广东省湛江市高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年广东省湛江市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年广东省湛江市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（）A．1或3，2B．3，2C．1或3，1或3D．3，32．下列各角中，与2019°终边相同的角为（）A．41°B．129°C．219°D．﹣231°3．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：B．1：1：2C．1：1：D．1：1：4．若＝（﹣1，2），＝（2，3），则（2﹣）•＝（）A．﹣5B．5C．﹣6D．65．将函数y＝sin（2x﹣）的图象向右平移单位长度后，得到的图象的函数解析式为（）A．y＝sin（2x﹣）B．y＝﹣sin（2x﹣）C．y＝cos2x D．y＝﹣cos2x6．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是（）A．30B．60C．70D．807．已知向量，满足：||＝2，||＝4，•＝12，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则AB两点距离是（）A．km B．km C．km D．km二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．若A，B是互斥事件，则P（A）+P（B）＝1B．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件C．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A，B互斥且对立D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件10．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解11．已知函数f（x）＝sin（ωx+））﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（）A．B．C．D．12．若，，均为单位向量，且•＝0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣|的值可能为（）A．B．1C．D．2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，则sin2α﹣cos2α＝．14．已知圆的半径为2，圆心为O，在圆内任取一点P，则OP＞1的概率是．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE交BD于点F，且＝x+y，则x+y＝．16．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别有点1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2X Y＝1的概率为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．两台机床同时生产直径为10cm的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：机床甲10cm9.8cm10cm10.2cm机床乙10.1cm10cm9.9cm10cm如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2B﹣sin2C＝sin A sin B．（1）求cos C的值；（2）若c＝3，a+b＝5，求a、b的值．19．已知向量＝（1，2cos x），＝（sin x，）（x∈（0，））．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域．20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b sin C﹣c cos B＝2b﹣a．（1）求C；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝，求△ABC面积的取值范围．21．有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在[60，70），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加校数学竞赛，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率；（3）分数在[80，100]的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率．22．已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx的最小正周期为π，g（x）＝2sin2（2x﹣）﹣4λf（x）﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[，]时，函数g（x）的最小值为﹣，求实数λ的值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（）A．1或3，2B．3，2C．1或3，1或3D．3，3【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可求出答案．解：数据1，1，3，3中，1和3都出现了2次，出现的次数相同，则众数是1或3；最中间的两个数是1与3，则中位数是2；故选：A．2．下列各角中，与2019°终边相同的角为（）A．41°B．129°C．219°D．﹣231°【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，由α＝2019°+k•360°，k∈Z，令k＝﹣5，即可得解．解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与2019°角的终边相同的角是α，则α＝2019°+k•360°，k∈Z，当k＝﹣5时，α＝219°．故选：C．3．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：B．1：1：2C．1：1：D．1：1：【分析】由三角形三角之比求出各自的弧度数，进而求出sin A，sin B，sin C之比，利用正弦定理求出三边之比即可．解：由A+B+C＝π且A：B：C＝1：1：4，则A＝B＝，C＝，因为a：b：c＝sin A：sin B：sin C＝：：＝1：1：．故选：D．4．若＝（﹣1，2），＝（2，3），则（2﹣）•＝（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6【分析】根据平面向量数量积的坐标运算法则求解即可．解：（2﹣）•＝2•﹣＝2（﹣1×2+2×3）﹣（22+32）＝﹣5．故选：A．5．将函数y＝sin（2x﹣）的图象向右平移单位长度后，得到的图象的函数解析式为（）A．y＝sin（2x﹣）B．y＝﹣sin（2x﹣）C．y＝cos2x D．y＝﹣cos2x【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y＝sin（2x﹣）的图象向右平移单位长度后，得到的图象的函数解析式为y＝sin（2x﹣﹣）＝﹣cos2x，故选：D．6．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是（）A．30B．60C．70D．80【分析】由图分析，易得底部周长小于110cm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．解：由图可知：则底部周长小于110cm段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10＝0.7，则频数为100×0.7＝70人．故选：C．7．已知向量，满足：||＝2，||＝4，•＝12，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据平面向量数量积的运算法则求解即可．解：因为•＝，所以2×4cos＜＞＝12，即cos＜＞＝，所以＜＞＝．故选：A．8．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则AB两点距离是（）A．km B．km C．km D．km【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin∠CAD的值，根据正弦定理可求AC ＝＝，在△BCD中，利用正弦定理可求BC＝＝，在△ABC中，根据余弦定理即可求解AB的值．解：在△ACD中，∠CAD＝75°，sin75°＝sin（45°+30°）＝＝，可得AC＝＝，在△BCD中，∠CBD＝45°，BC＝＝，在△ABC中，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos60°＝，可得AB＝＝．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部答对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．若A，B是互斥事件，则P（A）+P（B）＝1B．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件C．若P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，则事件A，B互斥且对立D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【分析】利用互斥事件以及对立事件，必然事件判断选项的正误即可．解：当A∩B为不可能事件时，A与B互斥；当A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，A与B是对立事件，所以CD正确；故选：CD．10．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解【分析】本题本质上即为已知B＝60°，c＝4的前提下，当b为多少时，该解三角形问题：无解，一解，两解？做出图形，构造出关于b的不等式即可．解：已知B＝60°，c＝4，如图AD⊥BD于D．易知．①当或b≥4时，有一解；②当时，无解；③当时，两解．结合四个选项，可知，A，B，C三项错误．故选：ABC．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+））﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（）A．B．C．D．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的对称性建立方程进行求解即可．解：f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）＝sin（ωx+﹣）＝sin（ωx+），∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴ω×1+＝kπ+，k∈Z，即ω＝kπ+，k∈Z，∵0＜ω＜6，∴当k＝0时，ω＝，当k＝1时，ω＝，故选：BC．12．若，，均为单位向量，且•＝0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣|的值可能为（）A．B．1C．D．2【分析】由，，均为单位向量，且•＝0，（﹣）•（﹣）≤0，求得•（+）≥1，再求|+﹣|的最大值，即可得出结果．解：因为均为单位向量，且，所以，所以，而＝，所以选项C，D不正确．故选：AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，则sin2α﹣cos2α＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．解：∵tanα＝3，∴sin2α﹣cos2α＝＝＝．故答案为：．14．已知圆的半径为2，圆心为O，在圆内任取一点P，则OP＞1的概率是．【分析】分别求出大圆面积与小圆面积，由测度比是面积比得答案．解：如图，大圆的半径为2，小圆半径为1，在圆O内任取一点P，则点P到圆心O的距离大于1的概率为＝．故答案为：．15．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE交BD于点F，且＝x+y，则x+y＝1．【分析】由三角形的相似可得出F点为线段AE的三等分点靠近E点，再根据三角形法则化简即可．解：平行四边形ABCD中，E为BC的中点，则＝2，∴＝＝（+）＝（+）＝+，∴x+y＝1，故答案为：1．16．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别有点1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2X Y＝1的概率为．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6×6种结果，满足条件的事件需要先整理出关于x，y之间的关系，得到2x＝y，根据条件列举出可能的情况，根据概率公式得到结果．解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6×6＝36种结果∵log2x y＝1∴2x＝y，∵x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，∴x＝1，y＝2；x＝2，y＝4；x＝3，y＝6共三种情况．∴P＝＝故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．两台机床同时生产直径为10cm的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：机床甲10cm9.8cm10cm10.2cm机床乙10.1cm10cm9.9cm10cm如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？【分析】由已知条件分别求出两组数据的平均数和方差，进行比较能判断哪台机床生产的零件质量更符合要求．解：机床甲的数据的平均数：＝＝10．机床乙的数据的平均数：＝＝10，机床甲的方差＝[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]＝0.02，机床乙的方差＝[（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10﹣10）2]＝0.005，∵＝，＞，∴乙台机床生产的零件质量更符合要求．