一元一次方程应用之等积变形篇

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一元一次方程的应用—等积变形和行程问题

一元一次方程的应用——等积变形和行程问题一、教学目标1.通过分析图形问题中数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力；2.理解行程问题中数量之间的关系，能根据行程问题中的数量关系建立方程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；3.通过实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学的应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.二、教学重难点1.教学重点：掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.2.教学难点：分清有关数量关系，正确找出作为列方程依据的主要等量关系.三、教学方法启发式、精讲精练四、教学过程（一）导入新课【情景引入】一支牙膏出口处直径为5mm,小明每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次。

该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口直径改为6mm,小明还是按习惯每次挤出1cm 长的牙膏，这样，这只牙膏能用多少次？（二）讲授新课1.等积变形问题例1：如图，用直径为200mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm 、300mm 和90mm 的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积高线长.计算时取3.14.要求结果误差不超过1mm ）？【想一想】问题1：题目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？已知：圆钢直径（200mm ）、长方体毛胚的长宽高（300mm 、300mm 、90mm ）未知：圆钢的高设未知数：设应截取圆钢x 毫米问题2：分析题意，你能找到什么等量关系？等量关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积问题3：如何根据等量关系“圆钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？根据等量关系列出方程，得： 200x90 3003009030030022002⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛x π 解方程，得：258≈x答：应截取258mm 长的圆柱体钢.【点拨】等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变.【归纳总结】列方程解应用题的一般步骤：1.设未知数：弄清题意和题中数量关系，用字母（如x,y)表示问题中的未知数；2.找等量关系：分析题意，找出相等关系；3.列出方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；4.解方程：解这个方程，求出未知数的值；5.检验作答：检查所得值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.2.行程问题例2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速.如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后由合肥到北京1110km 的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？【分析】行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：路程=平均速度×时间.【解答】设提速前客车平均每小时行驶xkm,那么提速后客车每小时行驶（x+40)km,客车行驶路程为1110km,平均速度为（x+40)km/h,所需时间是10h.根据题意，得10（x+40)=1110解方程，得x=71答：提速前这趟客车的平均速度为71km/h.例3 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．(1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？(2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？【归纳总结】行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间．行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析．例4：汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？【分析】本题是行程问题，故有：路程=平均速度×时间；时间=路程÷平均速度.但涉及水流速度，必须要掌握：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速.【解答】方法一：直接设元法解：设甲、乙两地的距离为x 千米，等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5方法二：间接设元法解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距离是(18－2)x千米.等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离环形跑道问题问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米，两人绕跑道同时同地相背而行，则两个人何时相遇？【当堂练习】1.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（）A.12cmB.18cmC.24cmD.30cm2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）A.12.5千米/时B.15千米/时C.17.5千米/时D.20千米/时3．一个底面直径为16厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8厘米、高为15厘米的铁质小圆柱体．当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？4.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时.已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度.（三）课堂小结（四）课后作业p1.全品作业本5354五、板书设计等积变形和行程问题列方程解应用题的一般步骤：设未知数；找等量关系；列出方程；解方程；检验作答1.等积变形问题2.行程问题。

一元一次方程的应用等积变化问题

一元一次方程的应用等积变化问题等积变化问题是一元一次方程应用题中的一种常见题型，其基本特点是涉及到体积、面积、长度等量的变化，而这种变化是等积的，即变化前后的量是相等的。

解决等积变化问题的关键在于理解“等积”的含义，即体积、面积、长度等量在变化过程中保持不变。

因此，我们需要根据题目描述，建立等量关系，然后列出方程求解。

下面是一个具体的例子：题目：有一个长方体，它的长增加了2cm，宽和高不变，体积增加了40立方厘米；宽增加了2cm，长和高不变，体积增加了60立方厘米；高增加了2cm，长和宽不变，体积增加了48立方厘米。

