一元一次方程应用之等积变形篇

等积变形篇

物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．

1.面积不变问题

例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.

例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？

2.体积不变问题

例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）

例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．

例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm、4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14,结果保留两位有效数字）

例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？

1解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的 1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积

解：设重叠部分面积为x.

根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.

解得x=1.

所以重叠部分的面积为1.

2分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．

解：设小路的总长度为x米.

根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．

所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．

3分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.

解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.

根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.

解得

π44

.

686

x. 经检验，它符合题意．

所以玻璃杯中水的高度下降了

π

44

.686mm. 4分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm 3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm 3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化． 因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x 厘米,得15×12×8=12×12×x .显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8) 平方厘米, 锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10) 平方厘米.

解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x 厘米. 根据题意，得5×12×8=12×12×x ．解得10x =． 所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：

2(121212101210) 768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）． 而锻造前的长方体钢块表面积为：

2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）

． 所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．

5分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方

体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm 指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m 是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.

解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.

根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤

4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

．

解得0.00075x ≈．

所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm ．

6解：设共做了x 张桌子.

根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100. 所以共做100张桌子.

同步练习

1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？

2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米

C．1 厘米 D． 0.5厘米

3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）

4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.

5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.