18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2B﹣sin2C＝sin A sin B．（1）求cos C的值；（2）若c＝3，a+b＝5，求a、b的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得cos C的值．（2）由已知利用余弦定理可得ab＝6，结合a+b＝5，即可解得a，b的值．解：（1）∵sin2A+sin2B﹣sin2C＝sin A sin B，∴由正弦定理可得a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得cos C＝＝＝．（2）∵c＝3，a+b＝5，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得9＝a2+b2﹣，可得9＝（a+b）2﹣＝25﹣，∴解得ab＝6，∵，∴解得，或．19．已知向量＝（1，2cos x），＝（sin x，）（x∈（0，））．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域．【分析】（1）根据平面向量平行的坐标运算以及二倍角公式进行求解即可；（2）先结合平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式将函数f（x）化简为f（x）＝sin （x+），再结合正弦函数的图象与性质求解即可．解：（1）∵∥，∴，∴，即，∵x∈（0，），∴2x＝，tan2x＝．（2）f（x）＝•＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈（0，），∴x+∈，∴sin（x+）∈．∴函数f（x）的值域为．20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b sin C﹣c cos B＝2b﹣a．（1）求C；（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理将原式化为sin（C+）＝1，根据C的取值范围可得C的值；（2）由正弦定理可求得b＝+，结合锐角三角形的条件可求得b的取值范围，进而可得面积的取值范围．解：（1）由正弦定理可得sin B sin C﹣sin C cos B＝2sin B﹣sin A，又由sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，代入上式可得：sin B sin C＝2sin B﹣sin B cos C，由0＜B＜π，则sin B＞0，上式可化为：sin C+cos C＝1，得sin（C+）＝1，由0＜C＜π，可知＜C+＜，故C+＝，所以C＝；（2）由（1）知，S△ABC＝×b sin＝，由正弦定理可得b＝＝＝＝+＝+，由△ABC为锐角三角形可知，得＜A＜，故tan A＞，可得＜b＜2，故△ABC面积的取值范围为（，）．21．有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在[60，70），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加校数学竞赛，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率；（3）分数在[80，100]的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率．【分析】（1）由频率分布直方图求出样本容量n＝25，由此能求出频率分布直方图中x、y的值．（2）分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生，所有情况有n＝＝10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有m＝＝7，由此能求出所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．（3）分数在[80，100]内的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，现从该组抽取三人“座谈”，基本事件总数n′＝＝10，至少有两名女生包含的基本事件个数m′＝＝7，由此能求出至少有两名女生的概率．解：（1）由题意可知样本容量n＝＝25，x＝3×0.008＝0.024，y＝0.100﹣0.008﹣0.016﹣0.024﹣0.040＝0.012．（2）由题意可知分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生，所有情况有n＝＝10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有m＝＝7，∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为p＝．（3）由题意知分数在[80，100]内的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，现从该组抽取三人“座谈”，基本事件总数n′＝＝10，至少有两名女生包含的基本事件个数m′＝＝7，∴至少有两名女生的概率P＝＝．22．已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx的最小正周期为π，g（x）＝2sin2（2x﹣）﹣4λf（x）﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[，]时，函数g（x）的最小值为﹣，求实数λ的值．【分析】（1）由题得f（x）＝sin（ωx﹣），根据最小周期即可求得ω；（2）整理g（x）解析式可得g（x）＝2[sin（2x﹣）﹣λ]2﹣1﹣2λ2，根据x范围得到0≤sin（2x﹣）≤1，讨论λ的取值所对应的g（x）的最小值可得λ的取值，进行取舍即可．解：（1）f（x）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），因为f（x）最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x﹣）；（2）由题知g（x）＝2sin2（2x﹣）﹣4λ（2x﹣）﹣1＝2[sin（2x﹣）﹣λ]2﹣1﹣2λ2，因为x∈[，]，所以0≤2x﹣≤，0≤sin（2x﹣）≤1，①当λ＜0时，当且仅当sin（2x﹣）＝0时，g（x）取得最小值为﹣1，与已知不符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin（2x﹣）＝λ时，g（x）取得最小值为﹣1﹣2λ2，由﹣1﹣2λ2＝﹣，解得λ＝﹣（舍），λ＝；③当λ＞1时，当且仅当sin（2x﹣）＝1时，g（x）取得最小值为1﹣4λ，由1﹣4λ＝﹣，解得λ＝，这与λ＞1矛盾，综上所述：．。
广东省湛江市高一数学下学期期末考试试题-人教版高一全册数学试题
某某市2014—2015学年度第二学期期末调研考试高中数学(必修③、必修④)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．参考公式：n 个数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数是x ，这组数据的方差2s 由以下公式计算：])()()()[(122322212x x x x x x x x ns n -++-+-+-= ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内1．215°的角所在象限是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2． 在频率分布直方图中,小矩形的面积表示A ．频率/样本容量B ．组距×频率C ．频率D ．频率/组距 3．下列能与︒20sin 的值相等的是A ．︒20cosB ．)20sin(︒-C ．︒70sinD ．︒160sin4．某校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A ．45,75,15 B ．45,45,45 C ．30,90,15 D ．45,60,305．向量a=)2,1(-，b=)1,2(，则学校 班级 某某 学号密 封 线A. a ∥bB.⊥a bC.a 与b 的夹角为60°D. a 与b 的夹角为30° 6．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CDA ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21- D ．BA BC 21+7．已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=-A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面向上的概率是 A.．9991B ．21C.．10001 D ．10009999．已知54cos -=α，53sin =α，那么角α2的终边所在象限为A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11．已知平面向量a ()1,2-=，则 | a |=_________． 12．阅读如图的程序框图，则输出的S =．13．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，第6题图o 32ππ2πy A 2-︒B o32ππ2πy 2-︒2o32ππ2πyC -︒o32ππ2πy D2--︒开始0,1S i ==4?i >1i i +=2S S i =+否如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为． 14. 关于函数()4(2)()3f x sin x x R π=+∈有下列命题：①由0)()(21==x f x f ， 可得21x x -必是π的整数倍； ②)(x f y =的表达式可改写为)62cos(4π-=x y ；③)(x f y =的图像关于点)0, 6(π-对称；④)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称其中正确命题的序号是____________________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分）为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示： (1)分别求甲、乙两运动员最大速度 的平均数甲X ，乙X 及方差2甲s ，2乙s ； (2) 根据(1)所得数据阐明：谁参加这项重大比赛更合适.甲 2738 30 37 35 31 乙 332938342836第13题图16.（本小题满分12分） 若32cos =α，α是第四象限角，求()()()()()()πααπαππαπαπα4cos cos cos 3cos 3sin 2sin -⋅-----⋅--+-的值.17．（本小题满分14分）已知2||=a ，3||=b ，a 与b的夹角为︒120. 求（1）(2)(3)a b a b -⋅+； （2）||b a-.18．（本小题满分14分）为积极配合某某市2015年省运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率；(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．19．（本小题满分14分）向量m ＝()x a sin ,1+，n ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos 4,1πx ，设函数()x g ＝n m ⋅(a ∈R ，且a 为常数)． (1)若a 为任意实数，求()x g 的最小正周期； (2)若()x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,0π上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．20．（本小题满分14分）已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数，求ω和ϕ的值． 某某市2014—2015学年度第二学期期末调研考试 高中数学（必修、④）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
广东省湛江市高一下学期数学期末考试试卷
广东省湛江市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·荆州模拟) 已知α为第四象限角，，则的值为（）A . -B .C . -D .2. （2分） (2017高二下·湖州期末) 点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A . （﹣，）B . （，）C . （﹣，﹣）D . （﹣，）3. （2分） (2016高一下·甘谷期中) 下列函数中周期为的偶函数是（）A . y=sin4xB . y=cos22x﹣sin22xC . y=tan2xD . y=cos2x4. （2分） (2016高三上.定州期中) 已知{an}满足a1=1，an+an+1=（）n（n∈N*），Sn=a1+4a2+42a3+ (4)﹣1an ，则5Sn﹣4nan=（）A . n﹣1B . nC . 2nD . n25. （2分） (2016高二上·福州期中) 已知△ABC中，a、b、c分别是角A,B,C的对边，a= ，b= ，B=60°，那么∠A等于（）A . 135°B . 45°C . 135°或45°D . 60°6. （2分）(2018·河北模拟) 已知等差数列的前项和为，且，则（）A .B .C .D .7. （2分）在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰或直角三角形D . 等边三角形8. （2分）(2017·桂林模拟) 若将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，tanφ=（）A .B .C .D .9. （2分）已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是（）A . 4B . 5C . 6D . 710. （2分）(2017·天水模拟) 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，则数列{ }的前8项和为（）A . ﹣B . ﹣C .D .二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）若角α的终边经过点P（sin600°，cos（﹣120°）），则sinα=________．