；②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数；③、非负数指的是正数和0，说法错误；④、整数和分数统称有理数，说法正确；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键．4．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：城市悉尼纽约时差/时+2-13当北京10月1日23时，悉尼、纽约的时间分别是（）A．9月30日21时；9月30日10时B．10月1日10时；10月2日10时C．10月2日1时；10月1日10时D．9月30日21时；10月2日12时【答案】C【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月2日1时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月1日10时．【详解】悉尼的时间是：10月1日23时+2小时，即10月2日1时，纽约时间是：10月1日23时-13小时，即10月1日10时．故选：C．【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算．5．在﹣4，227，0，3.14159，﹣5.2，2中正有理数的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据正有理数的定义即可得．【详解】223.1428577=K小数点后的142857是无限循环的，则在这些数中，正有理数为22,3.14159,27，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了正有理数，熟记定义是解题关键．6．将7张扑克牌，全部背面朝上，每次翻三张且必须翻三张，最少翻多少次可翻成全部背面朝下（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】根据每次翻三张进行实验，得出结论即可．【详解】解：第一次翻：下，下，下，上，上，上，上；第二次翻：下，下，上，下，下，上，上；第三次翻：下，下，下，下，下，下，下；即这7张扑克牌，全部背面朝下．故选A．【点睛】本题考查了扑克牌的翻转问题，明确每次翻三张进行实验是解题关键.二、填空题7．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上5℃记做5+℃，若气温零下3℃，则记作_________℃．【答案】-3【分析】根据零上为正，则零下为负，若气温零上5℃记做5+℃，若气温零下3℃，记作-3℃．【详解】解：∵气温零上5℃记做5+℃，∴气温是零下3℃记作-3℃．故答案为3-．【点睛】本题考查正了数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．8．把下列各数分别填在相应的集合内：－11，4.8，73，－2.7，16，3.1415926，－34，73，0．正数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；整数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}．【答案】4.8，73，16，3.1415926，73；-2.7，3-4；-11，73，0；73，0．【分析】整正数包括正整数和正分数；整数包括正整数、负整数和零；非负整数包括正整数和零，由此解答即可．【详解】解：正数集合：{ 4.8，73，16，3.1415926，73…}；负分数集合：{ -2.7，3-4…}；整数集合：{-11，73，0 …}；非负整数集合：{73，0 …}．故答案为：4.8，73，16，3.1415926，73；-2.7，3-4； -11，73，0；73，0．【点睛】本题考查了有理数，弄清有理数的分类是解题的关键正数集合．9．在4-，112-，0， 3.2-，0.5-，5，1-，2.4中，若负数共有M 个，正数共有N 个，则M N -=______．【答案】3【分析】根据大于0的数是正数，小于零的数是负数，可得答案．【详解】解：在4-，112-，0， 3.2-，0.5-，5，1-，2.4中，正数有5，2.4共2个，负数有4-，112-， 3.2-，0.5-，1-共5个，M 5\=，N 2=，M N 523\-=-=．故答案为：3．【点睛】本题考查了正数和负数，小于0的数是负数，注意带负号的数不一定是负数，注意，0不是正数，也不是负数．10．6-， 3.14-，p -，13，0.307，4，0.2这些数中，有理数有________个．【答案】6【分析】先根据有理数概念判断出有理数，再计算个数即可．【详解】∵整数和分数统称有理数，∴有理数有：6-， 3.14-，13，0.307，4，0.2，共6个．故答案为：6．【点睛】要掌握：整数和分数统称有理数，其中p 不是有理数．能准确的判断出什么是有理数，知道p 是无限不循环小数，是无理数．11．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④2p-不仅是有理数，而且是分数；⑤237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为_________个．【答案】5【分析】根据有理数的分类作出判断，即可得出答案．【详解】解：①没有最小的整数，故该项说法错误；②有理数包括正数、0和负数，故该项说法错误；③非负数就是正数和0，故该项说法错误；④2p-是无理数，故该项说法错误；⑤237是无限循环小数，所以是有理数，故该项说法错误；⑥无限小数不都是有理数，故该项说法正确；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，，故该项说法正确；所以其中错误的说法的个数为5个，故答案为：5．【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．12．已知下列8个数：—3.14, 24, +17, 17,2- 5,16—0.01， 0，—12，其中整数有 ______________，负分数有_________________， 非负数有_______________ ．【答案】24,17,0,12+-13.14,7,0.012---24,17,5,016+ 【分析】根据整数、负分数、非负数的定义即可得．【详解】整数有：24,17,0,12+-，负分数有：13.14,7,0.012---，非负数有：24,17,5,016+，故答案为：24,17,0,12+-；13.14,7,0.012---；24,17,5,016+．【点睛】本题考查了整数、负分数、非负数，熟记各定义是解题关键．13．在227，5p，0，3.14%，-4.733…，100，1823-，7151551…中，正数是_____，分数是_____．【答案】22,,3.14%,71100,7551551p¼ 4.2273,3.318214%,,37-¼- 【分析】根据正数、分数的定义即可得．【详解】正数是22,,3.14%,71100,7551551p¼，因为分数都是有理数，所以分数是4.2273,3.318214%,,37-¼-，故答案为：22,,3.14%,71100,7551551p ¼； 4.2273,3.318214%,,37-¼-．【点睛】本题考查了正数、分数，掌握理解定义是解题关键．14．把下列各数分别填在相应的横线上：1，-0.20，135，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…．正数有：______________________________________________________；分数有：______________________________________________________；负数有：______________________________________________________；正整数有：____________________________________________________；非正数有：_____________________________________________________；负整数有：_____________________________________________________；非负数有：_____________________________________________________；负分数有：_____________________________________________________；非负整数有：___________________________________________________．【答案】1，135，325，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，135，-23.13，0.618； -0.20，-789，-23.13，-2014； 1，325； -0.20，-789，0，-23.13，-2014； -789，-2014； 1，135，325，0，0.618，π，0.1010010001…；-0.20，-23.13；1，325，0.【详解】按照本题中给出的分类，结合各类型数的定义依次分析各个数的特征，得(1) 1是正数；1是正整数；1是非负数；1是非负整数.(2) -0.20是分数；-0.20是负数；-0.20是非正数；-0.20是负分数.(3) 135是正数；135是分数；135是非负数.(4) 325是正数；325是正整数；325是非负数；325是非负整数.(5) -789是负数；-789是非正数；-789是负整数.(6) 0是非正数；0是非负数；0是非负整数.(7) -23.13是分数；-23.13是负数；-23.13是非正数；-23.13是负分数.(8) 0.618是正数；0.618是分数；0.618是非负数.(9) -2014是负数；-2014是非正数；-2014是负整数.(10) π是正数；π是非负数.(11) 0.1010010001…是正数；0.1010010001…是非负数.故本题应进行如下填写：(正数) 1，135，325，0.618，π，0.1010010001…；(分数) -0.20，135，-23.13，0.618；(负数) -0.20，-789，-23.13，-2014；(正整数) 1，325；(非正数) -0.20，-789，0，-23.13，-2014；(负整数) -789，-2014；(非负数) 1，135，325，0，0.618，π，0.1010010001…；(负分数) -0.20，-23.13；(非负整数) 1，325，0.三、解答题15．在下列空格里打“√”，表示该数属于哪种类型的数：类型数有理数正整数负整数正分数负分数非负数+3 ﹣1130 0.5 ﹣6 【答案】见解析【分析】依据有理数的分类，按整数、分数的关系分类可得：有理数包含正整数、0、负整数，正分数、负分数；按正数、负数与0的关系分类可得：有理数包含正整数、正分数、0、负整数、负分数．【详解】解：+3属于有理数，正整数，非负数；﹣113属于有理数，负分数；0属于有理数，非负数；0.5属于有理数，正分数，非负数；﹣6属于有理数，负整数．类型数有理数正整数负整数正分数负分数非负数+3 √ √ ． ． ． √ ﹣113 √ ． ． ． √ ． 0 √ ． ． ． ． √ 0.5 √ ． ． √ ． √ ﹣6 √ ． √ ． ． ． 16．有一批袋装食品，标准质量为每袋505克，现抽取样品10袋，测得它们的实际质量（单位：克）如下：505，504，505，498，505，502，507，505，503，506；若把超过标准质量的克数用正数表示，不足的用负数表示，列出这10袋食品与标准质量的差值表为：袋号12345678910与标准质量的差值（克）﹣100﹣30﹣2+1（1）将以上表格补充完整；（2）这10袋食品的总质量是多少？【答案】（1）0 ，－7，＋2；（2）5040克【分析】（1）每袋的实际质量减505克就是表格中填的数；（2）法一；首先求出表格中10个数据的平均数，再加上505克，即可求得平均每袋食品的质量，再乘总袋数10即可求解或10袋食品质量相加；法二：将10个数据的实际质量直接相加即可．【详解】解：（1）505-505=0，498-505=-7，507-505=2，故答案为：0，-7，2．（2）法一：这10袋食品与标准量差值的和为0＋（－1）＋0＋（－7）＋0＋（－3）＋（＋2）＋0＋（－2）＋（＋1）＝－10（克）因此，这10袋食品的总质量为505´10+（－10）=5040（克）答：这10袋食品的总质量是5040克．法二：这10袋食品的总质量为505+504+505+498+505+502+507+505+503+506=5040（克）答：这10袋食品的总质量是5040克．【点睛】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数的加法运算，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性．17．某检修小组从A地出发，在东西走向的马路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中7次行驶的情况记录如下（单位：千米）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次-4+7-9+8+6-5-2（1）这一天检修小组行驶的路程是多少．（2）求收工时距A地多远？在A地的正东方向还是正西方向？说明理由．【答案】（1）41km；（2）收工时距A地1km，方向在正东方向．【分析】（1）求出七次检修记录的绝对值的和即可；（2）计算每一次行检修记录的和，即可确定距A地的距离和方向．【详解】解：（1）|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-5|+|-2|=4+7+9+8+6+5+2=41km；答：这一天检修小组行驶的路程是41km；（2）-4+7-9+8+6-5-2=1则收工时距A地1km，方向在正东方向．答：收工时距A地1km，方向在正东方向．【点睛】本题考查了有理数的加减法在生活中的应用，掌握绝对值的意义和正负数的意义是解答本题的关键．18．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负．一天中七次行驶记录如下．(单位：km)-4，+7，-9，+8，+6，-5，-2(1)求收工时距A地多远？在A地的什么方向？(2)在第几次记录时离A地最远，并求出最远距离．(3)若每千米耗油0.3升．问共耗油多少升？【答案】（1）收工时距A地1km，在A地东边；（2）第五次记录时离A地最远，距离A地8km；（3）耗油12.3升【分析】（1）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值；（2）分别计算每次距A地的距离，进行比较即可；（3）所有记录数的绝对值的和×0.3升，就是共耗油数．【详解】解：（1）-4+7-9+8+6-5-2=1(k m)答：收工时距A地1km，在A地东边.（2）第一次：|-4|=4(k m)第二次：|-4+7|=3(k m)第三次：|-4+7-9|=6(k m)第四次：|-4+7-9+8|=2(k m)第五次：|-4+7-9+8+6|=8(k m)第六次：|-4+7-9+8+6-5|=3(k m)第七次：|-4+7-9+8+6-5-2|=1(k m)答：第五次记录时离A地最远，距离A地8km.-++-+++-+-´=（升）（3）(|4|7|9|86|5||2|)0.312.3答：耗油12.3升.【点睛】此题考查正数和负数，解题关键在于掌握有理数的混合运算.19．某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：﹣17，+9，﹣2，+8，+6，+9，﹣5，﹣1，+4，﹣7，﹣8．（1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？（2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工甲队耗油多少升？【答案】（1）甲队在A地的正东方向39米，乙队在A地的正南方向4米；（2）6.9升．【分析】（1）分别将两组记录的数据相加，分别求出两组距离A地的距离即可；（2）将甲队行走记录的绝对值相加即为总路程，然后根据每千米的耗油量列式计算即可．【详解】解：（1）甲队离A地为：+15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39，即甲队在A地的正东方向，距离A地39千米；乙队离A地为：-17+9-2+8+6+9-5-1+4-7-8=-4，即乙队在A地的正南方向，距离A地4千米；（2）队走总路程为：15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65千米所以甲队出发到收工共耗油：65×0.06=3.9升．答：从出发到收工甲队耗油6.9升．【点睛】本题主要考查了正负数的应用和意义，理解绝对值的意义并根据题意列出算式是解答本题的关键．20．某中学为提高学生的身体素质，经常在课间开展学生跳绳比赛，下表为该校七年级(1)班50名学生参加某次跳绳比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟100个．（1）求七年级(1)班50人中跳绳最多的同学一分钟跳的次数是多少个，跳绳最少的同学一分钟跳的次数是多少个？（2）跳绳比赛的计分方式如下：①若每分钟跳绳个数是规定标准数量，不计分；②若每分钟跳绳个数超过规定标准数量，每多跳1个绳加2分③若每分钟跳绳个数没有达到规定标准数量，每少跳1个绳扣1分如果班级跳绳总积分超过200分，便可得到学校的奖励，请你通过计算说明七年级(1)班能否得到学校奖励？【答案】（1）七年级(1)班50人中跳绳最多的同学一分钟跳的次数是106个，跳绳最少的同学一分钟跳的次数是98个；（2）七年级(1)班能得到学校奖励【分析】（1）根据正负数意义计算即可；（2）根据评分标准计算总计分，然后与200比较大小，即可确定是否得到奖励.【详解】解：（1）七（1）班50人中跳绳最多的同学一分钟跳的次数是：100+6=106（个）；跳绳最少的同学一分钟跳的次数是：100-2=98（个）答：6（1）班50人中跳绳最多的同学一分钟跳的次数是106个，跳绳最少的同学一分钟跳的次数是98个；（2）依题意得：（4×6+5×11+6×8）×2-（-2×6-1×12）×（-1）=230>200。
初中数学有理数难题汇编含答案
A． a b
B． a c a c
C． a b c
D． b c b c
【答案】D 【解析】
【分析】
根据数轴得出 a＜b＜0＜c，|b|＜|a|，|b|＜|c|，再逐个判断即可． 【详解】
从数轴可知：a＜b＜0＜c，|b|＜|a|，|b|＜|c|． A．a＜b，故本选项错误； B．|a﹣c|=c﹣a，故本选项错误； C．﹣a＞﹣b，故本选项错误； D．|b+c|=b+c，故本选项正确． 故选 D． 【点睛】
∵a＞b，
∴a=5，a=-5(舍去) ，
当 a=5，b=3 时，a+b=8；
当 a=5，b=-3 时，a+b=2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了代数式的求值，本题用到了分类讨论的思想，关键在于熟练掌握平方根、
绝对值的含义．
12．如果| a | a ，下列成立的是（ ）
A． a 0
B． a 0
C． a 0
根据数轴的性质可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|；
所以 a＞b， a b 0，ac＞0 错误；|a|＞|c|正确；
故选 D． 【点睛】
本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实
数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．
19．在﹣6，0，﹣1，4 这四个数中，最大的数是（ ）
2
5
=102461 ；
2
2
故答案为：D
【点睛】
此题考查了实数的运算，算术平方根，绝对值，相反数以及倒数和立方根，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．
5．和数轴上的点一一对应的是（ ）
A．整数
B．实数
有理数难题汇编含答案
【详解】
解：
，
原点在 a，b 的中间，
如图，
由图可得：
，
，
，
，
，
故选项 A 错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
5．有理数 a ， b ， c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． a b
B． a c a c
C． a b c
D． b c b c
C．
D．|3x＋2|
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平方根有意义的条件以及绝对值有意义的条件进而分析求出即可．
【详解】
A.x 可以取全体实数，不符合题意;
B.
