运筹学-第七周-灵敏度分析-运输问题
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运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
灵敏度分析(运筹学)
最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后 的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 原最优基不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量 ，扩大原 单纯形表继续计算
资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。 这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ， 因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优 解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新 的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章 对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的 改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
常见的运筹学灵敏度分析
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
运筹学讲义影子价格-灵敏度分析-运输问题
2)
0.000000
48.000000
3)
0.000000
2.000000
4) 40.000000
0.000000
35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48, 应该买！
聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
21
结果解释
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?
Yes
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
18
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20.000000
0.000000
X2 30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
16
1桶
12小时 3公斤A1
牛奶 或 8小时 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 Max z 72 x1 64 x2
原料供应
12
影子价格的经济意义：在资源得到最优配置，使总效益最大时，该资源投 入量每增加一个单位所带来总收益的增加量。
影子价格是一种静态的资源最优配置价格，不能表现资源在不同时期动态 配置时的最优价格，只反映某种资源的稀缺程度和资源与总体积极效益之间 的关系，不能代替资源本身的价值。
运筹学-灵敏度分析目标规划
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运筹学-灵敏度分析目标规划
3.灵敏度分析
例3.5:
上例最优单纯形表如下
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运筹学-灵敏度分析目标规划
3.灵敏度分析
0 0.25 0
这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
•各列分别对应 b1、b2、b3 的单一变
化
•因此，设 b1 增加 4，则 x1 ,x5 ,x2
3.灵敏度分析
例3.3:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
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运筹学-灵敏度分析目标规划
3.灵敏度分析
例：最优单纯形表
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•
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 )
i=1
i=1
A= [ p1, p2, …, pn ], pj’ = B-1 pj,
pj’ = ( a1j’ , a2j’ , … , amj’ )T ， j = m+1, … , n
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运筹学-灵敏度分析目标规划
•3.灵敏度分析
• 对于表格单纯形法，通过计算得 到最优单纯形表。 应能够找到最优基
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a2...2x2 + … + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
运筹学运输问题实验报告
实验报告填写说明