12. （1分）(2017·武汉模拟) 在△ABC中，角C=60°，且tan +tan =1，则sin •sin =________．13. （1分）在等比数列{an}中，若a1+a2=， a3+a4=1，则a7+a8+a9+a10=________14. （1分） (2016高二上·福州期中) 已知△ABC中，AC= ，AB=2，∠B=60°，则BC=________．15. （1分） (2016高一下·浦东期中) 化简： =________．16. （1分）三个实数成等差数列，且它们的和为12，它们的积为48．求这个数列 ________．17. （1分）(2017·林芝模拟) 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n ，则a10=________．18. （1分） (2018高一下·百色期末) 已知，且，那么的最大值等于________．三、解答题 (共4题；共45分)19. （10分） (2017高二上·阳朔月考) 已知等比数列中，，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .20. （10分）已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx．（1）求函数f（x）在区间[﹣， ]上的值域；（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C），求tanA的值．21. （10分）(2017·大庆模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 + =．（1）求b的值；（2）若cosB+ sinB=2，求a+c的取值范围．22. （15分） (2016高三上·海淀期中) 已知数列{an}是无穷数列，满足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）．（1）若a1=2，a2=3，求a3，a4，a5的值；（2）求证：“数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件；（3）求证：在数列{an}中∃ak（k∈N*），使得1≤ak＜2．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共45分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
2023-2024学年广东省湛江市高一(下)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以2i− 5的虚部为实部，以 5i +2i 2的实部为虚部的新复数是( )A. 2−2iB. 2+iC. − 5+ 5iD. 5+ 5i2.如图，下边长方体中由右边的平面图形围成的是( )A. B.C. D.3.下列各组数的方差从小到大排序是( )(1)6，6，6，6，6，6，6，6，6；(2)5，5，5，6，6，6，7，7，7；(3)4，4，5，5，6，7，7，8，8；(4)3，3，3，3，6，9，9，9，9．A. (1)(2)(3)(4)B. (4)(3)(2)(1)C. (3)(1)(2)(4)D. (2)(1)(3)(4)4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A. 7B. 6C. 5D. 35.已知点O 、N 、P 在△ABC 所在平面内，且|OA |=|OB |=|OC |，NA +NB +NC =0，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O 、N 、P 依次为△ABC 的( )A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心6.在等腰△ABC 中，∠BAC =120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD 在BA 上的投影向量为( )A. 32BAB. 34BA 7.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是( )A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等8.已知直线a ，b 与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )A. α⊥γ，β⊥γB. α∩β=a ，b ⊥a ，b ⊂βC. a//α，a//βD. a//α，a ⊥β二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省湛江市高一下学期数学期末考试试卷
广东省湛江市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共13分)1. （1分）直线经过原点和，则它的倾斜角是________．2. （1分） (2020高一下·邢台期中) 已知直线与互相平行，则实数m的值为________3. （1分）直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）=0，恒过定点________ ．4. （1分）已知实数m，n，x，y满足m2+n2=1，x2+y2=4，则my+nx的最小值为________5. （1分）设P为直线x﹣y=0上的一动点，过P点做圆（x﹣4）2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB的最大值________．6. （1分）(2020·乌鲁木齐模拟) 如图，正方体的棱长为1，有下列四个命题：① 与平面所成角为；②三棱锥与三棱锥的体积比为；③过点作平面，使得棱，，在平面上的正投影的长度相等，则这样的平面有且仅有一个；④过作正方体的截面，设截面面积为，则的最小值为 .上述四个命题中，正确命題的序号为________.7. （1分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为________8. （1分） (2017高二上·常熟期中) 直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是________．9. （1分） (2016高一下·赣州期中) 若数列{xn}满足，且x1+x2…+x10=100，则lg（x11+x12…+x20）=________．10. （1分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________ （写出所有真命题的序号）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．11. （2分）(2019·台州模拟) 在中，是边上的中线，∠ABD＝ .若，则∠CAD＝________；若，则的面积为________.12. （1分） (2020高一下·铜川期末) 已知函数，，有以下结论：①的图象关于轴对称；② 在区间上单调递增；③ 图象的一条对称轴方程是；④的最大值为2.则上述说法中正确的是________.（填序号）二、解答题 (共8题；共80分)13. （10分） (2017高一下·邢台期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA﹣cosB=2sinBcosC，且角B为钝角．（1）求角C的大小；（2）若a=2，b2+c2﹣a2= bc，求△ABC的面积．14. （5分）设圆上的点A（2，﹣3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且圆与y轴相切，求圆的方程．15. （15分） (2015高三上·天津期末) 已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E为A1C的中点（1）求证：D1E∥平面BB1C1C；（2）求证：BC⊥A1C；（3）若A1A=AB，求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．16. （10分） (2019高一下·深圳期中) 已知等比数列的前项和为，公比，，．（1）求等比数列的通项公式；（2）设，求的前项和．17. （10分） (2016高一下·南充期末) 已知函数f（x）=3x2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知函数g（x）=f（x）+mx﹣2在（2，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．18. （10分）在三角形中，角及其对边满足：.（1）求角的大小；（2）求函数的值域.19. （15分） (2017高一下·赣榆期中) 已知⊙O：x2+y2=2，⊙M：（x+2）2+（y+2）2=2，点P的坐标为（1，1）．（1）过点O作⊙M的切线，求该切线的方程；（2）若点Q是⊙O上一点，过Q作⊙M的切线，切点分别为E，F，且∠EQF= ，求Q点的坐标；（3）过点P作两条相异直线分别与⊙O相交于A，B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补，试判断直线OP与AB是否平行？请说明理由．20. （5分）已知数列为等差数列且公差，的部分项组成下列数列：恰为等比数列，其中，求．参考答案一、填空题 (共12题；共13分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、解答题 (共8题；共80分)13-1、13-2、14-1、15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、。
广东省湛江市高一下学期期末数学试卷
广东省湛江市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）下列函数中,与函数相同的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一上·天津月考) 已知函数，，则函数的值域为（）A .B .C .D .4. （2分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·元氏期中) 函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A . 2B . 6C .D . 106. （2分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k 的取值范围是（）A . 或k≤﹣4B . 或C .D .7. （2分） (2018高二上·宁波期末) 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若不平行于，则在内不存在，使得平行于B . 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于C . 若不平行于，则在内不存在，使得平行于D . 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于8. （2分） (2019高三上·抚州月考) 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A .B .C . 27D . 189. （2分）过点P（3，0）有一条直线l，它加在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线l方程为（）A . 6x﹣y﹣18=0B . 8x﹣y﹣24=0C . 5x﹣2y﹣15=0D . 8x﹣3y﹣24=010. （2分）(2017·枣庄模拟) 若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（）A . 34πB .C .D . 114π11. （2分） (2019高二上·安徽月考) 若分别为直线与上任意一点，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（）A . 9B . 10C . 11D . 12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·嘉兴期末) 若直线与直线平行，则实数 ________．14. （1分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）＜f（a2﹣1），则实数a的取值范围是________．15. （1分）在平面直角坐标系中，曲线是参数)与曲线是参数)的交点的直角坐标为________.16. （1分） (2019高一上·温州期中) 已知函数与的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条件的一组与的解析式可以为________.三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2016高一上·南昌期中) 集合A={x|﹣5＜x＜1}，B={x|﹣2＜x＜8}，C={x|x＜a}，全集为实数集R（1）求A∪B，（∁RA）∩B；（2）若A∩B⊆C，求实数a的取值范围．18. （10分）已知E，F，G，H分别是空间四边形四条边AB，BC，CD，DA的中点，（1）求证四边形EFGH是平行四边（2）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形．19. （5分） (2019高二上·咸阳月考) 用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.20. （5分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）．（Ⅰ）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．（Ⅱ）a= ，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|+|BD|的最大值．21. （10分） (2018高一上·牡丹江期中) 已知函数， .（1）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围。
广东省湛江市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题含解析
