2019版创新方案-高中数学人教版A版选修4-4教学课件7
2019版数学人教A版选修4-4课件：第二讲 参数方程 本讲整合 .pdf
(������为参数).
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专题一
专题二
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(2)设 M(x,y)是曲线 4x2+y2=16 上异于点 A 的任一点,
则
������-4 ������
=
������(������≠0),
将 y=kx+4 代入方程,得 x[(4+k2)x+8k]=0.
当 x≠0 时,则
线的两种不同表达形式.
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专题一
专题二
应用1 求方程4x2+y2=16的参数方程.
(1)设y=4sin θ,以θ为参数;
(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数.
提示:对于(1),可直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x即可;
对于(2),可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解.
所以根据三角函数的值域便于解决一些求值问题.
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专题一
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解:(1)设 P(4cos θ1,2sin θ1)
������1
≠
������ 1 π 2
,������1∈Z
,
������(4cos θ2,2sin θ2)
������2
≠
������ 2 π 2
,������2
数,变数的个数比方程的个数多 1;曲线的参数方程中有三个变数和
两个方程,变数的个数比方程的个数多 1,从这个意义上讲,曲线的普
通方程和参数方程是“一致”的.
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高中数学人教A版选修4-4课件：2本讲整合
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3.参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式. 参数方程 普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲 线的两种不同表达形式.
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应用1 求方程4x2+y2=16的参数方程. (1)设y=4sin θ,以θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 提示:对于(1),可直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x即可; 对于(2),可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解. 解:(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此 4x +y =16 的参数方程是 (������为参数). ������ = 4sin������
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专题一 曲线的参数方程与普通方程的互化 1.将曲线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步 骤为: (1)将参数t用变量x表示; (2)将t代入y的代数式; (3)整理得到x,y的关系,即为普通方程. 2.参数方程与普通方程的区别与联系. 曲线的普通方程 F(x,y)=0 是相对参数方程而言,它反映了坐标变 ������ = ������(������), 量 x 与 y 之间的直接联系;而参数方程 (������∈D)是通过参数 ������ = ������(������) t 反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变 数,变数的个数比方程的个数多 1; 曲线的参数方程中有三个变数和 两个方程,变数的个数比方程的个数多 1,从这个意义上讲,曲线的普 通方程和参数方程是“一致”的.
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义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．
解 (1)设 A′(x′，y′)， 由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝y3x得到xy′′＝＝123yx，由于 A13，－2，于是 x′ ＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， ∴A′(1，－1)为所求． (2)设 B(x，y)，由伸缩变换 φ：2xy′′＝＝y3x得到xy＝＝213yx′′，由于
[思维启迪] 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出
其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然
后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆．
解 设变换为xy′′＝＝μyλ，x，μ>λ0>，0，可将其代入第二个方程， 得 λ2x2＋μ2y2＝1.与 4x2＋9y2＝36 比较，
将其变为346x2＋396y2＝1，即19x2＋14y2＝1，比较系数得
证明 法一 以A为坐标原点O，AB所在 直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy， 则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
则 Da＋2 b，2c， 所以|AD|2＋|BD|2
＝（a＋b）2＋c2＋（a－b）2＋c2
4
4
4
4
＝12(a2＋b2＋c2)， |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2
【思维导图】
题型一 运用坐标法解决解析几何问题
【例1】 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是
1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系， 并求动点 P 的轨迹方程．
[思维启迪] 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案： 第二讲 章末小结与测评 Word版含答案
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； (4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．过点P (－2，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，设A 、B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．[解] 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2，x2＋y2＝1消去x 得(1＋t 2)y 2－4ty ＋3＝0. ∴y 1＋y 2＝4t 1＋t2，则y ＝2t 1＋t2.x ＝ty －2＝2t21＋t2－2＝－21＋t2，由Δ＝(4t )2－12(1＋t 2)>0得t 2>3.∴M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数且t 2>3).在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t(0≤t ≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？[解] 由曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos t ，y ＋2＝2sin t. ∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝4. 