线段和差问题证明
线段的和差倍分问题的证明
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
八年级数学专题：证明线段的和差问题常用两种方法
八年级数学专题：证明线段的和差问题常用两种方法
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线段的和差问题
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：
一、可在长线段上截取与两条线段中一条
相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线
段相等（割）
二、把一个三角形移到另一位置，使两线
段补成一条线段，再证明它与长线段相等（补）
三、注意辅助线的作法及语言的表达，辅
助线只能实现一种功能。
证题技巧之三——证明线段或角地和差倍分
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长〔或大〕折半②短〔或小〕加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，终究是折半还是加倍要以有利于利用条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，如此要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD是△ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD证明：延长AD至N使AD=DN如此ABNC是平行四边形∴=AB=FA AC=AH又∠FAH+∠BAC=180°∠BAC+∠A=180°∴△FAH≌△NCA ∴FH=AN ∴FH=2AD例2、△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，M是BC边上的中点。
求证：DM=12AB 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 如此 MN ∥AC ∠1=∠C ∠2=∠B ∴∠2=2∠1 ∴∠1=∠DNM ∴DM=DN又 AN=DN=ND ∴DM=12AB 例3 △ABC 中，AB=AC ，E 是AB的中点，D 在AB 的延长线上，且DB=AC 。
求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BF如此 BF ∥12AC ∠A=∠DBF ∵AB=AC ，E 是AB 的中点∴BF=AE又DB=AC ∴△AEC ≌△BFD ∴DF=CE ∴CD=2CE作业：1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF=12FC 2、AB 和AC 分别切⊙O 于B 和C ，BD 是直径。
求证∠BAC=2∠CBD3、圆内接△ABC 的AB=AC ，过C 作切线交AB 的延长线于D ，DE 垂直于AC 的延长线于E 。
线段的和差问题
线 段 的 和 差 问 题薛志军(湖南长沙中南大学附属实验中学 410083)线段的和差问题是几何证明中常见的题型，它与证明线段相等紧密相联.一般来说，通过作辅助线可转化为线段相等问题.解决线段的和差问题，需要综合应用三角形全等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含有30º角的直角三角形的性质，线段中垂线的性质，角平分线性质，三角形，梯形中位线性质等知识.因此，通过此问题的讨论，一方面，帮助学生对与之相关的知识、定理进行梳理，系统化，进而建构有效的知识系统；另一方面，使他们在学习具体的几何知识的同时，掌握“化归”的数学思想方法.一、 利用图形中已有的线段和差关系进行证明例1 已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 相邻外角∠ACG 的平分线相交于D ，DE∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .求证：EF=BE-CF . 分析 要证EF=BE-CF ，而图中有EF=ED-FD ，若能证出BE=ED ，CF=FD ，则此题可证出.说明 本题利用了等腰三角形的判定来证明线段的差的问题. (图1) 例2 已知：如图2，△ABC 中，∠BAC=90o ，AB=AC ，AE 是过点A 的一条直线且B ，C 在AE 的异侧，BD⊥AE 于D ，CE⊥AE 于E . 求证：BD=DE+CE .E 分析 本题主要利用△BAD≌△ACE，得BD=AE ，AD=CE ，从而得BD=AE=DE+AD=DE+CE .说明 本题主要利用三角形全等的方法直接证明线段的和的问题.二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）例3 已知：如图3，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE .分析 要证AE=AD+BE ，则可转化为证AE-BE=AD ，则需找到一条线段使它等于AE-BE ，再证其与AD 相等，在EA 上截取EF=BE ，连结CF ，问题转化为证AF=AD ，即要证出△AFC≌△ADC .证明 在EA 上截取EF=BE ，连结CF . ∵CE⊥AB 于E, ∴CF=CB . ∴∠1=∠B .∵∠1+∠2=180°，∠B+∠D=180°, (图3) ∴∠2=∠D .∵∠FAC =∠D AC ，AC=AC,∴△AFC≌△ADC .∴AF=AD.∵AE=AF+EF, ∴AE=AD+BE.三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）例4 已知: 如图4，在△ABC 中,∠BAC =2∠B,CD 是∠ACB 的平分线.求征: BC=AC+AD .证明 延长CA 至E ，使AE=AD ，连结DE .∴∠E=∠EDA . (图4) ∴∠BAC=∠E+∠EDA=2∠E . ∵∠BAC=2∠B , ∴∠B =∠E .在△CDE 和△CDB 中 . ∠1=∠2，CD=CD ，∠E=∠B , ∴△CDE≌△CDB .E'∴CE=CB ,∴BC=CE=EA+AC=AD+AC .四、旋转法例5 已知:如图5，已知F 为正方形ABCD 的边BC 上一点，AE 平分∠DAF.求证：DE=AF-BF.分析 将△ADE 绕A 点顺时针旋转90º，则AE ⊥AE ´ 可证E ´，B ，F 共线，∠E ´= ∠E ´ (图5)则有AF= E ´F.∴DE=BE ´=E ´F-BF=AF-BF. 五、等积变换法例6 已知:如图6，已知在△ABC 中，AB=AC ，BD 为AC 边上的高，如果在BC 上取一点F ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥AC 于H.求证：FG+FH=BD. 分析 连接AF.S SSAFCABFABC∆∆∆+=AC FH GF AC AC FH GF AB BD AC ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∴2121212121(图6)得BD=GF+FH . 例7 已知:如图7，在△ABC 中，∠A=90º，D 是AC 上一点，BD=CD ，P 是BC 上任一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F.求证：分析 连接PD .由S S SPDB PCD BCD∆∆∆+= , (图7)得得AB=PE+PF.六、归一法（将处于不同位置的线段转化到同一条线段中来） 例8 已知:如图8，已知平行四边形ABCD 的对角线交于O ，点P 是BD 上任一点（异于B ，O ，D 三点），过P 点作平行于AC 的直线交直线AD 于E ，交BA 的延长线于F.求证：AC=PE+PF.分析 ∵OD PD AO PE = ，OBPBAO PF =, 且OB=OD=BD 21, (图8) ∴OBPBOD PD AO PF AO PE +=+. 即22121==+=+BD BDBD PB PD AOPF PE . )(212121212121PE PF CD PE CD PF CD PE BD PF CD BA DC +=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅∴1=+ACPFPE ，即AC=PE+PF.七、特殊定理法证明线段的和差时，可适当添加辅助线，以便于运用某些特殊的定理.这些 特殊的定理包括：三角形，梯形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等.例9 已知:如图9，AB 是O Θ的直径，直线MN 与 O Θ相切于C ，AE ⊥MN 于E ，BF ⊥MN 于F.求证：分析 连接OC ，则有OC ⊥MN.∵AE ⊥MN ，BF ⊥MN,∴AE ∥OC ∥BF . (图9) ∵OA=OB, ∴EC=CF.∴AE+BF=2OC=AB.。
