高一数学幂函数题型复习总结
幂函数总结
幂函数总结1．幂函数y ＝x α的图象分布规律是一个难点，应重点抓住．(1)α＝0时，不过(0,1)点；(2)α为整数时，α为奇数则函数为奇函数，α为偶数则为偶函数，α<0不过原点；(3)α为分数时，设α＝p q(p 、q 是互质的整数)，p 、q 都是奇数，则为奇函数，p 为偶数，则为偶函数，q 为偶数，则图象仅分布在第一象限内．[例1] 已知幂函数y ＝x p q (p ，q ∈N *)的图象如下图所示，则A ．p ，q 均为奇数，且p q>0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q<0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q>0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q<0 练习1 画出函数y ＝x －23的草图．2．幂函数的单调性最好结合图象理解记忆应用．特别是当α<0时，常常要分段考察，从而导致分类讨论．[例2] 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，求实数a 的取值范围．练习2 已知(2a －1)－2>(a ＋3)－2，求实数a 的取值范围．3．幂、指、对函数值大小的比较一般次序为：先区分正负，正值再与1比较；对于幂式，同底的用指数函数单调性，同指数的用幂函数单调性或指数函数图象的分布规律；对数式同底数的用对数函数单调性，同真数的用对数函数图象的分布规律．其它的根据数的特点等价转化．4．指对函数性质的题目具有一定综合性，解题时要紧扣题目条件探寻性质的应用．[例4] 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x ，求使f (x )<0成立的x的取值范围．巩固练习1．已知0<a <1，m <－1，则函数y ＝log a (x －m )的图象大致为2．已知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x －1，则使f (x )>1成立的x 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．设a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x 和函数y ＝log a 1x的图象关于A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．b B ．－b C.1b D ．－1b 5．设函数f (x )＝log2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞) C ．(12，1) D ．(0，12) 6．函数y ＝lg(ax ＋1)在(－∞，1)上有意义，则a 的取值范围是________．7．已知x 2<x 12，则x 的取值范围是________．。
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
高一数学复习考点题型专题讲解16 幂函数
高一数学复习考点题型专题讲解 第16讲 幂函数（难点）一、单选题1．已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．()3,+∞【答案】A【分析】构造函数()()2g x f x =-，容易判断()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，进而将原不等式转化为()()12g a g a >-，最后根据单调性求得答案.【解析】设()()2g x f x =-，R x ∈，则()()()()()()53533535g x x x x x x x g x -=-+-+-=-++=-，即()g x 为奇函数，容易判断()g x 在R 上单调递增（增+增），又()()214f a f a +->可化为，()()()()()22122112f a f a g a g a g a ->---⇒>--=-⎡⎤⎣⎦，所以a >1－2a ，∴ a >13． 故选：A.2．已知R α∈，则函数2()1x f x x a=+的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【解析】根据2()1x f x x a=+可知210x +>，所以当0x >时，0x α>，即()0f x >，故选项A 错误，而当α为其他值时，B,C,D 均有可能出现. 故选：A3．已知命题p ：幂函数2y x -=在(),0∞-上单调递增；命题q ：若函数()1f x +为偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称．则下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】C【分析】首先分别判断命题p 和命题q 的真假，然后再根据逻辑连接词“且”、“或”、“非”进行判断即可. 【解析】()2210y x x x-==?∴2y x -=是偶函数， 幂函数2y x -=在()0+∞，上单调递减， ∴2y x -=在(),0∞-上单调递增， ∴命题p 为真命题；则p ⌝为假命题；函数()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+()f x ∴的图象关于直线1x =对称∴命题q 为真命题；则q ⌝为假命题；又逻辑连接词“且”为“一假必假”，“或”为“一真必真”， 则对于A ，p q ∧为真命题； 对于B ，p q ⌝∨为真命题； 对于C ，()()p q ⌝∧⌝为假命题； 对于D ，()p q ∨⌝为真命题； 故选：C.4．①函数值域为[0,)+∞；②函数为偶函数；③函数在[0,)+∞上()()12120f x f x x x ->-恒成立；④若任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.已知函数：①121x y =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =.其中同时满足以上四个条件的函数有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【分析】分别作出①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解.【解析】分别作出①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =四个函数的图象：由图知，四个函数的值域都是[)0,∞+都满足①；由图知：①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =图象关于y 轴对称，都是偶函数，④124y x =的定义域为[)0,∞+不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④124y x =不满足条件②；排除函数④124y x =； 条件③：函数在[)0,∞+上()()12120f x f x x x ->-恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在[)0,∞+上单调递增，由四个函数图象可知，①121x y =-，③23y x =，④124y x =满足条件③，函数②212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不满足条件③，排除函数②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于条件④：函数①121xy =-：如图任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故函数①121xy =-满足条件④，函数③23y x =：如图任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故函数③23y x =满足条件④，所以同时满足以上四个条件的函数有函数①121xy =-、函数③23y x =，共有2个，故选：C5．已知点（n ，8）在幂函数()(2)m f x m x =-的图象上，则函数()g x =域为（ ）A ．[0,1]B ．[2,0]-C ．[1,2]-D ．[2,1]- 【答案】D【分析】由()(2)m f x m x =-为幂函数可求m ，由点（n ，8）在幂函数()(2)m f x m x =-的图象上可求n ，再根据函数的单调性求函数()g x .【解析】由题可得m －2＝1，解得m ＝3，所以3()f x x =，则3()8,2f n n n ===，因此()g x ==[2，3]，因为函数=yy =-[2，3]上单调递减，所以函数g （x ）在[2，3]上单调递减，而g （2）＝1，g （3）＝－2，所以g （x ）的值域为[－2，1]． 故选:D.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2221()232f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．⎡⎢⎣⎦ 【答案】B【分析】根据函数的解析式，分20x a ≤≤、222a x a <<和22x a ≥三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解. 【解析】由题意，当0x ≥时，()2221()232f x x a x a a =-+--， 所以当20x a ≤≤时，()2221()232f x a x a x a x =-+--=-； 当222a x a <<时，()22221()232f x x a a x a a =-+--=-； 当22x a ≥时，()22221()2332f x x a x a a x a =-+--=-. 综上，函数()2221()232f x x a x a a =-+--， 在0x ≥时的解析式等价于222222,0(),23,2x x a f x a a x a x a x a ⎧-≤≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩. 根据奇函数的图像关于原点对称作出函数()f x 在R 上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则需满足()22241a a --≤，解得a ≤≤故选：B.7．