由于0≤t ≤π， ∴0≤sin t ≤1.从而0≤y ＋2≤2，即－2≤y ≤0.∴所求的曲线的参数方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4(－2≤y ≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为2.已知参数方程⎩⎨⎧x ＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t sin θ， ①y ＝⎝⎛⎭⎫t －1t cos θ， ②(t ≠0)．(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？ (2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？ [解] (1)当t ≠±1时，由①得sin θ＝xt ＋1t ，由②得cos θ＝yt －1t .∴x2⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2＋y2⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝1.它表示中心在原点，长轴长为2⎪⎪⎪⎪t ＋1t ，短轴长为2⎪⎪⎪⎪t －1t ，焦点在x 轴上的椭圆． 当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ，x ∈[－2，2]， 它表示在x 轴上[－2，2]的一段线段． (2)当θ≠kπ2(k ∈Z )时，由①得x sin θ＝t ＋1t .由②得y cos θ＝t －1t.平方相减得x2sin 2θ－y2cos2θ＝4，即x24sin2θ－y24cos2θ＝1，它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|，焦点在x 轴上的双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，它表示y 轴； 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，x ＝±⎝⎛⎭⎫t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2(t ＞0时)或t ＋1t≤－2(t ＜0时)，∴|x |≥2.∴方程为y ＝0(|x |≥2)，它表示x 轴上以(－2，0)和(2，0)为端点的向左、向右的两条射线.求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 曲线C 的标准方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， 它表示以(2，－1)为圆心，半径为3的圆，因为圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2＋3＋2|10＝71010，且3－71010<71010，故过圆心且与l平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．[答案] B(北京高考)直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数为________．[解析] 直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22＜3，故直线与圆的交点个数是2.[答案] 2求直线⎩⎨⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－2t 被曲线⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ截得的弦长．[解] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－2t ，的普通方程为x ＋y ＋1＝0曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ，即圆心为(1，－1)，半径为4的圆则圆心(1，－1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1＋1|12＋12＝22.设直线被曲线截得的弦长为t ，则t ＝242－⎝⎛⎭⎫222＝62，∴直线被曲线截得的弦长为62.直线⎩⎨⎧x ＝－1＋t2，y ＝32t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝a (a >0)相交于A 、B 两点，设P (－1，0)，且|P A |∶|PB |＝1∶2，求实数a 的值．[解] 法一：直线参数方程可化为：y ＝3(x ＋1)联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x ＋1），x2＋y2＝a ，消去y ，得：4x 2＋6x ＋3－a ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(不妨设x 1<x 2)，则Δ＝36－16(3－a )>0，①x 1＋x 2＝－32，②x 1·x 2＝3－a4，③|P A||PB|＝－1－x1x2＋1＝12，④ 由①②③④解得a ＝3.法二：将直线参数方程代入圆方程得 t 2－t ＋1－a ＝0设方程两根为t 1、t 2，则Δ＝1－4(1－a )>0⇒a >34.t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝1－a .(*)由参数t 的几何意义知 |P A||PB|＝－t1t2＝12或|P A||PB|＝－t2t1＝12. 由t1t2＝－12，解得a ＝3.能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．已知点P (3，2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数)， 代入方程y 2＝4x 整理得t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①∵点P (3，2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1、t 2满足关系 t 1＋t 2＝0，sin α－cos α＝0， ∴0≤α＜π， ∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝4·8sin2π4＝8.过点B (0，－a )作双曲线x 2－y 2＝a 2右支的割线BCD ，又过右焦点F 作平行于BD 的直线，交双曲线于G 、H 两点．求证：|BC||GF|·|BD||FH|＝2.[证明] 当a ＞0时，设割线的倾斜角为α，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝－a ＋tsin α(t 为参数)．①则过焦点F 平行于BD 的直线GH 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2a ＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)．② 将①代入双曲线方程，得t 2cos 2α＋2at sin α－2a 2＝0. 设方程的解为t 1，t 2，则有|BC |·|BD |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪2a2cos 2α， 同理，|GF |·|FH |＝⎪⎪⎪⎪a2cos 2α. ∴|BC||GF|·|BD||FH|＝2， 当a ＜0时，同理可得上述结果．一、选择题1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析：选A 由ρ＝cos θ，得x 2＋y 2＝x ，∴ρ＝cos θ表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋3t 得到3x ＋y ＝－1，表示一条直线．2．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ是常数)与圆⎩⎨⎧x ＝rcos φ，y ＝rsin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 解析：选B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－r|cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．