重难专题04 证一条线段等于两条线段和差问题(原卷版)
重难专题04 证一条线段等于两条线段和差问题如图所示， AB CD ∥，BE ，CE 分别是ABC Ð，BCD Ð 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．【分析】运用截长补短的方法，在BC 上取点F ，使BF AB=，由角平分线定义得ABEFBEÐ=Ð，BCE DCE Ð=Ð，可证ABE FBE SAS ≌（）V V ，得A BFE Ð=Ð，结合平行线的性质可证EFC D Ð=Ð，进一步证得EFC EDC AAS ≌（）V V ，所以CF CD =，得证结论BC AB CD =+．【详解】在BC 上取点F ，使BF AB=∵BE ，CE 分别是ABC Ð，BCD Ð的平分线∴ABE FBE Ð=Ð，BCE DCEÐ=Ð∵AB CD∥∴180A D Ð+Ð=°在ABE V 和FBE V 中AB FB ABE FBEBE BE =ìïÐ=Ðíï=î∴ABE FBESAS ≌（）V V ∴A BFEÐ=Ð∴180BFE D Ð+Ð=°∵180BFE EFC Ð+Ð=°∴EFC DÐ=Ð在EFC V 和EDC △中，EFC D BCE DCECE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴EFC EDCAAS ≌（）V V ∴CF CD=∵BC BF CF=+∴BC AB CD =+．【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键．已知：如图，在ABC V 中，=60B а，D 、E 分别为AB 、BC 上的点，且AE 、CD 交于点F ．若AE 、CD 为ABC V 的角平分线．(1)求AFC Ð的度数；(2)若6AD =，4CE =，求AC 的长．AE Q 、CD 分别为ABC V 的角平分线FAC FAD \Ð=Ð，FCA FCE Ð=Ð，120AFC Ð=°Q ，60AFD CFE \Ð=Ð=°，在ADF △和AGFV 中，AD AG DAF GAF AF AF =ìïÐ=íï=î，()SAS ADF AGF \@V V ，60AFD AFG \Ð=Ð=°，60GFC CFE \Ð=Ð=°，在CGF △和CEF △中，GFC EFC CF CFGCF ECF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ASA CGF CEF \@V V ，4CG CE \==，10AC AG GC \=+=．【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，BAC Ð的角平分线AD 交BC 于D ，交ABC Ð的角平分线于E ，过点E 作EF AE ^，交AC 于点F ，求证：+=AF BD AB ．【分析】延长EF ，BC 相交于点M ，分别证明AEBMEB△≌△和AEF MED △≌△即可得解．【详解】证明：延长EF ，BC 相交于点M ，∵90ACB Ð=°，∴90CAB CBA Ð+Ð=°，∵AE 平分BAC Ð，BE 平分ABC Ð，∴45EAB EBA Ð+Ð=°，∴18045135AEB Ð=°-°=°，∴18013545Ð=°-°=°DEB ，∵AE EF ^，∴9045135Ð=Ð+Ð=°+°=°=ÐMEB MED DEB AEB ，在AEB △和MEB V 中，AEB MEB EB EB ABE MBE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA AEB MEB △≌△，∴Ð=ÐEAB M ，AE ME =，AB MB =，∵AE 平分BAC Ð，∴FAE EAB Ð=Ð，∴Ð=ÐFAE M ，在AEF △和MED V 中，90FAE M AE ME AEF MED Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=°î，∴()ASA AEF MED △≌△，∴=AF MD ，∴+=+==AF BD MD BD MB AB ．【点拨】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．已知ABC V 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ．(1)如图，若ABC V 为锐角三角形，=45ABC а．求证：①BDF ADC ≌△△，②FG DC AD +=．(2)如图，当ABC Ð为135°时，写出FG ，DC ，AD 之间的等量关系，说明相应理由．【分析】（1）①可以证明ABD △为等腰直角三角形，得到AD ＝BD ，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小问中三角形全等可知DF ＝DC ，再去证明FA ＝FG ，则FG +DC ＝FA +DF ＝AD ；（2）易知△ABD 、△AGF 为等腰直角三角形，BD ＝AD ，FG ＝AF ＝AD +DF ，再证明△BDF ≌△ADC ，得到DF ＝DC ，则得到FG ＝DC +AD ．【详解】（1）①证明：∵∠ADB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝∠ABC ＝45°，∴AD ＝BD ，∵∠BEC ＝90°，∴∠CBE +∠C ＝90°又∵∠DAC +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠DAC ，∵∠FDB ＝∠CDA ＝90°，∴△FDB ≌△CDA （ASA ）②∵FDB ≌△CDA ，∴DF ＝DC ；∵GF ∥BC ，∴∠AGF ＝∠ABC ＝45°，∴∠AGF ＝∠BAD ，∴FA ＝FG ，∴FG +DC ＝FA +DF ＝AD ．（2）FG 、DC 、AD 之间的数量关系为：FG ＝DC +AD ．理由：∵∠ABC ＝135°，∴∠ABD ＝45°，△ABD 、△AGF 皆为等腰直角三角形，∴BD ＝AD ，FG ＝AF ＝AD +DF ，∵∠FAE +∠DFB ＝∠FAE +∠DCA ＝90°，∴∠DFB ＝∠DCA ，又∵∠FDB ＝∠CDA ＝90°，BD ＝AD ，∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴DF ＝DC ，∴FG 、DC 、AD 之间的数量关系为：FG ＝DC +AD ．【点拨】本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意熟练掌握．已知，ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，直线m 过点A ，且BD m ^于D ，CE m ^于E ，当直线m 绕点A 旋转至图1位置时，我们可以发现DE BD CE =+．(1)当直线m 绕点A 旋转至图2位置时，问：BD 与DE 、CE 的关系如何？