定义新运算“⊕”如下：2,,a a b a b b a b⎧⊕=⎨<⎩…，已知函数()(1)2(2)([2,2])f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足(2)(2)f m f m -…的实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．122⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦C ．[0.1]D ．[ 1.4]-【答案】C【解析】根据新定义，得到()f x 的表达式，判断函数()f x 在定义域的单调性，可得结果. 【解析】当21x -≤≤时，()f x =1?224x x -⨯=-；当12x <≤时，23()224f x x x x =⋅-⨯=-； 所以34,21()4,12x x f x x x --⎧=⎨-<⎩剟…，易知，()4f x x =-在[ 2.1]-单调递增，3()4f x x =-在(1,2]单调递增，且当12x -≤≤时，max ()3f x =-， 当12x <…时，max ()3f x =-，则()f x 在[ 2.2]-上单调递增， 所以(2)(2)f m f m -…得22222222m m m m -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤⎩，解得01m 剟. 故选：C【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数()f x 以及判断单调性，难点在于m 满足的不等式，属中档题.8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【解析】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、多选题9．黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是{y y R ∈且0}y ≠；③在(,0)-∞上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（ ） A ．2()f x x =B ．()f x x = C ．1()f x x -=D ．13()f x x -= 【答案】CD【分析】通过已知三个条件，分别奇偶性、值域和单调性即可排除选项.【解析】由已知可得，此函数为奇函数，而A 选项2()f x x =为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B ，()f x x =的值域为}{y y R ∈，且该函数在R 上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C 、D 同时满足三个条件. 故选：CD.10．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则下列选项中正确的是（ ） A ．()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调性相同 B ．()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调性相反 C ．()f x 和()g x 在(),0-∞上的单调性相同 D ．()f x 和()g x 在(),0-∞上的单调性相反 【答案】BC【分析】通过解方程组求出23()1,(),f x x g x x =+=-再判断单调性即得解.【解析】解：由题得()()32321,()()1f x g x x x f x g x x x ---=-++∴+=-++（1），又()()321f x g x x x -=++ （2），解（1）（2）得23()1,(),f x x g x x =+=-3()g x x =-在(,)-∞+∞上单调递减（因为幂函数3y x =是R 上的增函数），因为23()1,(),f x x g x x =+=-在()0,∞+上的单调性相反（()f x 单调递增()g x 单调递减），23()1,(),f x x g x x =+=-在(),0-∞上都是单调递减，故选：BC11．若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数”B ．若()1f x x x =+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”C ．若()3f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”D ．若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确； 对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x =+在[)1,+∞上为增函数，()21f x y x x-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x-==+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1f x x x=+为“弱增函数”，B 正确；对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3f x x x =+为R 上的增函数，()21f x y x x==+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3f x x x =+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()24f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函数，所以402a --≤，解得4a ≤，又()()4f x a y x a xx==+-+在(]0,2上为减函2，则4a ≥，综上4a =.故D 正确． 故选：ABD ．12．记使得函数()269f x x x =-+在[]1,x n ∈上的值域为[]0,4的实数n 的取值范围为集合A ，过点()4,2的幂函数()g x 在区间[]1,13m m -+上的值域为集合B ，若A 是B 的必要不充分条件，则整数m 的取值可以为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13【分析】根据二次函数的性质可得集合A ；根据幂函数的性质可得集合B ，由集合A 是集合B 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，即可得出答案．【解析】函数()269f x x x =-+的对称轴为3x =，在3x =时取最小值0，故3n ≥，又1x =与5x =时函数值均为4，故5n ≤， 故n 的取值范围为[]3,5，即集合[]3,5A =； 设幂函数()ag x x =，()g x 过点()4,2，即42a =，得12a =，故()g x =[]1,13m m -+上的值域为()1m ≥，即()1B m =≥，若集合A 是集合B 的必要不充分条件，则是[]3,5的真子集，即5(3等号不能同时成立)， 解得1012m ≤≤．则整数m 的取值可以为10，11，12． 故选：ABC三、填空题13．已知函数()33x x f x -=-，则关于 的下列结论：①(0)0f =②()f x 是奇函数③()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增函数④对任意实数a ，方程()0f x a -=都有解，其中正确的有（填写序号即可）__________．【解析】∵()33x x f x -=-，()33(33)x x x x f x ---=-=--，∴()()f x f x =--所以函数()33x x f x -=-是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又1()3333xxxx f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的单调递减函数，3x y =-是R 上的单调递减函数，由函数单调性的性质，所以()33x x f x -=-在R 上单调递减，③不正确；因为()f x 函数值域为R ，所以对任意实数a ，方程()0f x a -=都有解，④正确，故答案为①②④．14．已知函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，R b ∈，且()()0f a f b +<，则a b +______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【分析】由函数()f x 为幂函数，可得m ＝－1或m ＝2，又由题意函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()3f x x =，从而根据函数()f x 的奇偶性和单调性即可求解.【解析】解：因为函数()f x 为幂函数，所以211m m --=，即220m m --=，解得m ＝－1或m ＝2．当m ＝－1时，()31f x x=；当m ＝2时，()3f x x =． 因为函数()f x 对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以()3f x x =，又()()33f x x x -=-=-，所以函数()3f x x =是奇函数，且为增函数，因为()()0f a f b +<，所以()()()f a f b f b <-=-， 所以a b <-，即0a b +<． 故答案为：＜.15．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--.则当13s ≤≤时，t s的取值范围是___________.【答案】1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由f (x −1)的图象相当于f (x )的图象向右平移了一个单位 又由f (x −1)的图象关于(1,0)中心对称 知f (x )的图象关于(0,0)中心对称， 即函数f (x )为奇函数， 得f (s 2−2s )⩽f (t 2−2t )，从而t 2−2t ⩽s 2−2s ,化简得(t −s )(t +s −2)⩽0， 又1⩽s ⩽3，则-1⩽2-s ⩽1，故2−s ⩽t ⩽s , 从而211t ss -剟,而211,13s ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故t s 的取值范围是1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 16．