广东省湛江市2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280C ．168D ．56【答案】A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A.2．等差数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝7，则7a ＝( ) A ．10 B ．20C ．16D ．12【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】根据等差数列的性质可知第五项减去第三项等于公差的2倍，由5a =3a +5得到2d 等于5，然后再根据等差数列的性质得到第七项等于第五项加上公差的2倍，把5a 的值和2d 的值代入即可求出7a 的值,即可知7a =5+2d=7+512a =,故选D.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n S a =-，则64S S =( ) A ．5 B ．132C ．172 D ．215【答案】D 【解析】 【分析】通过{}n a 和n S 关系，计算{}n a 通项公式，再计算n S ，代入数据得到答案. 【详解】24n n S a =-，取114n a =⇒=24n n S a =-，1124n n S a --=-两式相减得：11222n n n n n n a a a a a a --=-⇒=⇒是首项为4，公比为2的等比数列.21242412nn n S +-==--86642421245S S -==- 故答案选D 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，前N 项和，意在考查学生的计算能力. 4．在ABC ∆中，AB =1AC =，30B ∠=，则A ∠=（ ） A ．60 B ．30或90C ．60或120D ．90【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出C ∠，然后利用三角形的内角和定理可求出A ∠. 【详解】由正弦定理得sin sin AB AC C B=∠∠，得1sin 2sin 1AB B C AC ⋅∠∠===， AB AC >，C B ∴∠>∠，则60C ∠=或120.当60C ∠=时，由三角形的内角和定理得18090A B C ∠=-∠-∠=； 当120C ∠=时，由三角形的内角和定理得18030A B C ∠=-∠-∠=. 因此，30A ∠=或90. 故选B. 【点睛】本题考查利用正弦定理和三角形的内角和定理求角，解题时要注意大边对大角定理来判断出角的大小关系，考查计算能力，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入7n =，则输出C =( )A ．5B ．8C ．13D ．21【答案】C 【解析】 【分析】通过程序一步步分析得到结果，从而得到输出结果. 【详解】开始：1,1,3A B k ===，执行程序：2,1,2,4C A B k ====；3,2,3,5C A B k ====； 5,3,5,6C A B k ====； 8,5,8,7C A B k ====；13,8,13,8C A B k ====，执行“否”，输出C 的值为13， 故选C. 【点睛】本题主要考查算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大. 6．已知z 是z 的共轭复数，若复数1222iz i-=++，则z 在复平面内对应的点是（ ） A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)--由()()12(2)125222222(2)5i i ii z i i i i ----=+=+=+=-++-，得2z i =+，所以z 在复平面内对应的点为(2,1)，故选A.7．等差数列{}n a 中，50a <，且60a >，且65a a >，n S 是其前n 项和，则下列判断正确的是（ ） A ．1S 、2S 、3S 均小于0，4S 、5S 、6S 、均大于0 B ．1S 、2S 、、5S 均小于0，6S 、7S 、均大于0 C ．1S 、2S 、、9S 均小于0，10S 、11S 、均大于0 D ．1S 、2S 、、11S 均小于0，12S 、13S 、均大于0【答案】C 【解析】 【分析】由50a <，60a >且65a a >可得650d a a =->，560a a +>，520a <，620a >，结合等差数列的求和公式即等差数列的性质即可判断. 【详解】50a <，60a >且65a a >，650d a a ∴=->，∴数列{}n a 的前5项都是负数， 560a a +>，520a <，620a >，由等差数列的求和公式可得()19959902a a S a +==<，()()110105610502a a S a a +==+>，由公差0d >可知，1S 、2S 、、9S 均小于0，10S 、11S 、均大于0.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和符号的判断，解题时要充分结合等差数列下标和的性质以及等差数列求和公式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．已知向量()1,1a =-，()1,b m =，若向量a -与b a -的夹角为4π，则实数m =（ ）A B ．1C ．1-D ．【答案】B根据坐标运算可求得a -与b a -，从而得到a -与b a -；利用向量夹角计算公式可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()1,1a -=-，()2,1b a m -=-2a ∴-=，()241b a m ∴-=+-()()()22cos42241a b a a b am π-⋅-∴===-⋅-⨯+-，解得：1m = 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用向量数量积、模长和夹角求解参数值的问题，关键是能够通过坐标运算表示出向量和模长，进而利用向量夹角公式构造方程.9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可. 【详解】在平行四边形ABCD 中,显然有AB DC =,0AD CB +=,故A,D 正确; 根据向量的平行四边形法则,可知AD AB AC +=,故B 正确; 根据向量的三角形法,AB AD DB -=,故C 错误; 故选:C. 【点睛】本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题. 10．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ） A．6 B ．0C．4D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先计算出()()244lim 22222222n x x y x x x x x x →∞+=+=+-=++-+++，然后利用基本不等式可得出lim n n M →∞的值.【详解】()()2222(1)2lim lim lim 32322n n n x n x x n x y x x x nx n x x n →∞→∞→∞⎡⎤+⎡⎤⎢⎥++=+=+=+⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎢⎥++⎣⎦， 由基本不等式得22444422222222x x x x x x x x x x x x -+=++=+-+=+-+++++()4226662x x =++-≥=+， 当且仅当()4222x x +=+时，由于1x ≥-，即当2x =时，等号成立， 因此，lim 6n n M →∞=，故选：A. 【点睛】本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带x 的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 11．已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】B 【解析】 【分析】先对函数进行配凑，使得能够使用均值不等式，再利用均值不等式，求得结果. 【详解】 因为94(1)1y x x x =-+>-+故915511y x x =++-≥=+ 当且仅当911x x +=+，即2x =时，取得最小值. 故2,1a b ==，则237a b +=. 故选：B. 【点睛】本题考查均值不等式的使用，属基础题；需要注意均值不等式使用的条件.12( ) A ．cos160︒ B ．cos160±︒ C ．cos160±︒ D ．cos160-︒【答案】D 【解析】 【分析】确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定cos160︒的符号，即可得到正确选项． 【详解】因为160︒为第二象限角，cos160cos160==︒=-︒，故选D.【点睛】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型． 二、填空题：本题共4小题13．已知tan α=2παπ<<，那么cos sin αα-的值是________．【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中条件求出角α，然后代入cos sin αα-即可. 【详解】由题知tan α=2παπ<<，所以23πα=，故cos sin cossin 221133222ππαα+=--=--=-.故答案为：132+-. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.14．如图，点M 为正方形边ABCD 上异于点,C D 的动点，将ADM ∆沿AM 翻折成PAM ∆，使得平面PAM ⊥平面ABCM ，则下列说法中正确的是__________.(填序号)（1）在平面PBM 内存在直线与BC 平行； （2）在平面PBM 内存在直线与AC 垂直 （3）存在点M 使得直线PA ⊥平面PBC （4）平面PBC 内存在直线与平面PAM 平行. （5）存在点M 使得直线PA ⊥平面PBM 【答案】（2）（4） 【解析】 【分析】采用逐一验证法，利用线面的位置关系判断，可得结果. 【详解】（1）错，若在平面PBM 内存在直线与BC 平行， 则BC //平面PBM ，可知BC //AM ， 而BC 与AM 相交，故矛盾 （2）对，如图作PN AM ⊥，根据题意可知平面PAM ⊥平面ABCM所以PN AC ⊥，作NE AC ⊥，点E 在平面PBM ， 则AC ⊥平面PNE ，而PE ⊂平面PBM ， 所以AC PE ⊥，故正确（3）错，若PA ⊥平面PBC ，则PA BC ⊥，而PN BC ⊥ 所以BC ⊥平面PAN ，则AM BC ⊥，矛盾 （4）对，如图延长,AM BC 交于点H 连接PH ,作CK //PHPH ⊂平面PAM ，CK ⊂平面PBC ，CK ⊄平面PAM ，所以CK //平面PAM ，故存在（5）错，若PA ⊥平面PBM ，则PA BM ⊥ 又PN BM ⊥，所以BM ⊥平面PAM所以BM AM ⊥，可知点M 在以AB 为直径的圆上 又该圆与CD 无交点，所以不存在. 故答案为：（2）（4） 【点睛】本题主要考查线线，线面，面面之间的关系，数形结合在此发挥重要作用，属中档题. 15．设数列{}n a 的通项公式210n a n =-+，则数列{}n a 的前20项和为____________． 【答案】260 【解析】 【分析】对n a 去绝对值，得20156205202T a a a a S S =++---=-，再求得210n a n =-+的前n 项和29n S n n =-+，代入n =20即可求解【详解】由题{}n a 的前n 项和为219n n S a a n n =++=-+{}na 的前20项和20156205202Ta a a a S S =++---=-，代入可得20260T =.故答案为：260 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，去绝对值是关键，考查计算能力，是基础题16．有6根细木棒，其中较长的两根分别为3a ，2a ，其余4根均为a ，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 . 【答案】63【解析】 【分析】分较长的两条棱所在直线相交，和较长的两条棱所在直线异面两种情况讨论，结合三棱锥的结构特征，即可求出结果. 【详解】当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示： 不妨设3AB a =，2BC a =，AC a =，所以较长的两条棱所在直线所成角为ABC ∠， 由勾股定理可得：90ACB ∠=，所以2633BC a ABC AB a∠===， 所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为63； 当较长的两条棱所在直线异面时， 不妨设3AB a =，2CD a =，则BC AC BD AD a ====，取CD 的中点为O ，连接OA ，OB ， 所以CD ⊥OA ，CD ⊥OB ，而2OA OB ==，所以OA+OB<AB ，不能构成三角形。
2023-2024学年广东省湛江第一中学高一下学期期末考试数学试题(含答案)
2023-2024学年广东省湛江第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a∈R，若z=a+i为纯虚数，则a=( )2i−1A. 2B. 2C. 1D. 122.下列说法正确的是( )A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B. 棱柱的侧面都是全等的平行四边形C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台3.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为( )A. 3B. 4C. 3.5D. 4.54.雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度CD，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在地面上点E处(A,C,E三点共线)测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为30∘和45∘，在B处测得塔顶部D的仰角为15∘，则雷锋塔的高度约为( )A. 50mB. 62mC. 72mD. 88m5.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(ω>0,A>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，且f(0)=1，则( )A. f(x)=2sin (x +π3)B. f(x)=2sin (2x−π3)C. f(x)=2sin (2x +π6)D. f(x)=2sin (x +π6)6.如图所示直三棱柱ABC−DEF 容器中，AB =BC 且AB ⊥BC ，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE 平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB 的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为( )A. 34B. 12C. 13D. 147.如图，已知四棱锥M−ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E 为CD 的中点，则异面直线CM 与AE 所成的角的余弦值为( )A. 35 B. 9 540 C. 515 D. 3 5208.在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =4，4 6a sin 2C =3(a 2+b 2−c 2)sin B ，点O满足2OA +OB +OC =0，且cos ∠CAO =14，则△ABC 的面积为A. 2 15B. 4 15C. 15D. 3 152二、多选题：本题共3小题，共18分。