请予证明；(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【分析】（1）利用条件证明ABD CAE △△≌，再结合线段的和差可得出结论；（2）根据图，可得BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系；【详解】（1）证明：如图2，∵BD m ^，CE m ^，∴90BDA CEA Ð=Ð=°，∴90ABD DAB Ð+Ð=°．∵90BAC Ð=°，∴90DAB CAE Ð+Ð=°，∴ABD CAE Ð=Ð．在ABD △和CAE V 中，BDA CBA ABD CAB AB CA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ABD CAE △△≌（AAS ），∴AD CE =，BD AE=∵DE AE AD =-，∴DE BD CE =-．（2）直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系：DE BD CE =+，DE BD CE =-，DE CE BD =-．如图1时，DE BD CE =+，如图2时，DE BD CE =-，如图3时，DE CE BD =-，（证明同理）【点拨】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．（1）如图1，已知ABC V 中，BAC Ð=90°，AB AC =，直线m 经过点,A BD ^直线m ，CE ^直线m ，垂足分别为点,D E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC V 中，,,,AB AC D A E =三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC Ð=Ð=Ð．请写出,,DE BD CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用已知得出∠CAE =∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE =BD +CE ；（2）根据∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，根据AAS 证出△ADB ≌△CEA ，从而得出AE =BD ，AD =CE ，即可证出DE =BD +CE ；【详解】（1）DE =BD +CE ．理由如下：∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠AEC =90°又∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，90ABD CAE ADB CEA AB AC ÐÐìïÐаíïî＝＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴BD =AE ，AD =CE ，∵DE =AD +AE ，∴DE =CE +BD ；（2）DE BD CE =+，理由如下：∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE ADB CEA AB AC ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ；【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC Ð的平分线，且AE CE ^．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 也平分∠ABC ，则以下的命题中正确的个数是（ ）①BC +AD =AB ； ②Ｅ为CD 中点③∠AEB =90°； ④S △ABE =12S 四边形ABCDA ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题3．如图，点E 是CD 上的一点，Rt △ACD ≌Rt △EBC ，则下结论：①AC ＝BC ，②AD ∥BE ，③∠ACB ＝90°，④AD +DE ＝BE ，成立的有 _____个．4．如图，已知在ABC D 中，CD 平分ACB Ð，2,,A B BC a AC b Ð=Ð==，则AD =___________. （用含a b 、的代数式表示）.三、解答题5．如图，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，AD 、CE 相交于点P ．(1)求∠APC 的度数；(2)若AE ＝4，CD ＝4，求线段AC 的长．6．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠ACB ＝30°，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，求证：CD ＝AB ＋AD7．如图，120CAB ABD Ð+Ð=°，AD 、BC 分别平分CAB Ð、ABD Ð，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB Ð的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．8．如图1，已知AB ＝AC ，AB ⊥AC ．直线m 经过点A ，过点B 作BD ⊥m 于D ， CE ⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K ”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE ＝BD ＋CE ，现请你替悟空同学完成证明过程．（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB ＝AC ，∠BAC ＝∠BDA ＝∠AEC ，则结论DE ＝BD ＋CE ，还成立吗？如果成立，请证明之．9．【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD Ð=°，90B ADC Ð=Ð=°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，探究当EAF Ð为多少度时，使得BE DF EF +=成立．小亮同学认为：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，则可求出∠EAF 的度数为______；【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，当∠EAF 与∠BAD 满足怎样的数量关系时，依然有BE DF EF +=成立，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD 中，45EBF Ð=°，若DEF V 的周长为8，求正方形ABCD 的面积．10．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥MN ，AD ⊥MN ，垂足分别为E 、D ．图中哪条线段与AD 相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE 绕点C 旋转到图2中直线MN 的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．11．已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．（1）当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时（如图1），求证：△ABE ≌△CBF ．（2）当∠MBN 绕点B 旋转到AE ≠CF 时，如图2，猜想线段AE ，CF ，EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．12．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明V ABE≌V ADG，再证明V AEF≌V AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（2）灵活运用：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；（3）探索延伸：如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，且满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．。
