证明线段和差练习题

证明线段和差练习题

几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方

法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积证明、旋转等五种。下面分别列举几例逐一说明：

一、利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。

例1已知：如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的角平分线BD 、CD 相交于一点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 与点E ，交AC 与点F 。求证：EF=BE+CF

二、截短法或接长法：所谓截短法就是将长线段，截成几条线段，然后分别证明这几条线段等于要证明中的较短的线段，最后代入达到目的。所谓接长法是将较短的两条线段适当的连接起来，然后再证这条线段等于第三条线段，从而达到目的。

例2：如图所示已知 △ABC 中，0

90C ∠=，AC=BC ，AD 是∠BAC 的 角平分线.求证：AB=AC+CD.

三、面积法：利用三角形的面积进行证明。

例3：所示已知△ABC中，AB=AC，P是底边上的任意一点，PE⊥AC，

PD⊥AB，BF是腰AC上的高，E、D、F为垂足。

求证：①PE+PD=BF

②当P点在BC的延长线上时，PE、PD、PF之间满足什么关系式？

四、旋转法：通过旋转变换，而得全等三角形是解决正方形中有关题目类型的一种技巧

例4、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD成立；

（1）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明？若不成立，请说明理由。

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。

练习题

1. 如图2—1—3所示已知 三角形ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，

求证：AB+BD=AC.

2. 如图2—1—8所示已知△ ABC 中，0

90ACB ∠=，AC=BC ，E 是AB 上的一点，

BD ⊥CE ，AF ⊥CE ，垂足分别为D 、F ，∠B=2∠C ，求证：DF+AF=CF.

3、.已知：P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上的任意一点，过P 作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于Q 、R.证明：PQ+PR 的值不随P 点的变化而变化.且PQ+PR 为定值.

5、 如图，所示已知 四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 平分∠ABC ，求证：AD+BC=AB.