对于函数1()1ax f x x +=-（a 为常数），给出下列命题： ①对任意a ∈R ，()f x 都不是奇函数；②()f x 的图像关于点(1,)a 对称；③当1a <-时，()f x 无单调递增区间；④当2a =时，对于满足条件122x x <<的所有1x ，2x 总有1221()()3()f x f x x x -<-．其中正确命题的序号为__________． 【答案】①②④【解析】①()f x 定义域为{}1x x ≠，∴()f x 不可能为奇函数，正确；②(1)11()11a x a a f x a x x -+++==+--，图像关于(1,)a 对称，正确；③当1a <-时，1()1af x a x +=+-在(,1)-∞和(1,)+∞上为增，错误；④2a =时，3()21f x x =+-在(2,)+∞上为减函数，211221123()()()3()(1)(1)x x f x f x x x x x --=<---，正确，故答案为①②④.四、解答题17．已知函数()()()()212813f x a x b x c x =-+-+-∈R . (1)如果函数()f x 为幂函数，试求实数a 、b 、c 的值；(2)如果0a >、0b >，且函数()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，试求ab 的最大值.【答案】(1)5a =，8b =，1c =，或2a =，9b =，1c =. (2)18【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；（2）分2a =、2a >、02a <<三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得； (1)解：由函数()f x 的定义域为R 知，当()f x 为幂函数时，应满足()12138010a b c ⎧-=⎪⎪⎨-=⎪⎪-=⎩或()12038110a b c ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩解得，a 、b 、c 的值分别为：5a =，8b =，1c =，或2a =，9b =，1c =. (2)解：①当2a =时，()()()81f x b x c x =-+-∈R 由题意知，08b <<，所以16ab <. ②当2a >时，函数()f x 图象的对称轴为()()3822b x a -=-，以题意得：()()38322b a -≥-，即212a b +≤所以122a b ≥+≥18ab ≤. 当且仅当3a =，6b =时取等号. ③当02a <<时，以题意得：()()381222b a -≤-，即326a b +≤，即()10263b a <≤- 又因为02a <<，所以()()()22111691169026132131633333ab a a a <≤-=--+<--+= 综上可得，ab 的最大值为18. 18．已知函数()()90f x x x x=+≠.（1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性；（2）求不等式()()2330f x f x +≤的解集.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-.【解析】（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可；（2）法一：根据函数()()90f x x x x=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2330f x f x +≤转化为解()()233f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()233f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集.【解析】解：（1）设123x x <<，则()()()()121212121212999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ 因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增. （2）法一：原不等式可化为2233330x x x x+++…， 即21120x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，所以121x x-+剟， 当0x >时，12x x+…，不合题意，舍去； 当0x <时，只需解12x x-+…，可化为2(1)0x +…，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-.法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增，又()f x 为奇函数，()()2330f x f x +≤，所以()()()2333f x f x f x ≤-=-，当0x >时，2(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去； 当1x =-时，上式成立；当1x <-时，2333x x >->，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；当10x -<<时，20333x x <<-<，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；综上所述，不等式的解集为{}1-. 【点睛】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.19．已知函数()23111x x f x x +++=+．(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，[]0,1a ∈，不等式()212f x ma m <++恒成立，求m 的取值范围．【答案】(1)()11f x x x=-+(2)()),2-∞-⋃+∞【分析】（1）令1t x =+，则1x t =-，进而根据换元法求解即可；（2）结合函数()f x 的单调性得()max 52f x =，进而将问题转化为对任意[]0,1a ∈，不等式25122ma m <++恒成立，再求解恒成立问题即可. （1）解：令1t x =+，则1x t =-， 则()()()2131111t t f t t t t-+-+==-+，故()11f x x x=-+． （2）解：由（1）可得()11f x x x=-+．因为函数1y x =+和函数1y x =-均在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故()()max 522f x f ==．对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，[]0,1a ∈，不等式()212f x ma m <++恒成立，即对任意[]0,1a ∈，不等式25122ma m <++恒成立，则2251,2251,22m m m ⎧<+⎪⎪⎨⎪<++⎪⎩解得m 2m <-．故m 的取值范围是()),2-∞-⋃+∞．20．已知幂函数()2122mx m m x f ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且在定义域内单调递增. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()21g x f x kf x ⎡⎤=+-⎣⎦，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，是否存在实数k ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)()f x x = (2)存在，且32k =.【分析】（1）结合幂函数的定义、单调性求得m 的值.（2）求得()g x 的解析式，对k 进行分类讨论，结合()g x 的最小值为0来求得k 的取值范围. (1)函数()2122mx m m x f ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是幂函数， 222131,0,2302222m m m m m m +-=+-=+-=， 解得1m =或32m =-.由于()f x 在定义域内递增，所以32m =-不符合， 当1m =时，()f x x =，符合题意. (2)()21g x x kx =+-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x 图象开口向上，对称轴为2kx =-，当122k -≤，即1k ≥-时，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，11310,2422k g k ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭.当1,122k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即21k -<<-时，()222min 1102424k kk k g x g ⎛⎫=-=--=--< ⎪⎝⎭，不符合题意.当12k -≥，即2k ≤-时，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，()1112g k k =+-=≤-，不符合题意.综上所述，存在32k =使得()g x 的最小值为0.21．1.