≥0, 不符合题意;
C.
>0, 符合题意;
D. |3x＋2|≥0, 不符合题意.
故选 C.
【点睛】
本题考查了平方根和绝对值有意义的条件，正确把握平方根和绝对值有意义的条件是解题
n ；然后把 n 的值代入进行计算即可得解． 2
【详解】
解： a1 0 ，
a2 | a1 1| 0 1 1，
a3 | a2 2 | 1 2 1，
a4 | a3 3| 1 3 2 ，
a5 | a4 4 | 2 4 2，
……
∴n 是奇数时，结果等于 n 1 ；n 是偶数时，结果等于 n ；
关键．
11．已知 a、b、c 都是不等于 0 的数，求
a a
b b
c c
abc abc
的所有可能的值有(
)
个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
(完整版)初一数学有理数难题及答案
初一数学《有理数》拓展试题一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、设 a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则 a-b+c 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.22、有理数 a 等于它的倒数，则 a 2004 是 ---------------------------------------------------- （ ）Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数3、若ab ≠ 0 ，则 a + a 的取值不可能是-----------------------------------------------（ ）A ．0 B.1 C.2 D.－24、当ｘ＝－2 时， ax 3+ bx - 7 的值为9，则当ｘ＝2 时， ax 3 + bx - 7 的值是（ ）A 、－23B 、－17C 、23D 、175、如果有 2005 名学生排成一列，按 1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第 2005 名学生所报的数是………………………（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 6、若 |a|=4， |b|=2，且 |a+b|=a+b, 那么 a-b 的值只能是 ().A.2B. -2C. 6D.2 或 67、 x 是任意有理数，则 2|x |+x 的值( ).A.大于零B. 不大于零C. 小于零D.不小于零 8、观察这一列数： - 3 ， 5 , - 9 , 17 , - 33，依此规律下一个数是（）4 7 10 13 16A. 45 21B. 45 19C. 65 21D. 65 199、若 4x + 1表示一个整数，则整数 x 可取值共有( ).A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个10、1 -2 +3 -4 + ⋅ ⋅ ⋅ - 14 + 15- 2 + 4 - 6 + 8 - ⋅ ⋅ ⋅ + 28 - 30等于（ ） A. 1 4 B. - 1 4 C. 12D. - 12二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）11.请将 3，4，－6，10 这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为 24 的算式（每个数有且只能用一次）；bba ab b cc∑ 53 3 ⎭⎝12. (－3)2013×( － 1)2014=；313.若|x-y+3|+ (x +y - 2013)2=0，则 2x =.x - y14. 北京到兰州的铁路之间有 25 个站台（含北京和兰州），设制种票才能满足票务需求.15. 设a , b , c 为有理数，则由+ + 构成的各种数值是16. 设有理数 a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则 │b -a│+│a+c│+│c -b │=_；17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64，,216；18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表 100示为 n ，这里“∑ ”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从 1 开始的 100 以内 n =150的连续奇数的和）可表示为∑(2n -1); 又如“13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 +103 ”10n =1可表示为∑ n 3 ，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：n =1（1）2+4+6+8+10+…+100（即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算： ∑(n 2 -1) =（填写最后的计算结果）。
专题124 有理数的混合运算(拓展提高)(解析版)
专题1.24 有理数的混合运算（拓展提高）一、单选题1．要使算式﹣34□（23﹣（﹣2）3）的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是（）A．+ B．﹣C．×D．÷【答案】D【分析】分别进行加减乘除的运算，根据结果的大小判断即可．【详解】解：﹣34+（23﹣（﹣2）3）=﹣81+16=﹣65，﹣34﹣（23﹣（﹣2）3）=﹣81﹣16=﹣97，﹣34×（23﹣（﹣2）3）=﹣81×16=﹣1296，﹣34÷（23﹣（﹣2）3）=﹣81÷16=81 16 -，∵﹣1296＜﹣97＜﹣65＜81 16 -，∴要使算式﹣34□（23﹣（﹣2）3）的计算结果最大，在“□”里填入的运算符号应是÷号，故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的运算法则是解答的关键．2．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1所示，仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为（）A．a＋60 B．a＋50 C．a＋40 D．a＋30【答案】B【分析】观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解．设这个两位数的十位数字为b，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用a表示出b，然后写出即可．【详解】解：设这个两位数的十位数字为b，由题意得，2ab＝10a，解得b＝5，所以，这个两位数是10×5＋a ＝a ＋50. 故选B ．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键．3．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 是奇数时，()31F n n =+；当n 为偶数时，()2knF n =（其中k 是使2kn=为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行．例如，取24n =，则：若13n =，则第2018次“F 运算”的结果是（ ）A ．1B ．4C ．2018D ．20184【答案】A【分析】计算出13n =时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若13n =， 第1次结果为：3140n +=， 第2次结果是：34052=， 第3次结果为：3116n +=， 第4次结果为：41612=， 第5次结果为：4， 第6次结果为：1，⋯可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4， 而2018次是偶数，因此最后结果是1． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了数字的变化类，能根据所给条件得出13n =时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．4．已知,a b 为有理数，下列说法： ①若,a b 互为相反数，则=-b a ；②若0,0a b ab +<>，则|34|34a b a b +=-+；③若||0a b a b -+-=，则b a >； ④若||||a b >，则()()a b a b +-是正数． 其中正确的有（ ）个． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①根据相反数的性质判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a 与b 都为负数，即3a +4b 小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由a -b 的绝对值等于它的相反数，得到a -b 为非正数，得到a 与b 的大小，即可作出判断；④由a 绝对值大于b 绝对值，分情况讨论，即可作出判断．【详解】解：①a 与b 互为相反数，则b =-a ，本选项正确； ②由a +b ＜0，ab ＞0，得到a 与b 同时为负数，即3a +4b ＜0， ∴|3a +4b |=-3a -4b ，本选项错误； ③∵|a -b |+a -b =0，即|a -b |=-（a -b ）， ∴a -b ≤0，即a ≤b ，本选项错误； ④若|a |＞|b |，当a ＞0，b ＞0时，可得a ＞b ，即a -b ＞0，a +b ＞0，∴（a +b ）•（a -b ）为正数； 当a ＞0，b ＜0时，a -b ＞0，a +b ＞0，∴（a +b ）•（a -b ）为正数； 当a ＜0，b ＞0时，a -b ＜0，a +b ＜0，∴（a +b ）•（a -b ）为正数； 当a ＜0，b ＜0时，a -b ＜0，a +b ＜0，∴（a +b ）•（a -b ）为正数， 本选项正确， 则其中正确的有2个． 故选：B ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．5．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，十进制中261610=+，用十六进制表示为1A ：用十六进制表示：1D F C +=，19F A -=，则A E ⨯，用A E ⨯十六进制可表示为（ ）A ．8CB ．140C ．32D ．EO【答案】A【分析】根据表格对应数据，先把16进制转换成十进制求结果，再把结果转换成十六进制，即可求出答案． 【详解】解：∵A=10，E=14 ∴A×E=10×14=140 ∴140÷16=8⋯⋯12 ∵C=12 ∴A×E=8C 故答案选A ．【点睛】本题主要考察了不同进制之间的转化，把我们陌生十六进制转换成我们熟悉的十进制去计算是解题关键．6．已知12320,,,x x x x ⋅⋅⋅都是不等于0的有理数，若111x y x =，则1y 等于1或1-；若12212x x y x x =+，则2y 等于2或2-或0；若320122012320x x x x y x x x x =+++⋅⋅⋅+，则20y 所有可能等于的值的绝对值之和等于（ ） A ．0 B ．110C ．210D ．220【答案】D【分析】根据绝对值的意义，推理出y 20的所有可能的取值，从而计算绝对值之和即可． 【详解】解：若111x y x =，则1y 等于1或-1；若12212x x y x x =+，则2y 等于2或2-或0；…320122012320x x x x y x x x x =+++⋅⋅⋅+， 若y 20中有20项为1，0项为-1，则y 20=20， 若y 20中有19项为1，1项为-1，则y 20=18， … 以此类推，若y 20中有0项为1，20项为-1，则y 20=-20，∴y 20的所有可能的取值为-20，-18，…，0，…，18，20，则y 20的这些所有的不同的值的绝对值的和等于0+（2+4+…+20）×2=220， 故选D ．【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的混合运算，发现规律是解题关键．二、填空题7．计算：31202052-⎛⎫---= ⎪⎝⎭___________．【答案】2【分析】先分别利用负整数指数幂、零指数幂的运算法则及绝对值的意义进行计算，再进行加减法运算即可解答．【详解】解：301202052-⎛⎫--- ⎪⎝⎭815=-- 2=．故答案为：2．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握负整数指数幂及零指数幂的运算法则是解题的关键． 8．现在给出1、2、3、…、100这100个数，请在他们的前面添加“+”或“﹣”，运算结果能为0吗？___．（填“能”或“不能”） 【答案】能【分析】前50个数中奇数前添加“＋”号，偶数前添加“−”号，后50个数中奇数前添加“−”号，偶数前添加“＋”号，结论可得．【详解】解：1−2＋3−4＋•••＋49−50−51＋52−53＋54−•••−99＋100 ＝()()()2512344950--⋅⋅⋅-个＋＋＋+259(5152535491)()()00--⋅⋅⋅-个＋＋＋＋＋＋＝（−1）×25＋1×25 ＝−25＋25 ＝0．故答案为：能．【点睛】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，应用数字的规律是解题的关键． 9．母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为_______． 【答案】1，4，6（答案不唯一）【分析】根据题意，首先买最贵的花，数量由大到小，依此类推，凑成总钱数是50元，直到1枝为止，必须买三种花配成花束，每种花至少买一支，计算出设计的方案买的花的总价刚好是50元即可． 【详解】∵12×1+5×4+3×6=50， ∴可买百合1支、玫瑰4支、康乃馨6支，故答案为：1，4，6．（本题答案不唯一，符合要求即可）【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解决本题时要注意本题答案不唯一，符合要求即可．10．按规律排列的一列数：12-，25，38-，411，514-，…，则第2021个数是______．【答案】20216062-【分析】结合题意，根据含乘方的有理数混合运算、数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】第1个数为：()()11122111-=-⨯⨯+-， 第2个数为：()()222=1522+21-⨯⨯-，第3个数为：()()()333182331-=-⨯⨯+-， 第4个数为：()()()4412441411=-⨯⨯+-，第5个数为：()()()5551142551-=-⨯⨯+-…第n 个数为：()()()121nnn n -⨯⨯+-第2021个数为：()()()202120212021122021202116062-⨯=-⨯+-故答案为：20216062-． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算、数字规律的性质，从而完成求解．11．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，则（a +b ）2019+（cd ）2020+（a b）2021的值为_____． 【答案】0【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，可以得到a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1，从而可以计算出所求式子的值．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0， ∴a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1，∴（a +b ）2019+（cd ）2020+（a b）2021 ＝02019+12020+（﹣1）2021 ＝0+1+（﹣1） ＝0， 故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．12．将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一个记号，每4cm 也作一个记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子一共被剪成____________段． 【答案】36【分析】先求出每3厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数． 【详解】∵绳子长72cm ，∴每3cm 作一记号，可以把绳子平均分成72÷3=24（段），可以做24-1=23个记号， 每4cm 也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4=18（段），可以做18-1=17个记号， ∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有72÷12=6（段），重复的有6-1=5个记号， ∴有记号的地方共有23+17-5=35，∴这段绳子共被剪成的段数为35+1=36（段）， 故答案为：36．