求原来长方体的体积是多少？解：设原长方体的长为l cm，宽为w cm，高为h cm。

根据题目描述，我们可以建立以下方程：1. 长增加2cm后，体积增加了40立方厘米：(l + 2) × w × h - l × w × h = 402. 宽增加2cm后，体积增加了60立方厘米：l × (w + 2) × h - l ×w × h = 603. 高增加2cm后，体积增加了48立方厘米：l × w × (h + 2) - l × w × h = 48将以上三个方程整理为一元一次方程组：1) (l + 2) × w × h - l × w × h = 402) l × (w + 2) × h - l × w × h = 603) l × w × (h + 2) - l × w × h = 48通过解这个方程组，我们可以得到原长方体的长、宽、高分别为：l = 5 cm, w = 4 cm, h = 3 cm。

因此，原来长方体的体积是：l × w × h = 5 × 4 × 3 = 60 立方厘米。

一元一次方程---等积变形

0.5米
0.5m 1. 5m
0.3m
0. 5m
巩固
延伸
用
方
程
解
决
问题
一只乌鸦口渴需要喝水，来到一个底面积为5平方厘米圆柱体玻璃瓶且水面只有20 厘米，要喝水需要30厘米高的水面，玻璃杯旁有堆石头，每块10克，每1立方厘米重5克，问需要多少石头乌鸦才能喝到水？
课堂小结：通过学习你这节课收获了什么？
2
C 2(a b)
S ah
你会填下表中各图形的体积公式吗？名称
正方体
图形
a
用字母表示公式
体积（V）
V a
c b
3
长方体
a
V abc
V r 2 h
1 2 V r h 3
圆柱体
r
h
圆锥体
h
r

学习目标： 1、掌握等积变形问题中常见的数量关系，并能列出方程解决问题。 2、通过解决问题进一步认识分析数量关系，列方程解决问题的一般过程。
6、答：写出答案，注意规范完整.
提升
方解问题小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个菜地（即利用墙面作为一边），使长比宽大2米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
用
程
决
墙面
x
X+2 铁线
提升
方解问题小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个菜地（即利用墙面作为一边），使长比宽大2米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
等积变形问题的一般等量关系：体积（周长）相等（不变）。
归
纳
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、分析：分析题意，分析题中数量及其关系； 2、设：设出未知数，用含未知数的一次式表示有关的量. 3、列：根据等量关系列出方程.

一元一次方程实际应用题之等积变形问题

一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。

可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。

解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。

2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。

要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。

解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。

如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。

解：零件的底面积是x平方厘米。

8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。

3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。

一元一次方程的等积变形问题

方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子，可以消去分母，使方程化为一元一次方程。
通过这种方式，可以将方程中的某些项消去，简化方程。
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子
等积变形的步骤与技巧
#O3
识别等积变形的机会
观察方程在解一元一次方程时，要时刻观察方程的形式，判断是否可以通过等积变形简化问题。寻找等式两边的共同因子如果等式两边有共同因子，可以通过提取共同因子简化方程。寻找等式两边的同类项如果等式两边有同类项，可以通过合并同类项简化方程。
03
重量不变问题
在称重过程中，当两个物体质量相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
01
体积不变问题
在容器中装有一定体积的水，将水倒入另一个容器，保持水的体积不变，可以通过等积变形来求解相关问题。
02
面积不变问题
在平面几何中，当两个相似图形面积相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
数学题目中的等积变形ຫໍສະໝຸດ 在解代数方程时，可以通过等积变形将方程转化为更易于解决的形式。
在几何图形中，可以通过等积变形将图形转化为更易于计算面积或体积的形式。
几何图形的等积变形
代数方程的等积变形
等积变形在解题中的应用
简化计算过程
通过等积变形可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而简化计算过程。
寻找未知数
在某些问题中，可以通过等积变形来寻找未知数，从而解决问题。
解决实际问题
在解决实际问题时，等积变形可以帮助我们更好地理解问题，并找到合适的解决方案。
等积变形的注意事项与挑战
#O5
等积变形的适用范围
等积变形适用于解一元一次方程时，当方程的解为分数或根号形式时，需要进行等积变形。