已知函数2,01,()1, 1.x x f x x x≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩(1)求函数()f x 的值域；(2)记()()()a F x f x f a =-，则4()F x m ≤在[0,4]x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)[0,2)(2)7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分别求出()2f x x =和1()f x x=在各自区间上的值域，最后求并集即为分段函数的值域；（2）写出分段函数4()F x ，求出4()F x 的值域70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，然后74m ≥即可(1)当01x ≤<时，()2f x x =，在[)0,1上单调递增，所以 0()2f x ≤< 当1≥x 时，1()f x x=，在[)1,+∞上单调递减，所以0()1f x <≤ 故函数()f x 的值域为[0,2)． (2)由题意可知，412,01,41()()(4)()411,1 4.4x x F x f x f f x x x ⎧-≤<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩当01x ≤<时，1172444x -≤-<，则4170()244F x x ≤=-<；当14x ≤≤时，113044x ≤-≤，则430()4F x ≤≤； 所以470(),[0,4]4F x x ≤<∈，所以要使4()F x m ≤在[0,4]x ∈上恒成立，只要74m ≥即可，m 的取值范围为7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．已知幂函数()()224222m m f x m m x -+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可.【解析】（1）（1）因为幂函数()2242()22m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+， 假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意；②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增， 故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.23．已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】(1)由幂函数概念及偶函数性质求()f x 解析式(2)由(1)知22()()324a a h x x a =+--+，再由()0h x ≥在[2,2]-上恒成立，即()h x 的最小值恒大于等于0，应用函数思想分类讨论，求a 的范围【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a①当22a-<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤ 又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤ ③当22a ->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥ 所以7a ≥-.又4a <- 所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-【点睛】本题考查了幂函数，并综合了偶函数、及根据不等式恒成立求参数范围，应用了分类讨论、函数的思想，属于较难的题 24．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-≤.【答案】(1)()21xf x x =+； (2)函数()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；(3)1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.【分析】（1）根据奇函数的定义可求得b 的值，再结合已知条件可求得实数a 的值，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）判断出函数()f x 在()1,1-上是增函数，任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论成立；（3）由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数()f x 的单调性与定义域可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，则()()f x f x -=-， 即2211ax b ax b x x -++=-++，可得0b =，则()21axf x x =+，所以，211222255112af a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1a =，因此，()21x f x x =+. （2）证明：函数()f x 在()1,1-上是增函数，证明如下：任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，则()()()()221212112212222212121111x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()12211212122222121211111x x x x x x x x x x xx xx -+---==++++，因为1211x x -<<<，则120x x -<，1211x x -<<，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. 因此，函数()f x 在()1,1-上是增函数. （3）解：因为函数()f x 是()1,1-上的奇函数且为增函数，由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得111222f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由已知可得112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-<+<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，解得102t -<<.因此，不等式11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.25．已知______，且函数()22x bg x x a+=+. ①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题.(1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围.【答案】(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析；(2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数，得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+. 选择②.当0a >时，()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以()222xg x x =+. ()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数. （2）当0x >时，()122g x x x =+，因为224x x +≥，当且仅当22x x=，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.。
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结高考数学知识点：幂函数知识点总结在高中数学课程中，幂函数是一个重要的知识点。
幂函数的数学表达式为f(x) = ax^n，其中a和n分别代表常数，x代表自变量。
幂函数具有许多特殊性质和应用，下面将对幂函数的相关知识点进行总结。
一、定义和性质1. 幂函数的定义：幂函数是指具有形如f(x) = ax^n的函数，其中a和n为实数常数，且a≠0。
2. 幂函数的图像：根据a和n的取值不同，幂函数的图像可以表现为增函数、减函数或恒函数。
3. 幂函数的对称性：当幂函数的幂指数n为正偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为正奇数时，函数图像关于原点对称；当n为负数时，函数图像关于x轴对称。
二、基本性质和运算法则1. 幂函数的基本性质：a) 当n>0时，幂函数是增函数；当n<0时，幂函数是减函数。
b) 当a>1时，幂函数递增速度大于直线函数y=x；当0<a<1时，幂函数递增速度小于直线函数y=x。
c) 当n=1时，幂函数是一次函数；当n=0时，幂函数是常值函数。
2. 幂函数的运算法则：a) 幂函数相乘：f(x) = ax^m * bx^n = abx^(m+n)。
b) 幂函数相除：f(x) = (ax^m) / (bx^n) = (a/b)x^(m-n)，其中b≠0。
c) 幂函数相乘的分配律：(a * b)x^n = a * bx^n，其中a和b为常数，n为指数。
d) 幂函数的复合：f(g(x)) = (ax^m)^n = a^n*x^(m*n)，其中a、g(x)和n为常数。
三、幂函数的应用1. 函数图像：通过掌握幂函数图像的特点，我们可以辨认各类函数的图像特征，帮助解题。
2. 变化率计算：由于幂函数在不同区间具有不同的递增、递减性质，可以用来计算变化率，例如速度、增长率等。
3. 经济学应用：幂函数可以描述经济学中的一些指数关系，如价格与需求量的关系等。
根据幂指函数知识点及题型归纳总结
根据幂指函数知识点及题型归纳总结
一、幂函数的性质：
1. 幂函数的定义：幂函数是指以变量 x 为底数，以常数 a 为指
数的函数，一般形式为 f(x) = a^x。
2. 幂函数的图像：幂函数的图像随着底数 a 的取值不同而有所
变化，底数 a 大于 1 时，函数图像上升趋势较为陡峭；底数 a 在 0
和 1 之间，函数图像下降趋势较为陡峭。
3. 幂函数的性质：幂函数具有对称性，即 f(x) = f(-x)；a^x 的
值随 x 的变化而变化，当 x 增大时，a^x 增大，当 x 减小时，a^x
减小。
二、指数函数的性质：