数学高一-湛江市2022—2023 学年第二学期高一数学期末试题
2022-2203学年第二学期湛江市高一年级期末调研考试高一数学科试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有5．下列结论中正确的是()A.在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”必要不充分条件B.在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C.两个向量a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使b aλ=D.对于非零向量a，b，“0a b +=”，是“//a b”的充分不必要条件6．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )(S r πα=-单位：2km )，则S 占地球表面积的百分比约为()A.26%B.34%C.42%D.50%合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.9．若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为()A.圆锥的母线长为2B.圆锥的底面半径为2C.圆锥的体积为3π D.圆锥的侧面积为π10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果.定义事件：M 表示事件“7x y +=”，N 表示事件“xy 为奇数”，G 表示事件“3x >”，则下列结论正确的有A ．M 与N 互斥但不对立B ．M 与N 对立C ．M 与G 相互独立D ．N 与G 相互独立11．一组互不相等的数组成样本数据129,,...,x x x ，其平均数为(,1,2,...,9)i a a x i ≠=，若插入一个数a ，得到一组新数据，则A ．两组样本数据的平均数相等B ．两组样本数据的中位数相等C ．两组样本数据的方差相等D ．两组样本数据的极差相等12．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现将ABE ∆沿AE 问上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.青年节团知识竞赛活动，为了名，将其成绩整理后分为分），但是第一、二两组数内的平均数为136，方差为8，在[140,150]内的平均[130,150]内的平均数和方差．。
2018-2019广东省湛江市高一下学期期末数学试题（解析版）
2018-2019学年广东省湛江市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【答案】B【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为3π8，半径为1， ∴2313824l ππαα=∴=故选B2．甲、乙、丙、丁4名田径选手参加集训，将挑选一人参加400米比赛，他们最近10次测试成绩的平均数和方差如下表；根据表中数据，应选哪位选手参加比赛更有机会取得好成绩？（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【解析】由平均数及方差综合考虑得结论． 【详解】解：由四位选手的平均数可知，乙与丁的平均速度快； 再由方差越小发挥水平越稳定，可知丙与丁稳定， 故应选丁选手参加比赛更有机会取得好成绩． 故选：D ． 【点睛】本题考查平均数与方差，熟记结论是关键，属于基础题．3．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12 C ．1 D ．32【答案】D【解析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a bS b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值， 可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112>-， 所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值0～5051～100101～150151～200201～300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占14C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对A，因为第10天与第11天AQI指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确；对C，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D，由图知，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.5．在平行四边形ABCD 中，()()1.2,2,0A B -,()2,3AC =-,则点D 的坐标为（ ） A ．()6,1 B ．()6,1--C ．()0,3-D ．()0,3【答案】A【解析】先求AB ,再求AD AC AB =-,即可求D 坐标 【详解】AB 32=--（，），∴AD AC AB 51=-=-（，），则D(6,1) 故选A 【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题6．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ） 3 9 4 0 1 1 2 5 5 1 3 6 6 7 7 8 8 8 9 6 0123345A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可． 【详解】解：样本间隔为2464÷=，年龄不超过55岁的有8人， 则这个小组中年龄不超过55岁的人数为2人．故选：B ． 【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．7．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．23【答案】A 【解析】因为[,]22x ππ∈-,若1cos [0,]2x ∈,则[,][,]2332x ππππ∈--⋃, ()21233()22P ππππ-⨯∴==--，故选A.8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 9．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）A ．3172B ．712C ．2572D ．1572 【答案】B【解析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果. 【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为11115(1)(1)(1)64312P =-⨯-⨯-=， 所以三人中至少有一人被录取的概率为17112P P =-=， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式()()1P A P A +=，求得结果.10．在ABC ∆中，D 为BC 的中点，2,AB AC ==AD BC ⋅=（ ）A ．32B ．32-C ．3D ．-3【答案】A【解析】本题中AB 、AC 长度已知，故可以将AB 、AC 作为基底，将向量、AD BC 用基底表示，从而解决问题． 【详解】解：在ABC ∆中，因为D 为BC 的中点， 所以，2AB ACAD +=()()AB AC 13AD BC AC AB 74222+•=•-=-=故选A 【点睛】向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法．基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算． 11．将3sin 4y x =的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，若()f m a =，则π3f m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．a -B ．3a --C ．3a -+D ．6a --【答案】D【解析】因为()3sin[4()]33sin[4]3123f x x x ππ=+-=+-，所以3sin[4]33m a π+-=，因此3f m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭53sin[4]33sin[4]333633m m a a ππ--=-+-=---=--，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 12．已知在Rt ABC ∆中，两直角边1AB =，2AC =，D 是ABC ∆内一点，且60DAB ∠=，设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则λμ=（ ）A ．3B ．3C ．3D ．【答案】A【解析】分析：建立平面直角坐标系，分别写出B 、C 点坐标，由于∠DAB=60°，设D 点坐标为（m ），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．详解：如图以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（1，0），C 点坐标为（0，2），因为∠DAB=60°，设D 点坐标为（m ），AD AB AC λμ=+=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m ，μ=2m ，则3λμ=． 故选A ．点睛：本题主要考察平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，属于中档题．二、填空题13．已知向量(2,1)m =，(,2)n x =，若m n ⊥，则实数x =__________. 【答案】1-【解析】根据平面向量m n ⊥时0m n =，列方程求出x 的值． 【详解】解：向量(2,1)m =，(,2)n x =， 若m n ⊥，则0m n =， 即220x +=， 解得1x =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．14．若tan α、tan β是方程2240x x --=的两根，则tan()αβ-=__________. 【答案】25【解析】由题意利用韦达定理求得tan α、tan β 的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值． 【详解】 解：tan α、tan β是方程2240x x --=的两根，tan tan 2αβ∴+=，tan tan 4αβ⋅=-，tan 15α∴=+，tan 15β=tan 15α=，tan 15β=+则tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--==+，故答案为：． 【点睛】本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题． 15．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为23和34，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________. 【答案】512【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解． 【详解】解：两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为23和34， ∴这两个零件中恰有一个一等品的概率为：2323511343412p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：512． 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)236g x m x m π=--+(0)m >，若对所有的20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦总存在10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】分别求得f （x ）、g （x ）在[0，4π]上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m 的取值范围． 【详解】∵f （x ）（2cos 2x ﹣1）cos2x=2sin （2x+3π）， 当x ∈[0，4π]，2x+3π∈[3π，56π]，∴2sin （2x+3π）∈[1，2]，∴f （x ）∈[1，2]．对于g （x ）=mcos （2x ﹣6π）﹣2m+3（m ＞0），2x ﹣6π∈[﹣6π，3π]，mcos （2x ﹣6π）∈[2m，m]， ∴g （x ）∈[﹣32m +3，3﹣m]．由于对所有的x 2∈[0，4π]总存在x 1∈[0，4π]，使得f （x 1）=g （x 2）成立， 可得[﹣32m+3，3﹣m]⊆[1，2]， 故有 3﹣m≤2，﹣32m +3≥1，解得实数m 的取值范围是[1，43]． 故答案为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x 2∈[0，4π]总存在x 1∈[0，4π]，使得f （x 1）=g （x 2）成立”的含义，转化为f （x ）的值域是g （x ）的子集．