（实验项目名称、实验项目类型必须与实验教学大纲保持一致）
1．实验环境：
实验用的硬件、软件环境。
2．实验目的：
根据实验教学大纲，写出实验的要求和目的。
3．实验原理：
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验步骤：
这是实验报告极其重要的容。
对于验证性验，要写清楚操作方法，需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，还应写出设计思路和设计方法。
对于创新性实验，还应注明其创新点。
5．实验结论：
根据实验过程中得到的结果，做出结论。
6．实验总结：
本次实验的收获、体会和建议。
7．指导教师评语及成绩：
指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价和成绩。
附录1：源程序。
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学讲义-灵敏度分析
(I A)1Δ Y Δ X
ΔY 0
5
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况 下，分析cj 允许的变动范围cj
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
bi
bk ak ,ni
bi
bk ak ,ni
要求对所有 k 都成立 , 从而有
max k
ak
bk
,n
i
ak ,ni
0
bi
min k
bk ak ,ni
ak ,n i
0
此时 , 基变量的解值和目标函 数会发生变化
2.4.6 新增约束条件的分析
16
2.4.7 灵敏度分析举例
例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少110 个，求收 益最大的生产方案。
产量 组别
品种
I II III IV V
单位售价 (元 )
A 产品数量
32440
10
B 产品数量
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max01 .205,02100b2min 01.7050 200b213.33, 1000b2133.33
运筹学物流运输课程设计
运筹学物流运输课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握运筹学中物流运输的基本概念、原理和方法。
2. 使学生了解并能够运用线性规划、网络流等运筹学知识解决物流运输中的实际问题。
3. 帮助学生掌握物流运输中的成本分析、路径优化、货物分配等关键环节。
技能目标：1. 培养学生运用运筹学方法解决实际物流运输问题的能力。
2. 培养学生运用数学建模、数据分析等工具对物流运输问题进行研究和分析的能力。
3. 提高学生的团队协作和沟通能力，使其能够就物流运输问题进行有效讨论和交流。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对物流运输行业的兴趣，激发他们探索物流领域知识的热情。
2. 培养学生具备良好的职业道德，关注环境保护和社会责任，将可持续发展理念融入物流运输实践。
3. 培养学生面对复杂问题时，保持积极乐观的心态，勇于克服困难，不断探索和进取。
课程性质分析：本课程为选修课，旨在帮助学生将运筹学知识应用于实际物流运输问题，提高解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生具备一定的数学基础，具有较强的逻辑思维和分析能力，对实际问题充满好奇心。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，鼓励学生参与课堂讨论，提高其运用知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，为未来的学习和工作打下坚实基础。
二、教学内容1. 物流运输基础概念：介绍物流运输的定义、功能、分类及其在国民经济中的地位和作用。
教材章节：第一章第一节2. 运筹学基本原理：讲解线性规划、整数规划、网络流等运筹学基本原理及其在物流运输中的应用。
教材章节：第二章3. 物流运输成本分析：分析物流运输成本构成、计算方法以及降低成本的有效途径。
教材章节：第三章第一节4. 路径优化与货物分配：介绍最短路径、最大流、最小费用流等算法，并应用于物流运输路径优化和货物分配问题。
教材章节：第三章第二节、第四章5. 物流运输实例分析：结合实际案例，分析物流运输中的问题，运用所学知识提出解决方案。
管理运筹学 易错判断题整理
主要内容： 1 存储费 2 订货费 3 生产成本 4.缺货成本 5 订货提前期 6 订货点 7 （s,S）型存储 2 确定性存储的4种形式，要会画图。 判断题： 1 在其他费用不变的情况下，随着单位缺货费的增加， 最优订货批量将相应减少。× 2 其他费用不变，订货费用的增加将导致订货批量的减少。 × 3 在需求量为常数，订货提前期为0的经济订货批量存储模型中， 4 最优订货批量随一次订货费的增大而增大，随存储费用的增加而减小。 √
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
第一章：线性规划及单纯形法
2.1单纯形法和两阶段法大M法 主要内容
1 线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2 求解线性规划时可能出现哪几种结果。 3 叙述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解 的概念及上述解之间的关系。