1. 指数函数的定义：指数函数是指以变量 x 为指数的函数，一
般形式为 f(x) = a^x（a > 0，且a ≠ 1）。
2. 指数函数的图像：指数函数的图像具有与幂函数相反的特点，当底数 a 大于 1 时，函数图像上升趋势较为平缓；底数 a 在 0 和 1
之间，函数图像下降趋势较为平缓。
3. 指数函数的性质：指数函数的图像经过点 (0, 1)；指数函数
具有增长态势，即随着 x 的增大，函数值也增大。
三、幂指函数的题型：
1. 计算幂指函数的值：根据给定的幂指函数和 x 的值，求出函数的值。
2. 求幂指函数的定义域：根据幂指函数的特点，确定该函数的定义域范围。
3. 求幂指函数的变化趋势：根据底数的取值范围和指数的正负性，确定函数的增减性和图像的走势。
4. 解幂指函数的方程：根据幂指函数的性质和方程的条件，求出满足方程的变量值。
以上是根据幂指函数的知识点及题型进行的归纳总结，希望能对您的学习和应试有所帮助。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解12--- 幂函数
高一数学复习考点知识与题型专题讲解3．3 幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝12x；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x312y xy＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞) 上增，增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0] 上减在(－∞，0)上减知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）如果幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．无解2．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点()33，，则该函数的解析式为（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．y x =3．（2020·江苏镇江市·）已知幂函数()2()33m f x m m x =--在区间()0,∞+上是单调递增函数，则实数m 的值是（ ）A ．-1或4B ．4C ．-1D ．1或4题型二：幂函数的值域问题4．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ）A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞5．（2020·湖南衡阳市·高一月考）函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-6．（2018·南京市第三高级中学高一期中）以下函数12y x =，2y x =，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．22±C ．2D ．2± 8．（2020·南宁市银海三美学校高一月考）函数23y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2019·宁都县宁师中学高一月考）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知 1.13a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．（2020·江苏省平潮高级中学高一月考）幂函数223a a y x --=是奇函数，且在()0+∞，是减函数，则整数a 的值是（ ） A ．0B ．0或2C ．2D ．0或1或212．（2020·江西鹰潭一中）已知幂函数12()f x x =，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,3-B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)1,0-D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦题型五：幂函数的奇偶性问题13．（2020·江西南昌市·南昌十中高一月考）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数14．（2021·吴县中学）有四个幂函数：①()2f x x -=；②()1f x x -=；③()3f x x =；④()3f x x =，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）()f x 为偶函数；（2）()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞；（3）()f x 在(),0-∞上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④15．（2020·乌苏市第一中学高一月考）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则a =（ ） A ．1-，12-B ．1，3C ．2-D ．12，2【双基达标】一、单选题16．（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知幂函数()()21f x m x =-，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．任意实数17．（2020·南京市第十三中学高一月考）函数 85y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2021·全国高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数19．（2021·全国高一单元测试）已知幂函数()f x 的图象过点1(2,)2，则f （4）的值是（ ） A ．64B ．42C ．24D ．1420．（2021·全国高一专题练习）函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭21．（2021·全国高一课前预习）已知幂函数()3m f x x -=(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．322．（2021·全国）幂函数()f x 满足：对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，则(1)(0)(1)f f f -++=（ ）. A ．1-B ．0C ．1D ．223．（2021·全国）下列比较大小中正确的是（ ）.A ．0.50.532()()23<B ．1123()()35---<-C ．3377( 2.1)( 2.2)--<-D ．443311()()23-<24．（2019·云南昭通市第一中学高一月考）已知函数()f x x =，若(1)(102)f a f a+<-，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,5)B ．(5,)+∞C ．[1,3)-D ．(3,5)25．（2021·全国）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ．IV,VII B ． IV,VIII C ． III, VIII D ． III, VII 【高分突破】一：单选题26．（2021·全国高一课前预习）幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．1或227．（2021·浙江）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈ C ．1()()2x y x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠28．（2021·全国高一课时练习）点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x n x x m =-+-的值域为（ ）A ．0,2⎡⎤⎣⎦B ．1,2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎤⎣⎦D ．[]2,329．（2021·全国高一课时练习）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x =D ．y x =30．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132m ma a +>-成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭31．（2021·全国高一课时练习）设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭则“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的（ ）A ．充分不必要件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件32．（2021·浙江高一期末）已知实数a ，b 满足等式35a b =，给出下列五个关系式：①1b a <<；②1a b <<-；③01b a <<<；④10a b -<<<；⑤a b =，其中，可能成立的关系式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个33．（2021·全国高一单元测试）已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ） A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题34．（2021·全国高一课时练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数35．（2021·全国高一课时练习）已知函数()21m m y m x -=-为幂函数，则该函数为（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．区间()0,∞+上的增函数D ．