初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题

初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题
一元一次方程应用之等积变形篇
物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．
一元一次方程解航行问题
要解航行问题，就要所有量之间的关系。

首先，要弄清几个速度之间的关系：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
其次，要弄清速度、时间和路程的关系：
顺流路程＝顺流速度×顺流时间
逆流路程＝逆流速度×逆流时间
弄清这些关系后，就应该考虑怎样列方程了。

为了方便，我把列方程的规律编成了顺口溜儿：
航行问题找三量，
静速水速和路程，
一个已知一设元，
余下一个列方程；
若遇三量都具体，
时间关系列方程。

针对上面的问题，下面文章举例说明！。

一元一次方程经典讲义之等积变形

第四讲等积变形数字问题【基本数量关系】原料体积=成品体积数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。

【典型例题】1.用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。

3.一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π不需化成3.14）4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/6，这两个数是多少？5.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。

【课堂精练】1.要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？2.某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？3.将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？4.一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米？5.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？6.有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。

一元一次方程的应用(等积变形)

1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的关系，尤其相等关系是建立方程的关键。
2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可省略不写。
3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变。
4 3.2(2 x6.4) 2
方案四
2 3.2(x 6.4) 2 3.2x
3.2 x
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周铺上花岗岩，形成一个宽为3.2米的正方形边框（如图中阴影部分），已知铺这个边框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩,问纪念碑建筑底面的边长是多少米?
一元一次方程的应用(5）
---等积变形问题
老乌鸦，我喝不到大量筒中的水！
5㎝
若能将水倒入小量筒中，比原来的升高了5cm，你就可以喝到水了！
x㎝
x㎝
6㎝
4㎝
请根据以上信息，求出原来大量筒中水的高度。
请寻找生活中类似例子，并指出这个过程中，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？
请指出下列过程中，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？
善于利用图形的面积、体积、周长及质量等捕捉等量关系，从而列出方程。
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
例2：用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm，80mm的长方体毛坯底板，应截取圆柱多少长？（圆柱的

一元一次方程--等积变形

一元一次方程的应用
--等积化形问题
姓名：班级：
练习1：墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示，小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
拓展提升：小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个长方形菜地，使长比宽大2米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
练习2：有一个底面积20×20长方体玻璃杯（已满水）向一个底面积16×5，高是10的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯的水的高度下降多少？
拓展：已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高线长为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少?
问题解决：一只乌鸦口渴需要喝水，来到一个底面积为5平方厘米圆柱体玻璃瓶且水面只有20厘米，要喝水需要30厘米高的水面，玻璃杯旁有堆石头，每块10克，每1立方厘米重5克，问需要多少石头乌鸦才能喝到水？
当堂检测：
1、用一根长60m的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各是多少？
2、长方体甲的长、宽、高分别是260毫米，150毫米，325毫米，长方体乙的底面积是130×130平方毫米(长、宽都是130毫米)．已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．
3、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径40毫米的圆钢多长？。

4.3一元一次方程应用2(等积变形)

如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
（2）使得这个长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？这个长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？
（2）设此时长方形的宽为 x m，则它的长为( x +0.8)m，根据题意，得 2（x+x+0.8）=10 解这个方程，得 x=2.1 0.8+2.1=2.9 此时长方形的长是2.9m，宽是2.1 m.它的面积2.9×2.1=6.09m2，（1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76m2，这时长方形的面积比（1）中长方形的面积大6.09－5.76=0.33 m2.
探索一下：将（2）题中宽比长少4厘米分别改为少3厘米、少2厘米、少1厘米、少0厘米，再算算长方形的面积有什么变化？
将内直径为20cm的圆柱形水桶中的水全部倒入一个长、宽、高分别为30cm，20cm， 80cm的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（π取3.14）
在这个问题中有什么等量关系？请列出方程：。
１.用一根60厘米长的铁丝围成一个长方形 2 （1）如果宽是长的 3 ，求这个长方形的长和宽 .
2 2
解这个方程，得
因此，圆柱的高变成了36 Cm。
x 36
【例1 】用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。（1）使得这个长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？【分析】由题意知，长方形的周长始终是不变的，即长方形的周长=10m 在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系。解：（1）设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+1.4）m，根据题意，得 2（x+x+1.4）=10 解这个方程，得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时，长方形的长是3.2m，宽是1.8 m.