4 单纯性法的计算步骤，如何在单纯性表中判别问题是具 有唯一最优解、无穷多最优解、无界解。
√ 4 动态规划的基本方程保证各阶段内决策的独立进行，可以不考虑这之前和之后 决策的如何进行。
√
第六章：网络规划
主要内容：
6.1 1 通常用G=（v,e）表示一个图，试描述符号V,E及表达式的含义。 2 解释下列名词，说明区别。1 端点，相邻，关联边， 2 环，多重边，简单图 3链，初等链 4. 圈，初等圈，简单圈。 5.回路，初等路6.节点的次，悬挂点，悬挂边，孤立点 7. 连通图，连通分图 ，支撑子图8. 有向图，基础图，赋权图 3 描述树，图的支撑树，最小支撑树的概念。 4 描述Dijkstra算法的基本思想和步骤。 5 最大流问题是线性规划问题，说明其线性形式。 6 什么是增光链，为什么不存在关于可行流f的增广链，就是最大流。 7截集，截量以及最大流最小截量定理。 8 最小费用最大流的概念。
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
第一章：线性规划及单纯形法
2.1单纯形法和两阶段法大M法 主要内容
1 线性规划数学模型的结构及各要素的特征。 2 求解线性规划时可能出现哪几种结果。 3 叙述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解 的概念及上述解之间的关系。
4 单纯性法的计算步骤，如何在单纯性表中判别问题是具 有唯一最优解、无穷多最优解、无界解。
√ 4 动态规划的基本方程保证各阶段内决策的独立进行，可以不考虑这之前和之后 决策的如何进行。
√
第六章：网络规划
主要内容：
6.1 1 通常用G=（v,e）表示一个图，试描述符号V,E及表达式的含义。 2 解释下列名词，说明区别。1 端点，相邻，关联边， 2 环，多重边，简单图 3链，初等链 4. 圈，初等圈，简单圈。 5.回路，初等路6.节点的次，悬挂点，悬挂边，孤立点 7. 连通图，连通分图 ，支撑子图8. 有向图，基础图，赋权图 3 描述树，图的支撑树，最小支撑树的概念。 4 描述Dijkstra算法的基本思想和步骤。 5 最大流问题是线性规划问题，说明其线性形式。 6 什么是增光链，为什么不存在关于可行流f的增广链，就是最大流。 7截集，截量以及最大流最小截量定理。 8 最小费用最大流的概念。
运筹学-第七周-灵敏度分析-运输问题
0 -1/2 0 -9/2
x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*= x5*=0，z*=495/2
2. 右端常数bi (资源系数)的变化分析
初始单纯形表
CB
CN
XB
XN
0 XS B
N
检验数 CB
CN
0
0
XS
b
I
b
0
0
最
优
XB
XN
XS
b
单
纯 CB XB I
B－1N
B－1
B－1b
形 表
x5
单纯
0 5
x3 x1
25 35
0 1
0 0
1 0
2 1
-5 -1
形表 4 x2 10 0 1 0 -1 2
0 0 0 -1 -3
最优基：
B=（P3，P1，P2）
B－1=
1 0
2 1
0 - 1
- 5 1
2
最优单纯形表的A中 松弛变量的系数
（1）
B－1
90 80
=
1 0
b
3
0
x1,x2 ,xn,xn10
最优单纯形表
检验行 XB
XB XN
xn1
I B-1N
B 1Pn1 B-1b
0
CN-
CBB-1N
cn1
CB
B
P1 n1
- CBB-1b
此 时C N C B B 1 N 0， B 1b 0
若 cn1CBB1Pn10：
此表达到最优
xn1为非基变量 xn1*0 新产品不投产
X，X s≥0
I 1
0
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第二章 对偶理论与灵敏度分析
线性规划问题的引出 | 线性规划问题的概念和模型 | 线性规划的标准型 | 线性规划模型的标准化
本章内容
对偶理论是线
性规划最重要的基
础理论之一
是进行经济分
析的重要工具
一般形式单纯形法计算的矩阵描述
设线性规划问题 : 目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
1 2
（ 1）
B－1
90 80 b 3
=
1 2 - 5 90 250 - 5b3 0 1 1 80 = 80 b 3 0 - 1 2 b 80 2b 3 3
最优；
（2）若c2=6，求新的最
优计划。
cj
最优单 纯形表 CB 0 5 4 XB x3 x1 x2 b 25 35 10
5
x1 0 1 0 0
4
x2 0 0 1 0 0 x4 2
0
x3 1 0 0 0 0 x5 -5
0
x4 2 1 -1 -1
0
x5 -5 -1 2 -3
σ4 = c2－5 ≤ 0 σ5 = 5－2c2 ≤ 0 5/2 ≤ c2 ≤ 5 最优解X*=（35，10， 25，0，0）保持不变。
6.影子价格可以帮助管理人员进行生产要素对产出贡献的分解；
7.影子价格可以告诉管理人员如何考虑新产品的价格。
什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法 是应用对偶原理求解原始线
性规划的一种方法——在原始问题的单纯形表 格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