线段和差证明
授课教案教学标题 线段和差的证明方法教学目标 熟练掌握截长补短法在全等三角形中的应用. 教学重难点重点掌握利用截长补短法添加辅助线的方法.上次作业检查授课内容： 一．热身训练寻求中点证明线段“倍”的问题如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90o ，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 为垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E.⑴求证：∠ABD=∠FAD ；⑵求证：AB=2CE.二．知识梳理三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为两线段相等的问题 ⑴ 等量代换法：a=b-c （a,b,c 三条线段不在同一条直线上，通过等量代换将b 、c转换成同一条直线上的e,f ，且使a=e-f ） ⑵ 截长补短法：a=b+c截长法：将较长的线段a 分成两部分，一部分作图使e=b ，另一部分证明f=c ，且a=e+f.补短法：将较短的线段b 延长，构建出一个b+c=d 来，然后利用全等证明a=d 即可. 三．典型例题例1.如图，已知△ABC 中，∠BAC=90 o ，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP ＜CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E ，CF ⊥AP 于F. ⑴求证：EF=CF-BE ； ⑵若点P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.ABCE PFABCP分析：通过全等， 把AE 转换成CF ，AF 转换成BE 即可.图形发生改变，结论一般发生改变，但是证明的思路是不发生太大改变的.例2. (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．BADCEFDOEC B A4321FDOE CB A分析：通过测量可猜出：BE CD BC +=，利用截长补短法证明此结论.理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．例3. 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ． 分析：证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种： (1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC CE +)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等． (2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE )上截取与线段中的某一段(如BC )相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE )相等．我们用(1)法来证明．例4.E 为正方形ABCD 的边BC 的中点，AE 平分∠BAF ，求证：AF=BC+CF.分析：①倍长中线，补短法，延长AE 、CD 交于点M ；②补全角平分线的基本图形，截长法，连接EF ，过点E 作EM ⊥AF.四．课堂练习见学案 五．课后反思：1.线段和差关系的证明方法；2.截长补短法的应用.学 案热身训练寻求中点证明线段“倍”的问题如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90o ，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 为垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E.⑴求证：∠ABD=∠FAD ；⑵求证：AB=2CE.例1.如图，已知△ABC 中，∠BAC=90 o ，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP ＜CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E ，CF ⊥AP 于F. ⑴求证：EF=CF-BE ； ⑵若点P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.ABCE PFABCP例2. (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．BADCEFDOECB A例3.如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．例4.E为正方形ABCD的边BC的中点，AE平分∠BAF，求证：AF=BC+CF.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E为AD中点，求证：BC=AB+CD.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.FEDCBA。
线段和差的证明
课堂小结
1、本节课重点与难点。 2、学习注意事项（学生的优点和问题） 3、学习建议.
作业 作业：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点． 求证：AB－AC＞PB－PC.
下课了，期待再见！
（1）求B点坐标；
（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求 ∠AOD的度数；
（3）过点A作上，以EG为直角
作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 成立，请证明，若不成立，说明理由.
线段和差的证明
学情交流
例题讲解与练习
1、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．
例题讲解与练习
2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关 系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)
综合提高
3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
y
AM FM OF =1 是否成立？若
A
O D
CB x
综合提高
3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标；
（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求 ∠AOD的度数；
（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角
作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 成立，请证明，若不成立，说明理由.
