[数学]自动控制原理 线性系统描述

求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
傅
氏
拉氏变换
拉氏反变换
变
换
传递函数
估算 估算
S=jω 频率特性 计算
频率响应
➢ 本章将重点讨论以下几类控制系统模型 微分方程 单位脉冲响应 传递函数 方块图（结构图） 信号流图
2.1 线性系统的时域数学模型
➢ 目的：从时间域角度，建立系统输入量 （给定值）和系统输出量（被控变量）之 间的关系。
对于强非线性情况（图2-5(d)），不可能对其进行 线性化处理，只能采用非线性理论来分析。
二、*实验辨识法建模——单位脉冲响应描述 实验辨识法：利用输入、输出的实验数据 建立系统数学模型的方法 辨识前提：系统是线性定常、零初始条件 （t＝0时刻系统的响应及其各阶导数均为 零）。则有
H : r(t) c(t), c(t) H[r(t)]
上式是A点处的切线方程。
( y kx)
➢ 采用平衡点A处的切线方程代替非线性方程y=f(x),这 就是小偏差线性化的几何意义。
➢ 若非线性函数具有两个自变量，如z=f(x,y)，则在平 衡点展成Talor级数后的线性方程为
f
f
z
x
y
x x0 , y0
y x0 , y0
➢ 经上述处理，有些非线性关系可以近似用线性关系 表示，简化问题研究。
<τ), 所以有
t
c(t) 0 g(t )r( )d
⑧ 作变量代换，可得到卷积公式的另一种形式
(2-10)
t
c(t) 0 g( )r(t )d
(2-11)
结论：(2-1)和(2-10)、(2-11)均为LTI系统的时域模型，且等
价。
2.2 传递函数
➢ 为什么要研究LTI系统的传函表示？ ➢ Laplace变换的回顾 ➢ 传递函数的定义 ➢ 建立LTI系统传递函数模型的两种途径：微分
➢ 两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应 描述。
一． 线性系统的微分方程描述（机理建模法）
1. SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描 述的标准形式
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) L an1c&(t) anc(t)
b0r(m) (t) b1r(m1) (t) b2r (m2) (t) L bm1r&(t) bmr(t) (2-1)
式中 r(t)：系统的输入信号； c(t)：输出信号； ai(i=1,2,…n)和bj(j=0,1,…m)是由 系统的 结 构
参数决定的系数。
几点说明： ➢ 控制系统中输出量和输入量通常都是时间的函数； ➢ 很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关
系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、 输入量及它们各自对时间的导数或积分； ➢ 控制系统的微分方程又称为动态方程或运动方程； ➢ 微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数， 又称为系统的阶数。
即g(t)=H[δ(t)]。
③ 如果输入信号为Aδ(t-τ) ，则系统脉冲响应为Ag(t-τ) ;
④ 进一步将作用在系统上的任一分段连续函数用一系列长 方形常值脉冲信号叠加，即

r(t) r( ) (t ) 0
⑤ 则零初始条件下LTI系统在任一输入r(t)作用下的响应可近似
1、单位脉冲响应建模
① 脉冲函数的概念
r (t )


A

,
0

t


A 1
0, t 0, t
r(t)



(t)

0

(t)

lim
0

(t)

,t 0 0,t 0

(t)dt 1

(t )dt 1
② 单位脉冲响应：零初始条件下的LTI在δ(t)作用下的输出;
自动控制原理
兰州大学 “自动控制原理”精品课程课题组
2010. 9
第二章 线性系统的数学描述
➢ 引言 ➢ 2.1 线性系统的时域数学模型 ➢ 2.2 传递函数 ——复数域数学模型 ➢ 2.3 结构图 2.4 信号流图
引言
1. 数学模型的含义 数学模型：用数学的方法和形式表示和描 述系统中各变量间的关系。 分析和设计控制系统，首先要建立它的数 学模型。
4. 建立数学模型的两种基本方法 机理分析法： 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学 规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 适用于比较简单的系统 实验辨识法： 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法 也称为系统辨识。 适用于复杂系统
5. 数学模型的概括性
• 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电 气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能 具有完全相同的数学模型。
• 数学模型表达了这些系统的共性。
• 数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模 型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再 涉及实际系统的物理性质和具体特点。
➢ 由数学模型确定系统性能的主要途径
2. 列写系统微分方程的步骤
① 划分不同环节，确定系统输入量和输出量； ② 写出各环节（元件）的运动方程； ③ 消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变
量及其各阶导数的方程； ④ 化为标准形式。
➢ 例2-1：图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试 列写以 ui (t)为输入量，以 uo (t)为输出量的网络微分方程。
的微分方程，这是一个一阶系统。
➢ 例2-3: 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器 的机械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。
解 根据牛顿运动定律，系统的运动方程为
m
d
2 y(t) dt 2