对偶单纯形法的实施
1.使用条件： ①检验数全部≤0；
线性规划问题的约束条件加入松弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs AX+IXs=b; X，X s≥0
1 0 I 0 1 mm
矩阵A可以分块记为A=[B，N]
相应地，向量X和C可以记为
maxz C B x B C N x N 0xs s.t. Bx B NxN Ix s b xB , x N , xs 0
' a 列为主元列，主元行和主元列交叉处的元素 lk
为
主元素。
按 主元素进行换基变换 （初等行变
换），将主元素变成1，主元列变成单位向量， 得到新的单纯形表。
最优解判别法则：右端向量满足非负约束
第五节 灵敏度分析
• 以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi, cj都是常数，但实 际上这些系数往往是估计值或预测值。
初始单纯形表
0 XS
检验数
CB XB B CB
CN XN N CN
0 XS I 0
0 b b 0
最 优 单 纯 形 表
XB CB XB I
XN B－1N
XS B－1
b B－1b
检验数
0
CN－CBB－1N
－CBB－1
－CBB－1b
当bi发生变化时，将影响所有基变量的取值
① 保持 B-1b≥0, 当前的基仍为最优基，最优解的结构不变 （取值改变）； ②（ B-1b）i<0, 当前基为非可行基，但是仍保持为对偶可行
z C B (B b B NX N B X S ) C N X N C B B b (CN C B B N)X N C B B X S
1 1 1
1
1
1
max Z C B X B C N X N 0 X S BX B NX N EX S b X B , X N , X S 0
新问题：如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数（或
消耗的资源量）和单位产品利润，设该种产品的产量为
xn+1，则cn+1和Pn+1已知，需要进行“是否投产”的决策。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列
max z c1 x1 c2 x2 cn xn cn1 xn1
0
1 0 0 0 1 0
0
0 1 0 0 0 1
1
0 0 0 1/2 -1/2 1/2
[2]
1 -1 1 1 0 0
-5
-1 2 -7 -5/2 3/2 -1/2
σj
0
0
-1/2
0
-9/2
x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*= x5*=0，z*=495/2
2. 右端常数bi (资源系数)的变化分析
cj
5 b 25 35 10 x1来自0 1 0 04 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 2 1 -1 -1
0 x5 -5 -1 2 -3
最优
单纯 形表
CB 0 5 4
XB x3 x1 x2
最优基：
1 B－ 1 = 0 0
B=（P3，P1，P2）
2 1 -1
最优单纯形表的A中 - 5 松弛变量的系数
1. 将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上
2. 检查原问题和对偶问题是否还是可行解 3. 按照下表所列情况分别进行讨论
原问题 可行解 可行解 对偶问题 可行解 非可行解 结论或继续计算方法 问题的最优解保持不变 用单纯形法继续求解
非可行解
非可行解
可行解
非可行解
对对偶单纯形法求解
引用人工变量，构造基，重新计算
及其程度的分析过程，称为线性规划的灵敏度分析。
2. 线性规划灵敏度分析的内容
目标函数的价值系数变化
max z=CX
约束方程右端向量变化 约束方程组系数阵变化 决策变量或约束条件变化
AX=b X≥0
对解的影响主要有:
1. 最优解保持不变，即基变量和它们的取值没有变化 2. 基变量保持不变，但它们的值改变了 3. 基解完全变了
b -25 25 30
5 30 20
5 x1 0 1 0 0 0 1 0 0
4 x2 0 0 1 0 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0 -1/5 -1/5 2/5 -3/5
0 x4 2 1 -1 -1 -2/5 3/5 -1/5 -11/5
0 x5 [-5] -1 2 -3 1 0 0 0
3. 增加一个新决策变量xj 的变化分析 资源的合理利用问题：
（2）当cj 是基变量的价值系数——它的变化将
影响所有非基变量的检验数，
N C N CB B N
1
当cj 变化时，如能保持 N 0，则当前解仍为最优解，否则 可用单纯形法继续迭代求出新的最优解。
1 C C B N 0 将cj 看作待定参数，令 N N B
解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变时cj的变化范围 。
基,可用对偶单纯形法求出新的最优解；
③ 如何求出保持最优基不变的bi 的范围?
把bi看作待定参数，令B-1b≥0，求解该不等式组即可。
例17：对于上例中的线性规划作下列分析：
（1）b3在什么范围内变化，原最优基不变？
（2）若b3=55，求出新的最优解。
m ax Z 5 x1 4 x 2 x1 3 x 2 90 2 x1 x 2 80 x1 x 2 45 x1 , x 2 0