y
AM FM OF =1 是否成立？若
E
A
F
O
关于线段和、差、倍、分关系的证明
关于线段和、差、倍、分关系的证明冼词学【期刊名称】《数学学习》【年(卷),期】2002(000)006【摘要】线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1.利用截长法或补短法证明有关线段和、差问题所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1 已知 :如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＣ =ＢＣ ,ＢＤ是∠Ｂ的平分线 .求证 :ＡＢ =ＢＣ +ＣＤ .分析 :要证明ＡＢ =ＢＣ +ＣＤ ,根据截长法和补短法的思想 ,我们可想到两条思路 :( 1)可延长ＢＣ到Ｅ ,使得ＢＥ =ＡＢ ,如能证ＥＣ =ＣＤ即可 ;( 2 )在ＡＢ取点Ｆ ,使得ＢＦ =ＢＣ ,如能证ＡＦ =ＣＤ即可 .根据这两条思路 ,再结合题目的条件 ,由等腰直角三角形 ,我们不难发现证ＡＦ =ＣＤ更好 ,因为可证ＡＦ=ＤＦ =ＣＤ .证明 :在ＡＢ上取ＢＦ =ＢＣ ,连结ＤＦ.∵∠ＣＢＤ=∠ＤＢＡ , ＢＤ =ＢＤ,∴△ＢＣＤ≌ △ＢＦＤ . ...【总页数】2页(P)【作者】冼词学【作者单位】无【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶2.平面几何中线段“和差倍分”问题的证明 [J], 倪建荣;3.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶;4.线段和、差、倍、分的几种证明方式 [J], 谢群峰5.线段和差倍分的证法 [J], 支其韶;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
平面几何中线段“和差倍分”问题的证明
利用 “ 平 行线 间距 离相 等 ” 、 “ 夹 在 平行 线 间 的 平 行 线段 相 等 ” 等定理 ， 可通过添加平行线 ， 将 某
些 线段 “ 送” 到 恰 当位置 ， 从 而获得 证题 思路 ．
证法 ２ 如图 ３ ， 延长 Ｃ Ａ至 点 Ｇ， 使Ａ Ｇ＝Ａ Ｅ， 联结 Ｄ Ｃ， Ｄ Ｂ， ＤＧ ． 易证 ＡＡ Ｄ Ｅ ＡＡ Ｄ Ｇ， 从 而 可 证
故 Ⅱ＝ｋ ＋ ｂ—ｃ为整 数． （ ３ ） 令 ０＝ｂ＝ｃ＝ ＝１ ， 则 是平 方数 ， 因此不 一定 成 立． ＋ ＋Ｃ＝３ ， 不
若ｈ ， ｍ 的奇偶 性不 同 ， 则 １ ６ ａ＋ ４ ｂ＝（ ｈ＋ ， ） （ ｈ—ｍ）
为奇 数 ， 这与１ ６ ａ＋ ４ ６为偶 数矛 盾．
等． 证法 １ 与 证法 ２正好 是 “ 割” 与“ 补” 的 ２种 方
法．
现 矛盾 的转 移 ， 从而达 到化 未知 为 已知 、 化难 为易 、 化 繁为 简 的 目的． 本 文拟对 这类 问题 的常用 解法 作
一
例２ 在 锐 角 ＡＡ Ｂ Ｃ中， ／ ＿ ＿ Ａ Ｃ Ｂ ＝６ ０ 。 ， ０ 为 ＡＡ Ｂ Ｃ外 接 圆 的 圆心 ， Ｈ为垂心 ， Ｏ Ｈ 的延 长 线 交
若和 差 倍 分 ＂问 题 的 证 明
●倪 建荣 （ 秀州中学分校 浙江嘉兴 ３ １ ４ ０ ０ ０ ）
△Ｂ Ｄ Ｅ △Ｃ Ｄ Ｇ， 得 Ｂ Ｅ＝Ｃ Ｇ， 即Ａ Ｂ—Ａ Ｃ＝ ２ Ａ Ｅ ．
线段“ 和差 倍分 ” 问题是 几何 证 明的 重要 内容 之一 ， 这类 问题 的证 明方 法灵 活 多变 、 技巧 性 强 ， 且
相关 线 段或 其 延 长线 上 构 造 能 够 表 示 线 段 “ 和差
七年级数学用“截长补短”证明三角形线段和差问题课件
C
D
1 2
3
5 4
A
B
E
【例题展示】：如图，在△ABC中，BC=AC，
∠ACB=108°，AD平分∠BAC交BC于D.F 求证：AB=AC+BD.
C
D
1
2
A
B
【小试牛刀】如图，在正方形ABCD中，点E在BC
上移动，∠EAF=45°，AF交CD于F，连接EF，求证：
BE+DF=EF
A
D
F
B
C
E
【头脑风暴】：如图，△ABC是等边三角形，点 D是△ABC外一点，BD=DC，∠NC、MN之间的数B量M关+N系C=是MN _____________A____;
利用“截长补短〞法证明 线段和差问题
【课前练手】 ：如图，在四边形ABCD中，
AB>AD，AC平分∠BAD，∠B与∠D互补，
∠D=120 °.
求证：AB=AD+BC.
证明：
F
G
D
C
1 2
A
E HB
【例题展示】：如图，在△ABC中，BC=AC， ∠ACB=108°，AD平分∠BAC交BC于D. 求证：AB=AC+BD.