三、解答题17．已知角α的终边经过点1,33P ⎛- ⎝⎭.（1）求tan α的值；（2()sin ππαα⎛⎫-++ ⎪的值.【答案】（1）-；（2）【解析】（1）直接利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值． （2）利用诱导公式化简所给的式子，再把tan α=-代入，求得结果． 【详解】解：（1）因为角α的终边经过点122,33P⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可知223tan2213α==--．（2）由（1）知tan22α=-，∴()()()22ssiin cos2tan13n sin232cos si an2cos sin32t nααααααππαααπα⎛⎫-++⎪⎝⎭++--=++=+)()22213223222⋅-+==-+-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．18．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0,0,Aωϕπ>><）的一段图象如图所示.（1）求函数()f x的解析式；（2）若3,84xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x的值域.【答案】（1）3()2sin24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）2,2⎡⎤⎣⎦【解析】（1）由函数()f x的一段图象求得A、T、ω和ϕ的值即可；（2）由3,84xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得324xπ+的取值范围，再利用正弦函数的性质求得()f x的最大和最小值即可．【详解】解：（1）由函数()sin()f x A xωϕ=+的一段图象知，2A =，32882T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 2T ππω∴==，解得2ω=，又8x π=-时，2sin 228πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，242k ππϕπ-+=+，()k Z ∈，解得324k πϕπ=+，()k Z ∈； ϕπ<，34πϕ∴=∴函数()f x 的解析式为3()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）当3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3520,44x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令3242x ππ+=，解得8x π=-，此时()f x 取得最大值为2；令35244x ππ+=，解得4x π=，此时()f x 取得最小值为；∴函数()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦．【点睛】本题考查了函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象和性质的应用问题，属于基础题． 19．某科研小组对冬季昼夜温差大小与某反季节作物种子发芽多少之间的关系进行分析，分别记录了每天昼夜温差和每100颗种子的发芽数，其中5天的数据如下，该小组的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，再用方程对其余的2组数据进行检验.（1）求余下的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是第2、3、4天的数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与2组检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式；线性回归方程ˆˆˆybx a =+中系数计算公式：()()()121ˆn iii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑()1221ni ii ni i x y n x yx n x ==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆay b x =-⋅，其中x 、y 表示样本的平均值） 【答案】（1）35；（2）38y x =-；（3）线性回归方程是可靠的. 【解析】（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； （2）由已知数据求得b 与a ，则线性回归方程可求；（3）利用回归方程计算10x =与8时的y 值，再由已知数据作差取绝对值，与1比较大小得结论． 【详解】解：（1）设“余下的2组数据恰好是不相邻2天数据为事件A ”， 从5组数据中选取3组数据，余下的2组数据共10种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中事件A 的有6种，()63105P A ∴==； （2）由数据求得12x =，28y =， 且311014i i i x y ==∑，321434ii x==∑．代入公式得：3132221310143122834343123iii ii x yxyb xx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，283128a y bx =-=-⨯=-．∴线性回归方程为：38y x =-；（3）当10x =时，310822y =⨯-=，22231-， 当8x =时，38816y =⨯-=，16161-． 故得到的线性回归方程是可靠的． 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查古典概型的概率计算问题，属于中档题．20．已知点(1,0)A 、(1cos 2,1)M x +、22)N x m +（,x R m R ∈∈），且()f x AM AN =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）如果当5,66x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，两个函数()f x 与()2g x =的图象有两个交点，求m 的取值范围.【答案】（1）()2cos 223f x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）()0,2m ∈【解析】（1）根据向量坐标以及向量的数量积公式求出y ，利用辅助角公式即可求()y f x =的解析式；（2）5,66x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求出23x π-的范围，令()2cos 23h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,66x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则画函数图象，由两个函数()f x 与()2g x =的图象有两个交点，建立不等关系即可求m 的值．【详解】解：（1）(1,0)A ，(1cos 2,1)M x +，22)N x m +，∴(cos 2,1)AM x =，(1,22)AN x m =+，则()cos 222f x AM AN x x m ==++2cos 223x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2cos 223y f x x m π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭；（2）因为5,66x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，242,333x πππ⎡⎫∴-∈-⎪⎢⎣⎭， 令()2cos 23h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,66x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则画函数图象如下所示：2cos 21663h πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，552cos 21663h πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 要使两个函数()f x 与()2g x =的图象有两个交点， 则222m +>，222m -<，解得02m << 解得()0,2m ∈． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用向量的数量积公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键． 21．已知函数()2f x x ax b =-+.（1）若,{0,1,2,3}a b ∈，求函数()f x 有零点的概率； （2）若,[0,3]a b ∈，求()11>f 成立的概率. 【答案】（1）716；（2）12【解析】（1）求得()f x 有零点的条件，运用古典概率的公式，计算可得所求； （2）若,[0,3]a b ∈， ()11>f 即0b a ->，画出不等式组表示的区域，计算面积可得所求． 【详解】解：（1）函数2()f x x ax b =-+有零点的条件为0∆，即240a b -，,{0,1,2,3}a b ∈，可得事件的总数为4416⨯=，而()f x 有零点的(),a b 个数为()0,0，()1,0，()2,0，()2,1，()3,0，()3,1，()3,2共7个，则函数()f x 有零点的概率为716；（2）若,[0,3]a b ∈，()11f >即0b a ->，画出00303b a a b ->⎧⎪⎨⎪⎩的区域，可得()11>f 成立的概率为13312332⨯⨯=⨯．【点睛】本题考查古典概率和几何概率的求法，考查运算能力，属于基础题． 22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量()1,2a =-，又点()8,0A ，(),B n t ，()sin ,C k t θ，R θ∈.（1）若AB a ⊥，且5AB OA =，求向量OB ； （2）若向量AC 与向量a 共线，常数0k >，求()sin ft θθ=的值域. 【答案】（1）()24,8或()8,8--；（2）当4k >时()fθ的值域为32216,k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 04k <≤时()f θ的值域为[]216,216k k ---+.【解析】分析：（1）由已知表示出向量AB ，再根据AB a ⊥，且5AB OA =，建立方程组求出,n t ，即可求得向量OB ；（2）由已知表示出向量AC ，结合向量AC 与向量a 共线，常数0k >，建立t 的表达式，代入()sin f t θθ= 24322sin k k k θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，对k 分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出()fθ值域.详解：（1）()8,AB n t =-，∵AB a ⊥，且5AB OA =， ∴()820n t --+=()22885n t -+=解得8t =±，8t =时，24n =；8t =-时，8n =-. ∴向量()24,8OB =或()8,8OB =--.（2）()sin 8,AC k t θ=-，∵向量AC 与向量a 共线，常数0k >， ∴2sin 16t k θ=-+，∴()2sin 2sin 16sin f t k θθθθ==-+ 24322sin k k k θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. ①当401k <<即4k >时，当4sin k θ=时，()sin f t θθ=取得最大值32k， sin 1θ=-时，()sin f t θθ=取得最小值216k --，此时函数()f θ的值域为32216,k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. ②当41k≥即04k <≤时，当sin 1θ=时，()sin f t θθ=取得最大值216k -+， sin 1θ=-时，()sin f t θθ=取得最小值216k --，此时函数()f θ的值域为[]216,216k k ---+.综上所述，当4k >时()fθ的值域为32216,k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 04k <≤时()f θ的值域为[]216,216k k ---+.点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计算、三角函数的值域等问题，考查了分类讨论方法、推理与计算能力.。
广东省湛江市高一下学期数学期末考试试卷