z C B (B1b B 1 NX N B 1 X S ) C N X N C B B 1b (CN C B B 1 N)X N C B B 1 X S
初始单纯形表
0 XS 检验数
CB XB B
CB
XB
CN XN N
CN
XN B－1N
0 XS I
0
0 b b
右端向量列≥0——已得最优解； 右端向量至少一个元素<0,转下步;
右端向量列≥0——原始单纯形法；
至少一个检验数>0
至少一个元素<0,另外处理；
基变换： 先确定换出变量——右端向量列中的
负元素（一般选最小的负元素） 对应的
基变量出基；
min ( B b)i ( B b)i 0 ( B b)l , 则 选xl出 基 ，
②右端向量列至少一个元素 < 0；
2. 实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每一次迭代
过程中取出基变量中的一个右端负分量作为换出变量去替 换某个非基变量（作为换入变量），使原始问题的非可行 解向可行解靠近。
3. 计算步骤：
① 建立初始单纯形表，计算检验数行。
检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
可行性 B－1b ≥0 最优性CN－CBB－1N ≥0
LP灵敏度分析最终回答： 1. 这些系数在什么范围内变化时，原先求出的线性规 划问题的最优解或最优基不变。 2. 如果系数的变化超出了上述范围，如何用最简便的方 法求出新的最优解。 计算量少，充分利用到原 最优的单纯形表结果
三、灵敏度分析的步骤
XB X , X N
C
C , C
B N
XB=B-1b — B-1NXN — B-1Xs
对于一个确定的基B，目标函数z可以写成
XB z C X C B , C N . C B X B C N X N X N
目标函数z用非基变量表出的形式
cj CB 0 XB x3 b 25
5 x1 0
c2 x2 0
0 x3 1
5
c2
x1
x2
35
10
1
0 0
0
1 0
0
0 0
1
-1 c2 - 5
-1
线性规划问题的引出 | 线性规划问题的概念和模型 | 线性规划的标准型 | 线性规划模型的标准化
本章内容
对偶理论是线
性规划最重要的基
础理论之一
是进行经济分
析的重要工具
一般形式单纯形法计算的矩阵描述
设线性规划问题 : 目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b; 非负条件 X≥0
1 2
（ 1）
B－1
90 80 b 3
=
1 2 - 5 90 250 - 5b3 0 1 1 80 = 80 b 3 0 - 1 2 b 80 2b 3 3
最优；
（2）若c2=6，求新的最
优计划。
cj
最优单 纯形表 CB 0 5 4 XB x3 x1 x2 b 25 35 10
5
x1 0 1 0 0
4
x2 0 0 1 0 0 x4 2
0
x3 1 0 0 0 0 x5 -5
0
x4 2 1 -1 -1
0
x5 -5 -1 2 -3
σ4 = c2－5 ≤ 0 σ5 = 5－2c2 ≤ 0 5/2 ≤ c2 ≤ 5 最优解X*=（35，10， 25，0，0）保持不变。
6.影子价格可以帮助管理人员进行生产要素对产出贡献的分解；
7.影子价格可以告诉管理人员如何考虑新产品的价格。
什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法 是应用对偶原理求解原始线
性规划的一种方法——在原始问题的单纯形表 格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
对偶单纯形法的实施
1.使用条件： ①检验数全部≤0；
线性规划问题的约束条件加入松弛变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs AX+IXs=b; X，X s≥0
1 0 I 0 1 mm
矩阵A可以分块记为A=[B，N]
相应地，向量X和C可以记为
maxz C B x B C N x N 0xs s.t. Bx B NxN Ix s b xB , x N , xs 0
' a 列为主元列，主元行和主元列交叉处的元素 lk
为
主元素。
按 主元素进行换基变换 （初等行变
换），将主元素变成1，主元列变成单位向量， 得到新的单纯形表。
最优解判别法则：右端向量满足非负约束
第五节 灵敏度分析
• 以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi, cj都是常数，但实 际上这些系数往往是估计值或预测值。
初始单纯形表
0 XS
检验数
CB XB B CB
CN XN N CN
0 XS I 0
0 b b 0
最 优 单 纯 形 表
XB CB XB I
XN B－1N
XS B－1
b B－1b
检验数
0
CN－CBB－1N
－CBB－1
－CBB－1b
当bi发生变化时，将影响所有基变量的取值
① 保持 B-1b≥0, 当前的基仍为最优基，最优解的结构不变 （取值改变）； ②（ B-1b）i<0, 当前基为非可行基，但是仍保持为对偶可行
z C B (B b B NX N B X S ) C N X N C B B b (CN C B B N)X N C B B X S
1 1 1
1
1
1
max Z C B X B C N X N 0 X S BX B NX N EX S b X B , X N , X S 0
新问题：如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数（或