dy (t ) dt

ky (t )
2. 静态模型和动态模型
静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化缓慢，其 对时间的变化率（导数）可忽略不计时，这些变量间的关 系称为静态关系或静态特性，系统称为静态系统。相应的 数学模型称为静态模型。
静态模型中不含有变量对时间的导数。 动态关系或动态特性：系统中变量对时间的变化率不可忽
相似系统和相似变量 数学模型相同的各种物理系统称为相似系统； 在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称
为相似变量。 根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结
论可以推广到其相似系统中。 可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难
实现的系统。
弹簧阻尼系统 力F
质量m 粘滞摩擦系数f
输出
输出
O
输入
(a) 饱和 输出
O
输入
(b) 死区 输出
O
输入
O
输入
(c) 间隙
图2-5 非线性特性
(d) 继电
1、对弱非线性的线性化 对于2-5(a)，当输入信号很小时，忽略非线 性影响，近似为放大特性； 对于2-5(b)、(c)，当死区或间隙很小时，也 可近似为放大特性。
2、平衡位置的小偏差线性化
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
➢ 图形化表示：用比较直观的结构图（方块图）和信 号流图进行描述。
同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要 根据不同的情况对这些模型进行取舍。
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为
L
di(t ) dt

1 C

i(t )dt

Ri (t )

ui
(t )
i(t) C duo (t) dt
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2uo (t) dt 2

RC
duo (t) dt

uo
拉普拉斯（Laplace）变换（简称拉氏变换）是求 解线性常微分方程的有力工具，它可以将时域的 微分方程转化为复频域中的代数方程，并且可以 得到控制系统在复数域的数学模型——传递函数。
传递函数不但可以反映系统的输入、输出动态特 性，而且可以间接反映结构和参数变化对系统输 出的影响。
其中，c(t)和 r(t)是系统的输出和输入（已 知）。
辨识任务：确定算子 H （由系统本身的特性 决定）。
辨识方法：通过已知输入信号作用下系统的 响应，来确定任意输入信号作用下系统的响 应。
优点：零初始条件下，内部结构未知的LTI 系统，可以通过测量系统的输入及响应的实 验数据，经过一定的处理求得其数学模型。
解 对于图2-4所示的单摆系统，根据牛顿运
动定律可以直接推出如下系统运动方程
ml
d 2
dt 2
l
d
dt
mg sin

0
(2-8)
显然方程(2-8)是一个二阶的非线性微分方程，
但是在摆幅较小的情况下，单摆运动方程可
以认为是线性的
ml
d 2
dt 2

l
d
dt
mg

0
(2-9)
略，这时各变量之间的关系称为动态关系或动态特性，系 统称为动态系统，相应的数学模型称为动态模型 。 控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系统的数学 模型。
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
考虑输入、输出变量之间的非线性关系y=f(x),系统经
常工作在平衡点A(x0,y0)处，则A点附近的输入、输出 关系可用Talor级数展开的方法得到，即
y
f (x)
f
( x0 )
df dx
x0
x
1 d2 f 2! dx2
x2 L
x0
当Δx很小时，可得
df y f (x) f (x0 ) dx x0 x kx

f (t)
(2-6)
或写成
m d 2 y(t) dy(t) y(t) 1 f (t)
k dt 2 k dt
k
(2-7)
思考：比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论
➢ 例2-4：图2-4表示一个单摆系统，输入量为零（不加 外力），输出量为摆幅θ(t)。试建立系统的的运动方 程。
方程、卷积公式 ➢ 传递函数特点和有关概念
一、为什么要研究LTI系统的传函表示？
微分方程是系统的时域数学模型，给定外部作用 和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输 出响应。
方法直观，借助计算机可快速、准确求出方程的 解。
但是如果系统的结构改变或某个参数变化时，就 要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行 分析和设计。
表示如下 c(t) g (t )r( ) 0
⑥ 如果脉冲宽度足够小，即ε=dτ，并将和式取为积分式，则有
如下卷积公式

c(t) 0 g(t )r( )d
其中,τ是输入作用时刻，t是观测系统响应的时刻。
⑦ 对于 t <τ，根据因果系统和零初始条件的约定有g(t-τ)=0, (t
解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同，且输 入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有
整理后得
ui (t) 0 C d(uo (t) 0) 0
R
dt
RC
duo (t) dt

ui
(t)
(2-4)
或者为
T
duo (t) dt

ui (t)
(2-5)
式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系统
弹簧系数k 线位移y 速度v
机械旋转系统 转矩T
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k 角位移 角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
(t )

ui
(t )
(2-2)
(2-2)式也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)

ui (t)
(2-3)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例2-2： 图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容负 反馈电路 。电压 ui (t和) uo分(t)别表示输入量和输出量， 试确定这个电路的微分方程式。