【点睛】此题主要考查了线段，有理数的混合计算，先由3厘米，4厘米的最小公倍数得到重复标记的个数，再根据植树问题中两端都不栽时植树棵树=间隔数-1求出一共剪成的段数，然后找出剪成1厘米的小段是长度的几分之几，进而求解．13．如果有理数a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是倒数等于它本身的数，那么式子2a b c d -+-的值是___________．【答案】1【分析】先根据题意确定a 、b 、c 、d 的值，再把它们的值代入代数式求值即可．【详解】解：∵a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是倒数等于它本身的数， ∴a=1，b=-1，c=0，d=±1，∴原式=a-b+c 2-|d|=1-（-1）+02-|±1|=2-1=1． 故答案为：1．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是能由语言叙述求出字母的数值，再代入代数式求值． 14．设2222222212233420192020 (12233420192020)A ++++=++++⨯⨯⨯⨯，则A 的整数部分为_________． 【答案】4038【分析】将原式拆开，同分母分数结合相加，即可得到结果． 【详解】解：2222222212233420192020 (12233420192020)A ++++=++++⨯⨯⨯⨯ =3420192020...213243202020191223++++++++=4201820202019 (12233201920192020)2132⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =2019222 (22020)+++++（2019个2相加）=201940382020∴A 的整数部分为4038．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题 15．计算（1）5116()()()6767+-+-+-；（2）（﹣20）﹣（﹣18）+（﹣14）﹣13；（3）111(8)()842-⨯-+；（4）（﹣8）×（﹣43）×（﹣0.125）×54．【答案】（1）﹣13；（2）﹣29；（3）﹣3；（4）﹣53【分析】（1）原式化简后，相加即可求出值； （2）原式利用减法法则变形，计算即可求出值； （3）原式利用乘法分配律计算即可求出值； （4）原式结合后，相乘即可求出值． 【详解】解：(1)原式＝56﹣16﹣17﹣67＝23﹣1 ＝﹣13；（2）原式＝﹣20+18﹣14﹣13 ＝﹣47+18 ＝﹣29；（3）原式＝﹣8×18﹣8×（﹣14）﹣8×12＝﹣1+2﹣4 ＝﹣3；（4）原式＝﹣8×0.125×43×54 ＝﹣53．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练运用有理数运算法则和运算律进行计算． 16．如果,a b 是任意2个数，定义运算⊗如下（其余符号意义如常）：b a b a ⊗=，例如331112328,3228⎛⎫⊗==⊗== ⎪⎝⎭；求[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗的值．【答案】1【分析】首先认真分析理解规则，根据b a b a ⊗=代入数值计算即可． 【详解】解：∵b a b a ⊗=， ∴[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗=32[(2)(3)]2014-+-⊗ =()892014-+⊗ =20141 =1【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题的关键是读懂新规定，按照规定的规律进行计算． 17．下表记录的是黑河今年某一周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）（1）本周最高水位是 米，最低水位是 米；（2）与上周末相比，本周末河流的水位是 ．（填“上升了”或“下降了”）（3）由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到16.8米时，就要开闸泄洪，请你计算一下，再经过多少个小时工作人员就需要开闸泄洪？【答案】（1）16.1，15.2；（2）上升了0.4m ；（3）再经过28个小时工作人员就需要开闸泄洪 【分析】（1）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的减法，可得答案； （3）根据水位差除以上升的速度，可得答案．【详解】解：（1）周一：15+0.2＝15.2（m ），周二：15.2+0.8＝16（m ），周三：16﹣0.4＝15.6（m ），周四：15.6+0.2＝15.8（m ），周五：15.8+0.3＝16.1（m ），周六：16.1﹣0.5＝15.6（m ），周日：15.6﹣0.2＝15.4（m ）， 周五水位最高是16.1m ，周一水位最低是15.2m ． 故答案为：16.1；15.2； （2）15.4﹣15＝0.4m ， 和上周末相比水位上升了0.4m ， 故答案为：上升了0.4m ；（3）（16.8﹣15.4）÷0.05＝28（小时），答：再经过28个小时工作人员就需要开闸泄洪．【点睛】本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键．18．某检测小组乘汽车检修供电线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发进行检修到收工时，所+-+-+---，问：走路程（单位：km）为：22,3,4,8,17,2,3,5（1）收工时在A地的哪一个方向？距A地有多远？（2）若每千米耗油4升，这一天检修中共耗油多少升？【答案】（1）东边22千米处；（2）256升【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得总耗油量．【详解】解：（1）+22+（-3）+4+（-8）+17+（-2）+（-3）+（-5）=43-21=+22，答：问收工时在A地东边22千米处；（2）（22+3+4+8+17+2+3+5）×4=64×4=256（升），答：从A地出发到收工共耗油256升．【点睛】本题考查了正数和负数，注意无论向哪行驶都耗油，计算时要加每次行驶的绝对值．19．某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，+--+-+--+-+．行程记录如下（单位：米）150,32,43,205,30,25,20,5,30,25,75（1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？（2）登山时，5名队员在进行全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共使用了氧气多少升？【答案】（1）没有，离顶峰还有170米；（2）128升【分析】（1）约定前进为正，后退为负，依题意列式求出和，再与500比较即可；（2）要消耗的氧气，需求他共走了多少路程，这与方向无关．【详解】解：（1）根据题意得：150-32-43+205-30+25-20-5+30-25+75=330米，500-330=170米．∴他们没能最终登上顶峰，离顶峰还有170米；（2）根据题意得：150+32+43+205+30+25+20+5+30+25+75=640米，640×0.04×5=128升．∴他们共使用了氧气128升．【点睛】此题不但考查了正数和负数在实际生活中的应用，而且用到了有理数的加法，需同学们熟练掌握．20．观察与思考：我们知道，(1)1232n n n +++++=，那么3333123n ++++结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：......（1）推算：3333312345++++=___________2；（2）概括：3333123n ++++=___________；（3）拓展应用：求3333123100123100++++++++的值． 【答案】（1）15；（2）2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）5050 【分析】（1）由前四个图可以直接推出．（2）由（1）分析可知，第n 个算式=（1+2+3+…+n ）2=2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）由（2）可知，13+23+33+…+1003=（1+2+3+…+100）2=2100(1001)2+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，进而求出这个算式的和． 【详解】（1）∵13=12，13+23=32=（1+2）2，13+23+33=62=（1+2+3）2，13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2，∴13+23+33+43+53==（1+2+3+4+5）2=152；故答案为：15；（2）由（1）可知，13+23+33+…+n 3=（1+2+3+…+n ）2=2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：2 (1)2n n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）23333100(1001)1231002100(1001)1231002+⎡⎤⎢⎥+++⎣⎦=++++250505050=5050=【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键．。
初中数学有理数难题汇编附答案
初中数学有理数难题汇编附答案一、选择题1．下列语句正确的是（ ）A ．近似数0．010精确到百分位B ．｜x-y ｜=｜y-x ｜C ．如果两个角互补，那么一个是锐角，一个是钝角D ．若线段AP=BP ，则P 一定是AB 中点【答案】B【解析】【分析】A 中,近似数精确位数是看小数点后最后一位;B 中,相反数的绝对值相等;C 中,互补性质的考查;D 中,点P 若不在直线AB 上则不成立【详解】A 中,小数点最后一位是千分位,故精确到千分位,错误;B 中,x －y 与y －x 互为相反数,相反数的绝对值相等,正确；C 中，若两个角都是直角，也互补，错误；D 中，若点P 不在AB 这条直线上，则不成立，错误故选：B【点睛】概念的考查，此类题型，若能够举出反例来，则这个选项是错误的2．已知实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，且a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为，f 的算术平方根是8，求2125c d ab e ++++( )A ．92B ．92C ．92+92-D ．132 【答案】D【解析】【分析】 根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d ，ab 及e 的值，代入计算即可．【详解】由题意可知：ab=1，c+d=0，=e f=64，∴222e =±=（4=，∴2125c d ab e ++++=11024622+++=； 故答案为：D此题考查了实数的运算，算术平方根，绝对值，相反数以及倒数和立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．若︱2a ︱＝－2a ，则a 一定是( )A ．正数B ．负数C ．正数或零D ．负数或零【答案】D【解析】试题分析：根据绝对值的意义，一个正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值是其相反数，可知a 一定是一个负数或0.故选D4．有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．a b >B ．a c a c -=-C ．a b c -<-<D ．b c b c +=+【答案】D【解析】【分析】根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，再逐个判断即可．【详解】从数轴可知：a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |．A ．a ＜b ，故本选项错误；B ．|a ﹣c |=c ﹣a ，故本选项错误；C ．﹣a ＞﹣b ，故本选项错误；D ．|b +c |=b +c ，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，解答此题的关键是能根据数轴得出a ＜b ＜0＜c ，|b |＜|a |，|b |＜|c |，用了数形结合思想．5．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．13【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B ．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.6．如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿数轴做如下移动，第一次将点A 向左移动3个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点A 3，…按照这种移动规律进行下去，第51次移动到点51A ，那么点A 51所表示的数为（ ）A ．﹣74B ．﹣77C ．﹣80D ．﹣83 【答案】B【解析】【分析】序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少3 ，序号为偶数的点在点A 的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答．【详解】解：第一次点A 向左移动3个单位长度至点1A ,则1A 表示的数，1−3=−2；第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点2A ,则2A 表示的数为−2+6=4；第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点3A ,则3A 表示的数为4−9=−5；第4次从点A 3向右移动12个单位长度至点4A ,则4A 表示的数为−5+12=7；第5次从点A 4向左移动15个单位长度至点5A ,则5A 表示的数为7−15=−8；…；则点51A 表示：()()511312631781772+⨯-+=⨯-+=-+=-， 故选B ．7．下列各数中，比-4小的数是（ ）A ． 2.5-B ．5-C ．0D ．2【答案】B【解析】【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．【详解】∵0>−4，2>−4，−5<−4，−2.5>−4，∴比−4小的数是−5，【点睛】本题考查了有理数大小比较，解题的关键是熟练的掌握有理数的大小比较法则.8．如果x 取任意实数，那么以下式子中一定表示正实数的是( )A ．xB ．C ．D ．|3x ＋2| 【答案】C【解析】【分析】利用平方根有意义的条件以及绝对值有意义的条件进而分析求出即可．【详解】A.x 可以取全体实数，不符合题意;B.≥0, 不符合题意; C.>0, 符合题意; D. |3x ＋2|≥0, 不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了平方根和绝对值有意义的条件，正确把握平方根和绝对值有意义的条件是解题关键．9．若2(1)210x y -++=，则x +y 的值为（ ）．A ．12B ．12-C ．32D ．32- 【答案】A【解析】解：由题意得：x -1=0，2y +1=0，解得：x =1，y =12-，∴x +y =11122-=．故选A ． 点睛：本题考查了非负数的性质．几个非负数的和为0，则每个非负数都为0． 10．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005B ．2006C ．2007D ．2008【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值．【详解】∵a-2007≥0，∴20062007a a a -+-=可化为a 2006a 2007a -+-=，∴20072006a -=，∴a-2007=20062，∴22006a -=2007．故选C ．【点睛】本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键．11．下列命题中，真命题的个数有（ ）①带根号的数都是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根； ④有且只有一条直线与已知直线垂直A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；12．已知直角三角形两边长x 、y 满足224(2)10x y -+--=，则第三边长为 （ ） A ． B ．13 C ．5或13 D ．513【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵|x 2-4|≥02(2)1y --，∴x 2-4=0，2(2)1y --=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，分3种情况解答：①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，22222+=②当2，3222313+=③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，22325-=．