3.2.1一元一次方程的应用-等积变形

2.内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为 300mm,内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（） A. 150mm B. 200mm C. 250mm D. 300mm
3．三角形的周长是84cm，三边长的比为17： 13：12，则这个三角形最短的一边长是多少？
4.一个底面直径6cm，高为50cm的“瘦长”形圆柱钢材锻压成底面直径10cm“矮胖”形圆柱零件毛坯，高变成多少？
5．一种饮水机上的圆柱形水桶的内径为25厘米，内壁高为35厘米。有一种内径为6厘米，内壁高为10厘米的圆柱形玻璃杯，如果把一桶饮用水全部用这种玻璃杯去盛，需要多少个玻璃杯？

附加练习1 要锻造直径为60毫米高为20毫米的
圆柱形零件毛坯，需要截取直径为40毫米的圆钢多长？
附加练习2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克。仓库原来有多少面粉？
3.2.1一元一次方程的应用 ——等积变形
表示出下列各式：
圆柱体积= 正方体体积= 长方形面积= 圆的面积= 梯形面积= 正方形周长=
长方体体积= 圆锥体积= 正方形面积= 三角形的面积= 长方形周长= 圆的周长=
1.有一正方体铁块棱长为10cm，现在想把它熔解铸成一个长方体铁块，长20cm，宽10cm，求长方体的高？
2.一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有15厘米高的水。现将一个底面半径为 2厘米的，高18厘米的金属圆柱竖直放入容器中，问容器内的水将升高多少厘米？
例1,如图，用直径为200 mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300 mm,300mm和90 mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢〈计算时π取3.14，结果精确到1mm）？

32一元一次方程应用之等积变形

锻压前
锻压后
底面半径高
体积
5厘米 36厘米
π× 52×36
10厘米
x厘米
π × 102 • x
根据等量关系，列出方程： π × 52×36 = π × 102 • x
解得： x =9
因此，高变成了 9 厘米
练
习 2.已知一圆柱形容器底面半
径为0.5m,高为1.5m,里面盛有1m深的水，
将底面半径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁
块沉入水中，问容器内水面将升高多少?
0.5m
1.5m
1m
0.3m 0.5m
分析：根据以上演示我们知道了它们的等量关系：
水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积
圆柱形体积公式是_π_r__2h___,
水升高后的体积小铁块的体积
（_0__._5_2_π_x___）（__0_._3_2_×__0__.5__π____)
2、同步练习
常见图形的体积公式
名称正方体
图形
a
用字母表示公式体积（V）
V = a3
长方体圆柱体圆锥体
c
a
b
h r
h r
V = abc
V = πr 2h
V = 1 πr 2h 3
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？
（古代：曹冲称象）
请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？分 Nhomakorabea析
思考2：如何用字母（未知数x）表示圆钢的体积？
圆钢的体积=π ( 200)2x 立方毫米
2
x
90
二、用含未知数x的一次式 300 表示有关的量；