区间()0,∞+上的减函数36．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R 且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +> 且0ab <B ．0a b +< 且0ab <C ．0a b +< 且0ab >D ．以上都可能37．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数9()5m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．()13216f -=B ．()f x 的定义域是RC ．()f x 是偶函数D ．不等式()()12f x f -≥的解集是[)(]1,11,3-38．（2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中）若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义城上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ） A ．()2121x f x x -=+B ．()3f x x =-C ．()f x x =-D ．()22,0,,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩三、填空题39．（2021·湖南邵阳市·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象过点()2,2，则()5f =______.40．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数()f x 过定点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且满足()()2150f a f ++->，则a 的范围为________．41．（2021·全国高一课时练习）不等式()()1133312a a -<+的解集为______42．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________．43．（2021·全国高一单元测试）已知112,1,,1,,2,322k ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()kf x x =为奇函数，且在()0,∞+上单调递减，则k =______．四、解答题44．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()21212223m f x m m xn -=+-+-是幂函数，求2m n -的值．45．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数()a R ∈，且()()12f f <.（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在实数b ，使得函数()()32g x f x bx =-+在区间[]1,1-上的最大值为6，若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.46．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数()()1222mf x m m x =--在()0,∞+上单调递减．（1）求实数m 的值．（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，求a 的取值范围．47．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数()()()22322k k f x m m x k -=-+∈Z 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围： （3）若实数()*,,a b a b ∈R 满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值.【答案详解】1．C 【详解】由幂函数的定义得m 2-3m +3=1，解得m =1或m =2；当m =1时，m 2-m -2=-2，函数为y =x -2，其图象不过原点，满足条件； 当m =2时，m 2-m -2=0，函数为y =x 0，其图象不过原点，满足条件. 综上所述，m =1或m =2. 故选：C. 2．D 【详解】设()f x x α=，依题意()13332f αα==⇒=，所以()f x x =. 故选：D 3．B 【详解】幂函数()2()33mf x m m x =--在(0,)+∞上是增函数则2331m m m ⎧--=⎨>⎩ ，解得4m = 故选：B 4．D【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，2332(0)f x x x ∴==≥，∴()f x 的值域是[)0,+∞. 故选：D. 5．A 【详解】∵函数2y x -=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴2min 124y -==， 故选：A. 6．C 【详解】函数12y x x ==，其定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞； 函数2y x =的定义域为R ，值域为[0,)+∞； 函数2323y x x ==，20x ≥Q ，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y x x -==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C. 7．B 【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1()2g b =，即212b =，解得：22b =±, 故选：B. 8．C 【详解】首先由分数指数幂运算公式可知()21233x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()()23y f x x ==，()()f x f x -=，且函数的定义域为R ，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，故排除AD ，因为2013<<，所以23y x =在第一象限的增加比较缓慢，故排除B ， 故选：C 9．A试题：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 10．A 【详解】由题意，构造函数 1.13,x y y x ==，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在(0,)+∞单调递增；由于0.9 1.10.9 1.133c a <∴<∴<；由于 1.1 1.13434a b <∴<∴<；综上：c a b << 故选：A 11．B由于幂函数223a a y x --=是奇函数，且在(0,)+∞是减函数，故2230a a --<，且223a a --是奇数，且a 是整数，13a -<<∴，a Z ∈，当0a =时，2233a a --=-，是奇数，； 当1a =时，2234a a --=-，不是奇数； 当2a =时，2233a a --=-，是奇数； 故0a =或2． 故答选：B 12．B 【详解】因为幂函数()12f x x =是增函数，且定义域为[)0,+∞，由()()132f a f a +<-得13210320a aa a +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，解得213a -≤<.所以实数a 的取值范围是21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B 13．D 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 将点()3,3的坐标代入解析式得33α=，解得12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数，14．A 【详解】对于①，函数()2f x x -=为偶函数，且()2210f x x x -==>，该函数的值域为()0,∞+， 函数()2f x x -=在()0,∞+上为减函数，该函数在(),0-∞上为增函数，①满足条件；对于②，函数()11x x f x -==为奇函数，且()10f x x=≠，该函数的值域为()(),00,-∞⋃+∞， 函数()f x 在(),0-∞上为减函数，②不满足条件；对于③，函数()3f x x =的定义域为R ，且()()33f x x x f x -=-=-=-，该函数为奇函数， 当0x ≥时，()30f x x =≥；当0x <时，()30f x x =<，则函数()f x 的值域为R ， 函数()3f x x =在()0,∞+上为增函数，该函数在(),0-∞上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数()3f x x =为奇函数，且函数()3f x x =的值域为R ，该函数在(),0-∞上为增函数，④不满足条件. 故选：A. 15．C 【详解】112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则0α<且2,k k Z α=∈， 所以2a =-. 故选：C 16．A因为函数()()21f x m x =-为幂函数，所以m -1=1，则m =2.故选：A. 17．A 【详解】由幂函数85y x =可知: 85y x =是定义域为R 的偶函数，在(0,+∞)上单调递增，且当x >1时,函数值增长的比较快. 故选：A 18．C 【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误； 当α>0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误． 故选：C. 19．D 【详解】幂函数()a f x x =的图象过点1(2,)2，122a ∴=，解得1a =-，1()f x x∴=， f ∴（4）14=， 故选：D . 20．