考点：1．非负数的性质；2．勾股定理．13．方程|2x+1|=7的解是（ ）A ．x=3B ．x=3或x=﹣3C ．x=3或x=﹣4D ．x=﹣4【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的意义，将原方程转化为两个一元一次方程后求解．【详解】 解：由绝对值的意义，把方程217x ＋＝变形为： 2x ＋1＝7或2x ＋1＝－7，解得x ＝3或x ＝－4故选C ．【点睛】本题考查了绝对值的意义和一元一次方程的解法，对含绝对值的方程，一般是根据绝对值的意义，去除绝对值后再解方程．14．下列各组数中互为相反数的是（ ）A ．5B ．-和(-C ．D ．﹣5和15 【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数以及绝对值、立方根的定义分别分析得出答案．【详解】解：A 、5，两数相等，故此选项错误；B 、和-（）互为相反数，故此选项正确；C 、=-2，两数相等，故此选项错误；D 、-5和15，不互为相反数，故此选项错误． 故选B ．【点睛】 本题考查了相反数以及绝对值、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．15．若30,a -=则+a b 的值是（ ）A ．2B 、1C 、0D 、1-【解析】试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B ． 考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．16．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点()1,1；第二次接着运动到点()2,0；第三次接着运动到点()3,2，按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点P 的坐标为（ ）A ．()2019,0B ．()2019,1C ．()2019,2D ．()2020,0【答案】C【解析】【分析】 分析点P 的运动规律，找到循环次数即可．【详解】解：从图象可以发现，点P 的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位． ∴2019=4×504+3， 当第504循环结束时，点P 位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2），故选：C ．【点睛】本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．17．-14的绝对值是（ ） A ．-4B ．14C ．4D ．0.4【答案】B【解析】【分析】直接用绝对值的意义求解.【详解】 −14的绝对值是14． 故选B ．此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．18．有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）A ．0a b +=B ．0a b ->C ．0ab >D ．b a <【答案】D【解析】【分析】由图可判断a 、b 的正负性，a 、b 的绝对值的大小，即可解答．【详解】根据数轴可知：-2＜a ＜-1，0＜b ＜1，∴a+b ＜0，|a|＞|b|，ab ＜0，a-b ＜0．所以只有选项D 成立．故选：D ．【点睛】此题考查了数轴的有关知识，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数．19．已知a ，b ，c 是有理数，当0a b c ++=，0abc <时，求a b c b c a c a b +-+++的值为（ ）A ．1或-3B ．1，-1或-3C ．-1或3D ．1，-1，3或-3 【答案】A【解析】【分析】根据0a b c ++=，0abc <，可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数，把0a b c ++=变形代入代数式求值即可．【详解】解：∵0a b c ++=，∴b c a +=-、a c b +=-、a b c +=-，∵0abc <，∴a 、b 、c 三数中有2个正数、1个负数， 则a b c a b c b c a c a b a b c+-=+-+++---， 若a 为负数，则原式=1-1+1=1，若b为负数，则原式=-1+1+1=1，若c为负数，则原式=-1-1-1=-3，所以答案为1或-3．故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，难点在于判断出负数的个数．20．数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、1，且|a﹣1|+|b﹣1|＝|a﹣b|，则下列选项中，满足A、B、C三点位置关系的数轴为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义，在四个答案中分别去掉绝对值进行化简，等式成立的即为答案；【详解】A中a＜1＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+b﹣1＝b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴A正确；B中a＜b＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝b﹣a，∴B不正确；C中b＜a＜1，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝1﹣a+1﹣b＝2﹣b﹣a，|a﹣b|＝a﹣b，∴C不正确；D中1＜a＜b，∴|a﹣1|+|b﹣1|＝a﹣1+b﹣1＝﹣2+b+a，|a﹣b|＝b﹣a，∴D不正确；故选：A．【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义；熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．。
语法知识—有理数的难题汇编及答案解析
一、填空题1．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简|a|﹣|b﹣a|+|c﹣a|＝_____．2．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a + b + c等于____________．3．数轴上有三个点A、B、C，且A、B两点之间的距离是3，B、C两点之间的距离是2，若A点表示的数是﹣1，则点C表示的数中小于4的数是_____．4．一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起（如图），小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为_____．5．绝对值不大于3的非负整数有__________个.二、解答题6．某公路检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修路面，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）：-5，-3，+6，-7，+9，+8，+4，-2.(1)求收工时距A地多远；(2)距A地最远的距离是多少千米？(3)若每千米耗油0.2升，问这个小组从出发到收工共耗油多少升？7．若一数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴．如图，已知一魔幻数轴上有A，O，B三点，其中A，O对应的数分别为﹣10，0，AB为47个单位长度，甲，乙分别从A，O两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，甲的速度为3个单位/秒，乙的速度为1个单位/秒，甲到达点B后以当时速度立即返回，当甲回到点A 时，甲、乙同时停止运动．问：（1）点B对应的数为，甲出发秒后追上乙（即第一次相遇）（2）当甲到达点B立即返回后第二次与乙相遇，求出相遇点在数轴上表示的数是多少？（3）甲、乙同时出发多少秒后，二者相距2个单位长度？（请直接写出答案）8．体育课上全班女生进行了100m测试，达标成绩为18s．下面是第一小组6名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18s，“﹣”表示成绩小于18s．﹣0.5，+0.8，0，﹣0.8，﹣0.1，﹣1.2（1）求这个小组女生的100m测试达标率（精确到0.1%）；（2）求这个小组最好成绩与最差成绩的差距；（3）求这个小组女生100m测试的平均成绩．9．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：（1）在数轴标出表示||a ，b -的点的位置，并用“<”将0，c ，||a ，b -连接起来； （2）化简|||2||||2|+------a b b a c c ．10．已知：在纸面上有一数轴，如图所示，点O 为原点，点A 1、A 2、A 3、…分别表示有理数1、2、3、…，点B 1、B 2、B 3、…分别表示有理数﹣1、﹣2、﹣3、…．（1）折叠纸面：①若点A 1与点B 1重合，则点B 2与点 重合；②若点B 1与点A 2重合，则点A 5与有理数 对应的点重合；③若点B 1与A 3重合，当数轴上的M 、N （M 在N 的左侧）两点之间的距离为9，且M 、N 两点经折叠后重合时，则M 、N 两点表示的有理数分别是 ， ； （2）拓展思考：点A 在数轴上表示的有理数为a ，用|a |表示点A 到原点O 的距离． ①|a ﹣1|是表示点A 到点 的距离； ②若|a ﹣1|＝3，则有理数a ＝ ； ③若|a ﹣1|+|a +2|＝5，则有理数a ＝ ．11．已知a ，b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是最小的正整数．求：2019a b+﹣cd+m 的值．12．已知a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示，（1）化简：2|b ﹣c |﹣|b +c |+|a ﹣c |﹣|a ﹣b |；（2）若（c +4）2与|a +c +10|互为相反数，且b ＝|a ﹣c |，求（1）中式子的值． 13．如图，在数轴上，点,A B 分别表示数1、23x -+.（1）求x 的取值范围；（2）试判断数轴上表示数2x -+的点落在“点A 的左边”、“线段AB 上”还是“点B 的右边”？并说明理由.三、1314．若方程组3232329x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则m 的值为（ ）A ．-1B ．2C ．-2D ．1 15．一个数的相反数与该数的倒数的和等于0，则这个数的绝对值等于( )A ．2B ．-2C ．1D ．-116．若|m|＝5，|n|＝7，m+n ＜0，则m ﹣n 的值是( ) A ．﹣12或﹣2B ．﹣2或12C ．12或2D ．2或﹣1217．在23| 3.5|3,05⎛⎫---- ⎪⎝⎭、、中，最小的数是（ ）A ．3B ．﹣|﹣3.5|C ．235⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．018．若|a |＝8，|b |＝5，ab ＜0，旦a +b ＞0，则a ﹣b 的值是（ ） A ．13B ．﹣13C ．﹣3D ．13或﹣319．下列说法正确的是（ ）A ．0是最小的整数B ．若a b =，则a b =C ．互为相反数的两数之和为零D ．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远 20．若||7a =，b 的相反数是-1，则a+b 的值是( ) A ．6B ．8C ．6或-8D ．-6或821．已知ab ＜0，则2a b -化简后为：（ ） A ．--a bB ．a b -C ．a bD ．-a b22．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四点，其中表示互为相反数的点是（ ）A ．点A 和BB ．点B 和CC ．点C 和DD ．点A 和D23．已知点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，BC ＝1，OA ＝OB ．若点C 所表示的数为a ，则点A 所表示的数为( )A ．－a －1B ．－a ＋1C ．a ＋1D ．a －124．点A 在数轴上距原点5个单位长度，将A 点先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，此时A 点所表示的数是（ ） A ．-1 B ．9 C ．-1或9 D ．1或9 25．如果||a a =-，下列成立的是（ ）A ．0a >B ．0a <C ．0a ≥D ．0a ≤【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．a ﹣b ﹣c 【分析】根据数轴上点的位置判断出ab ﹣a 及c ﹣a 的正负利用绝对值的代数意义化简去括号合并即可得到结果【详解】解：由数轴得：c＜a＜0b＞0∴b﹣a＞0c﹣a＜0∴|a|﹣|b﹣a|+|c﹣解析：a﹣b﹣c【分析】根据数轴上点的位置判断出a，b﹣a及c﹣a的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，∴b﹣a＞0，c﹣a＜0，∴|a|﹣|b﹣a|+|c﹣a|＝﹣a﹣b+a+a﹣c＝a﹣b﹣c，故答案为：a﹣b﹣c．【点睛】此题考查的是去绝对值化简,掌握绝对值的性质和利用数轴判断符号是解决此题的关键. 2．0【分析】根据a是最小的正整数b是最大的负整数c是绝对值最小的有理数得出abc的值代入即可得出结论【详解】依题意得：a=1b=﹣1c=0∴a+b+c=1+（﹣1）+0=0故答案为0【点睛】本题考查了解析：0【分析】根据a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，得出a，b，c的值，代入即可得出结论．【详解】依题意得：a=1，b=﹣1，c=0，∴a+b+c=1+（﹣1）+0=0．故答案为0．【点睛】本题考查了正整数、负整数的概念和绝对值的性质．熟练掌握有关概念是解答本题的关键．3．0或﹣2或﹣6【分析】根据数轴的性质分类讨论求解即可【详解】解：∵AB 两点之间的距离是3A点表示的数是﹣1∴B点表示的数是﹣4或2①当B点表示的数是﹣4时∵BC两点之间的距离是2∴C点表示的数是﹣6解析：0或﹣2或﹣6．【分析】根据数轴的性质分类讨论求解即可．【详解】解：∵A、B两点之间的距离是3，A点表示的数是﹣1，∴B点表示的数是﹣4或2，①当B点表示的数是﹣4时，∵B、C两点之间的距离是2，∴C点表示的数是﹣6或﹣2；②当B点表示的数是2时，∵B、C两点之间的距离是2，∴C点表示的数是0或4；则点C表示的数中小于4的数是0或﹣2或﹣6；故答案：0或﹣2或﹣6．【点睛】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系及两点的距离，熟知数轴的性质是解题关键．4．1cm【分析】由题意可求出水笔的长度再求出他的一半加上56即可解答【详解】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为56cm处另一端（B 点）正好对着直尺刻度约为206cm∴水笔的长度为206﹣5解析：1cm【分析】由题意可求出水笔的长度，再求出他的一半，加上5.6即可解答．【详解】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．∴水笔的长度为20.6﹣5.6＝15（cm），水笔的一半＝15÷2＝7.5（cm），∴水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5＝13.1（cm）．故答案是：13.1cm．【点睛】本题考查了数轴．解答此题的关键是求出水笔的长度，再求出他的一半，加上起始长度即可解答．5．4【分析】根据绝对值的意义即可求解【详解】根据绝对值的意义绝对值不大于3的非负整数有0123故答案为4【点睛】此题主要考查了绝对值关键是正确确定出符合条件的数解析：4【分析】根据绝对值的意义即可求解．【详解】根据绝对值的意义，绝对值不大于3的非负整数有0，1，2，3．故答案为4【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是正确确定出符合条件的数.二、解答题6．（1）收工时在A地的东面10千米的地方；（2）距A地的距离最远为12千米；（3）8.8升．【分析】（1）计算所有行驶记录的有理数的和，再根据正数和负数的意义解答；（2）逐次计算结果，当达到绝对值最大时即可；（3）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数．【详解】解：（1）（-5）+（-3）+6+（-7）+9+8+4+（-2）=10（千米）答：收工时在A地的东面10千米的地方；（2）第一次距A地|-5|=5千米；第二次：|-5-3|=8千米；第三次：|-5-3+6|=2千米；第四次：|-5-3+6-7|=9千米；第五次：|-5-3+6-7+9|=0千米；第六次：|-5-3+6-7+9+8|=8千米；第七次：|-5-3+6-7+9+8+4|=12千米；第八次：|-5-3+6-7+9+8+4-2|=10千米．