消耗的资源量）和单位产品利润，设该种产品的产量为
xn+1，则cn+1和Pn+1已知，需要进行“是否投产”的决策。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列
max z c1 x1 c2 x2 cn xn cn1 xn1
0
1 0 0 0 1 0
0
0 1 0 0 0 1
1
0 0 0 1/2 -1/2 1/2
[2]
1 -1 1 1 0 0
-5
-1 2 -7 -5/2 3/2 -1/2
σj
0
0
-1/2
0
-9/2
x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*= x5*=0，z*=495/2
2. 右端常数bi (资源系数)的变化分析
cj
5 b 25 35 10 x1来自0 1 0 04 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 2 1 -1 -1
0 x5 -5 -1 2 -3
最优
单纯 形表
CB 0 5 4
XB x3 x1 x2
最优基：
1 B－ 1 = 0 0
B=（P3，P1，P2）
2 1 -1
最优单纯形表的A中 - 5 松弛变量的系数
1. 将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上
2. 检查原问题和对偶问题是否还是可行解 3. 按照下表所列情况分别进行讨论
原问题 可行解 可行解 对偶问题 可行解 非可行解 结论或继续计算方法 问题的最优解保持不变 用单纯形法继续求解
非可行解
非可行解
可行解
非可行解
对对偶单纯形法求解
引用人工变量，构造基，重新计算
及其程度的分析过程，称为线性规划的灵敏度分析。
2. 线性规划灵敏度分析的内容
目标函数的价值系数变化
max z=CX
约束方程右端向量变化 约束方程组系数阵变化 决策变量或约束条件变化
AX=b X≥0
对解的影响主要有:
1. 最优解保持不变，即基变量和它们的取值没有变化 2. 基变量保持不变，但它们的值改变了 3. 基解完全变了
b -25 25 30
5 30 20
5 x1 0 1 0 0 0 1 0 0
4 x2 0 0 1 0 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0 -1/5 -1/5 2/5 -3/5
0 x4 2 1 -1 -1 -2/5 3/5 -1/5 -11/5
0 x5 [-5] -1 2 -3 1 0 0 0
3. 增加一个新决策变量xj 的变化分析 资源的合理利用问题：
（2）当cj 是基变量的价值系数——它的变化将
影响所有非基变量的检验数，
N C N CB B N
1
当cj 变化时，如能保持 N 0，则当前解仍为最优解，否则 可用单纯形法继续迭代求出新的最优解。
1 C C B N 0 将cj 看作待定参数，令 N N B
解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变时cj的变化范围 。
基,可用对偶单纯形法求出新的最优解；
③ 如何求出保持最优基不变的bi 的范围?
把bi看作待定参数，令B-1b≥0，求解该不等式组即可。
例17：对于上例中的线性规划作下列分析：
（1）b3在什么范围内变化，原最优基不变？
（2）若b3=55，求出新的最优解。
m ax Z 5 x1 4 x 2 x1 3 x 2 90 2 x1 x 2 80 x1 x 2 45 x1 , x 2 0
z C B (B1b B 1 NX N B 1 X S ) C N X N C B B 1b (CN C B B 1 N)X N C B B 1 X S
初始单纯形表
0 XS 检验数
CB XB B
CB
XB
CN XN N
CN
XN B－1N
0 XS I
0
0 b b
右端向量列≥0——已得最优解； 右端向量至少一个元素<0,转下步;
右端向量列≥0——原始单纯形法；
至少一个检验数>0
至少一个元素<0,另外处理；
基变换： 先确定换出变量——右端向量列中的
负元素（一般选最小的负元素） 对应的
基变量出基；
min ( B b)i ( B b)i 0 ( B b)l , 则 选xl出 基 ，
②右端向量列至少一个元素 < 0；
2. 实施对偶单纯形法的基本原则：
在保持对偶可行的前提下进行基变换——每一次迭代
过程中取出基变量中的一个右端负分量作为换出变量去替 换某个非基变量（作为换入变量），使原始问题的非可行 解向可行解靠近。
3. 计算步骤：
① 建立初始单纯形表，计算检验数行。
检验数全部≤0 （非基变量检验数<0）
可行性 B－1b ≥0 最优性CN－CBB－1N ≥0
LP灵敏度分析最终回答： 1. 这些系数在什么范围内变化时，原先求出的线性规 划问题的最优解或最优基不变。 2. 如果系数的变化超出了上述范围，如何用最简便的方 法求出新的最优解。 计算量少，充分利用到原 最优的单纯形表结果
三、灵敏度分析的步骤
XB X , X N
C
C , C
B N
XB=B-1b — B-1NXN — B-1Xs
对于一个确定的基B，目标函数z可以写成
XB z C X C B , C N . C B X B C N X N X N
目标函数z用非基变量表出的形式
cj CB 0 XB x3 b 25
5 x1 0
c2 x2 0
0 x3 1
5
c2
x1
x2
35
10
1
0 0
0
1 0
0
0 0
1
-1 c2 - 5
-1