M
N
B
C
D
〔2〕如图，当M、N分别在边AB、CA的延长线 上，上题的结论仍成立吗？请说明理由。
N
A
B
C
M
D
课堂小结：
1、什么时候使用“截长补短〞法 2、辅助线的表达方法
作业
几何的计算与证明2-线段和差(截长补段)学生用
几何的计算与证明2-线段和差1. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．2. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC．PC 交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．（1）若AP=，AB=BC，求矩形ABCD的面积；（2）若CD=PM，求证：AC=AP+PN．3. 如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE 于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．4. 如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．6. 在平行四边形ABCD中，BE AD，F为CD边上一点，满足BF=BC=BE．（1）如图1，若BC=12,CD=13,求DE的长；（2）如图2，过点D作DG//BE交BF于点G，求证：BG=AE+DG．7. 在平行四边形中，E为对角线AC上任意一点，连接BE．（1）如图1，若AB=BE,AC=BC, ∠BAC=75°，AB=ABCD的面积；（2）如图2所示，延长BE至F，使得EF=EB，连接CF, FD. 求证：CE=AE+FD．8. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D, E为直线BC上的两点且满足BD=CE,连接AD，过点C作CF AD交AB于点G，垂足为F，连接EG．（1）若AC=6，CE=2，求CF的长；（2）求证：EG+CG=AD．。
13.3.1.4线段和差的证法
G
练习1.如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点 P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点 F； （2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间 存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．
方法3.垂线段问题的解法 三角形面积法
练习 1.如图所示,已知△ABC 中,∠BAC＝90°,AB＝AC,AE 是过点 A 的一条直线,且 B 点和 C 点在 AE 的异侧,BD⊥AE 于 D 点,CE⊥AE 于 E 点．求证：BD＝DE＋CE；
方法2.“合二为一”法 延长BC、AE交于点F， 先证：AB=BF 再证：AD=CF
F
练习1.如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意 一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E， 再过C作CF⊥AB于点F； （1）求证：PD+PE=CF；
方法1.“一分为二”法 在线段FC上取一点G，使FG=DP 再证：GC=PE
.G
练习1.如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点 P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为D、E，再过C作CF⊥AB于点 F； （2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间 存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．
方法2.“合二为一” 过P作PG∥DF，交FC延长线于G，先证DP=FG 再证：GC=PE
线段a+b=c的证法
例：如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于 E，CE的延长线交AP于D． 说明AB=AD+BC；
方法1.“一分为二”法 在线段AB上取一点F，使AF=AD 再证：BF=BC
x x
F
.
，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于 E，CE的延长线交AP于D． 说明AB=AD+BC；
“截长补短法”证明线段的和差问题
“截长补短法”证明线段的和差问题典例分析 河大附中 桑静华线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．实际上是通过翻折构造全等三角形,目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．在无法进行直接证明的情形下，利用“截长补短”作辅助线的方法常可使思路豁然开朗，问题迎刃而解。
例1、如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别 平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ， 则AB 与AC+BD•相等吗？请说明理由．分析：证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：（1）在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短 线段，这种方法叫“截长法”（2）在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．34DCAB65(1)F E1234DCAB65(2)EF12证法一：如图（1）在AB 上截取AF=AC ，连结EF ． 在△ACE 和△AFE 中DCABE12AC AF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△AFE （SAS ）∵,∴,又,∴∠6=∠D在△EFB 和△BDE 中634D BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EFB ≌△EDB （AAS ） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE ，与AC 的延长线相交于点F∵ ∴4∠=∠F ,又∵43∠=∠ ∴∠F=∠3 在△AEF 和△AEB 中312F AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△AEB （AAS ）, ∴AB=AF ，BE=FE 在△BED 和△FEC 中564BE FE F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BED ≌△FEC （ASA ） ∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD ． 例2、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，求证：AB +BD =AC ． 分析1： 因为∠B =2∠C ，所以AC ＞AB ， 可以在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，构造△ABD ≌△AED ，把AB 边转移到AE 上， BD 转移到DE 上，要证AB +BD =AC ． 即可转化为证AE +BD =AE +EC ， 即证明BD =EC ．ABCD证明：在AC 上取一点E ，使AB =AE ，连结DE ．在△ABD 和△AED 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD DAE BAD AE AB ∴△ABD ≌△AED （SAS ）． ∴ BD =DE ，∠B =∠AED ．又∠AED =∠EDC +∠C =∠B =2∠C ，∴ ∠EDC =∠C ．∴ ED =EC ． ∴ AB +BD =AC ．分析2： 因为∠B =2∠C ，所以AB ＜AC ，可以在AB 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ， 构造△AED ≌△ACD ，把AC 边转移到AE 上， DC 转移到DE 上，要证AB +BD =AC． 即可转化为证AB +BD =AB +BE ， 即证明BD =BE ． 证明：在AB 的延长线上取一点E ， 使AC =AE ，连结DE ． 在△AED 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD DAC BAD AC AE ∴ △AED ≌△ACD （SAS ）．∴∠C =∠E ． 又∠ABC =∠E +∠BDE =2∠C =2∠BDE ， ∴ ∠E =∠BDE ．∴ BE =BD ． ∴ AB +BD =A E ＝AC ． 分析3：若延长DB 到点E ， 使得AB =BE ，有AB +BD =ED ， 只要证出ED =AC 即可． 证明：延长DB 到点E ， 使AB =BE ，连结AE ，则有∠EAB =∠E ，∠ABC =∠E +∠EAB =2∠E ．又∠ABC =2∠C ， ∴ ∠E ＝∠C ． ∴ AE =AC ．又∠EAD =∠EAB +∠BAD =∠E +∠DAC =∠C + ∠DAC =∠ADE ，AB CD EAB CD EA B CD E∴AE=DE．∴AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．学以致用：1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180°AB CD。
全等三角形中线段的和、差问题