3．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选C 由⎩⎨⎧x ＝3tan θy ＝sec θ⇒y 2－x23＝1，两条渐近线的方程是y ＝±33x ，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.4．若动点(x ，y )在曲线x24＋y2b2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧b24＋4 （0<b<4），2b （b≥4）B.⎩⎪⎨⎪⎧b24＋4（0<b<2），2b （b≥2）C.b24＋4 D ．2b解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)，代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ＝ －(2sin θ－b 2)2＋4＋b24，当0<b <4时，(x 2＋2y )max ＝b24＋4， 当b ≥4时，(x 2＋2y )max ＝－(2－b 2)2＋4＋b24＝2b .二、填空题5．直线⎩⎨⎧x ＝1＋tsin 70°，y ＝2＋tcos 70°(t 为参数)的倾斜角的大小为________．解析：原参数方程变为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos 20°y ＝1＋tsin 20°(t 为参数)，故直线的倾斜角为20°.答案：20° 6．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t代入2x －4y ＝5得t ＝12，则B (52，0)，而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：527．圆的渐开线参数方程为：⎩⎨⎧x ＝π4cos φ＋π4φsin φ，y ＝π4sin φ－π4φcos φ(φ为参数)．则基圆的面积为________．解析：易知，基圆半径为π4.∴面积为π·(π4)2＝116π3.答案：116π38．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4 ①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，化为普通方程为y 2＝x 3 ②， ①、②联立得A (4，8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：16三、解答题9．经过P (－2，3)作直线交抛物线y 2＝－8x 于A 、B 两点． (1)若线AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π4时，求|AB |.解：设AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝3＋tsin α(t 为参数)代入抛物线方程，整理得t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0. 于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7sin 2α.(1)若p 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0⇒tan α＝－43.故AB 所在的直线方程为y －3＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y －1＝0.(2)|AB |＝|t 1－t 2|＝（t1＋t2）2－4t1t2 ＝ （6sin α＋8cos αsin 2α）2－4（－7sin 2α）＝2sin 2α16＋12sin 2α，又α＝π4，∴|AB |＝2sin 2π416＋12sin （2×π4）＝87.10．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ. ∵x ＋y ＋m ≥0恒成立，∴cos θ＋1＋sin θ＋m ≥0恒成立．∵sin θ＋1＋cos θ＝2sin (θ＋π4)＋1≥1－2，∴m ≥－(1－2)．即m 的取值范围为[2－1，＋∞)． 11．设P 为椭圆弧x225＋y29＝1(x ≥0，y≥0)上的一动点，又已知定点A (10，6)，以P 、A 为矩形对角线的两端点，矩形的边平行于坐标轴，求此矩形的面积的最值．解：设P (5cos θ，3sin θ)(0≤θ≤π2)，则矩形面积为S ＝(10－5cos θ)(6－3sin θ)＝15[4＋sin θcos θ－2(sin θ＋cos θ)]， 令t ＝sin θ＋cos θ，则sin θcos θ＝t2－12，∴S ＝152(t －2)2＋452.∵t ∈[1，2]， ∴当t ＝1，即P (5，0)或P (0，3)处有最大值，最大值为30； 当t ＝2，即P (522，322)处有最小值，最小值为1352－302.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )A ．(2，－7)B ．(1，0) C.⎝⎛⎭⎫12，12 D.⎝⎛⎭⎫13，23 解析：选C 由y ＝cos 2θ得y ＝1－2sin 2θ， ∴参数方程化为普通方程是y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， 当x ＝12时，y ＝1－2×(12)2＝12，故选C.2．直线⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.1255C.955D.9510 解析：选B ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t⇒⎩⎨⎧x ＝1＋5t×25，y ＝1＋5t×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9，5t 2＋8t －4＝0.|t 1－t 2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝（－85）2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255.3．直线⎩⎨⎧x ＝1－15t ，y ＝－1＋25t(t 为参数)的斜率是( )A ．2 B.12C ．－2D ．－12解析：选C 由⎩⎨⎧x ＝1－15t ， ①y ＝－1＋25t ， ②①×2＋②得2x ＋y －1＝0， ∴k ＝－2.4．若圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：选B 直线与圆的普通方程分别为3x －y ＋2＝0与(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 圆心(－1，3)到直线的距离 d ＝|－3－3＋2|10＝410＝2105，而d <2且d ≠0，故直线与圆相交而不过圆心．5．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：选A x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin θ∈[－1，1]， ∴为抛物线的一部分． 6．点P (x ，y )在椭圆（x －2）24＋(y －1)2＝1上，则x ＋y 的最大值为( )A ．3＋5B ．5＋5C ．5D ．6解析：选A 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)， x ＋y ＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋5sin (θ＋φ)， ∴(x ＋y )max ＝3＋5.7．过点(3，－2)且与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )A.x215＋y210＝1B.x2152＋y2102＝1 C.x210＋y215＝1 D.x2102＋y2152＝1 解析：选A 化为普通方程是x29＋y24＝1.∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，排除B 、C 、D.8．已知过曲线⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且0≤θ≤π2上一点P 与原点O 的距离为13，则P 点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫332，52 B.⎝⎛⎭⎫322，522C.⎝⎛⎭⎫32，532D.