广东省湛江市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·肥东模拟) 已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则（）A . 1B .C . 2D .2. （2分）若m，n是实数，且m＞n，则下列结论成立的是（）A . lg（m﹣n）＞0B . （）m＜（）nC . ＜1D . m2＞n23. （2分）(2017·芜湖模拟) 以椭圆C： + =1（a＞b＞0）上一动点M为圆心，1为半径作圆M，过原点O作圆M的两条切线，A，B为切点，若∠AOB=θ，θ∈[ ， ]，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）已知，，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分）在中，“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2020·上饶模拟) 已知等差数列的前n项和为，且，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·闵行期末) 已知直线的斜率为，则直线的法向量为（）A .B .C .D .8. （2分）直线x=2的倾斜角为（）A . 90°B . 45°C . 30°D . 不存在9. （2分）已知，给出下列命题：①若，则；②若ab≠0，则；③若，则；其中真命题的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 010. （2分）(2017·兰州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y ﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a=（）A .B . 2C .D . 311. （2分）(2018·郑州模拟) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于，，则与的面积之比（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·汉中月考) 过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·黄浦期末) 已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ • • • • • • ，则σ的取值范围是________.14. （1分）已知实数满足约束条件，则实数z的最大值是________.15. （1分）等差数列中，则 ________.16. （1分） (2016高二上·遵义期中) 点P在椭圆 =1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率.18. （5分）已知向量 =（，）， =（cos x，sin x）．若函数f （x）= • ，求函数f （x）的最小正周期和单调递增区间．19. （10分）(2017·兰州模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．20. （10分）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2016 ．21. （10分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2 时，求直线l方程．22. （10分） (2017高三下·绍兴开学考) 已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为，O为坐标原点，求△OPQ 面积的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
广东省湛江市高一下学期期末数学考试试卷
广东省湛江市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）函数y=4tan（2x+ ）+1的最小正周期是________．2. （1分） (2016高二上·温州期中) 设点Pi（xi ， yi）在直线li：aix+biy=ci上，若ai+bi=ici（i=1，2），且|P1P2|≥ 恒成立，则 + =________．3. （1分） (2016高三上·吉林期中) 已知 =﹣1，则tanα=________．4. （1分）已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为________ ．5. （1分） (2020高一下·徐汇期末) 已知数列满足，且，则数列的通项公式 ________.6. （1分）正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影E1F1长的范围是________7. （1分） (2018高二上·石嘴山月考) 设公比为的等比数列的前项和为，若，则 ________．8. （1分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________9. （1分）(2020·海安模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________．10. （1分）函数f（x）=cos（2x﹣）+1的对称中心为________ ．11. （1分）如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C 点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为________12. （1分） (2016高一下·赣州期中) 若数列{xn}满足，且x1+x2…+x10=100，则lg（x11+x12…+x20）=________．13. （1分）(2019·临沂模拟) 在所在平面上一点，且满足，则的值为________．14. （1分）(2018·肇庆模拟) 已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.二、解答题： (共6题；共65分)15. （15分） (2016高二上·吉林期中) 如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC=2（1）求证：AM⊥平面EBC（2）（文）求三棱锥C﹣ABE的体积．（3）（理）求二面角A﹣EB﹣C的大小．16. （5分） (2018高一下·珠海月考) 设与是两个不共线的非零向量 .（Ⅰ）记 , , ,那么当实数为何值时，、、三点共线？（Ⅱ）若 ,且与的夹角为，那么实数x为何值时的值最小？17. （15分） (2020高三上·天津月考) 已知函数 .（1）求的定义域；（2）求在区间上的最大值；（3）求的单调递减区间.18. （5分）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），在河岸边选定两点C、D，测得CD=1000米，∠ACB=30°，∠BCD=30°，∠BDA=30°，∠ADC=60°，求AB的长．19. （10分） (2019高二上·吉林月考) 已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于，，， .（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.20. （15分） (2019高二上·上海期中) 如图，已知直线和直线，射线的一个法向量为，点为坐标原点，，，点、分别是直线、上的动点，直线和之间的距离为2，于点，于点；（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，，求的最小值.参考答案一、填空题 (共14题；共14分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题： (共6题；共65分)答案：15-1、答案：15-2、答案：15-3、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。
广东省湛江市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题
广东省湛江市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.{}3525M x x =-<-<，{N x y ==，则M N ⋃=（ ）A.[3,4)-B.(4,3]-C.(,0)-∞D.[3,)-+∞ 1()25x f x x -=+-的零点所在的区间为（ ）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)ABC △中，点E 在中线CD 上，且7CE ED =，则AE =（ ） A.1788AC AB + B.1788AC AB - C.17816AC AB - D.17816AC AB + 4.利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ ）A.①②B.②③C.①②③D.②④ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =45A =︒，105C =︒，则b =（ ） A.3B.2C.1D.121111ABCD A BC D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为（ ）A.2B.2C.2D.23 (0,)x ∈+∞，()241a x x +≥恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A.15B.14C.13D.12ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin a C c B =，且225sin (4cos )sin 2A C B -=-，则ABC △一定是（ ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中为真命题的是（ ）A.“0a b -=”的充要条件是“1a b =”B.“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件 “x ∃∈R ，220x x -<”的否定是“x ∀∈R ，220x x -≥”D.“2a >，2b >”是“4ab >”的必要条件10.下列命题错误的是（ ）A.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D.棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=()|cos |3|sin |f x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的最小值为1 12.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，则下列结论中正确的有（ ）E 点运动时，1AC AE ⊥总成立 E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小E AB C --的最小值为45°A BEF -的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.z 在复平面内对应的点在第二象限，且||5z =，则z =______.（写出满足条件的一个复数即可） ||2a =，||43b =，12a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为______.()2()lg 45f x x x =-++的单调递增区间为______.P ABC -外接球的表面积为676π，PB ⊥平面ABC ，10PB =，150BAC ∠=︒，则BC 的长为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1i(,)z a b a b =+∈R ，224i 1iz +=-，且它们在复平面上对应的点分别为1Z ，2Z ，13(1)13i z i +--=-+. （1）求a ，b ； （2）求12Z Z . {}()(23)0A x x m x m =+-+<，其中m ∈R ，集合203x B x x ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭. （1）当1m =-时，求A B ⋃；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.()4sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且(0)3f =. （1）求ω和ϕ的值.（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象， ①求函数()g x 的单调递增区间；②求函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 20.如图，ABC △是等边三角形，EA ⊥平面ABC ，//DC EA ，2AE AB CD ==，F 为BE 的中点.（1）证明：//DF 平面ABC .（2）证明：AF ⊥平面BDE .ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22232cos R ab C a b +=+，R 为ABC △外接圆的半径，23c =2C π<.（1）若6a b +=，求ABC △的面积；（2）求a b +的最大值，并判断此时ABC △的形状.0a >，函数1()13xf x a =+⋅. （1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义法证明；（2）设()()()g x f x f x =-，若对任意[1,1]x ∈-，()(2)g x f ≥恒成立，求a 的取值范围.湛江市2020~2021学年度第二学期期末高中调研考试高一数学试卷参考答案1.A 因为(0,4)M =，[3,3]N =-，所以[3,4)M N ⋃=-.2.B 因为()f x 是增函数，且(2)0f <，(3)0f >，所以零点所在的区间为(2,3).3.D 因为77()88AE AC CE AC CD AC AD AC =+=+=+-，12AD AB =， 所以17816AE AC AB =+. 4.A 对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确； 对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半知，正方形的直观图不是菱形，③错误；对于④，因为45x O y '''∠=︒，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，④错误.45A =︒，105C =︒，所以30B =︒， 由sin sin a bA B =sin 30b=︒，解得1b =.BE （图略），因为//CD AB ，所以BAE ∠为异面直线AE 与CD 所成的角.设棱长为2，易知AB BE ⊥，3E ==， 所以2cos 3BAE ∠=.7.B 因为114a x x≥+，144x x +≥，所以14a ≥.sin sin a C c B =，所以ac cb =，解得a b =，从而A B =.