全等三角形中线段的和、差问题证明线段的和、差问题，通常采用的方法就是截长补短法，这也是初中数学几何题中一种常用辅助线的添加方法，截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。
例题1：已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE，垂足为点D，CE⊥AE，垂足为点E．（1）当直线AE处于如图①的位置时，有BD＝DE+CE，请说明理由；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由．证明：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD+DE，∴BD＝DE+CE；（2）BD＝DE﹣CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝DE﹣AD，∴BD＝DE﹣CE．例题2：阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB+DC．小明发现以下两种方法：方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD＝AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，求证：CD＝CE．解：（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；∵AB∥DF，∴∠B＝∠ECF，∵BE＝EC，∠BEA＝∠CEF，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，∵EA平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝CD+AB．方法2：如图3，在AD上取一点G使AG＝AB，连接EG、CG．∵AB＝AG，∠BAE＝∠GAE，AE＝AE，∴△BAE≌△GAE（SAS），∴BE＝EG＝EC，∠AEB＝∠AEG，∴∠EGC＝∠ECG，∵∠BEG＝∠EGC+∠ECG，∴∠BEA＝∠ECG，∴AE∥CG，∴∠EAG＝∠CGD，∵AB∥CD，AE∥CG，∴∠BAE＝∠DCG，∴∠DCG＝∠DGC，∴CD＝DG，∴AD＝AB+CD．（2）证明：如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．由（1）可知：AN＝NM，AE＝EM，∴EN平分∠ANM，∵∠BAD＝60°，MN∥AB，∴∠MND＝∠BAD＝60°，∴∠ENM＝∠ENA＝60°，∴∠CND＝∠CNE，∵∠B+∠ECN＝180°，∠ABC＝180°﹣∠BCD，∴∠NCE＝∠NCD，∵CN＝CN，∴△CNE≌△CND（ASA），∴CE＝CD．习题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC 的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF；（3）在（2）的条件下，若∠D＝90°，AD＝，AF＝10，则点E到AB的距离是．（直接写出结果即可，不用写出演推过程）2．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE＝2CM+BN．3．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE 是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．4．如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN 于M，BN⊥MN于N．（1）求证：MN＝AM+BN．（2）若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．5．如图，△ABC的两条高AD，BE交于点F，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°．（1）求证：DF＝DC；（2）连接CF，求证：AB＝AC+CF．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，垂足为D，DH⊥BC，垂足为H．点E在边AC上，BE分别与CD、DH相交于点F、G．（1）求证：BG＝CG；（2）若AB＝BC，且BE⊥AC．①求证：BF＝CA；②求证：BG＝CE+EF7．在△BCF中，点D是边CF上的一点，过点D作AD∥BC，过点B作BA∥CD交AD于点A，点G是BC的中点，点E是线段AD上一点，且∠CDG＝∠ABE＝∠EBF．（1）若∠F＝60°，∠C＝45°，BC＝2，请求出AB的长；（2）求证：CD＝BF+DF．8．如图，E是BC的中点，DE平分∠ADC．（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；（2）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．9．四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．求证：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．10．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，求证：AD＝DC+AB，（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，F是DC延长线上一点，连接AF，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，求证：AB＝AF+CF．11．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；（2）若AB＝BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？12．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．13．如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC+∠ADC＝180°，求证：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．14．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m 于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE 是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．全等三角形中线段的和、差问题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EC，∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）证明：由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SSS），∴∠AEB＝∠FEB＝90°，∴BE⊥AE；（3）解：在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，∴∠ABE＝∠FBE，∴E到BF的距离等于E到AB的距离，由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝AF＝5，∵∠D＝90°，∴DE＝＝＝，∴CE＝DE＝，∵CE⊥BF，∴点E到AB的距离为．2．【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．（2）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠DAC＝∠EBC，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝120°∴∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝30°，∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM，∴ME＝CM，∴DE＝2CM，∵∠BEN＝∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠EBC+∠CBA＝∠BAE+∠DAC+∠CBA＝30°+30°＝60°，∴∠NBE＝30°，∴BE＝2EN，EN＝BN，∴BE＝BN，∵AD＝BE，∴AE＝AD+DE，∴AE＝2CM+BN．3．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．4．【解答】证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△AMC和△CNB中，∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，△AMC≌△CNB（AAS），AM＝CN，MC＝NB，∵MN＝NC+CM，∴MN＝AM+BN；（2）结论：MN＝BN﹣AM．∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB，在△AMC和△CNB中，∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，△AMC≌△CNB（AAS），AM＝CN，MC＝NB，∵MN＝CM﹣CN，∴MN＝BN﹣AM．5．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴BD＝DA，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF＝DC．（2）证明：延长FE到K，使得EK＝EF，连接CF．