答：距A地的距离最远为12千米；（3）|-5|+|-3|+|+6|+|-7|+|+9|+|+8|+|+4|+|-2|=44（千米），44×0.2=8.8（升），答：收工时一共需要行驶44千米，共用汽油8.8升．【点睛】本题考查正负数的意义，有理数的加法、绝对值的意义，理解正负数和绝对值的意义是解题的关键．7．（1）点B对应的数为37，甲出发5秒后追上乙（即第一次相遇）；（2）相遇点在数轴上表示的数是21；（3）甲、乙同时出发4秒或5.5秒或12.75秒或13.5秒后，二者相距2个单位长度．【分析】（1）根据两点间的距离可求点B对应的数，可设甲出发x秒后追上乙（即第一次相遇），根据速度差×时间=路程差，列出方程求解即可；（2）先求出第二次与乙相遇需要的时间，进一步可求相遇点在数轴上表示的数；（3）分第一次相遇前后相距2个单位长度，第二次相遇前后相距2个单位长度，进行讨论即可求解．【详解】解：（1）点B对应的数为：﹣10+47＝37，设甲出发x秒后追上乙（即第一次相遇），依题意有：（3﹣1）x＝10，解得：x＝5．故甲出发5秒后追上乙（即第一次相遇）；（2）﹣10+5×3＝﹣10+15＝5，37﹣5＝32，32×2÷（3×2+1×2）＝8（秒），5+1×2×8＝21．故相遇点在数轴上表示的数是：21；（3）第一次相遇前后相距2个单位长度，5﹣2÷（3﹣1）＝5﹣1＝4（秒）5+2÷（3×2﹣1×2）＝5+0.5＝5.5（秒）第二次相遇前后相距2个单位长度，5+8﹣2÷（3×2+1×2）＝12.75（秒）5+8+2÷（3+1）＝13.5（秒）故甲、乙同时出发4秒或5.5秒或12.75秒或13.5秒后，二者相距2个单位长度．【点睛】考查了一元一次方程的应用、数轴，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．8．（1）83.3%；（2）2s；（3）17.7s.【分析】（1）根据非正数是达标分数，可得达标人数，根据达标人数除以总人数，可的达标率；（2）把成绩记录中最大数减去最小数即可求解；（3）根据有有理数的加法，可得总成绩，根据总成绩除以人数，可得平均成绩．【详解】解：解：（1）因为，有5名女生的成绩小于等于18s，5÷6≈83.3%．答：这个小组女生的100m测试达标率大约是83.3%（2）0.8﹣（﹣1.2）＝2（s）．答：这个小组最好成绩与最差成绩的差距是2s；（3）因为﹣0.5+0.8+0﹣0.8﹣0.1﹣1.2＝﹣1.8所以平均成绩是（18×6﹣1.8）÷6＝17.7（s）．答：这个小组女生100m测试的平均成绩是17.7s．【点睛】本题考查了正数和负数，注意非正数是达标分数．9．(1)图见解析，0＜||a＜b-＜c，（2）-4【分析】（1）根据绝对值和相反数的意义，再根据数轴上点的位置判断大小即可；（2）判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【详解】解：（1）-＜c，由图可得：0＜||a＜b<（2）由数轴可得：b<a<0<c2a+b＜0，b-2＜0，a-c＜0，2-c＞0，a b b a c c+------|||2||||2|=-（a+b）+（b-2）+（a-c）-（2-c）=-a-b+b-2-c+a-2+c=-4．【点睛】本题考查了绝对值、数轴和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．10．(1) ①A2，②B4,③﹣3.5，5.5;(2)①A1，②﹣2或4，③﹣3或2【分析】（1）①根据中心对称，可得对称中心，根据对称中心，可得点的对应点；②根据中心对称，可得对称中心，根据对称中心，可得点的对应点；③根据中心对称，可得对称中心，根据对称中心到任意一点的距离相等，可得点的对应点；（2）①根据两点间的距离公示，可得答案；②根据数轴上到一点距离相等点有两个，位于该点的左右，可得答案；③根据解含绝对值符号的一元一次方程，可得方程的解．【详解】解：（1）折叠纸面：①若点A1与点B1重合，则点B2与点A2重合；②若点B1与点A2重合，则点A5与有理数B4对应的点重合；③若点B1与A3重合，当数轴上的M、N（M在N的左侧）两点之间的距离为9，且M、N 两点经折叠后重合时，则M、N两点表示的有理数分别是﹣3.5，5.5；（2）拓展思考：点A在数轴上表示的有理数为a，用|a|表示点A到原点O的距离．①|a﹣1|是表示点A到点A1的距离；②若|a﹣1|＝3，则有理数a＝﹣2或4；③若|a﹣1|+|a+2|＝5，则有理数a＝﹣3或 2，故答案为：A2，B4﹣3.5，5.5，A1，﹣2或4，﹣3或2．【点睛】本题考查了数轴，利用了中心对称的性质，解含绝对值符号的一元一次方程．11．0或-2.【分析】由相反数和倒数的性质可得a+b=0，cd=1，由绝对值的定义可得m的值，把a+b和cd整体代入，并把m的不同值代入即可得答案.【详解】∵a，b互为相反数，c与d互为倒数，∴a+b=0，cd=1，∵m 的绝对值是最小的正整数， ∴m=±1， 当m=1时，2019a b+﹣cd+m=0-1+1=0， 当m=-1时，2019a b+﹣cd+m=0-1+(-1)=-2. 综上，2019a b+﹣cd+m 的值为0或-2. 【点睛】此题主要考查了代数式的求值及互为相反数、互为倒数、绝对值的性质，互为相反数的两个数的和为0；互为倒数的两个数的积为1；熟练掌握相关性质是解题关键. 12．（1）2b ；（2）4； 【分析】（1）通过数轴判断a ，c ，b 的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉绝对值，最后实现化简；（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a 、b 、c 的值再计算代数式的值． 【详解】(1)观察数轴可知a<c<0<b ，且|a|>|c|>|b| ∴b−c>0，b+c<0，a−c<0，a−b<0 ∴原式=2(b−c)+(b+c)+(c−a)+(a−b)=2b 故化简结果为2b.(2)∵(c+4)2与|a+c+10|互为相反数， ∴(c+4)2+|a+c+10|=0 ∴c+4=0，a+c+10=0 ∴c=−4，a=−6 而b=|a−c|，∴b=2 ∴2b=4 故(1)式的值为4. 【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算. 13．（1）1x <；（2）表示数2x -+的点在线段AB 上.，理由见解析. 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；（2）根据不等式的性质，可得点在A 点的右边，根据作差法，可得点在B 点的左边． 【详解】（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得231x -+>解得1x <（2）由1x <，得1x ->-212x -+>-+解得21x -+>数轴上表示数2x -+的点在A 点的右边； 作差，得23(2)1x x x -+--+=-+ 由1x <，得1x ->-10x -+>23(2)0x x -+--+>∴232x x -+>-+.数轴上表示数2x -+的点在B 点的左边. 表示数2x -+的点在线段AB 上. 【点睛】此题考查数轴、不等式的性质，解题关键在于掌握不等式的性质及解不等式.三、13 14．B解析：B 【分析】利用加减消元法求出方程组的解，然后结合方程组的解互为相反数，即可求出m 的值. 【详解】 解：∵3232329x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩①②，由23⨯-⨯①②，得：4926627y y m m -=+-+， 解得：4335m y -=； 把4335m y -=代入①，解得：275m x -+=； ∵方程组的解互为相反数， ∴433+27055m m --+=， 解得：2m =； 故选择：B. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法.15．C解析：C 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数得出此数具体为何数，然后求出其绝对值即可.【详解】∵一个数的相反数与该数的倒数的和等于0，∴这个数为±1，∴|±1|=1，故选：C.【点睛】本题主要考查了相反数与倒数及绝对值相关性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.16．C解析：C【分析】根据题意，利用绝对值的意义求出m与n的值，再代入所求式子计算即可.【详解】解：∵|m|＝5，|n|＝7，且m+n＜0，∴m＝5，n＝﹣7；m＝﹣5，n＝﹣7，可得m﹣n＝12或2，则m﹣n的值是12或2.故选：C.【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义求值是关键.17．B解析：B【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：﹣|﹣3.5|＝﹣3.5，﹣（﹣325）＝3.4，∵﹣3.5＜0＜3＜3.4，∴﹣|﹣3.5|＜0＜3＜﹣（﹣325），∴在23| 3.5|35⎛⎫---- ⎪⎝⎭、、中，最小的数是﹣|﹣3.5|．故选B．【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．18．A解析：A【分析】利用绝对值的意义及ab 小于0，a +b ＞0，求出a 与b 的值，即可求出a ﹣b 的值．【详解】解：∵|a |＝8，|b |＝5，且ab ＜0，a +b ＞0，∴a ＝8，b ＝﹣5，则a ﹣b ＝13．故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值值得意义、有理数乘法、有理数的加减法，解答关键经过分类讨论，求出相应字母的值。
专题14 有理数(拓展提高)(解析版)
专题1.4 有理数（拓展提高）一、单选题1．下列说法正确的是（）A．所有的整数都是正数B．不是正数的数一定是负数C．0是最小的有理数D．整数和分数统称有理数【答案】D【分析】整数包括正整数、负整数、零；不是正数，有可能是负数和零，零既不是正数，也不是负数；有理数可这样分，正数、零、负数；有理数的概念：整数和分数统称为有理数【详解】A、负整数和0就不是正数，显然A错误；B、不是正数，有可能是零，所以B错误；C、负有理数比零小，错误；D、正确，故选D.【点睛】认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.2．在31,7π，0，0.6四个数中，有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据有理数的定义即可求解．【详解】解：在31,7π，0，0.6四个数中，317，0，0.6是有理数，共3个，故选：C．【点睛】本题考查有理数的定义，整数和分数统称为有理数．3．在﹣3，12-，0，2四个数中，是负整数的是（）A．﹣3 B．12-C．0 D．2【答案】A【分析】根据有理数的分类进行分析即可求解．【详解】解：-3是负整数，12-为负分数，0为整数，2为正整数故选：A．【点睛】本题主要考查学生有理数的分类以及各类数的概念，要求学生熟练掌握各类数的概念．4．在下列六个数中：0，2π，227-，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B 【分析】根据分数的定义解答即可．【详解】在下列六个数中：0，2π，227-，0.101001，﹣10%，5213中，分数有227-，0.101001，﹣10%共3个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟记分数的定义是解答本题的关键．5．下列说法中正确的是（ ）A ．在有理数中，零的意义仅表示没有B ．一个数不是负数就是正数C ．正有理数和负有理数组成全体有理数D ．零是整数【答案】D【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．【详解】解：A 、在有理数中，零的意义表示没有、也可以表示正数和负数的分界点，故选项错误； B 、0不是正数也不是负数，故选项错误；C 、正有理数和负有理数和0组成全体有理数，故选项错误；D 、零是整数，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．6．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day ）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．②④【答案】A 【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．【详解】解：①圆周率是一个有理数，错误；②π是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；故选：A ．【点睛】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．二、填空题7．在有理数3-，7，2，123，43-，0，0.01-，10.1%-中，属于非负数的有________个． 【答案】4【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案．【详解】解：7，2，123，0，是非负数，共4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数．8．有六个数：5，0，132，0.3-，14-，π-，其中分数有a 个，非负整数有b 个，有理数有c 个，则a b c +-=______．【答案】0【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a ，b ，c 的值，即可求解． 【详解】解：分数有132，0.3-，14-，∴3a =， 非负整数有0，5，∴2b =，有理数有5，0，132，0.3-，14-，∴5c =， ∴3250a b c +-=+-=，故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键．9．若三个互不相等的有理数，既可以表示为3，a b +，b 的形式，也可以表示为0，3a b ，a 的形式，则4a b -的值________．【答案】15【分析】根据分母不等于0，可得b≠0，进而推得a+b=0，再求出3a b =-3，解得b=-3.a=3，然后代入4a b -进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为3、a b +、b 的形式，也可以表示为0、3a b 、a 的形式∴0b ≠，∴a b +＝0， ∴3a 3b=-， ∴b ＝3-，a ＝3，∴4a b -＝123+＝15．故答案为15．【点睛】题考查了代数式求值及其有理数的相关概念，根据题意推得b≠0、 a+b=0、3a b=-3是解答本题的关键．10．（1）、字母a 没有“-”号，所以a 是正数．（_______）（2）、任何一个有理数都可以在数轴上表示出来．（_______）（3）一个数的绝对值必是正数．（_______）（4）符号不同的两个数互为相反数．（_______）（5）有理数就是自然数和负数的统称．（_______）【答案】（1）错， （2）对， （3）错， （4）错， （5）错．【分析】（1）根据0既不是正数，也不是负数，可得凡是前面没有“-”号的数不一定都是正数，据此判断即可；（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案；（3）根据绝对值的定义进行判断即可；（4）符号不同、且绝对值相等的两个数互为相反数；（5）根据有理数的定义、分类进行判断求解．【详解】解：（1）错误，比如：a=0，或a=-3时；（2）任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，所以说法正确；（3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，可得绝对值是非负数≥0，故错误；（4）只有符合不同的两个数互为相反数，故原题错误；（5）有理数就是正有理数、负有理数和零的统称，故原题错误．【点睛】本题考查有理数分类、相反数，绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．把下列各数填在相应的大括号内：－5，34-，－12，0，0.12．．，－3.14，＋1.99，＋6，227．（1）正数集合：{ …}；（2）负数集合：{ …}；（3）分数集合：{ …}；（4）非负整数集合：{ …}．【答案】（1）0.12．．，＋1.99，＋6，227；（2）－5，34-，－12，－3.14；（3）34-，0.12．．，－3.14，＋1.99，227；（4）0，＋6【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可．【详解】解：（1）正数集合：{ 0.12．．，＋1.99，＋6，227…}；（2）负数集合：{ －5，34－，－12，－3.14 …}；（3）分数集合：{34－，0.12．．，－3.14，＋1.99，227…}；（4）非负整数集合：{ 0，＋6 …}.【点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键．12．将下列各数填入相应的括号内：﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112……正数集合：{}；负数集合：{ }； 整数集合：{ }；无理数集合：{ }；【答案】正数集合：{152，8，2π}；负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}；整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}； 【分析】直接利用正数、负数、整数、无理数的定义分别分析得出答案．