B 【详解】因为()()()()121121211f x x x x x-=-+-=+--， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B. 21．B 【详解】因为()3m f x x -=在(0，＋∞)上是减函数，所以m －3<0,所以m <3. 又因为m ∈N *，所以1m =或2.又因为()3m f x x -=是奇函数，所以m －3是奇数， 所以m ＝2. 故选：B. 22．B 【详解】设()a f x x =，由已知，函数()f x 的定义域为R ，∴0a >，又∵对任意12x x R ∈、，当且仅当12x x =时，有12()()f x f x =，即y 与x 一一对应，()f x 必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为0，故选：B. 23．C 【详解】A 选项，0.5y x =在[0)+∞，上是递增函数，0.50.523()()32<，错， B 选项，1y x -=在()0-∞，上是递减函数，1123()()35--->-，错， C 选项，37y x =在()0-∞，上是递增函数， 337721( 2.1)()10-=-，33775( 2.2)()11--=-，3377( 2.1)( 2.2)--<-，对，D 选项，43y x =在[0)+∞，上是递增函数， 443311()()22-=，443311()()23>，443311()()23->，错，故选：C ． 24．C 【详解】()f x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞单调递增，所以(1)(102)f a f a +<-可化为：1010201102a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：13x -≤<. 故a 的取值范围是[1,3)-. 故选：C 25．B【详解】对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减， 根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<， 所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限，所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B 26．A 【详解】解：幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，2331m m ∴-+=，且2660m m -+>，解2331m m -+=得1m =或2m =，当1m =时26610m m -+=>符合题意； 当2m =时26620m m -+=-<不符合题意； 故选：A ． 27．B 【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确； 对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B28．B【详解】解：因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =， 故()32g x x x =-+-，[]2,3x ∈， ()()22()12321256g x x x x x =+--=+-+-， 因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈， 所以函数()g x n x x m =-+-的值域为1,2⎡⎤⎣⎦.故选：B.29．C【详解】 解：由图知：①表示y x =，②表示y x =，③表示2y x =，④表示3y x =.故选：C.30．D【详解】由题意得：2331m m -+=，得1m =或2m =当1m =时，2()f x x =图象关于y 轴对称，不成立；当2m =时，3()f x x =是奇函数，成立；所以不等式转化为22(1)(32)a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故选：D31．C【详解】 由11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，由()f x x α=的图像经过()1,1--，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=为奇函数. 又当()f x x α=为奇函数时，则α的值为11,3-，，此时()f x x α=的图象经过()1,1--. 所以“()f x x α=的图象经过()1,1--”是“()f x x α=为奇函数”的充要条件故选：C32．C【详解】在同一坐标系中画出函数3y x =和5y x =的图像，如图所示：数形结合可知，在（1）处1a b <<-；在（2）处10b a -<<<；在（3）处01a b <<<； 在（4）处1b a <<；在1a b ==或1a b ==-也满足，故①②⑤对故选：C.33．D【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D.34．CD【详解】对于A 选项，1y x =，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误． 对于C 选项，2y x =，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD35．BC【详解】由()21m m y m x -=-为幂函数，得11m -=，即m =2，则该函数为2y x =，故该函数为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数，故选：BC .36．BC【详解】因为223()(1)m m f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-， 不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b ∈R 且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC37．ACD【详解】 因为函数是幂函数，所以915m +=，得45m =-，即()45f x x -=， ()()()45451322216f --⎡⎤-=-=-=⎣⎦，故A 正确；函数的定义域是{}0x x ≠，故B 不正确； ()()f x f x -=，所以函数是偶函数，故C 正确；函数()45f x x -=在()0,∞+是减函数，不等式()()12f x f -≥等价于12x -≤，解得：212x -≤-≤，且10x -≠，得13x -≤≤，且1x ≠，即不等式的解集是[)(]1,11,3-，故D 正确.故选：ACD38．BCD【详解】对于①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数；对于②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-， ()f x 在定义域内是减函数； 对于A ：()2121x f x x -=+，()113f =，()13f -=，故不是奇函数，所以不是“理想函数”； 对于 B ：()3f x x =-是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C ：()f x x =-是奇函数，并且在R 上是减函数，所以是“理想函数”；对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩，()||()f x x x f x -==-， 所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数； 根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩在R 上是减函数， 所以是“理想函数”.故选：BCD.39．5【详解】设()f x x α=，则()12222f αα==⇒=， 所以()(),55f x x f ==. 故答案为：540．()22-，【详解】设幂函数()y f x x α==，其图象过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以182α=，即3122α-=，解得：13α=-，所以()13f x x -=， 因为()()()13f x x f x --=-=-，所以()13f x x -=为奇函数，且在()0-∞，和()0+∞，上单调递减， 所以()()2150f a f ++->可化为()()()2155f a f f +>--=， 可得215a +<，解得：22a -<<，所以a 的范围为()22-，， 故答案为：()22-，． 41．()4,-+∞【详解】 解：因为幂函数13y x =在R 上为增函数，()()1133312a a -<+， 所以312a a -<+，解得4a >-，所以不等式的解集为()4,-+∞，故答案为：()4,-+∞42．{}1,1,3-【详解】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤，又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()m m f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称， 即函数为偶函数，故223m m --为偶数， 所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.43．1-【详解】由题意知，幂函数()k f x x =在(0)+∞，上单调递减， 则k 为负数，则k =-2，-1，12-，又由函数()k f x x =为奇函数，则k =-1，故答案为：-144．-6【详解】因为()()21212223m f x m m x n -=+-+-是幂函数，所以22221,10,230,m m m n ⎧+-=⎪-≠⎨⎪-=⎩，解得3,3,2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以323262m n -=--⨯=-．45．（1）()2f x x =；（2）存在，2b =±. 