一元一次方程的应用(一)等积变形

一、学习目标：1、通过分析图形中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系；2、认识方程模型的重要性．二、重难点：重点：运用方程解决实际问题难点：寻找图形问题的数量关系三、学习过程（一）复习回顾1．列方程解应用题应注意哪些事项?（1）_________________．（2）_________________．（3）_________________．2．列出方程解应用题的5个步骤是什么?（1）________________．（2）________________．（3）________________．（4）________________．（5）________________.3．填空：长方形的周长=_________．面积=__________ ．长方体的体积=_________．正方体的体积=__________．圆的周长=___________．面积=_______________．圆柱的体积=_______________．（二）问题解决：类型一：等积变形问题1．将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为l0厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少?假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有=锻压后的体积．我们可完成下表：锻压前锻压后底面半径高体积解：设锻压后圆柱的高为x 米，则可列方程为：_______________________________________．解得=x _______________．答：高变成了__________厘米．类型二：等长变形问题2．用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形．（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为________米，宽为_________米．（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为_______米，宽为_____米，它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化?（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是______米，它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化?（4）由上面（1）（2）（3），你可得出什么结论？类型三：工程问题3．某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个，就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，就可超额完成10个，求规定加工零件的个数．（试用不同的方法解下列问题）（三）学以致用 1．请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是 ( )A. 2286()()(5)22x x ππ=+ B ．2286()()(5)22x x ππ=- C ．2286(5)x x ππ=+ D ．22865x ππ= 2．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m ，而长减少了5 m ，那么面积增加15 ㎡，设长方形原来的宽为x m ，则所列方程是( )A．2+--=(4)(35)153x x x x x x(4)(35)153+-+=B．2C．2x x x(4)(35)153-++=x x x-+-=D．2(4)(35)1533．如图5—3—3，把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积．解：设正方形A的边长为x厘米，则正方形B的边长为________厘米；正方形C的边长为________厘米；正方形D的边长为________厘米；正方形E的边长为________厘米．由题意可得方程：______________________．解得x= ________，答：长方形的面积为___________平方厘米．4．某工人原计划用26天生产一批零件，工作两天后，因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？这批零件共有多少个？5．某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标,现有甲,乙两个工程队竞标,竞标资料上显示：若单独完成此项工程,甲10天可完成,乙15天可完成,担甲队每天的工程费用比乙队多300元,若两队合作,共需工程费用10200元,工程指挥站决定从两队中选一队单独完成,若从节省资金的角度考虑,应该选哪个工程队?为什么?6. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。

一元一次方程应用之等积变形篇

等积变形篇物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686=x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210) 768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm ×60m ”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm 、4.0cm ，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm 指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m 是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x ≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm ．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m 3，做一条桌腿需要木材0.002m 3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m 3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X 张，我们就容易用X 表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m 3，做桌面所需的木材的体积是0.03X m 3.因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m 3解：设共做了x 张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100. 所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。

一元一次方程的应用----等积变形问题

2 X = 0.32 ×0.5 0.5 方程为：___________________
X =0.18 解这个方程：__________ 容器内水面将升高0.18m。答：______________________
小结：说说列方程解应用题，找出等量关系，分析题中数量及其关系，
问题1
用一根长 60 厘米的铁丝围成一个长方形．使长方形的宽比长少 4 厘米，求这个长方形的面积．
60厘米
C铁丝 = C 长方形
精讲
例题
一、分析题意，找出等量关系：
圆钢体积 = 长方体毛坯体积，解：设应截取的圆钢长为 x 毫米，根据题意得：设应截取圆钢长为 x毫米二、用含未知数的式子表示有关的量：是指 •（200/2)2 • x = 2300 × 300 × 80 圆钢的体积是（200/2) x立方毫米 .
例如图，用直径为200毫
米的圆钢，锻造一个长、
宽、高分别为300毫米、
300毫米和80毫米的长方体
毛坯底板，应截取圆钢多少（计算时取3.14.要求
3.14 x=720 三、根据等量关系列出方程，得：
2 • x = 300×300×90 ×（200/2) x 230
结果误差不超过1毫米）？四、解方程求出未知数的值即解这个方程得：答：应截取圆钢的长为230毫米 . x 258
0.3m
1.5m
1m
0.5m
分析：根据以上演示我们知道了它们的等量关系：
水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积
r2h 圆柱形体积公式是_______,
水升高后的体积小铁块的体积
（__________ 0.52 X ）（________________) 0.32 ×0.5