【详解】﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{152，8，2π}； 负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}；整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}． 故答案为：152，8，2π；﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……；0，8，﹣2；2π，﹣1.121121112……． 【点睛】本题考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题的关键．13．观察下面一列数：—1，2，—3，4，—5，6，—7，…，将这列数排成下列形式.按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是______；数—201是第______行从左边数第______个数【答案】90， 15， 5．【分析】根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数都是负数，偶数都是正数，求出第9行的最后一个数的绝对值，然后加上9即为第10行从左边数第9个数；求出与201最接近平方数为196，即可得解．【详解】∵第9行的最后一个数的绝对值为92=81，∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9=90，∵90是偶数，∴第10行从左边数第9个数是正数，为90，∵142=196，201-196=5，∴数-201是第15行从左边数起第5个数．故答案为90，15，5．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键．14． 将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，﹣9所在位置为峰2…．（1）处在峰5位置的有理数是_____；（2）2022应排在A ，B ，C ，D ，E 中_____的位置上．【答案】24 A【分析】根据图示信息找出A ，B ，C ，D ，E 各个位置数据的表达式，代入即可【详解】解：（1）观察发现：峰n 中，A 位置的绝对值可以表示为：5n ﹣3；B 位置的绝对值可以表示为：5n ﹣2；C 位置（峰顶）的绝对值可以表示为：5n ﹣1；D 位置的绝对值可以表示为：5n ；E 位置的绝对值可以表示为：5n+1；∴处在峰5位置的有理数是5×5﹣1＝24；（2）根据规律，∵2022＝5×405﹣3， ∴2022应排在A 的位置．故答案为：（1）24；（2）A ．【点睛】此题属于找规律题，考查提取信息和总结的能力．三、解答题15．下列各数填入它所在的数集中：18-，227，3.1416，0，2001，35，0.142-，95%，π． 正数集：{ …}；整数集：{ …}；自然数集：{ …}；分数集：{ …}．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类即可求出答案．【详解】解：正数集：{ 227，3.1416，2001，95%，π}整数集：{-18，0，2001 }分数集：{ 227，3.1416，35，-0.142，95% }非负整数集：{0，2001}【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：π不是有理数．16．将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-213，4.5，3.14，-1，+43，+5．【答案】见解析【分析】分别判断题干中的8个数字是否符合四个圆圈的内容，相应填入数字即可【详解】负整数，即既是负数，也是整数；正整数，即既是正数，也是整数；负分数，即既是负数，也是分数；正分数，即既是正数，也是分数；故负整数集合为：－1；正整数集合：20、+5；负分数集合为：－0.08、1 23正分数集合为：4.5、3.14、﹢4 3【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是细心，切勿遗漏或重复填写数字17．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，-3，2.4，34，0，-3.14，29，＋2，－312，－1.414，－17，23．正数：{ …}非负整数：{ …}整数：{ …}负分数：{ …}【答案】6，2.4，29，+2，23；6，0，+2；6，-3，0，+2，-17；-34，-3.14，-312，-1.414．【分析】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可的非负整数集合；根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合．【详解】正数：{6，2.4，29，+2，23…}非负整数：{6，0，+2 …}整数：{6，-3，0，+2，-17 …}负分数：{-34，-3.14，-312，-1.414 …}【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．18．把下列各数填入相应的数集中：+125、-5％、200、-3、6.8、0、－215、0.12003407、1、-43.555、77％、-334（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________【答案】（1）+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）200、1；（4）-5％、－215、-43.555、-334.【分析】根据有理数的分类，可得答案【详解】解：（1）非负数集合：+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％； （2）负有理数集合：-5％、-3、－215、-43.555、-334； （3）正整数集合：200、1；（4）负分数集合：-5％、－215、-43.555、-334. 【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．19．把下列各数填在相应的横线处：115 , 0.81 -3 25% -3.1 -4 , 171 , 0 , 3.142，，，，， 正数集合：_____；负数集合：_____；整数集合：_____；负分数集合：_____；有理数集合：_____．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类进行填空即可． 【详解】解：正数集合：115 0.81 25% 171 , 3.142，，，，； 负数集合：-3，-3.1，-4；整数集合：15，-3，-4，171，0；负分数集合：-3.1； 有理数集合：1115 0.81 -3 -3.1 -4 171 , 0 3.1424，，，，，，，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类．掌握有理数的分类是解题的关键．20．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：0.12可以写成123,0.12310025=可以写成1231000，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数2.615454542.6154••=为例，进行探索： 设 2.6154x ••=，①两边同乘以100得： 100261.54x ••=，② ②-①得：99261.54 2.61258.93x =-= 25893287799001100x ∴== 因此，••261.54是有理数．（1）直接用分数表示循环小数1.5•= （2）试说明3.1415••是一个有理数，即能用一个分数表示．【答案】（1）149；（2）见解析 【分析】（1）设 1.5x •=，两边乘10，仿照例题可解；（2）设 3.1415x ••=，两边乘100，仿照例题可化简求解．【详解】解：（1）设 1.5x •=，① 两边乘10得：1015.5x •=，② ②-①得：914x =， ∴149x =， ∴141.59•=； （2）设 3.1415x ••=，① 两边同乘以100得：••100314.15x =，② ②-①得：314.15 3.1499311.1105x ••••=-= 311011036799003300x ∴==， 因此3.1415••是有理数【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力．。
专题214 有理数的减法(拓展提高)(解析版)
专题2.14 有理数的减法（拓展提高）一、单选题1．我市冬季某一天的最高气温是5℃，最低气温是-12℃，这一天的温差为（ ）A ．7℃B ．-5℃C ．22℃D ．17℃【答案】D【分析】温差=最高温度-最低温度，列式子计算即可．【详解】∵最高气温是5℃，最低气温是-12℃，∴这一天的温差为：5-（-12）=5+12=17（℃）， 故选D ．【点睛】本题考查了了温差，实质是有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则，准确把减法转化为加法是解题的关键．2．如图，有理数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则-a b 的结果是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】A 【分析】先确定出a 、b 表示的数，然后依据有理数的运算法则进行判断即可【详解】解：根据数轴所示，a 、b 表示的数分别是-1，1，a -b =-1-1=-2，故选：A ．【点睛】本题考查了数轴的认识和有理数的减法，确定出a 、b 表示的数，依据减法法则进行计算是解题的关键．3．若||2a =，||5b =，且0a b +<，那么-a b 的值是（ ）A ．8或8-B ．2-或8-C ．3或7D ．2或2-【答案】C 【分析】先根据2a =，5b =，去绝对值符号，然后根据a+b ＜0，可分情况计算结果即可；【详解】∵ 2a =，5b =∴2a =± ，5b =±又∵ a+b ＜0，∴ a=2时，b=-5，a=-2时，b=-5，∴当a=2时，b=-5时，()25257a b -=--=+=，∴ 当a=-2时，b=-5时，()25253a b -=---=-+=，故a-b 的值为7或3；故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加减法，关键是掌握绝对值的性质．4．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则在下列结论中正确的是（ ）．A ．0a b +<B ．0a b -<C ．a b <-D ．||||a b > 【答案】B 【分析】结合题意，根据数轴的性质得：10a -<<，1b >；再根据有理数大小比较、绝对值、有理数加减的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意得：10a -<<，1b >∴211a -<-<-，011a <+<，01a <<∴10a b a +>+>，11a b a -<-<-，a b <∴a b >-，0a b -<故选：B ．【点睛】本题考查了有理数、数轴、绝对值的性质；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数大小比较、有理数加减的性质，从而完成求解．5．数轴上的某一点距离2的长度为3个单位长度，则这个点表示的数是（ ）A ．5B ．1-C ．5或1-D ．2±【答案】C【分析】分这个点在数2的右边和这个点在数2的左边两种情况，根据数轴上两点间的距离列式计算即可．【详解】解：当这个点在数2的右边时，这个点表示的数是2+3=5；当这个点在数2的左边时，这个点表示的数是2－3=﹣1；故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和有理数的加减运算，属于常考题型，正确分类、准确计算是解题关键．6．下列说法中，正确的为（ ）．A ．两数之差一定小于被减数B ．对任意有理数，若0a b +=，则a b =C ．若两个有理数的和是负数，则这两个有理数都是负数D ．0减去任何一个数，都得负数【答案】B【分析】根据有理数的加减法法则、绝对值运算逐项判断即可得．【详解】A 、两数之差不一定小于被减数，如()112--=，此项说法错误；B 、对任意有理数，若0a b +=，则a b =，此项说法正确；C 、若两个有理数的和是负数，则这两个有理数不一定都是负数，如()121+-=-，此项说法错误；D 、0减去任何一个数，不一定都得负数，如()011--=，此项说法错误；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的加减法、绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．二、填空题7．已知A ，B ，C 是数轴上的三个点，且C 在B 的左侧．点A ，B 表示的数分别是1，3，如图所示，若BC =2AB ，则点C 表示的数是___________________．【答案】-1【分析】先利用点A 、B 表示的数计算出AB ，再计算出BC ，然后计算点C 到原点的距离即可得到C 点表示的数．【详解】解：∵点A ，B 表示的数分别是1，3，∴AB =3-1=2，∵BC =2AB =4，∴OC =BC -OB =4-3=1，∵C 在B 的左侧，∴点C 表示的数是-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）8．计算：111111201820172017201620182016-+---=______． 【答案】0【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【详解】解：111111201820172017201620182016-+--- 111111201720182016201720162018=-+--+ 0=.故答案为：0.【点睛】此题考察了绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．已知|x |＝1，|y |＝3，若||x y x y +=+，则x －y ＝____【答案】-2或-4【分析】已知绝对值的意义和加法的符号规律，求得x =1，y =3或x =-1，y =3，再代入求值即可．【详解】∵|x |＝1，|y |＝3，∴x =±1，y =±3， ∵x y x y +=+，∴x +y ＞0，又∵|x |＜|y |，∴x =1，y =3或x =-1，y =3，当x =1，y =3时，x －y ＝1-3=-2；当x =-1，y =3时，x －y ＝-1-3=-4．综上，当|x |＝1，|y |＝3，而且x y x y +=+时， x －y ＝-2或-4．故答案为：-2或-4．【点睛】本题考查了绝对值的性质和意义及有理数的加减法，根据绝对值的意义和性质和有理数加法的符号规律求得x =1，y =3或x =-1，y =3是解决问题的关键．10．东京与北京的时差为1+，巴黎与北京的时差为7-．假如现在是北京时间7:00，那么东京时间是______，巴黎时间是________．【答案】8：00 0：00．【分析】由于带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，那么用北京时间+时差＝东京时间，用北京时间-时差＝巴黎时间．【详解】解：7+1＝8，所以东京时间为上午8：00．7-7=0，所以巴黎时间为凌晨0：00．故答案为：8：00；0：00．【点睛】此题主要考查了有理数加减法在实际生活中的应用，在学习这一部分内容时一定要联系实际． 11．两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上0K 点，第一步从0K 点向左跳1个单位到1K ，第二步从1K 向右跳2个单位到2K ，第三步从2K 向左跳3个单位到3K ，第四步从3K ，向右跳4个单位到4K ，…，如此跳20步，棋子落在数轴的20K 点，若20K 表示的数是16，则2019K 的值为_______．【答案】-1004【分析】根据向左减向右加可知每两步跳动向右1个单位，根据20K 表示的数是16，可得0K ，然后先得出2018K 的值，进而得出2019K 的值．【详解】解：由题意得，第一步、第二步后向右跳动1个单位，跳20步后向右20÷2=10个单位， 则K 0的值是16-10=6，因为2019÷2=1009…1，所以跳2018步时，所对应的数是1009+6=1015，跳2019步时，所对应的数是1015-2019=-1004，故答案为：-1004．【点睛】本题考查数轴上动点问题，有理数的减法的应用．解决此题的关键是理解可知每两步跳动向右1个单位．12．如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，那么金安桥站表示的数是___________．【答案】0【分析】由桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，计算出两点之间的距离为6，求出一个单位长度表示的数是2，即可得到答案．【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是4-，2，∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，∴每个单位长度表示632÷=，∴金安桥表示的数是2-2=0，故答案为：0．