⎝⎛⎭⎫125，125解析：选A 设P (3cos θ，5sin θ)，则|OP |2＝9cos 2θ＋25sin 2θ＝9＋16sin 2θ＝13， 得sin 2θ＝14.又0≤θ≤π2，∴sin θ＝12，cos θ＝32.∴x ＝3cos θ＝332.y ＝5sin θ＝52.∴P 坐标为(332，52)．9．设曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ与x 轴交点为M 、N ，点P 在曲线上，则PM 与PN 所在直线的斜率之积为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析：选A 令y ＝0得sin θ＝0，∴cos θ＝±1. ∴M (－2，0)，N (2，0)．设P (2cos θ，3sin θ)． ∴k PM ·k PN ＝3sin θ2cos θ＋2·3sin θ2cos θ－2＝3sin 2θ4（cos 2θ－1）＝－34.10．曲线⎩⎨⎧x ＝asin θ＋acos θ，y ＝acos θ＋asin θ(θ为参数)的图形是( )A ．第一、三象限的平分线B ．以(－a ，－a )、(a ，a )为端点的线段C ．以(－2a ，－2a )、(－a ，－a )为端点的线段和以(a ，a )、(2a ，2a )为端点的线段D ．以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段解析：选D 显然y ＝x ，而x ＝a sin θ＋a cos θ＝2a sin(θ＋π4)，－2|a |≤x ≤2|a |.故图形是以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，令⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －1，sin θ＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)． 答案：⎩⎨⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)12．设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2方程即3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.答案：9或－1113．直线y ＝2x －12与曲线⎩⎨⎧x ＝sin φ，y ＝cos 2φ(φ为参数)的交点坐标为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos 2φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ， ①y ＝1－2sin 2φ， ②将①代入②中，得y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， ∴2x 2＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －12，2x2＋y ＝1，解之得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－72(舍去)．答案：(12，12)14．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：由题意得圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0在x 轴上，半径为12，则其圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋12cos α，y ＝12 sin α(α为参数)，注意α为圆心角，θ为同弧所对的圆周角，则有α＝2θ，有⎩⎨⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． 答案：⎩⎨⎧x ＝cos2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求直线⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长．解：将方程⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos (θ＋π4)分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C (12，－12)，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75. 16．(12分)(辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1.因此C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x′＋2x ）（x′－x ）2＝25. 17．(12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点．(1)求BC 中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．解：(1)直线参数方程为⎩⎨⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0.∴t M ＝t1＋t22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M (4425，3325)．(2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋tcos α，y ＝－3＋tsin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0.Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5，8x －15y －85＝0. 又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α，t 1＝3，t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5，0)，(4017，－7517)．18．(14分)在双曲线x 2－2y 2＝2上求一点P ，使它到直线x ＋y ＝0的距离最短，并求这个最短距离． 解：设双曲线x22－y 2＝1上一点P (2sec α，tan α)(0≤α＜2π，且α≠π2，α≠32π)，则它到直线x ＋y＝0的距离为d ＝|2sec α＋tan α|2＝|2＋sin α|2|cos α|.于是d 2＝2＋22sin α＋sin2α2cos2α，化简得，(1＋2d 2)sin 2α＋22sin α＋2(1－d 2)＝0.∵sin α是实数，∴Δ＝(22)2－8(1＋2d 2)(1－d 2)≥0， ∴d ≥22. 当d ＝22时，sin α＝－22， ∴α＝54π或74π，这时x 0＝－2，y 0＝1.或x 0＝2sec 74π＝2，y 0＝tan 74π＝－1.故当双曲线上的点P 为(－2，1)或(2，－1)时， 它到直线x ＋y ＝0的距离最小，这个最小值为22. 模块综合检测(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由l 的参数方程可得l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0，设l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－43，由1cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋1，得cos 2θ＝925，又π2<θ<π， ∴cos θ＝－35.2．柱坐标⎝⎛⎭⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( ) A ．(3，－1，1) B ．(3，1，1) C ．(1，3，1) D ．(－1，3，1)解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1.3．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|P A |的最小值是( )A ．0 B.2 C.2＋1 D.2－1解析：选D A 的直角坐标为(－1，0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，|AC |＝2，则|P A |min ＝2－1.4．