又2C A B A ππ=--=-，由s 225sin (4cos )sin 2A CB -=-， 得22sin (5cos2)5A A +=，进一步整理得()()222sin 12sin 50A A --=，所以sin 2A =， 则4A B π==，2C π=，故ABC △为等腰直角三角形.9.BC 对于A ，当0b =时，一不存在，A 错误；对于B ，当1a =，1b =-时，11a b<不成立，B 正确； 根据命题的否定的定义知C 正确；对于D ，“2a >，2b >”是“4ab >”的充分条件，不是必要条件，D 错误.10.AB 直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，A 错误；若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B 错误；易知C ，D 均正确.11.AD 因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，A 正确；()f x 显然是周期函数，因为()|cos()|sin()||cos |sin |()f x x x x x f x πππ+=++==，所以B 错误； 因为当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()|cos |sin |cos 2sin 6f x x x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，C 错误； 由B 中解答知π是()f x 的周期，因为2sin ,0,,62()2sin ,,,62x x f x x x πππππ⎧⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦=⎨⎛⎫⎛⎤⎪-∈ ⎪ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎩当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min (1)f x =， 当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，min ()1f x =， 所以()f x 的最小值为1，D 正确.12.ACD 对于A ，易证11B D ⊥平面11AC C ，所以111AC B D ⊥，同理可证11AC AD ⊥，从而1AC ⊥平面11AB D ， 所以1AC AE ⊥恒成立，A 正确； 对于B ，平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --的大小不变，B 错误； 对于C ，当点E 从11B D 的中点向点1D 运动时，平面ABE 逐渐向底面ABCD 靠拢，这个过程中，二面角越来越小，所以二面角E AB C --的最小值为45°，C 正确；对于D，因为11224BEF S =⨯=△， 点A 到平面11BDD B的距离为2，所以体积为11312=，即体积为定值，D 正确. 13.43i -+（答案不唯一）设i z a b =+，a ，b ∈R ，只需满足0a <，0b >，2225a b +=即可.14.6π 设向量a 与b 的夹角为θ， 因为3cos 2||||a b a b θ⋅==， 所以6πθ=.15(1,2)-（或写成(1,2]-也可以） 因为函数()f x 的定义域为(1,5)-， 抛物线245y x x =-++的对称轴为直线2x =，开口向下，所以()f x 的单调递增区间为(1,2)-.16.12 设球的半径为R ，ABC △外接圆的半径为r ，由24676R ππ=，得13R =.由2sin 30BC r =︒，得r BC =. 因为22210132r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以12r BC ==.17.解：（1）因为13(1i)13i z +--=-+，所以126i z =+.又因为1i z a b =+，所以2a =，6b =.（2）因为224i 2(12i)(1i)13i 1i 2z +++===-+-， 所以2(1,3)Z -.由（1）知126i z =+，所以1(2,6)Z ，所以12Z Z ==18.解：（1）集合{}20323x B x x x x ⎧-⎫=>=-<<⎨⎬+⎩⎭∣.当1m =-时，()(23)0x m x m +-+<可化为(5)(1)0x x +-<， 解得51x -<<， 所以集合{}51A x x =-<<， 故{}52A B x x ⋃=-<<.（2）显然A ≠∅，即1m ≠.当23m m -<-，即1m >时，{}23A x m x m =-<<-.又因为B A ⊆， 所以1,3,232,m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩所以3m ≥.当23m m ->-，即1m <时，{}23A x m x m =-<<-.又因为B A ⊆， 所以1,233,2,m m m <⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩所以2m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围为(,2][3,)-∞-⋃+∞.方法二：因为B A ⊆， 所以对于任意的{}32x B x x ∈=-<<，()(23)0x m x m +-+<恒成立. 令()()(23)f x x m x m =+-+， 则(3)0,(2)0,f f -≤⎧⎨≤⎩即2(3)0,(2)(52)0,m m m m --+≤⎧⎨+-≤⎩解得2m ≤-或3m ≥，所以实数m 的取值范围为(,2][3,)-∞-⋃+∞.19.解：（1）()f x 的最小正周期为π， 所以2ππω=，即2ω=.又因为(0)3f =， 所以1sin 2ϕ=， 即6πϕ=.（2）由（1）可知()4sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则()4cos 21g x x =-+.①由2[2,2]()x k k k πππ∈+∈Z ， 得函数()g x 的单调递增区间为,()2k k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . ②因为03x π≤≤， 所以2023x π≤≤. 当223x π=， 即3x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为33g π⎛⎫= ⎪⎝⎭20.证明：（1）如图，取AB 的中点G ，连接CG ，FG . 因为EF FB =，AG GB =，所以//FG EA ，12FG EA =. 又因为//DC EA ，12DC EA =，所以//FG DC ，FG DC =，四边形CDFG 为平行四边形，所以//DF CG .因为DF ⊂/平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，所以//DF 平面ABC .（2）因为EA ⊥平面ABC ，所以EA CG ⊥.又因为ABC △是等边三角形，G 是AB 的中点， 所以CG AB ⊥.因为AE AB A ⋂=，所以CG ⊥平面ABE .由（1）知//DF CG ，所以DF ⊥平面ABE ，从而DF AF ⊥.因为AE AB =，F 为BE 的中点，所以AF BE ⊥.又BE DF F ⋂=，所以AF ⊥平面BDE .21.解：（1）由22232cos R ab C a b +=+，得223R c =. 又因为2sin c R C=， 所以22234sin R R C =，解得sin C =. 又2C π<， 所以3C π=.由余弦定理得2212a b ab =+-，所以212()3a b ab =+-，因为6a b +=，所以8ab =，所以1sin 23ABC S ab π==△. （2）由余弦定理得22212()3a b ab a b ab =+-=+-， 所以2223112()()()44a b a b a b ≥+-+=+， 所以2()48a b +≤，a b +≤当且仅当a b =时等号成立，所以a b +的最大值为此时ABC △为等边三角形..方法二：用正弦定理计算同样给分.22.（1）证明：当0a >时，()f x 在R 上单调递减. 任取12x x <，()()()()()211212331313x x x x a f x f x a a --=+⋅+⋅，由于12x x <，所以21330x x ->，所以()()120f x f x ->，故()f x 在R 上单调递减.（2）解：依题意，2111()([1,1])11313313x x x x g x x a a a a -=⋅=∈-+⋅+⋅⎛⎫+++ ⎪⎝⎭. 令3x t =，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以1y t t =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 在[1,3]上单调递增， 且当13t =和3t =时，103y =， 而当1t =时，2y =， 所以1102,3y t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦. 因为0a >， 所以2211031133x x a a a a ⎛⎫+++≤++ ⎪⎝⎭， 故2211()10113133x x g x a a a a =≥⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭. 因为对任意[1,1]x ∈-，1()(2)91g x f a ≥=+恒成立， 所以211109113a a a ≥+++， 即2101913a a a ++≤+， 化简得21703a a -≤， 解得1703a <≤，故a 的取值范围是170,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
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广东省湛江市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·全国Ⅲ卷理) 已知集合，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 若向量，且，则（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）如果角的终边经过点，那么的值是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a ＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0 ，使f（x0）
＞d．下列四个函数中，，，中“S 函数”的个数为（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
5. （2分） (2019高二上·张家口月考) 下面的茎叶图表示的是甲乙两人在次综合测评中的成绩、其中一个数字被污损，已知甲、乙的平均成绩相同，则被污损的数字为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2019·黄冈模拟) 已知圆与函数的图象有唯一交点，且交点的
横坐标为，则（）
A .
B . 2
C .
D . 3
8. （2分） (2017高二下·郑州期中) 极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）
A . 圆、直线
B . 直线、圆
C . 圆、圆
D . 直线、直线
9. （2分） (2020高二下·芮城月考) 我们可以用随机数法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0,1）内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计的近似值为（）
A . 3．119
B . 3．124
C . 3．132
D . 3．151
10. （2分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高二下·诸暨期末) 将函数的图形向左平移个单位后得到的图像关于y轴对称，则正数的最小正值是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）(2013·大纲卷理) 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）
A .
B .
C .
D . 2
二、填空题 (共4题；共6分)
13. （1分） (2016高二上·秀山期中) 已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0，若直线MN垂直于直线x+2y ﹣3=0，则N点坐标是________．
14. （1分） (2018高二下·集宁期末) 某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温/℃181310-1
用电量/千瓦时24343864
由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为________．
15. （2分） (2019高一上·衢州期末) 已知，且，则 ________，
________.
16. （2分）(2020·枣庄模拟) 设双曲线的左右两个焦点分别为、，P是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E 上，点，，则的最小值________.
三、解答题 (共6题；共65分)
17. （5分） (2017高一下·温州期末) 设函数f（x）=﹣ sinx cosx+1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0， ]，且f（x）= ，求cosx的值．
18. （10分）(2018·延安模拟) 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位：克）分别在，，，，，中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率；
（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
方案：所有芒果以10元/千克收购；
方案：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
19. （10分） (2018高一下·毕节期末) 已知向量， .
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的单调减区间.
20. （10分）(2016·四川理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E
为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
21. （15分） (2016高二上·六合期中) 已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）求线段AB长度的最小值．
22. （15分） (2016高一上·金华期中) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共65分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、21-2、
21-3、22-1、22-2、
22-3、。