【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移规律，有理数的加减法计算，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．13．已知数轴上A 、B 两点所对应的数分别是1和3，P 为数轴上任意一点，对应的数为x ．（1）则A 、B 两点之间的距离为________；（2）式子|1||3||2017||2019|x x x x -+-++-+-的最小值为________．【答案】2； 510050．【分析】（1）根据两点间的距离公式解题即可；（2）由绝对值的几何意义，||x a -表示数x 到数a 的距离，要使式子取得最小值，则应找到与最小数和最大数距离相等的x 的值，即可解题．【详解】（1）A 、B 两点之间的距离为3-1=2，故答案为：2；（2）由已知条件可知，||x a -表示数x 到数a 的距离，只有当x 到1的距离等于x 到2019的距离时，式子即可取最小值，∴当1201910102x +==时，|1||3||2017||2019|x x x x -+-++-+-取最小值，最小值为：|10101||10103||10102017||10102019|-+-++-+-=1009+1007+1005+1+1++1005+1007+1009=2(1009+1007+1005+1)⨯(10091)505=22+⨯⨯ 510050=【点睛】本题考查数轴、绝对值、两点间的距离等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．14．在日常生活中，“八点五十八”通常可以说成“九点差二分”，有时这样表达更清楚，受此启发，我们设计了一种新的加减计数法．例如：6写成14，141046=-=；191写成209，2092009191=-=．按这个方法请计算：2020=______．【答案】1980【分析】观察例子找到规律，根据有理数的减法法则计算得出答案． 【详解】由例题可得2020=2000-20=1980，故答案为：1980．【点睛】此题考查有理数运算的规律，有理数的减法计算法则，读懂例题的计算方法并应用解决问题是解题的关键．三、解答题15．已知6x =，3y =（1）若x 、y 异号，直接写出x 和y 的差为_____（2）若x y <，直接写出x 与y 的和为_____【答案】（1）9±；（2）3-或9-【分析】（1）先根据绝对值的性质求出x 、y 的值，再由x 、y 异号，分类讨论x y -的值；（2）由x y <，得6x ≠，再分类讨论当=6x -时y 的值；算出+x y ．【详解】解：（1）∵6x =，3y =，∴6x =±，3=±y ，∵x 、y 异号，∴ 当=6x 时，3y =-，()=63639x y ---=+=，当6x =-时，3y =，639x y -=--=-，∴9x y -=±；故答案为：9±（2）∵ x y <，∴当=6x 时，x 不可能小于y ，不成立，当6x =-时，3y =时，+6+33x y =-=-，当6x =-时，3y =-时，+639x y =--=-，∴+x y 的值为3-或9-故答案为：3-或9-【点睛】本题考查绝对值的性质和有理数的加减运算，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数加减运算法则．16．某路公交车从起点经过A ，B ，C ，D 站到达终点，各站上下乘客的人数如下（上车为正，下车为负）：起点(20,0),(12,4),(8,9),(6,4),(2,7)A B C D ----，终点()0,____．（1）在横线上填写适当的数，并说明该数的实际意义；（2）行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？（3）若乘坐该车的票价为每人2元，则这一趟公交车能收入多少钱？【答案】（1）−24；（2）公交车行驶在C 站和D 站之间车上的乘客最多；（3）96【分析】（1）根据正负数的意义，利用有理数的加法法则计算即可；（2）根据（1）的计算解答即可；（3）根据各站之间的人数，乘以票价2，然后计算即可得解．【详解】解：（1）起点到A 站，车上人数：20，A 站到B 站，车上人数：20＋12−4＝28，B 站到C 站，车上人数，28＋8−9＝27，C站到D站，车上人数，27＋6−4＝29，D站到终点，29＋2−7＝24，所以，到终点下车还有24人；故答案为：−24；（2）由（1）的计算可知，公交车行驶在C站和D站之间车上的乘客最多，为29人；（3）（20＋12＋8＋6＋2）×2＝96（元）．答：这趟出车能收入96元．【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键．17．国内汽油价格每月会有两次调整，如果以今年6月底的油价为基准，涨价记为正方向，7月至10月的油价调整情况记录如下（单位：元/吨）：（1）7月至10月之间，今年_______（填时间）的调价令油价与基准价格相差最大．（2）到10月底，油价能否回到基准价格？请说明理由．【答案】（1）8月下旬；（2）不能，理由见解析【分析】（1）计算出每个时间段与基准价格的差，即可得解；（2）将表格中的数据相加，根据结果判断即可．【详解】解：（1）7月上旬与基准价格相差：+100，7月下旬与基准价格相差：+100，8月上旬与基准价格相差：+100，8月下旬与基准价格相差：+100+85=185，9月上旬与基准价格相差：185，9月下旬与基准价格相差：185-315=-130，10月上旬与基准价格相差：-130，10月下旬与基准价格相差：-130+70=-60，∴8月下旬的调价令油价与基准价格相差最大；（2）由题意可得：100+0+0+85+0-315+0+70=-60，∴到10月底，油价不能回到基准价格．【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，有理数的加法的实际应用，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．18．（1）填空：①正数：35+= ，8= ； ②负数：0.7-= ，12-= ；③零：0= ；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是 数，即0a ≥（3）请认真阅读下列材料，求2x +的最小值 解：0x ≥，∴当0x =，即0x =时，2x +的最小值是2解答下列问题 ①求2020x +的最小值；②255a --有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a 的值【答案】（1）①35，8；②0.7，12；③0；（2）非负；（3）①2020；②最大值25，a =5 【分析】（1）根据绝对值的意义即可得出答案；（2）分析（1）中的结论，即可得到（2）中的答案；（3）①要使2020x +有最小值，则需使x 最小，结合（2）中结论有0x ≥，可得出0,x =时，2020x +最小，即可得出答案； ②由50a -≥，得出当50a -=时，原式有最大值，求出a 的值，代入即可得出答案．【详解】解：（1）①正数：35+=35，8=8； ②负数：0.7-=0.7，12-=12； ③零：0=0；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是非负数，即0a ≥；（3）①0x ≥ ∴当0,x =即0x =时∴2020x +有最小值是2020②255a --有最大值． 50a -≥∴当50a -=，即50,a -=5a =时255a --有最大值25，此时a =5．【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．19．学校为了备战校园足球联赛，利用体育课让学生进行足球训练，为了训练学生快速抢断转身，体育老师设计了折返跑训练．老师在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：+40，﹣30，+45，﹣25，+25，﹣35，+15，﹣28，+16，﹣18．（1）学生最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）学生训练过程中，最远处离出发点多远？（3）学生在一组练习过程中，跑了多少米？【答案】（1）在出发点的正西方向，距出发点5米；（2）最远处离出发点55米；（3）跑了277米【分析】（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果；（2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果；（3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可．【详解】解：（1）（+40）+（﹣30）+（+45）+（﹣25）+（+25）+（﹣35）+（+15）+（﹣28）+（+16）+（﹣18）＝+5（米）．答：学生最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点5米；（2）第一段，40米，第二段，40﹣30＝10（米），第三段，10+45＝55（米），第四段，55﹣25＝30（米），第五段，30+25＝55（米），第六段，55﹣35＝20（米），第七段，20+15＝35（米），第八段，35﹣28＝7（米），第九段，7+16＝23（米），第十段，23﹣18＝5（米），故最远处离出发点55米；（3）|+40|+|﹣30|+|+45|+|﹣25|+|+25|+|﹣35|+|+15|+|﹣28|+|+16|+|﹣18|＝277（米）．答：学生在一组练习过程中，跑了277米．【点睛】此题考查有理数的加减法的实际应用，绝对值的性质，正确理解题意列式进行计算是解题的关键．20．在2020年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣10．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】（1）B地在A地的东边22千米；（2）还需补充18升汽油；（3）距A地32千米【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数，则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A 地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【详解】解：（1）∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣10＝22，∴B地在A地的东边22千米；（2）这一天走的总路程为：15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣10|＝80千米，应耗油80×0.6＝48（升），故还需补充的油量为：48﹣30＝18（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充18升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15﹣8＝7千米；7+9＝16千米；16﹣6＝10千米；10+14＝24千米；24﹣5＝19千米；19+13＝32千米；32﹣10＝22千米．∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．。
有理数拓展提优试题含答案解析
A.1《有理数》拓展提优试卷【单元综合】1.下列说法正确的个数是()①一个有理数不是整数就是分数;②无限循环小数是无理数;③一个整数不是正的，就是负的;④一个分数不是正的，就是负的.A.1B.2C.3D.42.已知n为正整数，则(-1)2n+(-1)2n+1=()A.-2B.-1C.0D.23.--16的相反数是()1B.-C.6D.-6664.下列等式成立的是()A.-8=8B.-(-1)=-1C.1÷(-3)=1D.-2⨯3=6 35.某市为了响应国家“发展低碳经济、走进低碳生活”的号召，到目前为止共有60000户家庭建立了“低碳节能减排家庭档案”，则60000用科学记数法可表示为()A.60⨯104B.6⨯105C.6⨯104D.0.6⨯1066.数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的有理数:a2+b-1+b-.例如，把(3,-2)放入其中，就会得到32+(-2)-1=6.现将有理数对(-1,3)放入其中，得到有理数m，再将有理数对(m,1)放入其中后，得到的有理数是()A.3B.6C.9D.127.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2017应标在()A.第504个正方形的左下角:B.第 504 个正方形的右下角C.第 505 个正方形的左上角D.第 505 个正方形的右下角 8. -0.2 的倒数的绝对值是.9. 在数轴上，大于 -2.5 且小于 3. 2 的整数有.10. 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表所示输入 … 1 2 3 4 5 …输出…1 22 53 104 175 26…那么当输入的数据是 8 时，输出的数据是.11. 如图所示，数轴的单位长度为 1， P , A, B, Q 是数轴上的 4 个点，其中点 A, B 表示的数互为相反数.（1）点 P 表示的数是，点 Q 表示的数是;（2）若点 P 向数轴的正方向运动到点 B 右侧，且以线段 BP 的长度为边长作正方形，当该正方形的周长为 12 时，点 P 在数轴上表示的数是;（3）若点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点 B 也以每秒 1 个单位长度的速度向数轴的负方向运动，且两点同时开始运动.则当运动时间为秒时，A, B两点之间的距离恰好为 1.12. 计算:2 2 2（1） -3 ⨯ (- )2 - 4 ⨯ (1- ) - 8 ÷ ( )23 3 31 5 3（2） (-8) ⨯ (- - + ) ⨯156 12 1013. 先化简，再在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接起来.1 -24- -3 ,0 2017 , -32 , -(-2)3 , +(-2 ),2 -8614. 小军在计算 (-42 ) ÷ 6 时，使用运算律解题过程如下:76 6 解： (-42 ) ÷ 6 = (-42 + ) ⨯7 7 1 1 6 1 1 6= -42 ⨯ + ⨯ = -7 + = -66 67 6 7 7他的解题过程是否正确?如果不正确，请你帮他改正.A.115.小明的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A,B,C,D，学校位于小明家西150米，邮局位于小明家东100米，图书馆位于小明家西400米.（1）用数轴表示A,B,C,D(以小明家为原点);（2）一天小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，试问这时小明约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?16.某灯具厂计划一天生产300盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入.下表是某周的生产情况(增产记为正、减产记为负):星期增减一二三四五六日+3-5-2+9-7+12-3（1）求该厂本周实际生产景观灯的盏数;（2）求产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数;（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得60元，若超额完成任务，则超过部分每盏另奖20元，若未能完成任务，则少生产一盏扣25元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元?【拓展训练】1.定义:f(a,b)=(b,a)，g(m,n)=(-m,-n)，例如f(2,3)=(3,2)，g(-1,-4)=(1,4)，则g(f(-5,6))等于()A.(-6,5)B.(-5,-6)C.(6,-5)D.(-5,6)2.一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出:第1次倒出12升水，第2次倒出的水量111111是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……按照233445这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是()111升 B.升 C.升 D.升8910113.法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算8⨯9和7⨯8的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数.若用法国的“小九九”计算7⨯9，左、右手依次伸出手指的个数是()A.2,3B.3,3C.2,4D.3,44.如图，已知在纸面上有一数轴.操作一:（1）折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-2的点与表示的点重合;操作二:（2）折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，回答下列问题:①表示5的点与表示的点重合;②若数轴上A,B两点之间的距离为9(A在B的左侧)，且折叠后A,B两点重合，则点A表示的数为，点B表示的数为.5.