直线⎩⎨⎧x ＝sin θ＋tsin 15°，y ＝cos θ－tsin 75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105°B ．75°C ．15°D ．165° 解析：选A 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋tsin 15°，y ＝cos θ－tsin 75°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋tcos 75°，y ＝cos θ－tsin 75°， 消去参数t 得，y －cos θ＝－tan 75°(x －sin θ)， ∴k ＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°. 故直线的倾斜角是105°.5．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝21cos θ(θ为参数)的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析：选D 把参数方程化为普通方程得y24－x 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x .6．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－tsin 30°，y ＝－1＋tsin 30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，O 为原点，则△BOC 的面积为( )A ．27 B.30 C.152 D.302解析：选C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－tsin 30°，y ＝－1＋tsin 30⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t′(t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝（t′1＋t′2）2－4t′1t′2 ＝（32）2＋4×3＝30，弦心距d ＝8－304＝22，S △BCO ＝12|BC |·d ＝152.7．已知点P 的极坐标为(π，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝π B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝πcos θ D ．ρ＝－πcos θ解析：选D 设M (ρ，θ)为所求直线上任意一点，由图形知OM cos ∠POM ＝π， ∴ρcos (π－θ)＝π.∴ρ＝－πcos θ.8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是( ) A ．k ≤－34 B ．k ≥－34C ．k ∈RD ．k ∈R 且k ≠0解析：选A 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k2＋1＝1，得－k ＝34.若满足题意，只需－k ≥34.即k ≤－34即可．9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫1，12 解析：选D 由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋cos （π2－θ）2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y ， 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]．10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图．围成的图形为△OPQ ，可得 S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝12×1×33＋1＝3－34. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝012．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0，2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝3.答案：3 13．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 2 cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析：曲线C 的普通方程为：x 2＋y 2＝ (2 cos t )2＋(2 sin t )2＝(cos 2t ＋sin 2t )＝2，由圆的知识可知，圆心(0，0)与切点(1，1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.答案：ρcos θ＋ρsin θ－2＝0或ρ(cos θ＋sin θ)＝2 14．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x2a2＋y2b2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m|2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C的离心率e ＝c a ＝c b2＋c2＝63.答案：63三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)(新课标全国卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ―→＝2OM ―→，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝23. 16．(12分)(福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N的极坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，233)，又P 为线段MN 的中点， 从而点P 的平面直角坐标为(1，33)， 故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．17．(12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y )中x ·y 的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．设cos θ＝2（x －2）2，sin θ＝2（y －2）2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2c os θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)． (2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin (θ＋π4)，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时xy 有最小值为1； 当t ＝2时，xy 有最大值为9. 18．(14分)曲线的极坐标方程为ρ＝21－cos θ，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A 、B 和C 、D 四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB |＋|CD |有最小值？并求出这个最小值．解：由题意，设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)，C (ρ3，θ＋π2)， D (ρ4，θ＋32π)． 则|AB |＋|CD |＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)＝21－cos θ＋21＋cos θ＋21＋sin θ＋21－sin θ＝16sin 22θ. ∴当sin 22θ＝1即θ＝π4或θ＝34π时，两条直线的倾斜角分别为π4，3π4时，|AB |＋|CD |有最小值16.。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
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(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.