解：因为函数()()()()1221a a f x a a x -+=--是幂函数，所以211a a --=，解得2a =或1a =-，当2a =时，()4f x x -=，则()()12f f >，故不符题意，当1a =-时，()2f x x =，则()()12f f <，符合题意，所以()2f x x =；（2）由（1）得 ()()()22232233g x f x bx x bx x b b =-+=-++=--++， 函数图像开口向下，对称轴为：x b =，当1b ≤-时，函数()g x 在区间[]1,1-上递减，则()()11236max g x g b =-=--+=，解得2b =-，符合题意； 当1b ≥时，函数()g x 在区间[]1,1-上递增，则()()11236max g x g b ==-++=，解得2b =，符合题意；当11b -<<时，()()22236max g x g b b b ==-++=，解得3b =±，不符题意， 综上所述，存在实数2b =±满足题意.46．（1）1m =-；（2）32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【详解】解：（1）()f x 是幂函数，2221m m ∴--=，解得：3m =或1m =-， 3m =时，()13f x x =在(0,)+∞上单调递增，1m =-时，()1f x x=在(0,)+∞递减， 故1m =-；（2）若实数a 满足条件()()132f a f a ->+，则10320a a ->⎧⎨+<⎩或10320132a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩或10320132a a a a-<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩，解得：32a <-或213a -<<，故a 的取值范围是32,,123⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 47．（1）2()f x x =；（2）(1,1)-；（3）2．【详解】（1）()f x 是幂函数，则2221m m -+=，1m =，又()f x 是偶函数，所以23(3)k k k k -=-是偶数，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则230k k ->，03k <<，所以1k =或2． 所以2()f x x =；（2）由（1）偶函数()f x 在[0,)+∞上递增， (21)(2)f x f x -<-22(21)(2)212f x f x x x ⇔-<-⇔-<-11x ⇔-<<． 所以x 的范围是(1,1)-．（3）由（1）237a b +=，2(1)3(1)12a b +++=，0,0a b >>， []3213219(1)2(1)2(1)3(1)121112111211b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 19(1)4(1)12221211b a a b ⎛⎫++≥+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭，当且仅当9(1)4(1)11b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。
高考数学幂函数知识点总结
高考数学幂函数知识点总结一、幂函数的定义和性质幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义形式为y = ax^n，其中a和n都为实数，x为自变量，y为因变量。
幂函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
下面我们来总结一些幂函数的重要性质和应用。
1. 幂函数的定义域和值域：幂函数y = ax^n的定义域为实数集R，值域则取决于a和n 的取值范围。
当a>0时，n为整数时，函数的值域为正实数集R+；当a<0时，n为奇数时，函数的值域为负实数集R-。
2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。
具体而言，当n为偶数时，对于任意x，有f(-x)=f(x)；当n为奇数时，对于任意x，有f(-x)=-f(x)。
3. 幂函数的图像变换：幂函数y = ax^n在平面直角坐标系中的图像变换与参数a和n的取值相关。
当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩，当0<a<1时，函数图像沿y轴方向拉伸；当n>1时，函数图像在原点左侧上升，当0<n<1时，函数图像在原点右侧上升。
4. 幂函数的极限：当a>1时，幂函数在正无穷大时趋于正无穷大；当0<a<1时，幂函数在正无穷大时趋于0。
若n>0，幂函数在负无穷大时趋于正无穷大；若n<0，幂函数在负无穷大时趋于0。
二、幂函数的常见应用幂函数因为其特殊的形式和性质，在科学和工程中有广泛的应用。
以下是幂函数在一些具体问题中的运用。
1. 物质的增长和衰减：在生物学和经济学中，常常需要研究物质的增长和衰减过程。
幂函数可用来描述这种过程。
例如，生物种群的增长可以用幂函数进行建模，其中a表示种群的初始数量，n表示增长率。
同样，经济学中的人口增长、环境污染以及经济发展等问题也可以利用幂函数进行分析。
2. 各种规律的描述：幂函数可以应用于描述一些规律和现象。
例如，光的强度随距离的关系、金融领域中财富分布的不平等系数、能量消耗与功率之间的关系等都可以用幂函数来表达。
高一数学知识点幂函数的总结
高一数学知识点幂函数的总结高一数学知识点幂函数的总结「篇一」不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意两个集合的大小。
所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。
这样的偏序关系被称为“全序关系”。
最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。
有限集合间的大小关系是很清楚的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。
这个要求是理所当然的，否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。
经过精心的整理，有关“高一数学学习：集合大小定义的基本要求三”的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快!学好高中数学也需阅读积累阅读，在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，则应抓住关键的词语。
比如在初二课本第一学期第21章第五节反比例函数性质的第一条：“当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。
&rdquo 高中历史;这句话中，关键词语是“在每个象限内”，反比例函数的图像为双曲线，而这个性质是对于其中某一分支而言，并不是对整个函数来说的。
所以在做题时，应注意到这一点。
从这一实例来看，我们不难发现阅读时抓住关键词语的重要性。
积累，在语文中有利于写作，在数学中有利于解题。
积累包括两方面：一、概念知识，二、错误的题目。
脑子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解题的突破口，在做较难的题目时，也就得心应手了。
积累错误的题目，指挑选一些自己平时易错或难懂的题目，记在本子上，在复习时，翻看这本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面还有所欠缺，应特别注意。
所以积累对学好数学起着极大的作用。
自主复习最好各科交替进行大部分区县都将实行全区统考，并将考生成绩进行大排队。
这次考试将成为考生填报高考志愿的重要参考依据。
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第二课：幂函数a
x y =
知识点一、幂的运算法则
初中知识点：（1）=⋅n
m
a a _______ =n m
a
a _______ =-n a _______
（2）()
=n
m
a _______ =⋅m m
b a _______
指数幂与根式的互化：=n m a _______
=n m
a
1_______
练习：_______3
1=x _______5
2
=x _______3
2=-x
_______1
4
3
=x
例：计算
练习：
知识点二、幂函数图象
画图注意事项
（1）定义域：偶次方根被开方数0≥，奇次方根被开方数R
∈，分母0≠. （2）奇偶性：判断)
f相等？相反数？
(x
f-与)(x
（3）闲着描描点！极限情况靠想象！快快慢慢！增增减减！秒悟！
1、初级练场：常见幂函数图象：
y=
请在同一个坐标系中漂亮的画出以下简单幂函数:a x
2、中级练场：看图说话
总结：R
∀，图象一定过第（）象限！一定过点（，）！
a∈
（1）a的大小不同，图象高低有序！
（2）a 的符号不同，图象增减有别！
_______________________________________________________________________ （3）有的象限永无缘！
_________________________________ （4）定点是谁要分清！
—————————————————————————— 3、高级练场：驴？马？溜溜！
以下9个幂函数图象轮廓各不重样，你能画几个？
（1）3-=x y （2）3
1x y = （3）5x y =
（5）2
-=x y （5）3
2x y = （6）4x y =
（7）2
1-=x y （8）4
1x y = （9）2
3x y =
总结：横看成岭侧成峰！
（1） （2）
练习：画函数图象3
4x y =，2
5-=x y ，5
3x y =，4
3-=x y ，5
2x y =
知识点三、幂函数图象性质的应用
1、幂函数的定义
2、幂函数的图像
3、幂函数比较大小
例1、（1）215.1____2
17.1 （2）()3
2.1-____()3
25.1-
练习（1）：
（2）若()()2
12
1231---<+a a ，则a 的取值范围是__________
课 后 练 习
1、幂函数()
3
222
33-+++=m m x m m y 图象不过原点，且关于原点对称，则m=_________
2、幂函数()12255---=m x m m y 在()+∞,0上递减，则m=__________
3、
4、比较大小
5、。