小明在电脑上设计了一个有理数运算程序:输入a，按*键，再输入b，得到1a*b=a-b-[2(a3-1)-]÷(a-b)的值.b1（1）求2*(-)的值;3（2）小艳在运用此程序进行计算时，屏幕显示“该程序无法操作”你猜小艳在输入数据时，可能是出现了什么情况?为什么?6.已知A,B在数轴上分别表示数a,b，给出如图所示的数轴.对照数轴填写下表:a2 b3-233-2-3A,B两点间的距离试用含a,b的式子表示A,B两点间的距离.【模拟精练】A.-2B.-11.与-2的和为0的数是()1C. D.2222.计算-3--6的结果为()A.-9B.-3C.3D.93.与a-b互为相反数的是()A.a+bB.a-bC.-b-aD.b-a4.下列式子中成立的是()A.--5>4B.-3<-3C.--4=4D.-5.5<55.下列关于1的说法中，错误的是()A.1的绝对值是1B.1的倒数是1C.1的相反数是1D.1是最小的正整数6.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中绝对值为2的数对应的点是()A.点A与点CB.点A与点DC.点B与点CD.点B与点D7.检查4个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表:篮球的编号与标准质量的差/克1+42+53-54-3则质量较好的篮球的编号是()A.1B.2C.3D.48.如图所示，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个……按此规律，则第6个图形中面积为1的正方形的个数为()A.20B.27C.35D.409.计算:(-3)⨯2+4=.10.观察给出的一列数，按某种规律填上适当的数:1,-2,4,8,,.11.在计一数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”.而计数制方法很多，如60进位制:60秒化为1分，60分化为1小时;24进位制:24小时化为1天;7进位制:7天化为1周等，而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制的比较如下表:十进位制二进位制011210311410051016110……将二进位制数10101010写成十进位制数为.12.把下列各数分别填入相应的集合里:-4,--循环),0.202200220002…（1）整数集合:{…}（2）分数集合:{…}（3）无理数集合:{…}（4）有理数集合:{…}422,0,,-3.14,2017,-(+5),0.567…(不3713.画一条数轴，并在数轴上表示:3.5和它的相反数、-12和它的倒数、绝对值等于3的数、最大的负整数和最小的正整数，并把这些数用“<”号连接起来.14.计算：（1）[-75125-+-(-)]÷18126936（2）-3-[-2-(-8)⨯(-0.125)]2（3）-22-(-2)2+(-3)2⨯(-)-42÷-4315.现有一组有规律排列的数:1,-1,2,-2,3,-3,1,-1,2,-2,3,-3，…，其中1,-1,2,-2,3,-3这六个数按此规律重复出现.问:（1）第50个数是什么?（2）把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少?（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加，若和为510，则共有多少个数的平方相加?【真题强化】1.中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收人100元记作+100，那么-80元表示()A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元2.如果a与3互为倒数，那么a是()A.-3B.3C.-11D. 333.杨梅开始采摘啦!每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图.则这4筐杨梅的总质量是()A.19.7千克B.19.9千克C.20.1千克D.20.3千克4.在实数-2，2，0，-1中，最小的数是()A.-2B.2C.0D.-15.若等式01=-1成立，则内的运算符号为()A.+B.-C.⨯D.÷6.数轴上点A,B表示的数分别是5,-3，它们之间的距离可以表示为()A.-3+5B.-3-5C.-3+5D.-3-57.下列说法正确的是()A.一个数的绝对值一定比0大B.一个数的相反数一定比它本身小C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.最小的正整数是18.如图.数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数-p2对应的点是()A.点AB.点BC.点CD.点D9.神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为()A.2.8⨯103B.28⨯103C.2.8⨯104D.0.28⨯10510.如图，四个有理数在数轴上的对应点M,P,N,Q，若点M,N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是()A.点MB.点NC.点PD.点Q11.若有理数m,n满足m-2+(n-2014)2=0，则m+n=.12.按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为.:.（2）999⨯118413.定义一种新运算x*y=x+2y2+2⨯1，如：2*1==2，则(4*2)*(-1)=. x214.观察下列各式：13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102猜想13+23+33+…+103=.15.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1，2，3，4，接着甲报5，乙报6……后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束;②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为16.计算：1-2+2⨯(-3)217.计算：-4+23+3⨯(-5)18.请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算:（1）999⨯(-15)13+999⨯(-)-999⨯18555正解: (-42 )÷6 = -7参考答案【单元综合】1.B2.C3.A4.A5.C6.C7.D8. 59. -2,-1,0,1,2,3 10.86511.(1)-4 5(2)6(3) 5 7 或2 212．(1) -2023(2)3413.在数轴上表示如下用“<”号连接为1 -24-32 < - -3 < +(-2 ) < 02017 < < -(-2)32 -8 14．不正确.6 7 15.(1)如图所示:17(2)小明从邮局出发，以每分钟 50 米的速度往图书馆方向走了约 8 分钟，走的路程约为 50×8 = 400( 米)，由图知，C,D 之间相距 500 米，此时小明在学校与图书馆之间，距图书馆约 100 米，距学校约 150 米.16. (1)(3-5-2 +9-7+12-3 ) + 300×7=2 107(盏).(2) 产 量 最 多 的 一 天 生 产 景 观 灯 300+12=312( 盏 ) ， 产 量 最 少 的 一 天 生 产 景 观 灯 300-7=293(盏)， 312-293=19(盏).产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯 19 盏(3) 2 107×60+(3+9+12)×20-(5+2+7+3)×25 = 126 475(元).该厂工人这一周的工资总额是 126 475 元.【拓展训练】1.A2.D3.C4.(1)2（4）有理数集合:{ -4, - - 422(2)①-3 ②-3. 5 5.55.(1) -42021(2)有两种可能，输入的数据有 b = 0 或 a = b 的情况，此时分母或除数为 0. 6.(1)表中从左到右依次填:1,5,3,1.对照数轴，表示 2,3 的点均在原点的右侧，距原点的距离分别为 2 = 2, 3 = 3 ，因为3 - 2 = 1 ，所以当 a = 2, b = 3 时，A,B 两点间的距离为 1.同理可求得其他对应的数值依次为 5,3,1.(2)由(1)知，11 = 3 - 2 = 2 - 3 ,5 = 3 - (-2) = -2 - 3 , 3 = 0 - 3 = 3 - 0 ,1 = -2 - (-3) = -3 - (-2) 所以用含 a, b 的式子表示 A,B 两点间的距离为 a - b 或b - a .【模拟精练】1.D2.A3.D4.B5.C6.B7.D8.B9. -210. 16 -32 11. 17012.（1）整数集合:{ -4,0,2017, -(+5), ⋅⋅⋅ }（2）分数集合:{ - - 4 ,, -3.14, ⋅⋅⋅ } 3 7（3）无理数集合:{ 0.567 ⋅⋅⋅ (不循环 ),0.2… , …}22,0, , -3.14, 2017, -(+5), …}3 713. 3. 5 的相反数是-3.5， -12的倒数是-2，绝对值等于 3 的数是+3 和-3, 最大的负整数是-1, 最小的正整数是 1.画出数轴，表示出题中各数如图所示:把这些数用“<”号连接起来为1-3.5 < -3 < -2 < -1 < - < 1 < 3 < 3.5214.(1)-3 (2)0 (3)-1815. (1)因为 50÷6 =8……2，所以第 50 个数是-1.(2)因为 2 015÷6=335……5,1+(-1) +2+(-2) +3+(-3) =0,1+(-1)+2+(-2)+3=3，所以从第1个数开始的前2015个数的和是3.(3)因为12+(-1)2+22+(-2)2+32+(-3)2=28,510÷28=18……6，且12+(-1)2+22=6,18×6+3=111，所以共有111个数的平方相加.【真题强化】1．C 2.D 3.C 4.A 5.B6.D7.D8.C9.C10.C11.201612.5513.014.55215.416.1717.-318.(1)-14985(2)99900。
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初一数学《有理数》拓展提高试题
友情提醒：试卷较难，请耐心想一想
一、 选择题（每小题3分，共30分）
1、设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a-b+c•的值为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是----------------------------------------------------（ ）
Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数
3、若0ab ≠，则a b a b
+的取值不可能是-----------------------------------------------（ ） A ．0 B.1 C.2 D.－2
4、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，37ax bx +-的值是（ ）
A 、－23
B 、－17
C 、23
D 、17
5、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是……………………… （ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ).
A.2
B. -2
C. 6
D.2或6
7、 x 是任意有理数，则2|x |+x 的值( ).
A.大于零
B. 不大于零
C. 小于零
D.不小于零
8、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316
-，依此规律下一个数是（ ） A.4521 B.4519 C.6521 D.6519
9、若1
4+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ). A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10、30
28864215144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ） A ．41 B ．41- C ．21 D ．2
1- 二、填空题（每小题4分，共32分）
11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式
（每个数有且只能用一次）_______________ ______ ； 12. (－3)2013×( －31)2014= ； 13.若|x-y+3|+()22013y x -+=0，则y
x x 2-= . 14.北京到兰州的铁路之间有25个站台（含北京和兰州），设制 种票才能满足
票务需求.
15.设c b a ,,为有理数，则由c
c b b a a ++ 构成的各种数值是 16.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，
则 │b-a │+│a+c │+│c-b•│=__ _ ；
17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64， ,216；
18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为100
1n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内
的连续奇数的和）可表示为50
1(21);n n =-∑又如“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）
用求和符号可表示为 ；
（2）计算：5
21(1)n n =-∑= （填写最后的计算结果）。
三、解答题
19、计算：⎪⎭⎫ ⎝
⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---32775.2324523（4分）
20、计算：5025249⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛- （4分）
21、已知02a 1b =-+-， 求()()()()()()2006
200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值 （7分）
22、（7分）阅读并解答问题
求2008322.......221++++的值，
解：可令S ＝2008322......221++++，
则2S ＝20094322......222++++ ，
因此2S-S ＝122009-，
所以2008322......221++++＝122009-
仿照以上推理计算出2009325......551++++的值
23. （8分）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，b a +，a 的形式，也可以表示
为0，a
b ，b 的形式，试求20012000b a +的值．
24、（8分）电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第一步从K 0向左跳1个单位到K 1，第二步
由K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K 3跳4个单位
到K 4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是20，
试求电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数。
答案
一、 选择题
1、B
2、D
3、B
4、A 5 、 A 6、D 7、D 8、D
9、D 10、D
二、填空题
11、(答案不唯一)、12、3
1- 13、670 14、702 15、1，-1,3，-3 16、-2c 17、125 18、（1）∑=50
1
n )n 2( （2）50
三、解答题
19、解：原式=15.175.56.4375.26.43
2775.23246.4-=-=--=---++ 20、解：原式=()49825005025150105025110-=--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 21、2008
2007 22、4
2152010- 23、解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，b a +，a 的形式，又可以表示为0，a
b ，b 的形式，也就是说这两个数组的元素分别对应相等．于是可以判定b a +与a 中有一个是0，b a b 与中有一个是1，但若0=a ，会使a
b 无意义，∴0≠a ，只能0=+b a ，即b a -=，于是1-=a
b ．只能是1=b ，于是a ＝－1。
∴原式＝2． 24、解： 设K0点所表示的数为x ，则K1，K2，K3，…，K100所表示的数分别为1x -，12x -+，123x -+-，…，123499100x -+-+-+. 由题意知：1234
99100x -+-+-+＝20所以x=- 30.。