∵∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵DF＝DC，∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠DFC＝45°，∴∠ECF＝30°，∵∠CEF＝90°，∴CF＝2EF，∵FK＝2EF，∴CF＝FK，∵AE⊥FK，EF＝EK，∴AF＝AK，∴∠K＝∠AFE，∠EAF＝∠EAF，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝75°，∴∠DAC＝15°，∴∠EAF＝∠EAK＝15°，∴∠K＝90°﹣15°＝75°，∴∠BAK＝∠BAD+∠DAK＝75°，∴∠BAK＝∠K，∴BA＝BK，∴AB＝BF+FK＝BF+CF．6．【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴DB＝DC，∵DH⊥BC，∴BH＝CH，∴GB＝GC．（2）①∵BA＝BC，BE⊥AC，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∴∠A＝∠ACB＝67.5°，∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠DBF＝22.5°，∵∠BDF＝∠ADC＝90°，BD＝DC，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴BF＝AC．②作DN∥BC交AC于点N，连接FN．∵△BDF≌△CDA，∴DF＝AD，∵DN∥BC，∴∠NDC＝∠DCB＝45°，∵DN＝DB，∴△NDA≌△NDF（SAS），∴∠A＝∠DFN＝67.5°∵∠DFN＝∠FCN+∠CNF，∠FCN＝22.5°，∴∠CNF＝45°，∴NE＝EF，∵∠NDC＝∠GDB＝45°，BD＝DC，∠DBG＝∠DCN，∴△BDG≌△CDN（ASA），∴BG＝CN，∵CN＝EN+EC＝EF+CE，∴BG＝EC+EF．7．【解答】解：（1）过点E作EH⊥AB交AB于点H．∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB＝DC，∠DAB＝∠DBC，在△CGD和△AEB中，，∴△CGD≌△AEB，∴∠DGC＝∠BEA，∴∠DGB＝∠BED，∵AD∥BC，∴∠EDG+∠DGB＝180°，∴∠EDG+∠BED＝180°∴EB∥DG，∴四边形BGDE为平行四边形，∴BG＝ED，∵G是BD的中点，∴BG＝BC，∴BC＝AD，ED＝BG＝AD，∵BC＝2，∴AE＝AD＝，在Rt△AEH中，∵∠EAB＝45°，sin∠EAB＝sin 45°＝＝，∴EH＝，∵∠EHA＝90°，∴△AHE为等腰直角三角形，∴AH＝EH＝，∵∠F＝60°，∴∠FBA＝60°，∵∠EBA＝∠EBF，∴∠EBA＝30°，在Rt△EHB中，tan∠EBH＝tan 30°＝＝，∴HB＝3，∴AB＝3+（2）连接EF，延长FE交AB与点M．∵∠A＝∠EDF，AE＝DE，∠AEM＝∠DEF，∴△AEM≌△DEF（ASA），∴DF＝AM，ME＝EF，又∵∠EBA＝∠EBF，∴△MBF是等腰三角形∴BF＝BM，又∵AB＝AM+BM，∴CD＝BF+DF．8．【解答】解：（1）如图1，延长DE交AB的延长线于F，∵∠ABC＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，又∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴DE＝FE，即E为DF的中点，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F，∴AD＝AF，∴AE平分∠DAB；（2）如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠FDE，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE（SAS），∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，又∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∴FE＝BE，∵∠AED＝90°，∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠AEB，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．9．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°∴∠EBC＝∠D．在△CBE与△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS）；（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF．10．【解答】（1）证明：如图①中，延长AE交DC的延长线于点F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC（AAS），∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠EAD＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝DC+CF＝DC+AB．（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠F AG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∴∠F AG＝∠G，∴F A＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．11．【解答】（1）解：结论：CF＝AD．理由：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EC，∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；（2）结论：BE⊥AF．理由：由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF，∵AB＝BC+AD，∴AB＝BC+CF，即AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，∴BE⊥AE；12．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS）；（2）设∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．13．【解答】证明：①在AN上截取AE＝AC，连接CE，如图所示：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，AC＝EC＝AE，又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC（AAS），∴DC＝BC，AD＝BE；②由①得：AD＝BE，∴AB+AD＝AB+BE＝AE，∴AB+AD＝AC．14．【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CEA中，，∴△ABD≌△CEA（AAS），∴S△ABD＝S△CEA，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ACF＝CF•h，∵BC＝2CF，∴S△ACF＝6，∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6，∴△ABD与△CEF的面积之和为6．。
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线段的和差证明的问题
已知在△ ABC 中，/ B=60°, AD CE 分别平分/ BAC 和/ BCA 求证：AE+CD=AC
如图，在正方形 ABCD 中，点E 在BC 上移动，/ EAF=45°, AF 交CD 于 F ,连接EF ,求证:
BE+DF=EF
在厶ABC 中，AB=CB / ABC=90 , AD 为角平分线交 CB 于点
AE 的数量关系，请说明理由
已知在△ ABC 中，/ B=2/ C,Z BAC 的平分线 AD 交BC 于点D,求证：
AB+BD=AC
如图，/ ACB=90 ,
变式：已知 AF 平分/ DAE 求证：AE=BE+DF 变式：已知 EF=BE+DF 求证：/ EAF=45
已知在△ ABC 的BC 边上取两点D F ,
E 、G,求证：
AB=ED+GF
如图，点A B C D 顺次在O O 上
,
如图，已知△ ABC 和△ BED 都是等边三角形，且 A 、E 、D 在一条直线上，求证： AB=BD+CD
如图，在梯形 ABCD 中, AD//BC , / BAD 和/ ABC 的平分线交于 E,且CD 过点E ,求证：AB=AD+BC
在四边形ABCD 中，对角线AC 平分/ DAB
1） 如图 1,当/ DAB=120 时，/ B=Z D=90° 时，求证： AB+AD=AC
2） 如图2.当/ DAB=120时，/ B 与/ D 互补时，线段 AB AD AC 有怎样的数量关系？写 出你的猜想并证明
3） 如图3,当/ DAB=90时，/ B 与/ D 互补时，线段 AB AD AC 有怎样的数量关系？写
△ ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ ADE （图1），连接CE, 易证：CE+DC=AC 当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图
2、3两 种情况下，上述结论是否成立？若成立，给予证明。
若不成立，请写出
CE DC AC 之间的 关系，并证明
如图，已知在厶 ABC 中，/ A=108° 出你的猜想并证明
,AB=AC。